Ниже записать полный номер группы (например, 3АСУ-2ДБ-202), фамилию и И. О. студента, полный код расчётного варианта, например, КР6-13 – код 13-го варианта заданий курсовой работы КР6.
Внизу листа (по центру) записать имя города и текущий год.
2. На следующей странице представляется «Аннотация» выполненной работы (не более 2/3 страницы) с краткой характеристикой расчётных схем цепей, используемых методов (законов, правил и т.п.) анализа схем цепей и полученных результатов выполнения заданий.
Например, аннотация к выполненному первому заданию.
"В задании 1 проведен расчёт сложной электрической цепи постоянного тока с двумя источниками напряжения и шестью ветвями. При анализе схемы и её расчёте использованы следующие методы: метод законов Кирхгофа, метод узловых напряжений (двух узлов), обобщённый закон Ома и метод эквивалентного генератора. Правильность результатов расчёта подтверждена построением потенциальной диаграммы второго контура цепи и выполнением условия баланса мощностей".
Аналогично даётся аннотация выполненных 2-го и 3-го заданий работы.
3. На третьей странице записывается тема задания 1 курсовой работы и под ней (в скобках) код расчётного варианта задания, например, КР6.1-13. Ниже вычерчивается (с соблюдением ГОСТа 2.721-74) электрическая схема цепи и под ней выписываются из таблицы 6.1 исходные данные для расчёта заданного варианта, например: Е 1 = 10 B, Е 2 = 35 B, R 1 = 15 Ом, R 2 = ... и т.д.
4. Далее, выполняется поэтапный расчёт схемы цепи с соответствующими заголовками каждого этапа (шага), с вычерчиванием необходимых расчётных схем с условно положительными направлениями токов и напряжений ветвей, с записью уравнений и формул в общем виде с последующей подстановкой численных значений входящих в формулы физических величин и с записью промежуточных результатов расчёта (для поиска возможных ошибок в расчёте преподавателем). Результаты расчётов следует округлять, оставляя не более четырех-пяти значащих цифр, выражая числа с плавающей запятой, если они велики или малы.
В н и м а н и е! При вычислении значений исходных данных для расчёта схем цепей (действующих значений ЭДС Е , значений полных сопротивлений Z ветвей) рекомендуется округлить их значения до целых чисел, например Z = 13/3 » 4 Ом.
5. Диаграммы и графики вычерчиваются на миллиметровой бумаге (или на листах с мелкой сеткой при выполнении работы на ПК) по ГОСТ с использованием равномерных масштабов по осям и с указанием размерностей. Рисунки и диаграммы должны быть пронумерованы и снабжены надписью, например, Рис. 2.5. Векторная диаграмма напряжений и токов электрической цепи. Нумерация как рисунков, так и формул – сквозная на всех трёх заданиям!
7. Сдавать на проверку преподавателю отчёты по каждому заданию рекомендуется на скреплённых листах форматом А4 с последующим их брошюрованием перед защитой работы.
8. По результатам расчётов и графических построений формулируются выводы по каждому заданию или в конце отчёта – по всей работе. На последней странице отчета студент ставит свою подпись и дату завершения выполнения работы.
В н и м а н и е!
1. Небрежно оформленные работы возвращаются студентам для переоформления. Также преподаватель возвращает отдельным студентам отчеты на доработку с пометками ошибок на листах или с перечнем замечаний и рекомендаций по исправлению ошибок на титульном листе.
2. После защиты курсовых работ, пояснительные записки студентов групп с отметкой и подписью преподавателя (двух преподавателей) на титульных листах, занесенных также в соответствующую ведомость и в зачётные книжки студентов, сдаются на кафедру для хранения в течение двух лет.
П р и м е ч а н и е. При составлении таблицы 6.1. Варианты задания 1 использовалась программа Variant 2, разработанная доц., к.т.н. Румянцевой Р.А. (РГГУ, г. Москва), а варианты задания 6.2 и задания 6.3. взяты (с согласия авторов) из работы: Антоновой О.А., Карелиной Н.Н., Румянцевой М.Н. Расчёт электрических цепей (методические указания к курсовой работе по курсу "Электротехника и электроника". – М.: МАТИ, 1997 г.
Задание 1
АНАЛИЗ И РАСЧЁТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Для заданного в таблице 6.1 варианта:
6.1.1. Выписать значения параметров элементов цепи и вычертить в соответствии с ГОСТ расчётную схему цепи с обозначением условно положительных направлений токов и напряжений ветвей. Выбор обобщенной схемы цепи (рис. 1: а , б , в или г ) осуществляется следующим образом. Если заданный преподавателем для выполнения КР6 студенту номер варианта N делится на 4 без остатка (и в варианте №1), то рассчитывается схема рис. 1а ; при остатке 1 (и в варианте №2) рассчитывается схема рис. 1б ; при остатке 2 (и в варианте №3) - схема рис. 1в ; и, наконец, при остатке 3 рассчитывается схема рис. 1г .
6.1.2. Провести топологический анализ схемы цепи (определить число ветвей, узлов и независимых контуров).
6.1.3. Составить необходимое для расчёта цепи число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.
6.1.4. Упростить схему цепи посредством замены пассивного треугольника схемы эквивалентной звездой, рассчитав сопротивления её лучей (ветвей).
6.1.7. Выполнить проверку расчёта токов и напряжений всех шести ветвей исходной цепи построением в масштабе потенциальной диаграммы одного из контуров, в ветви которого включен хотя бы один источник напряжения, и подтверждением выполнения условия баланса мощностей.
6.1.8. Провести проверку правильности расчёта задания 1 (совместно с преподавателем) посредством сравнения полученных данных с данными, рассчитанными по программе Variant, установленной на компьтере в специализированной лаборатории (классе) кафедры. Краткая инструкция по работе с программой выводится на рабочее поле дисплея вместе с интерфейсом программы.
6.1.9. Сформулировать выводы по результатам выполненного задания 1.
Таблица 6.1
Варианты задания 1 курсовой работы КР6
| № вар | E 1 , B | E 2 , B | E 3 , B | E 4 , B | E 5 , B | E 6 , B | R 1 , Ом | R 2 , Ом | R 3 , Ом | R 4 , Ом | R 5 , Ом | R 6 , Ом | Ветвь для МЭГ | ||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | 16- | 10- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| Таблица 6.1 (продолжение ) | |||||||||||||||
| № вар | E 1 , B | E 2 , B | E 3 , B | E 4 , B | E 5 , B | E 6 , B | R 1 , Ом | R 2 , Ом | R 3 , Ом | R 4 , Ом | R 5 , Ом | R 6 , Ом | Ветвь для МЭГ | ||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | 10- | 16- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
Таблица 6.1 (продолжение )
| № вар. | E 1 , B | E 2 , B | E 3 , B | E 4 , B | E 5 , B | E 6 , B | R 1 , Ом | R 2 , Ом | R 3 , Ом | R 4 , Ом | R 5 , Ом | R 6 , Ом | Ветвь для МЭГ |
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| Прочерк (--) в полях таблицы означает отсутствие данного источника напряжения E k в схеме цепи |
(см. задание КР6- 1)
П1.1. Основные определения. Электрическая цепь - это совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, электрическом токе и электрическом напряжении.
Электрический ток - это явление направленного движения свободных носителей электрического заряда q в веществе или в пустоте, количественно характеризуемое скалярной величиной, равной производной по времени от электрического заряда, переносимого свободными носителями заряда сквозь рассматриваемую поверхность, т.е.
Из выражения (1.1) получают единицу тока
[I ] = [q ]/[t ] = Кл/c = A × c /c = A (ампер).
Постоянный электрический ток (в дальнейшем ток ) – это неизменное и однонаправленное движение заряженных частиц (зарядов). При постоянном токе в течение каждого одинакового промежутка времени Dt переносится одинаковый заряд Dq . Поэтому ток где q - весь заряд (Кл) за время t (с).
Условное положительное направление тока I во внешней (от источника энергии) цепи противоположно направлению движения потока электронов (электрон – частица, обладающая наименьшим отрицательным зарядом (q e = -1,602×10 - 19 Кл, тогда 1 Кл = 6,24×10 18 электронов), т. е. он протекает от точки а с большим потенциалом к точке b с меньшим потенциалом, вызывая падение напряжения (в дальнейшем напряжение ) на сопротивлении этого участка
U ab = j а – j b . (1.2)
Электрическое напряжение – это работа, затрачиваемая на перенос единицы заряда (1 Кл) из точки а в точку b электрическогополя по произвольному пути. Однозначно определяют толькоразность потенциалов (напряжение ) между соответствующими точками. Когда говорят о потенциале точки электрической цепи, то подразумевают разность потенциалов между этой точкой и другой (обычно заземлённой), потенциал которой принимают равным нулю.
Электродвижущая сила E (в дальнейшем ЭДС E в вольтах) источника энергии численно равна работе (энергии) W в джоулях (Дж), затрачиваемой сторонним и индуктированным электрическими полями на перемещение единицы заряда (1 Кл) из одной точки поля в другую.
П1.2. Состав электрической цепи. Любая электрическая цепь состоит из следующих элементов:
· источников энергии (активныхэлементов), преобразующих различные виды энергии в электрическую. Это генераторы электрических станций, аккумуляторные и солнечные батареи, термопары и др.;
· приёмников электрической энергии (пассивныхэлементов), в которых электрическая энергия преобразуется в другие виды: тепловую (нагревательные элементы), механическую (электрические двигатели), световую (люминесцентные лампы), химическую (гальванические ванны) и др.;
· вспомогательных элементов (проводов, выключателей, предохранителей, резистивных регуляторов тока, измерительных приборов, разъёмов и др.).
Электрические цепи принято изображать в виде электрических схем: принципиальных, монтажных, схем замещения и др. Схема электрической цепи – это её графическое изображение, содержащее условные обозначения элементов цепи и показывающее соединения этих элементов.
При анализе электрических цепей их заменяют схемами замещения. Схема замещения электрической цепи – это её расчётно-математическая модель, содержащая идеальные пассивные (резистивные, индуктивные и ёмкостные) и активные (источники напряжения и источники тока) элементы. Элементом электрической цепи называют отдельное устройство, выполняющее в цепи определённую функцию Эти элементы являются эквивалентами (моделями) реальных устройств цепи, которым теоретически приписывают определённые электрические и магнитные свойства, отражающие главные (доминирующие) процессы в элементах цепи.
Пассивными называют элементы электрической цепи, которые не способны генерировать электрическую энергию. К пассивным элементам относят резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы (табл. П1.1).
Резистор – это пассивный элемент электрической цепи, предназначенный для использования его электрического сопротивления R . Резистор не может накапливать энергию: полученная им электрическая энергия необратимопреобразовывается в нёмв тепловую энергию.
Т а б л и ц а П1.1. Пассивные элементы цепей и их характеристики
Индуктивная катушка – это пассивный элемент цепи, предназначенный для использования его собственной индуктивности L и/или его магнитного поля. При нарастании тока в индуктивной катушке происходит преобразование электрической энергии в магнитную и её накопление в магнитном поле катушки, а при убывании тока – обратное преобразование энергии магнитного поля в электрическую энергию, возвращаемую источнику.
Конденсатор – это пассивный элемент цепи, предназначенный для использования его электрической ёмкости С . При нарастании напряжения на зажимах конденсатора в нём происходит преобразование электрической энергии внешнего источника в энергию электрического поля за счёт накопления зарядов противоположных знаков на двух его электродах (пластинах). При уменьшении напряжения происходит обратное преобразование энергии электрического поля в электрическую энергию, возвращаемую источнику.
Активные элементы - это источники электрической энергии (аккумуляторы, генераторы и др.). Различают:источники напряжения (ИН) и источники тока (ИТ) в зависимости от их внутреннего сопротивления (табл. П1.2). В источнике напряжения внутреннее сопротивление R вт значительно меньше сопротивления R нагрузки (в идеальном ИН R вт = 0), а в источнике тока R вт значительно больше сопротивления R нагрузки (в идеальном ИТ R вт = ¥), а проводимость (в сименсах)
G вт = 1/R вт << G = 1/R .
Т а б л и ц а П1.2. Активные элементы цепей и их характеристики
| I |
| 2 (-) |
| R вт |
| + |
| 1 (+) |
| R |
| U |
| U 12 |
| R вт I |
| I н |
| I к |
| I ,А |
| U , В |
| E |
| U н |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| E |
| ИН |
| I , A |
| I вт |
| G вт |
| U |
| U 12 |
| I |
| 0 I н J |
| 2 |
| ИT |
| I вт |
| U н |
П1.3. Топологические параметры схем цепей . При анализе электрических схем пользуются следующими топологическими параметрами схем:
· ветвь (В ) - участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же электрический ток;
· узел (У ) - место соединения ветвей электрической цепи. Обычно место, где соединены две ветви, называют не узлом, а соединением (или устранимым узлом), а узел соединяет не менее трёх ветвей ;
· контур - последовательность ветвей электрической цепи, образующая замкнутый путь, в которой один из узлов одновременно является началом и концом пути, а остальные встречаются только один раз. В электрической цепи выделяют линейно независимые контуры k н, которые отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью. Число независимых контуров зависит от числа ветвей В и числа узлов У в цепи:
k н = В – (У – 1). (1.3)
Так, в схеме электрической цепи (рис. П1.1) ветвей В = 5, узлов У = 3, соединений 2, независимых контуров k н = 3.
Примечания.
1. Точки 5 , 6 , 7 и 8 имеют одинаковый электрический потенциал, поэтому они могут быть геометрически объединены в одну общую точку - узел .
2. Точки 1 и 4 соединяют по два элемента, поэтому их называютточками соединений двух элементов , а не узлами.
| Е 1 |
П1.4. Задача расчёта цепи . Расчёт электрической цепи заключается в описании её схемы замещения математическими уравнениями и в решении системы уравнений относительно электрических величин. Теория электрических и магнитных цепей базируется на введении параметров отдельных участков цепи, из которых основными являются сопротивления, индуктивности и ёмкости. Помимо этих параметров, вводят в рассмотрение еще множество других (например, магнитное сопротивление магнитной цепи, реактивные сопротивления и проводимости цепи переменного тока, и др.), находящихся в известной связи с ними или имеющих самостоятельное значение.
Задачей расчёта электрической цепи является, в первую очередь, определение токов и напряжений ветвей при заданных значениях параметров активных и пассивных элементов схемы цепи.
Для расчёта электрических цепей (точнее, их схем замещения) разработано несколько методов, наиболее общими из которых являются метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод узловых напряжений, метод переменных состояния, метод контурных токов.
Примечание.Понятия «электрическая цепь» и «схема электрической цепи» часто отождествляют.
П1.5. Законы Ома и Кирхгофа. Решение задач анализа электромагнитных процессов в известной схеме электрической цепи с заданными параметрами источников энергии и резистивных элементов базируется на применении закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа, которые записывают соответственно для ветвей , узлов и контуров (табл. П1.3).
Закон Ома устанавливает зависимость между током и напряжением на пассивной ветви при совпадении направлений тока и напряжения на ней. (см. табл. П1.3, вторая строка). Для ветви с источниками напряжения используют обобщенный закон Ома : (см. табл. П1.3, третья строка). Знак плюс перед ЭДС E и напряжением U 12 записывают при совпадении их направлений с условно положительным направлением тока I и знак минус - при не совпадении их направлений с направлением тока.
Первый закон Кирхгофа (1ЗК) записывают для узлов электрической схемы (см. табл. П1.3, четвертая строка). Закон формулируется следующим образом: алгебраическаясумма токов в любом узле схемы цепи равна нулю. При этом токи, направленные к узлу, принято записывать со знаком плюс, а уходящие от узла, со знаком минус.
Второй закон Кирхгофа (2ЗК) применяется к контурам электрической цепи (см. табл. П1.3, пятая строка) и формулируется следующим образом: в любом контуре схемы алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур. При этом ЭДС и напряжения на элементах контура записывают со знаком плюс, если выбранное направление обхода контура (например, по ходу часовой стрелки) совпадает с направлением напряжений (токов) на этих элементах, и со знаком минус при несовпадении.
Таблица П1.3. Топологические параметры схем цепей и их описание
| J |
| k |
| I 2 |
| I 3 |
| I 1 |
| Е 2 |
| Е 3 |
| I 2 |
| I 3 |
| R 1 |
| R 3 |
| R 2 |
| U 12 |
| 1 |
| 2 |
П1.6. Метод расчёта, основанный на законах Кирхгофа . Анализ и расчёт любой электрической цепи постоянного тока можно провести в результате совместного решения системы уравнений, составленных посредством первого и второго законов Кирхгофа. Число уравнений в системе равно числу ветвей в цепи (N МЗК = В ), при этомчисло независимых уравнений, которые можно записать по 1ЗК, на одно уравнение меньше числа узлов, т. е.
N 1ЗК = У - 1, (1.4)
а число независимых уравнений, записываемых по 2ЗК,
N 2ЗК = B - (У - 1), (1.5)
где В - число ветвей с неизвестными токами (без ветвей с источниками тока); У - число узлов.
Составим посредством законов Кирхгофа необходимое число уравнений для определения токов ветвей схемы (рис. П1.2), если заданы ЭДС E 1 и E 2 источников напряжения, ток J источника тока и сопротивления R 1 ,…, R 5 резисторов.
N МЗК = N 1ЗК + N 2ЗК = В .
С этой целью:
1. Проведём топологический анализ схемы для определения числа независимых уравнений. В схеме B 1 = 6 ветвей, У = 3 узла. Однако в ветви с ИТ ток J задан, поэтому число независимых ветвей В = 5. Число независимых уравнений для решения задачи по методу законов Кирхгофа
N МЗК = В = 5.
3. Составим уравнения по 1ЗК (N 1ЗК = У - 1 = 3 - 1 = 2):
для узла 1 : I 1 - I 2 - J - I 3 = 0, (1)
для узла 2 : I 3 - I 4 + I 5 = 0. (2)
4. Выберем независимые контуры и направление обхода контуров, например, по ходу часовой стрелки. В нашем случае имеется три независимых контура, так как ветвь с заданным током J ИТ в уравнениях, составляемых по2ЗК, не учитывается:
N 2ЗК = B - (У - 1) = 5 – (3 – 1) = 3.
5. Составим три уравнения по 2ЗК:
для контура 1"-1-0-1" : E 1 = R 1 I 1 + R 2 I 2 , (3)
для контура 1-2-0-1 : 0 = R 3 I 3 + R 4 I 4 - R 2 I 2 , (4)
для контура 2-2"-0-2 : -E 2 = -R 5 I 5 - R 4 I 4 . (5)
6. Решив систему уравнений (1)…(5), например, методом Гаусса или с использованием формул Крамера можно определить все неизвестные токи ветвей цепи.
П1.6. Структурные преобразования схем замещения цепей. Расчёт электрических цепей можно упростить путём преобразованияих схем замещения в более простые и удобные для расчёта. Такие преобразования приводят, как правило, к уменьшению числа узлов схемы и, следовательно, необходимого числа исходных уравнений для расчёта.
Так, ветвь с последовательно соединёнными резисторами R 1 , R 2 , … , R n может быть преобразована в простую схему с одним резистивным элементом (рис. П1.4а ), эквивалентное сопротивление которого равно сумме сопротивлений:
а ветвь с несколькими последовательно соединёнными источниками напряжения и резисторами (рис. П1.4б ) также может быть преобразована в ветвь с одним эквивалентным ИН с параметрами R э и Е э (рис. П1.4в ):
| 1 |
| б ) |
| R 1 |
| а ) |
| в ) |
| Рис. П1.4 |
| 1 |
| 2 |
| R э |
| R 1 |
| R 2 |
| R n |
| 1 |
| 2 |
| R 2 |
| R 3 |
| R э |
| E 1 |
| E 2 |
| E 3 |
| E э |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| U |
| Рис. П1.5 |
| R 1 |
| R 2 |
| U |
| G э |
| а ) |
| б ) |
| 1 |
| 2 |
| R n |
| 1 |
| I 1 |
| I n |
| I 2 |
| I |
| I |
Параллельно соединённые резисторы с сопротивлениями R 1 , R 2 ,…, R n (рис. П1.5а ) можно заменить одним резистором с проводимостью G э (рис. П1.5б ).
Так как напряжение на всех ветвях одно и тоже, равное U , то токи ветвей
где , - проводимости ветвей в сименсах.
В схеме с двумя узлами 1 и 2 (см. рис. П1.5а ) ток на входе цепи
а эквивалентная проводимость и эквивалентное сопротивление пассивного участка цепи между узлами 1 и 2 равны
| 3 |
| 2 |
| U |
| Рис. П1.6 |
| R 2 |
| R 1 |
| R 3 |
| U |
| R 1 |
| U |
| R 1-4 |
| R 2-4 |
| а ) |
| б ) |
| в ) |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| R 4 |
| 1 |
| 1 |
| 3 |
Электрические схемы, имеющие сочетание последовательного и параллельного соединений участков цепи (смешанное соединение ), могут быть преобразованы в более простые эквивалентные схемы путём замены параллельных ветвей одной ветвью, а последовательно соединённые участки цепи – одним участком. Так, например, для схемы рис. П1.6а вначале нужно найти эквивалентное сопротивление параллельного участка 2 -3 с тремя параллельно включенными резисторами
а затем сложить его с сопротивлением R 1 (рис. П1.6б , в ):
В электрических цепях элементы могут быть соединены по схеме треугольник или по схеме звезда (рис. П1.7).Треугольником называют соединение трёх элементов, в котором конец первого элемента соединён с началом второго, конец второго с началом третьего, а конец третьего с началом первого (рис. П1.7а ). Звездой называют соединение, в котором концы трёх элементов соединены в одну общую точку п (рис. П1.7б ).
| Рис. П1.7 |
| б ) |
| 1 |
| 2 |
| I 2 |
| R 3 |
| R 1 |
| R 2 |
| 3 |
| I 3 |
| I 1 |
| I 1 |
| а ) |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| I 2 |
| I 3 |
| R 1 2 |
| R 23 |
| R 31 |
| n |
С целью умньшения числа узлов в схеме цепи соединения элементов треугольником преобразуют в эквивалентное соединение звездой посредством следующих формул:
, , (1.10)
т. е.сопротивление луча эквивалентной звезды равно дроби, в числителе которой произведение двух сопротивлений сторон треугольника, примыкающих к рассматриваемому узлу, делённому на сумму всех сопротивлений сторон треугольника.
П1.7. Правило делителя напряжения. В ветви, состоящей их двух последовательно соединённых резисторов (рис. П1.8а ),напряжение на одном из резисторов равно приложенному к ветви напряжению, умноженному на сопротивление данного резистора и делённому на сумму сопротивлений обоих резисторов, т. е.
| U |
| б ) |
| R 1 |
| R 2 |
| а ) |
| U 1 |
| U 2 |
| I 2 |
| R 2 |
| I 1 |
| U |
| Рис. П1.8 |
| R 1 |
| I |
и (1.11)
П1.8. Правило делителя тока . Для цепи с двумя параллельно соединёнными резисторами (рис. П1.8б ) ток одной из двух параллельных ветвей цепи равен подходящему к разветвлению току I , умноженному на сопротивление другой (противоположной) ветви и делённому на сумму сопротивлений обеих ветвей, т.е.
П1.9. Метод узловых напряжений. Метод узловых напряжений (МУН) базируется на первом законе Кирхгофа и обобщенном законе Ома. В нём за вспомогательные расчётные величины принимают так называемые узловые напряжения U k 0 - напряжения между каждым k -м узлом схемы и выбранным базисным узлом (его будем обозначать цифрой 0 ), потенциал которого принимают равным нулю. Число уравнений для расчёта схемы по МУН
N МУН = У - 1. (1.13)
Для каждого узла, кроме базисного, составляют уравнение по 1ЗК. В полученных уравнениях токи ветвей, присоединённых к базисному узлу, выражают через узловые напряжения и проводимости посредством обобщённого закона Ома:
где G k = 1/R k - проводимость k -й ветви.
Токв ветви, подключённой к узлам k и j ,
= (E kj - U k 0 + U j 0 )G kj , (1.15)
где U kj = U k 0 - U j 0 – межузловое напряжение; G kj = 1/R kj - межузловая проводимость.
После группирования членов при соответствующих узловых напряжениях и переноса E k G k и токов J k источников тока в правую часть, получают систему уравнений относительно неизвестных узловых напряжений.
Структура каждого уравнения одинаковая, например, уравнение относительно узла 1 :
G 11 U 10 - G 12 U 20 - ... - G 1n U n 0 = + (1.16)
где G 11 = G 1 + G 2 + ... + G n - собственная проводимость узла1 , равная сумме проводимостей ветвей, присоединённых к узлу 1 (проводимости ветвей с ИТ не учитываются, так как G j = 1/R j = 0 (R j = ¥)); G 12 , ... , G 1 n – межузловые проводимости; + - узловой ток узла 1 ; - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, присоединённых к узлу 1 , на проводимости этих ветвей, причём со знаком плюс (минус) записывают произведения, если ЭДС направлена к узлу 1 (от узла 1 ); - алгебраическая сумма токов источников тока ветвей, подключённых к узлу 1 , причём токи J k записывают со знаком плюс (минус), если они направлены к узлу 1 (от узла 1 ).
Решив систему уравнений относительно узловых напряжений, определяют межузловые напряжения и токи ветвей посредством соотношений (1.14) и (1.15).
| Рис. П1.9 |
| 2 |
| I 1 |
| R 1 |
| R 3 |
| R 5 |
| R 2 |
| R 4 |
| I 2 |
| J |
| I 3 |
| U 10 |
| E 5 |
| I 4 |
| I 5 |
| 1 |
| 0 |
| E 1 |
| U 12 |
| U 20 |
Пример П1.1. Пользуясь методом узловых напряжений, определить токи ветвей схемы (рис. П1.10), если E 1 = 12В, E 5 = 15В, J = 2А, R 1 = 1 Ом, R 2 = 5 Ом, R 3 = = R 4 = 10Ом, R 5 = 1 Ом. В схеме 6 ветвей и 3 узла.
Решение. 1. Выбираем базисный узел 0 и направления узловых напряжений U 10 и U 20 от узлов 1 и 2 к базисному (см. рис. П1.9).
2. Составляем (N МУН = У - 1 = 3 - 1 = 2) уравнения по МУН:
для узла 1 : G 11 U 10 - G 12 U 20 = E 1 G 1 - J ,
для узла 2 : -G 21 U 10 + G 22 U 20 = E 5 G 5 ,
где G 11 = G 1 + G 2 + G 3 , G 12 = G 3 = 1/R 3 , G 22 = G 3 + G 4 + G 5 , G 21 = G 12 = G 3 .
3. После подстановки числовых значений (G 1 = 1/R 1 = 1 См, G 2 = 0,2 См, G 3 = G 4 = = 0,1 См, G 5 = 1 См) имеем:
1,3U 10 - 0,1U 20 = 12 - 2 = 10,
0,1U 10 + 1,2U 20 = 15.
4. Воспользовавшись формулами Крамера, находим узловые напряжения:
Примечание. Вычисление узловых напряжений нужно проводить с большой точностью. В данном примере достаточно округлить четвёртый знак после запятой.
5. Межузловое напряжение
U 12 = U 10 - U 20 = 8,7097 - 13,226 = - 4,5163 B.
6. Искомые токи ветвей (см. выбранные направления токов ветвей на рис. П1.9):
I 1 = (E 1 - U 10)G 1 = 3,29 A, I 2 = U 10 G 2 = 1,754 A,
I 3 = U 12 G 3 = - 0,452 A, I 4 = U 20 G 4 = 1,323 A,
I 5 = (-E 5 + U 20)G 5 = -1,774 A.
7. Проверим результаты расчёта токов. Согласно 1ЗК для узла 2 :
= I 3 - I 4 - I 5 = - 0,452 - 1,323 + 1,774 = 0.
П1.10. Метод двух узлов . Метод двух узлов является частным случаем метода узловых напряжений и применяется для расчёта схем, содержащих (после преобразования) два узла и произвольное число параллельных пассивных и активных ветвей. Для расчёта токов ветвей цепи составляют и решают одно уравнение узлового напряжения , равное алгебраической сумме токов, создаваемыхвсеми источниками напряжения и источниками тока цепи, делённой на собственную проводимость узла , т. е.
а токи ветвей определяют по обобщённому закону Ома (см. (1.14)).
Пример П1.2. Упростить схему цепи (рис. П1.10а ) посредством преобразования пассивного треугольника в эквивалентную звезду и найти токи в преобразованной схеме метотом двух узлов. Токи ветвей пассивного треугольника исходной схемы найти из составленных уравнений 1ЗК для узлов треугольника и (при необходимости) уравнения 2ЗК для контура, в который входит одна из ветвей треугольника с искомым током. Параметры схемы замещения цепи: E 5 = 20 В, E 6 = 36 В; R 1 = 10 Ом, R 2 = 12 Ом, R 3 = 4 Ом, R 4 = 8 Ом, R 5 = 6 Ом, R 6 = 5 Ом.
Решение. 1. Обозначим узлы и пунктирными линиями лучи (ветви) эквивалентной звезды R 1 n , R 2 n , R 3 n (рис. П1.10б ), равные (см. (1.10))
2. В результате преобразований получили схему с двумя узлами: n и 4 (рис. П1.11), в которой узлы исходной схемы 1 , 2 и 3 стали соединениями.
3. Расчет схемы (рис. П1.11) методом двух узлом проведем в три этапа:
а ) выбираем базисный узел 4 и приравниваем его потенциал нулю (j 4 = 0);
| а ) б ) Рис. П1.10. Расчетные схемы цепи |
б) направим узловое напряжение U n 4 от узла n к узлу 4 и найдем его значение (см. (П1.11):
Введение....................................................................................... 4
1 Раздел 1. Расчет сложной электрической цепи постоянного тока 5
1.1 Расчет токов по законам Кирхгофа................................... 5
1.2 Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой...................................................................................................... 6
1.3 Расчет методом «Контурных токов»................................. 8
1.4 Баланс мощностей электрической цепи............................ 9
1.5 Расчет потенциалов точек электрической цепи.............. 10
2 Раздел 2. Расчет и анализ электрической цепи переменного тока 12
2.1 Расчет токов комплексным методом............................... 12
2.2 Определение активной мощности ваттметра.................. 14
2.3 Баланс активной и реактивной мощностей..................... 14
2.4 Векторная диаграмма токов............................................. 14
3 Раздел 3. Расчет трехфазной электрической цепи................ 15
3.1 Расчет фазных и линейных токов.................................... 15
3.2 Мощности трехфазной электрической цепи................... 16
3.3 Векторная диаграмма токов и напряжений..................... 17
4 Раздел 4. Расчет трехфазного асинхронного двигателя....... 18
Заключение................................................................................. 23
Список использованной литературы......................................... 24
Введение
Электротехника как наука является областью знаний, в которой рассматриваются электрические и магнитные явления и их практическое использование. На базе электротехники начали развиваться электроника, радиотехника, электропривод и другие смежные науки.
Электрическая энергия применяется во всех областях человеческой деятельности. Производственные установки на предприятиях имеют в основном электрический привод, т.е. приводят в действия электрические двигатели. Для измерения электрических и неэлектрических величин широко применяются электрические приборы и устройства.
Непрерывно расширяющиеся использование различных электротехнических и электронных устройств обуславливает необходимость знаниями специалистами всех областей науки, техники и производство основных понятий об электрических и электромагнитных явлений и их практическое применение.
Знание студентами данной дисциплины обеспечит их плодотворную деятельность в будущем как инженеров при современном состоянии энерговооруженности предприятий.
В результате полученных знаний инженер неэлектротехнических специальностей должен уметь квалифицированно эксплуатировать электротехническое и электронное оборудование и электропривод, применяемые в условиях современного производства, знать путь и методы экономии электроэнергии.
РАЗДЕЛ 1. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Параметры схемы приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Параметры схемы электрической цепи.
|
ЭДС источника питания 1 (E 1) |
|
|
ЭДС источника питания 2 (E 2) |
|
|
ЭДС источника питания 3 (E 3) |
|
|
Внутреннее сопротивление источника питания (R 01) |
|
|
Внутреннее сопротивление источника питания (R 02) |
|
|
Внутреннее сопротивление источника питания (R 03) |
|
|
Сопротивление резистора 1 (R 1) |
|
|
Сопротивление резистора 2 (R 2) |
|
|
Сопротивление резистора 3 (R 3) |
|
|
Сопротивление резистора 4 (R 4) |
|
|
Сопротивление резистора 5 (R 5) |
|
|
Сопротивление резистора 6 (R 6) |
1.1 Расчет токов по законам Кирхгофа
Показываем на схеме направление токов в ветвях (рис. 1).
Согласно первому закону Кирхгофа для цепей постоянного тока алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю, т.е. сумма токов, направленных от узла, равна сумме токов, направленных к узлу.
Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов, количество которых равно (n–1), где n – количество узлов в схеме:
А) +I 1 + I 3 – I 2 = 0; (1.1)
B) I 4 + I 6 – I 3 = 0; (1.2)
D) I 5 – I 1 – I 4 = 0. (1.3)
Согласно второму закону Кирхгофа для цепей постоянного тока в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС.
Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура:
I) I 3 ∙ (R 3 + R 03) – I 1 ∙ (R 1 + R 01) + I 4 ∙ R 4 = E 3 – E 1 ; (1.4)
II) I 1 ∙ (R 1 + R 01) + I 2 ∙ (R 2 + R 02) + I 5 ∙ R 5 = E 1 + E 2 ; (1.5)
III) I 6 ∙ R 6 – I 4 ∙ R 4 – I 5 ∙ R 5 = 0. (1.6)
Решаем все полученные уравнения совместно как систему, подставив все известные значения:
=>
(1.7)
Решив матрицу, получим неизвестные значения токов в ветвях:
I 1 = – 0,615 А;
Если ток в ветви оказался отрицательным, значит, его направление противоположно выбранному на схеме.
1.2 Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой
Проведем преобразование «треугольника» bcd, соответствующего схеме электрической цепи, в эквивалентную «звезду» (рис. 2). Исходный треугольник образован сопротивлениями R 4 , R 5 , R 6 . При преобразовании обязательно сохраняется условие эквивалентности схем, т.е. токи в проводах, проходящих к преобразуемой схеме, и напряжения между узлами не меняют своих величин.
При преобразовании «треугольника» в «звезду» используем расчетные формулы:
Ом.
(1.10)
В результате преобразования исходная схема упрощается (рис. 3).
В преобразованной схеме только три ветви и соответственно три тока I 1 , I 2 , I 3 . Для расчета этих токов достаточно иметь систему трех уравнений, составленных по законам Кирхгофа:
(1.11)
При составлении уравнений направление тока и обхода контуров выбирается так же, как и в трехконтурной схеме.
Составляем и решаем систему:
(1.12)
Решив матрицу, получим неизвестные значения токов I 1 , I 2 , I 3:
I 1 = –0,615 А;
Подстановкой полученных значений токов в уравнения, составленные для трехконтурной схемы, определим остальные токи I 4 , I 5 , I 6:
1.3 Расчет методом «Контурных токов»
Произвольно задаемся направлением контурных токов в ячейках исходной схемы. Удобнее все токи указать в одном направлении – по часовой стрелке
РЕФЕРАТ ПО ТЕМЕ:
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Введение
Общая задача анализа электрической цепи состоит в том, что по заданным параметрам (ЭДС, ТДС, сопротивлениям) необходимо рассчитать токи, мощность, напряжение на отдельных участках.
Рассмотрим более подробно методы расчета электрических цепей.
1. Метод уравнений Кирхгофа
Этот метод является наиболее общим методом решения задачи анализа электрической цепи. Он основан на решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа относительно реальных токов в ветвях рассматриваемой цепи. Следовательно, общее число уравнений p равно числу ветвей с неизвестными токами. Часть этих уравнений составляется по первому закону Кирхгофа, остальные – по второму закону Кирхгофа. В схеме содержащей q узлов, по первому закону Кирхгофа можно составить q уравнений. Однако, одно из них (любое) является суммой всех остальных. Следовательно, независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, будет .
По второму закону Кирхгофа
должны быть составлены недостающие m
уравнений, число которых равно
.
Для записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо выбрать m контуров так, чтобы в них вошли в итоге все ветви схемы.
Рассмотрим данный метод на примере конкретной схемы (рис. 1).
Прежде всего, выбираем и указываем на схеме положительные направления токов в ветвях и определяем их число p . Для рассматриваемой схемы p = 6. Следует отметить, что направления токов в ветвях выбираются произвольно. Если принятое направление какого-либо тока не соответствует действительному, то числовое значение данного тока получается отрицательным.
Следовательно, число уравнений по первому закону Кирхгофа равно q – 1 = 3.
Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа
m = p - (q – 1) = 3.
Выбираем узлы и контуры, для которых будем составлять уравнения, и обозначаем их на схеме электрической цепи.
Уравнения по первому закону Кирхгофа:
Уравнения по второму закону Кирхгофа:
Решая полученную систему уравнений, определяем токи ветвей. Расчет электрической цепи не обязательно заключается в вычислении токов по заданным ЭДС источников напряжения. Возможна и другая постановка задачи – вычисление ЭДС источников по заданным токам в ветвях схемы. Задача может иметь и смешанный характер – заданы токи в некоторых ветвях и ЭДС некоторых источников. Нужно найти токи в других ветвях и ЭДС других источников. Во всех случаях число составленных уравнений должно быть равно числу неизвестных величин. В состав схемы могут входить и источники энергии, заданные в виде источников тока. При этом ток источника тока учитывается как ток ветви при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа.
Контуры для составления уравнений по второму закону Кирхгофа должны быть выбраны так, чтобы ни один расчетный контур не проходил через источник тока.
Рассмотрим схему электрической цепи, представленную на рис. 2.
Выбираем положительные направления токов и наносим их на схему. Общее число ветвей схемы равно пяти. Если считать ток источника тока J известной величиной, то число ветвей с неизвестными токами p = 4.
Схема содержит три узла (q = 3). Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо составить q – 1 = 2 уравнения. Обозначим узлы на схеме. Число уравнений составленных по второму закону Кирхгофа m = p - (q – 1) =2.
Выбираем контуры таким образом, чтобы ни один из них не проходил через источник тока, и обозначаем их на схеме.
Система уравнений, составленная по законам Кирхгофа, имеет вид:
Решая полученную систему уравнений, найдем токи в ветвях. Метод уравнений Кирхгофа применим для расчета сложных как линейных, так и нелинейных цепей, и в этом его достоинство. Недостаток метода состоит в том, что при расчете сложных цепей необходимо составлять и решать число уравнений, равное числу ветвей p .
Заключительный этап расчета – проверка решения, которая может быть выполнена путем составления уравнения баланса мощности.
Под балансом мощностей электрической цепи понимается равенство мощностей, развиваемой всеми источниками энергии данной цепи, и мощности, потребляемой всеми приемниками той же цепи (закон сохранения энергии).
Если на участке цепи ab имеется источник энергии с ЭДС и по этому участку протекает ток , то мощность, развиваемая этим источником, определяется произведением .
Каждый из множителей этого произведения может иметь положительный или отрицательный знак относительно направления ab . Произведение будет иметь положительный знак, если знаки расчетных величин и совпадают (мощность, развиваемая данным источником, отдается приемникам цепи). Произведение будет иметь отрицательный знак если знаки и противоположны (источник потребляет мощность, развиваемую другими источниками). Примером может служить аккумулятор, находящийся в режиме зарядки. В этом случае мощность данного источника (слагаемое ) входит в алгебраическую сумму мощностей, развиваемых всеми источниками цепи, с отрицательным знаком. Аналогично определяется величина и знак мощности, развиваемой источником тока. Если на участке цепи mn имеется идеальный источник тока с током , то мощность развиваемая этим источником, определяется произведением . Как и в источнике ЭДС знак произведения определяется знаками множителей.
Теперь можно записать общий вид уравнения баланса мощностей
Для цепи, представленной на рис2.2 уравнение баланса мощности имеет вид
2. Метод контурных токов
Метод контурных токов сводится к составлению уравнений только по второму закону Кирхгофа. Число этих уравнений, равное , на уравнений меньше числа уравнений, необходимых для расчета электрических цепей по методу законов Кирхгофа.
При этом предполагаем, что в каждом выбранном контуре протекает независимые друг от друга расчетные токи, называемые контурными. Ток каждой ветви определяется как алгебраическая сумма контурных токов, замыкающихся через эту ветвь, с учетом принятых направлений контурных токов и знаков их величин.
Число контурных токов равно числу «ячеек» (элементарных контуров) схемы электрической цепи. Если рассматриваемая схема содержит источник тока, то независимые контуры необходимо выбирать так, чтобы ветвь с источником тока входила только в один контур. Для этого контура расчетное уравнение не составляется, так как контурный ток равен току источника.
Каноническая форма записи уравнений контурных токов для n независимых контуров имеет вид
где
Контурный ток n -го контура;
Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в n -ом контуре, называемая контурная ЭДС;
Собственное сопротивление n -го контура, равная сумме всех сопротивлений, входящих в рассматриваемый контур;
Сопротивление принадлежащие одновременно двум контурам (в данном случае контуром n и i ) и называемое общим или взаимным сопротивлением этих контуров. Первым ставится индекс контура, для которого составляется уравнение. Из определения взаимного сопротивления следует, что сопротивления, отличающиеся порядком индексов, равны, т.е. .
Взаимным сопротивлением приписывается знак плюс, если протекающие по ним контурные токи и имеют одинаковые направления, и знак минус, если их направления противоположны.
Таким образом, составление уравнений контурных токов может быть сведено к записи симметричной матрицы сопротивлений
и вектора контурных ЭДС
При введении вектора искомых контурных токов || уравнения (5) можно записать в матричной форме
Решение системы линейных уравнений алгебраических уравнений (5) для тока n -го контура может быть найдено по правилу Крамера
где - главный определитель системы уравнений, соответствующий матрице контурных сопротивлений
Определитель получаем из главного определителя путем замены n -го столбца сопротивлений на столбец (вектор) контурных ЭДС.
Рассмотрим метод контурных токов на примере конкретной схемы электрической цепи (рис. 3).
Схема состоит из 3-х элементарных контуров (ячеек). Следовательно, независимых контурных токов три. Выбираем произвольно направление контурных токов и наносим их на схему. Контуры можно выбирать и не по ячейкам, но их обязательно должно быть три (для данной схемы) и все ветви схемы должны войти в состав выбранных контуров.
Для 3-х контурной схемы уравнение контурных токов в канонической форме имеют вид:
Находим собственные и взаимные сопротивления и контурные ЭДС.
Собственные сопротивления контуров
Напомним, что собственные сопротивления всегда положительные.
Определим взаимные сопротивления, т.е. сопротивления, общие для двух контуров.
Отрицательный знак взаимных сопротивлений обусловлен тем, что контурные токи, протекающие по этим сопротивлениям, противоположно направлены.
Контурные ЭДС
Подставляем значения коэффициентов (сопротивлений) в уравнения:
Решая систему уравнений (7), определяем контурные токи.
Для однозначного определения токов ветвей выбираем их положительные направления и указываем на схеме (рис. 3).
Токи ветвей
3. Метод узловых напряжений (потенциалов)
Сущность метода заключается в том, что в качестве неизвестных принимаются узловые напряжения (потенциалы) независимых узлов цепи относительно одного узла, выбранного в качестве опорного или базисного. Потенциал базисного узла принимается равным нулю, и расчет сводится к определению (q -1) узловых напряжений, существующих между остальными узлами и базисным.
Уравнения узловых напряжений в канонической форме при числе независимых узлов n =q -1 имеют вид
Коэффициент называется собственной проводимостью n -го узла. Собственная проводимость равна сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к узлу n .
Коэффициент
называется взаимной или межузловой
проводимостью. Она равна взятой со
знаком «минус» сумме проводимостей
всех ветвей, соединяющих напрямую узлы
i
и n
.
Правая часть уравнений (9) называется узловым током, Узловой ток равен алгебраической сумме всех источников тока, подключенных к рассматриваемому узлу, плюс алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимость ветви с ЭДС
При этом со знаком «плюс» слагаемые записываются в том случае, если ток источника тока и ЭДС источника напряжения направлены к узлу, для которого составляется уравнение.
Приведенная закономерность определения коэффициентов существенно упрощает составление уравнений, которое сводится к записи симметричной матрицы узловых параметров
и вектора узловых токов источников
Уравнения узловых напряжений можно записать в матричной форме
.
Если в какой-либо ветви заданной схемы содержатся только идеальный источник ЭДС (сопротивление этой ветви равно нулю, т.е. проводимость ветви равна бесконечности), целесообразно в качестве базисного выбрать один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь. Тогда потенциал второго узла становится также известным и равным по величине ЭДС (с учетом знака). В этом случае для узла с известным узловым напряжением (потенциалом) уравнение составлять не следует и общее число уравнений системы уменьшается на единицу.
Решая систему уравнений (9), определяем узловые напряжения, а затем по закону Ома определяем токи в ветвях. Так для ветви, включенной между узлами m и n ток равен
При этом с положительным знаком записываются те величины (напряжения, ЭДС), направление которых совпадает с выбранным координатным направлением. В нашем случае (11) – от узла m к узлу n . Напряжение между узлами определяется через узловые напряжения
.
Рассмотрим метод узловых напряжений на примере электрической цепи, схема которой представлена на рис. 4.
Определяем число узлов (в данном примере число узлов q =4) и обозначаем их на схеме.
Так как схема не содержит идеальных источников напряжения, то в качестве базисного может быть выбран любой узел, например узел 4.
При этом .
Для остальных независимых узлов схемы (q -1=3) составляем уравнения узловых напряжений в канонической форме.
Определяем коэффициенты уравнений.
Собственные проводимости узлов
Взаимные (межузловые) проводимости
Определяем узловые токи.
Для 1-го узла
Для 2-го узла
.
Для 3-го узла
Подставив значения
коэффициентов (проводимостей) и узловых
токов в уравнения (12), определяем узловые
напряжения
Прежде чем перейти к определению токов ветвей, задаемся их положительным направлением и наносим на схему (рис. 5).
Токи определяем по закону Ома. Так, например, ток направлен от узла 3 к узлу 1. Так же направлена и ЭДС этой ветви. Следовательно
Токи остальных ветвей определяем по тому же принципу
Так как то
4. Принцип и метод наложения
Принцип наложения (суперпозиции) является выражением одного из основных свойств линейных систем любой физической природы и применительно к линейным электрическим цепям формулируется следующим образом: ток в какой-либо ветви сложной электрической цепи равен алгебраической сумме частичных токов, вызванных каждым действующим в цепи источником электрической энергии в отдельности.
Использование принципа наложения позволяет во многих схемах упростить задачу расчета сложной цепи, так как она заменяется несколькими относительно простыми цепями, в каждой из которых действует один источник энергии.
Из принципа наложения следует метод наложения, применяемый для расчета электрических цепей.
При этом метод наложения можно применять не только к токам, но и к напряжениям на отдельных участках электрической цепи, линейно связанных с токами.
Принцип наложения нельзя применять для мощностей, т.к. они являются не линейными, а квадратичными функциями тока (напряжения).
Принцип наложения не применим и к нелинейным цепям.
Рассмотрим порядок расчета методом наложения на примере определения токов в схеме рис. 5.
Выбираем произвольно направление токов и наносим их на схему (рис. 5).
Если бы предлагаемая задача решалась любым из методов (МЗК, МКТ, МУН), то необходимо было бы составлять систему уравнений. Метод наложения позволяет упростить решение задачи, сведя его фактически к решению по закону Ома.
Разбиваем данную схему на две подсхемы (по количеству ветвей с источниками).
В первой подсхеме (рис. 6) считаем что действует только источник напряжения, а ток источника тока J =0 (это соответствует разрыву ветви с источником тока).
Во второй подсхеме (рис. 7) действует только источник тока. ЭДС источника напряжения принимаем равной нулю E =0 (это соответствует закорачиванию источника напряжения).
Указываем направление токов на подсхемах. При этом следует обратить внимание на следующие: все токи, указанные на исходной схеме, должны быть указанны и на подсхемах. Например, в подсхеме рис.6 сопротивления и включены последовательно и по ним протекает один и тот же ток. Однако на схеме необходимо указывать токи и . цепей ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 1.1 Основные...
Расчет разветвленных цепей постоянного тока
Контрольная работа >> ФизикаЗадание Необходимо решить задачу расчета токов во всех ветвях электрической цепи постоянного тока . Задание состоит из... двух частей. Первая часть задания Рассчитать токи ветвей методом ...
Изложение методов расчета и анализа электрических цепей, как правило, сводится к нахождению токов ветвей при известных значениях ЭДС и сопротивлений.
Рассматриваемые здесь методы расчета и анализа электрических цепей постоянного тока пригодны и для цепей переменного тока.
2.1 Метод эквивалентных сопротивлений
(метод свертывания и развертывания цепи).
Этот метод применяется только для электрических цепей содержащих один источник питания. Для расчета, отдельные участки схемы, содержащие последовательные или параллельные ветви, упрощают, заменяя их эквивалентными сопротивлениями. Таким образом, цепь свертывается до одного эквивалентного сопротивления цепи подключенного к источнику питания.
Затем определяется ток ветви, содержащий ЭДС, и схема разворачивается в обратном порядке. При этом вычисляются падения напряжений участков и токи ветвей. Так, например, на схеме 2.1 А Сопротивления R 3 и R 4 включены последовательно. Эти два сопротивления можно заменить одним, эквивалентным
R 3,4 = R 3 + R 4
После такой замены получается более простая схема(Рис.2.1Б ).
Здесь следует обратить внимание на возможные ошибки в определении способа соединений сопротивлений. Например сопротивления R 1 и R 3 нельзя считать соединенными последовательно, также как сопротивления R 2 и R 4 нельзя считать соединенными параллельно, т. к. это не соответствует основным признакам последовательного и параллельного соединения.
Рис 2.1 К расчету электрической цепи методом
Эквивалентных сопротивлений.
Между сопротивлениями R 1 и R 2 , в точке В , имеется ответвление с током I 2 .поэтому ток I 1 Не будет равен току I 3 , таким образом сопротивления R 1 и R 3 нельзя считать включенными последовательно. Сопротивления R 2 и R 4 с одной стороны присоединены к общей точке D , а с другой стороны — к разным точкам В и С. Следовательно, напряжение, приложенное к сопротивлению R 2 и R 4 Нельзя считать включенными параллельно.
После замены сопротивлений R 3 и R 4 эквивалентным сопротивлением R 3,4 и упрощением схемы (Рис. 2.1 Б ), более наглядно видно, что сопротивления R 2 и R 3,4 соединены параллельно и их можно заменить одним эквивалентным, исходя из того, что при параллельном соединении ветвей общая проводимость равна сумме проводимостей ветвей:
GBD = G 2 + G 3,4 , Или = + Откуда
RBD
=
И получить еще более простую схему (Рис 2.1,В ). В ней сопротивления R 1 , RBD , R 5 соединены последовательно. Заменив эти сопротивления одним, эквивалентным сопротивлением между точками A и F , получим простейшую схему (Рис 2.1, Г ):
RAF = R 1 + RBD + R 5 .
В полученной схеме можно определить ток в цепи:
I
1
=
.
Токи в других ветвях нетрудно определить переходя от схемы к схеме в обратном порядке. Из схемы на рисунке 2.1 В Можно определить падение напряжения на участке B , D цепи:
UBD = I 1 ·RBD
Зная падение напряжения на участке между точками B и D можно вычислить токи I 2 и I 3 :
I 2 = , I 3 =
Пример 1. Пусть (Рис 2.1 А ) R 0 = 1 Ом; R 1 =5 Ом; R 2 =2 Ом; R 3 =2 Ом; R 4 =3 Ом; R 5 =4 Ом; Е =20 В. Найти токи ветвей, составить баланс мощностей.
Эквивалентное сопротивление R 3,4 Равно сумме сопротивлений R 3 и R 4 :
R 3,4 = R 3 + R 4 =2+3=5 Ом
После замены (Рис 2.1 Б ) вычислим эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей R 2 и R 3,4 :
RBD
= ==1,875 Ом,
И схема еще упростится (Рис 2.1 В ).
Вычислим эквивалентное сопротивление всей цепи:
R Экв = R 0 + R 1 + RBD + R 5 =11,875 Ом.
Теперь можно вычислить общий ток цепи, т. е. вырабатываемый источником энергии:
I 1 = =1,68 А.
Падение напряжения на участке BD будет равно:
UBD = I 1 · RBD =1,68·1,875=3,15 В.
I 2 = = =1,05 А; I 3 ===0,63 А
Составим баланс мощностей:
Е· I1= I12 · (R0+ R1+ R5) + I22 · R2+ I32 · R3,4 ,
20·1,68=1,682·10+1,052·3+0,632·5 ,
33,6=28,22+3,31+1,98 ,
Минимальное расхождение обусловлено округлением при вычислении токов.
В некоторых схемах нельзя выделить сопротивлений включенных между собой последовательно или параллельно. В таких случаях лучше воспользоваться другими универсальными методами, которые можно применить для расчета электрических цепей любой сложности и конфигурации.
2.2 Метод законов Кирхгофа.
Классическим методом расчета сложных электрических цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчета электрических цепей исходят из этих фундаментальных законов электротехники.
Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов сложной цепи (Рис 2.2) если ее ЭДС и сопротивления заданы.
Рис. 2.2. К расчету сложной электрической цепи для
Определения токов по законам Кирхгофа.
Число независимых токов схемы равно числу ветвей (в нашем случае m=6). Поэтому для решения задачи необходимо составить систему из шести независимых уравнений, совместно по первому и второму законам Кирхгофа.
Количество независимых уравнений составленных по первому закону Кирхгофа всегда на единицу меньше чем узлов, Т. к. признаком независимости является наличие в каждом уравнении хотя бы одного нового тока.
Так как число ветвей M всегда больше, чем узлов К , То недостающее количество уравнений составляется по второму закону Кирхгофа для замкнутых независимых контуров, Т. е. чтобы в каждое новое уравнение входила хотя бы одна новая ветвь.
В нашем примере количество узлов равно четырем – A , B , C , D , следовательно, составим только три уравнения по первому закону Кирхгофа, для любых трех узлов:
Для узла A: I1+I5+I6=0
Для узла B: I2+I4+I5=0
Для узла C: I4+I3+I6=0
По второму закону Кирхгофа нам нужно составить также три уравнения:
Для контура A , C ,В, А: I 5 · R 5 — I 6 · R 6 — I 4 · R 4 =0
Для контура D ,A ,В, D : I 1 · R 1 — I 5 · R 5 — I 2 · R 2 =Е1-Е2
Для контура D ,В, С, D : I 2 · R 2 + I 4 · R 4 + I 3 · R 3 =Е2
Решая систему из шести уравнений можно найти токи всех участков схемы.
Если при решении этих уравнений токи отдельных ветвей получатся отрицательными, то это будет указывать, что действительное направление токов противоположно произвольно выбранному направлению, но величина тока будет правильной.
Уточним теперь порядок расчета:
1) произвольно выбрать и нанести на схему положительные направления токов ветвей;
2) составить систему уравнений по первому закону Кирхгофа – количество уравнений на единицу меньше чем узлов;
3) произвольно выбрать направление обхода независимых контуров и составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа;
4) решить общую систему уравнений, вычислить токи, и, в случае получения отрицательных результатов, изменить направления этих токов.
Пример 2 . Пусть в нашем случае (рис. 2.2.) R 6 = ∞ , что равносильно обрыву этого участка цепи (рис. 2.3). Определим токи ветвей оставшейся цепи. вычислим баланс мощностей, если E 1 =5 В, E 2 =15 B, R 1 =3 Ом, R 2 = 5 Ом, R 3 =4 Ом, R 4 =2 Ом, R 5 =3 Ом.
Рис. 2.3 Схема к решению задачи.
Решение. 1. Выберем произвольно направление токов ветвей, их у нас три: I 1 , I 2 , I 3 .
2. Составим только одно независимое уравнение по первому закону Кирхгофа, т. к. в схеме лишь два узла В и D .
Для узла В : I 1 + I 2 — I 3 =О
3. Выберем независимые контуры и направление их обхода. Пусть контуры ДАВД и ДВСД будем обходить по часовой стрелке:
E1-E2=I1(R1 + R5) — I2·R2,
E2=I2 · R2 + I3 · (R3 + R4).
Подставим значения сопротивлений и ЭДС.
I 1 + I 2 — I 3 =0
I 1 +(3+3)- I 2 · 5=5-15
I 2 · 5+ I 3 (4+2)=15
Решив систему уравнений, вычислим токи ветвей.
I 1 =- 0,365А; I 2 = I 22 — I 11 = 1,536А; I 3 =1,198А.
Как проверку правильности решения составим баланс мощностей.
Σ EiIi= Σ Iy2·Ry
E1·I1 + E2·I2 = I12·(R1 + R5) + I22·R2 + I32·(R3 + R4);
5(-0,365) + 15·1,536 = (-0,365)2·6 + 1,5632·5 + 1,1982·6
1,82 + 23,44 = 0,96 + 12,20 + 8,60
21,62 ≈ 21,78.
Расхождения незначительны, следовательно решение верно.
Одним из главных недостатков этого метода является большое количество уравнений в системе. Более экономичным при вычислительной работе является Метод контурных токов .
2.3 Метод контурных токов.
При расчете Методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой (условный) Контурный ток . Уравнения составляют относительно контурных токов по второму закону Кирхгофа. Таким образом количество уравнений равно количеству независимых контуров.
Реальные токи ветвей определяют как алгебраическую сумму контурных токов каждой ветви.
Рассмотрим, например, схему рис. 2.2. Разобьем ее на три независимых контура: СВАС ; АВ D А ; ВС D В и условимся, что по каждому из них проходит свой контурный ток, соответственно I 11 , I 22 , I 33 . Направление этих токов выберем во всех контурах одинаковым по часовой стрелке, как показано на рисунке.
Сопоставляя контурные токи ветвей, можно установить, что по внешним ветвям реальные токи равны контурным, а по внутренним ветвям они равны сумме или разности контурных токов:
I1 = I22, I2 = I33 — I22, I3 = I33,
I4 = I33 — I11, I5 = I11 — I22, I6 = — I11.
Следовательно, по известным контурным токам схемы легко можно определить действительные токи ее ветвей.
Для определения контурных токов данной схемы достаточно составить только три уравнения для каждого независимого контура.
Составляя уравнения для каждого контура необходимо учесть влияние соседних контуров токов на смежные ветви:
I11(R5 + R6 + R4) — I22·R5 — I33·R4 = O,
I22(R1 + R2 + R5) — I11·R5 — I33·R2 = E1 — E2,
I 33 (R 2 + R 3 + R 4 ) — I 11 · R 4 — I 22 · R 2 = E 2 .
Итак, порядок расчета методом контурных токов выполняется в следующей последовательности:
1. установить независимые контуры и выбрать направления в них контурных токов;
2. обозначить токи ветвей и произвольно дать им направления;
3. установить связь действительных токов ветвей и контурных токов;
4. составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа для контурных токов;
5. решить систему уравнений, найти контурные токи и определить действительные токи ветвей.
Пример 3. Решим задачу (пример 2) методом контурных токов, исходные данные те же.
1. В задаче возможны только два независимых контура: выберем контуры АВ D А и ВС D В , и примем направления контурных токов в них I 11 и I 22 по часовой стрелке (рис. 2.3).
2. Действительные токи ветвей I 1 , I 2, I 3 и их направления также показаны на (рис 2.3).
3. связь действительных и контурных токов:
I 1 = I 11 ; I 2 = I 22 — I 11 ; I 3 = I 22
4. Составим систему уравнений для контурных токов по второму закону Кирхгофа:
E1 — E2 = I11·(R1 + R5 + R2) — I22·R2
E2 = I22·(R2 + R4 + R3) — I11·R2;
5-15=11·I 11 -5·I 22
15=11·I 22 -5·I 11 .
Решив систему уравнений получим:
I 11 = -0,365
I 22 = 1,197, тогда
I 1 = -0,365; I 2 = 1,562; I 3 = 1,197
Как видим реальные значения токов ветвей совпадают с полученными значениями в примере 2.
2.4 Метод узлового напряжения (метод двух узлов).
Часто встречаются схемы содержащие всего два узла; на рис. 2.4 изображена одна из таких схем.
Рис 2.4. К расчету электрических цепей методом двух узлов.
Наиболее рациональным методом расчета токов в них является Метод двух узлов.
Под Методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое напряжение (с его помощью затем определяют токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами А и В схемы – U АВ .
Напряжение U АВ может быть найдено из формулы:
U
АВ
=
В числителе формулы знак «+», для ветви содержащей ЭДС, берется если направление ЭДС этой ветви направлено в сторону повышения потенциала, и знак «-» если в сторону понижения. В нашем случае, если потенциал узла А принять выше потенциала узла В (потенциал узла В принять равным нулю), Е1 G 1 , берется со знаком «+», а Е2· G 2 со знаком «-»:
U
АВ
=
Где G – проводимости ветвей.
Определив узловое напряжение, можно вычислить токи в каждой ветви электрической цепи:
I К =(Ек- U АВ ) G К .
Если ток имеет отрицательное значение, то действительное его направление является противоположным обозначенным на схеме.
В этой формуле, для первой ветви, т. к. ток I 1 совпадает с направлением Е1 , то ее значение принимается со знаком плюс, а U АВ со знаком минус, т. к. направлено навстречу току. Во второй ветви и Е2 и U АВ направлены навстречу току и берутся со знаком минус.
Пример 4 . Для схемы рис. 2.4 если Е1= 120В, Е2=5Ом, R1=2Ом, R2=1Ом, R3=4Ом, R4=10Ом.
UАВ=(120·0,5-50·1)/(0,5+1+0,25+0,1)=5,4 В
I1=(E1-UАВ)·G1= (120-5,4)·0,5=57,3А;
I2=(-E2-UАВ)·G2 = (-50-5,4)·1 = -55,4А;
I3=(О-UАВ)·G3 = -5,4·0,25 = -1,35А;
I4=(О-UАВ)·G4 = -5,4·0,1 = -0,54А.
2.5. Нелинейные цепи постоянного тока и их расчет.
До сих пор мы рассматривали электрические цепи, параметры которых (сопротивления и проводимости) считались не зависящими от величины и направления проходящего по ним тока или приложенного к ним напряжения.
В практических условиях большинство встречающихся элементов имеют параметры зависящие от тока или напряжения, вольт-амперная характеристика таких элементов имеет нелинейный характер (рис. 2.5),такие элементы называются Нелинейными . Нелинейные элементы широко используются в различных областях техники (автоматики, вычислительной техники и других).
Рис. 2.5. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов:
1 — полупроводникового элемента;
2 — термосопротивления
Нелинейные элементы позволяют реализовать процессы которые невозможны в линейных цепях. Например, стабилизировать напряжение, усиливать ток и другие.
Нелинейные элементы бывают управляемыми и неуправляемыми. Неуправляемые нелинейные элементы работают без влияния управляющего воздействия (полупроводниковые диоды, термосопротивления и другие). Управляемые элементы работают под влиянием управляющего воздействия (тиристоры, транзисторы и другие). Неуправляемые нелинейные элементы имеют одну вольт-амперную характеристику; управляемые – семейство характеристик.
Расчет электрических цепей постоянного тока чаще всего производят графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик.
Последовательное соединение нелинейных элементов.
На рис. 2.6 приведена схема последовательного соединения двух нелинейных элементов, а на рис. 2.7 их вольтамперные характеристики – I (U 1 ) и I (U 2 )
|
|
Рис. 2.6 Схема последовательного соединения
Нелинейных элементов.
Рис. 2.7 Вольтамперные характеристики нелинейных элементов.
Построим вольт-амперную характеристику I (U ), выражающую зависимость тока I в цепи от приложенного к ней напряжения U . Так как ток обоих участков цепи одинаков, а сумма напряжений на элементах равна приложенному (рис. 2.6) U = U 1 + U 2 , то для построения характеристики I (U ) достаточно просуммировать абсциссы заданных кривых I (U 1 ) и I (U 2 ) для определенных значений тока. Пользуясь характеристиками (рис. 2.6) можно решить различные для этой цепи задачи. Пусть, например, задана величина приложенного к току напряжения U и требуется определить ток в цепи и распределение напряжений на ее участках. Тогда на характеристике I (U ) отмечаем точку А соответствующую приложенному напряжению U и проводим от нее горизонталь пересекающую кривые I (U 1 ) и I (U 2 ) до пересечения с осью ординат (точка D ), которая показывает величину тока в цепи, а отрезки В D и С D величину напряжения на элементах цепи. И наоборот по заданному току можно определить напряжения как общее, так и на элементах.
Параллельное соединения нелинейных элементов.
При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 2.8) с заданными вольт-амперными характеристиками в виде кривых I 1 (U ) и I 2 (U ) (рис. 2.9) напряжение U является общим, а ток I в неразветвленной части цепи равен сумме токов ветвей:
I = I 1 + I 2
Рис. 2.8 Схема параллельного соединения нелинейных элементов.
Поэтому для получения общей характеристики I(U) достаточно для произвольных значений напряжения U на рис. 2.9 просуммировать ординаты характеристик отдельных элементов.
Рис. 2.9 Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.