Математические приложения FFTW и GNU Octave в качестве теста процессоров и ПК. Программы математического моделирования Свободно распространяемые математические пакеты под gnu

Tutorial

# wget https://dl.fedoraproject.org/pub/epel/7/x86_64/ # yum localinstall epel-release-6-7.noarch.rpm

И только после этого yum install octave сработает.
Наконец, все готово и программа установлена.

# octave GNU Octave, version 3.8.2 Copyright (C) 2014 John W. Eaton and others. This is free software; see the source code for copying conditions. There is ABSOLUTELY NO WARRANTY; not even for MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. For details, type "warranty". Octave was configured for "x86_64-redhat-linux-gnu". Additional information about Octave is available at http://www.octave.org. Please contribute if you find this software useful. For more information, visit http://www.octave.org/get-involved.html Read http://www.octave.org/bugs.html to learn how to submit bug reports. For information about changes from previous versions, type "news". octave:1>

Операции с матрицами

Не будем терять время и делать операции, которые можно повторить с помощью bc и awk , о ктоторых речь шла в прошлый раз. Поиграемся немного с матрицами.

Сперва простое транспонирование матрицы:

octave:1> A= A = 1 3 5 2 4 6 octave:2> A" ans = 1 2 3 4 5 6

Попробуем решить систему линейных уравнений:

x + y + z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0

Вбиваем матрицу A , вектор b и решаем уравнение Ax = b в матричном виде

octave:1> A= A = 1 1 1 2 4 -3 3 6 -5 octave:2> b= b = 9 1 0 octave:3> x=A\b x = 7.00000 -1.00000 3.00000

Находим детерминант и собственные значения матрицы.

octave:4> det (A) ans = -1.00000 octave:5> eig (A) ans = -2.88897 2.76372 0.12525

Комплексные числа тоже поддерживаются в вычислениях.

octave:6> A=[-3 0 2; 1 -1 0; -2 -1 0] A = -3 0 2 1 -1 0 -2 -1 0 octave:7> x=det (A) x = -6 octave:8> y=eig(A) y = -1.00000 + 1.41421i -1.00000 - 1.41421i -2.00000 + 0.00000i

Функции и переменные

В Octave переменные и функции создавать гораздо проще, чем, к примеру, в Java или C. На примере матриц, мы уже видели как объявлять переменные. Создания новой функции имеет следующий синтаксис

function = имя_функции (arg1, arg2, ..., argN) тело функции endfunction

Как правило, новую функцию создают либо в отдельном файле, либо в скрипт-файле Octave
до первого ее вызова. Если предполагается использовать пользовательскую функцию в разных скрипт-файлах, то, конечно, предпочтительно создать ее в отдельном файле. В GNU Octave файлы с функциями имеют расширение.m и загружаются автоматически. Имя файла должно строго совпадать с именем функции.

Напишем функцию для решения квадратичного уравнения ax² + bx + c = 0

octave:9> function = quadr(a, b, c) > D = sqrt(b^2-4*a*c); > x1 = (-b-D)/(2*a); > x2 = (-b+D)/(2*a); > endfunction octave:10> =quadr(a, b, c) y1 = 2 y2 = 3

Графический интерфейс

Вообще-то, мы тут за математику командной строки гутарим, но пока непонятно как вывести на экран график функции. Впрочем, никакого секрета тут нет - для этих целей используется Gnuplot . можно изобразить Аттрактор Лоренца , установив дополнительный пакет odepkg .

function = froessler (vt, vx) vyd = [- (vx(2) + vx(3)); vx(1) + 0.2 * vx(2); 0.2 + vx(1) * vx(3) - 5.7 * vx(3)]; endfunction A = odeset ("MaxStep", 1e-1); = ode78 (@froessler, , , A); subplot (2, 2, 1); grid ("on"); plot (t, y(:,1), "-b;f_x(t);", t, y(:,2), "-g;f_y(t);", \ t, y(:,3), "-r;f_z(t);"); subplot (2, 2, 2); grid ("on"); plot (y(:,1), y(:,2), "-b;f_{xyz}(x, y);"); subplot (2, 2, 3); grid ("on"); plot (y(:,2), y(:,3), "-b;f_{xyz}(y, z);"); subplot (2, 2, 4); grid ("on"); plot3 (y(:,1), y(:,2), y(:,3), "-b;f_{xyz}(x, y, z);");

Наиболее удобной графической оболочкой для работы с Octave является программа QtOctave . Последняя уже стабилизировалась и включена в состав пакета с момента выхода Octave 4.0 .

Что-же дальше?

Может возникнуть вопрос: а зачем вообще нужны открытые математические пакеты? Офисные приложения нужны всем, но ведь далеко не каждому необходимо сидя дома решать уравнения Пуассона, с помощью преобразования Лапласа. Для ВУЗ-ов MATLAB стоит значительно дешевле, нежели для физических лиц и коммерческих организаций. Коммерческие организации, если будет нужно, найдут денежные средства, а обычные люди пусть занимаются математикой в университетах или считают столбиком.

Конечно же, это ошибочное мнение. Научные расчеты, выполненные с использованием открытого ПО имеют дополнительный «уровень защиты», ведь при желании любой может повторить прогнать те же самые расчеты и проверить валидность результатов . Те же самые вычисления, выполненные на дорогущем ПО, частично отсекают возможность проверки результатов . Проблема на самом деле гораздо шире (английский текст) и дело не только в открытых или проприетарных математических программах. Не секрет, что научные журналы как правило не требуют от авторов предоставить данные и методику, достаточные для гарантированного повтора результатов эксперимента, проверки модели. Особенно часто этим грешат экономисты и финансисты, попросту засекречивая свои данные. Проверка расчетов и выводов среди выборки из массива статей с «засекреченными» данными Добавить метки

Эта статья является второй в цикле, посвященном различным реальным приложениям, которые могут использоваться для тестирования процессоров, компьютеров, ноутбуков и рабочих станций и которые в дальнейшем будут положены в основу нового тестового пакета iXBT Application Benchmark 2017. Напомним, что в первой статье данного цикла мы рассматривали два специализированных приложения LAMMPS и NAMD, которые используются для решения задач молекулярной динамики. В этой статье мы уделим внимание специализированным математическим пакетам FFTW и GNU Octave. Данные приложения, как и LAMMPS и NAMD, входят в состав известного специализированного тестового пакета SPECwpc 2.0. Более того, сами расчетные задачи (workload) и команды запуска программ с соответствующими параметрами мы позаимствовали именно из пакета SPECwpc 2.0.

FFTW 3.3.5

Среда GNU Octave поддерживает работу со скрипт-файлами (), а для запуска скрипта используется команда:

octave-cli-4.0.3.exe

(Файл octave-cli-4.0.3.exe расположен в папке C:\Octave\Octave-4.0.3\bin\ при установке пакета по умолчанию.)

Для тестирования мы используем скриптовый файл, в котором реализуются операции с циклами, вычисление интегралов, быстрое преобразование Фурье и операции с матрицами. Мы не писали этот скрипт «с нуля», а взяли его из пакета SPECwpc 2.0, в который входит тест на основе GNU Octave. Этот скрипт называется obench.m. Результатом теста является время выполнения скрипта.

Тестовый стенд и методика тестирования

Для тестирования с использованием приложений FFTW и GNU Octave мы собрали стенд следующей конфигурации:

Процессор: Intel Core i7-6950X (Broadwell-E);
Системная плата: Asus Rampage V Edition 10 (Intel X99);
Память: 4×4 ГБ DDR4-2400 (Kingston HyperX Predator HX424C12PBK4/16);
Видеокарта: Nvidia Quadro 600;
Накопитель: SSD Seagate ST480FN0021 (480 ГБ).

В ходе тестирования замерялось время выполнения тестовых задач.

Рассматривалась зависимость результатов тестирования от количества используемых ядер процессора, от частоты ядер процессора и от частоты памяти.

Зависимость результатов от количества ядер процессора

Количество используемых в ходе тестирования ядер процессора Intel Core i7-6950X регулировалось через настройки UEFI BIOS платы Asus Rampage V Edition 10. Напомним, что процессор Intel Core i7-6950X является 10-ядерным, но поддерживает технологию Hyper-Threading, поэтому операционной системой и приложениями он видится как 20-ядерный (имеет 20 логических ядер).

Мы не отключали технологию Hyper-Threading и меняли лишь количество физических ядер процессор от 1 до 10. В дальнейшем мы будем говорить о логических ядрах процессора, количество которых менялось от 2 до 20 с шагом 2.

Частота работы всех ядер процессора фиксировалась и составляла 4,0 ГГц.

Как видим, результаты получились очень странные. Интерпретация результатов для пакета GNU Octave достаточно проста. В этом пакете скорость выполнения тестовой задачи практически не зависит от числа ядер процессора, то есть в варианте процессора Intel Core i7-6950X даже двух логических ядер вполне достаточно для выполнения тестовой задачи. При увеличении числа доступных ядер процессора задача распараллеливается, однако доля загрузки каждого ядра уменьшается пропорционально их количеству. В результате скорость выполнения тестовой задачи не меняется при увеличении числа ядер процессора.

А вот с приложением FFTW все очень странно и нелогично. При 6, 12 и 14 ядрах (логических) время выполнения тестовой задачи становится аномально большим. В остальных случаях время выполнения тестовой задачи примерно одинаковое. Результат довольно странный, однако он многократно перепроверялся.

Если посмотреть, какова загрузка процессора во время выполнения теста, то ситуация такова. Во-первых, задача распараллеливается на все ядра процессора. Во-вторых, в какие-то промежутки времени загрузка ядер процессора оказывается низкой, а в какие-то промежутки - высокой. Причем такое поведение наблюдается при любом числе ядер. И почему при определенном количестве ядер процессора время выполнения теста становится аномально большим - непонятно.

Мы провели дополнительное исследование данного странного поведения теста. Для этого мы отключили у процессора технологию Hyper-Threading и повторили тестирование в приложении FFTW, меняя количество физических ядер процессора от 1 до 10. Результаты тестирования следующие:

При отключенной технологии Hyper-Threading результат получился еще более нелогичным. При 3, 5, 6, 7 и 9 ядрах время выполнения теста было большим, а при 1, 2, 4, 8 и 10 ядрах оно оказалось небольшим. То есть получается, что эффективность распараллеливания задачи зависит от количества ядер процессора, но вовсе не в том смысле, что большее количество ядер позволяет улучшить результат. При каком-то количестве ядер задача распараллеливается хорошо, а при каком-то - плохо.

Впрочем, у нас еще оставались сомнения в правильности наших выводов, поскольку в данном случае речь шла не о реальном двух-, четырех-, шести- и так далее ядерном процессоре, а об искусственном блокировании ядер через BIOS материнской платы. Мы решили повторить тест с другим процессором - шестиядерным (12 логических ядер с учетом Hyper-Threading) Intel Core i7-5820K. Как мы видели, при 6 физических или 12 логических ядрах процессора время выполнения теста становится аномально высоким. И на процессоре Intel Core i7-5820K этот результат был подтвержден. Процессор работал на частоте 3,6 ГГц. При всех активированных ядрах с технологией Hyper-Threading (12 ядер) время выполнения тестовой задачи получается аномально большим: 1886 с. Если последовательно отключать ядра, то при 10, 8, 4 и 2 ядрах время выполнения теста составляет 200-400 с, а при 6 ядрах - 1235 с.

Как видим, на процессоре Intel Core i7-5820K получается такой же странный результат, как и на процессоре Intel Core i7-6950X.

Несмотря на такую странную зависимость результатов теста FFTW от числа ядер процессора, мы решили оставить его в пакете приложений, которые будут использоваться в бенчмарке iXBT Application Benchmark 2017. Это приложение наглядно демонстрирует, что не всегда много ядер - это хорошо. Иногда бывает и по-другому.

Возможно, в окончательном варианте мы уменьшим размер самого преобразования Фурье, дабы исключить варианты, когда такой тест длится более 30 минут.

Зависимость результатов от частоты процессора

Теперь рассмотрим, как результаты тестирования в приложениях FFTW и GNU Octave зависят от частоты процессора.

Частота ядер процессора Intel Core i7-6950X менялась в настройках UEFI BIOS платы Asus Rampage V Edition 10 путем изменения коэффициента умножения. Частота работы всех ядер фиксировалась (то есть режим Turbo Boost отключался). Использовались все ядра процессора (10 физических/20 логических). Частота менялась от 3,0 ГГц до 4,2 ГГц с шагом 200 МГц. Результаты тестирования следующие:

Как видно по результатам тестирования, и в пакете FFTW, и в пакете GNU Octave время выполнения теста зависит от частоты процессора. В пакете FFTW при увеличении частоты процессора от 3 до 4,2 ГГц (увеличение на 40%) время выполнения теста уменьшается на 21%. В пакете GNU Octave аналогичное увеличение частоты процессора приводит к уменьшению времени выполнения тестовых задач на 24%.

Таким образом, зависимость результатов тестов FFTW и GNU Octave от частоты процессора вполне типичная. Тестовая задача в пакете GNU Octave чуть лучше масштабируется по частоте процессора, а задача в пакете FFTW - чуть хуже.

Зависимость результатов от частоты памяти

Теперь рассмотрим зависимость скорости выполнения тестовых задач от частоты работы памяти. Память DDR4 работала в четырехканальном режиме (по одному модулю на канал), а частота памяти менялась в настройках UEFI BIOS в диапазоне от 1600 МГц до 2800 МГц c шагом в 200 МГц. Тайминги памяти фиксировались и не менялись при изменении частоты. Все ядра процессора работали на частоте 4,0 ГГц.

Результаты тестирования следующие:

Как видим, скорость выполнения тестовых задач в пакетах GNU Octave и FFTW никак не зависит от частоты работы памяти. По крайней мере, в четырехканальном режиме работы пропускной способности памяти DDR4 вполне достаточно даже на частоте 1600 МГц, и дальнейшее увеличение частоты памяти не позволяет ускорить выполнение тестовых задач.

Это типичный для большинства приложений результат. Приложения, скорость работы которых зависит от частоты памяти - это, скорее, исключение из правил.

Заключение

Итак, во второй статье нашего нового цикла мы рассмотрели два теста на основе специализированных математических приложений FFTW и GNU Octave. На примере 10-ядерного процессора Intel Core i7-6950X было показано, что тестовые задачи в этих пакетах распараллеливаются на все ядра процессора, однако не могут загрузить их на 100%. Результат теста в приложении GNU Octave практически не зависит от числа ядер процессора, а результат теста в приложении FFTW, наоборот, сильно зависит от числа ядер процессора, однако зависимость эта очень странная. При некотором числе ядер (14, 12 и 6) время выполнения тестовой задачи становится аномально большим, а во всех остальных случаях время выполнения тестовой задачи от числа ядер зависит слабо.

Кроме того, было показано, что скорость выполнения тестовых задач в пакетах FFTW и GNU Octave линейным образом зависит от частоты ядер процессора (при изменении частоты в диапазоне от 3 до 4,2 ГГц).

Наконец, было показано, что время выполнения тестовых задач в приложениях FFTW и GNU Octave никак не зависит от частоты памяти DDR4 (в четырехканальном режиме и в диапазоне от 1600 до 2400 МГц).

Есть еще одно замечание, которое можно сделать относительно приложений FFTW и GNU Octave при их использовании для тестирования. Пакет GNU Octave имеет плохую повторяемость результатов и для получения результата с низкой погрешностью желательно делать пять прогонов теста. Приложение FFTW дает более стабильные результаты, но и для этого приложения необходимо как минимум три прогона теста.

В следующей статье данного цикла мы рассмотрим три приложения, которые используются для рендеринга 3D-сцен: POV-Ray 3.7, LuxRender 1.6 и Вlender 2.77a.

Современные математические пакеты можно использовать и как обычный калькулятор, и как средства для упрощения выражений при решении каких-либо задач, и как генератор графики или даже звука. Стандартными стали также средства взаимодействия с Интернетом, и генерация HTML-страниц выполняется теперь прямо в процессе вычислений. Теперь можно решать задачу и одновременно публиковать для коллег ход ее решения на своей домашней странице.

Рассказывать о программах математического моделирования и возможных областях их применения можно очень долго, но мы ограничимся лишь кратким обзором ведущих программ, укажем их общие черты и различия. В настоящее время практически все современные CAE-программы (Computer Aided Engineering, пакеты математического моделирования) имеют встроенные функции символьных вычислений.

Так что же делают эти программы и как они помогают математикам? С помощью описываемого ПО можно сэкономить массу времени и избежать многих ошибок при вычислениях. Отметим, что спектр задач, решаемых подобными системами, очень широк :

Проведение математических исследований, требующих вычислений и аналитических выкладок;

Разработка и анализ алгоритмов;

Математическое моделирование и компьютерный эксперимент;

Анализ и обработка данных;

Визуализация, научная и инженерная графика;

Разработка графических и расчетных приложений.

Наиболее известными и приспособленными для математических символьных вычислений считаются следующие математические пакеты:

Пакет Mathematica, представленный на рисунке 1, повсеместно применяется при расчетах в современных научных исследованиях и получил широкую известность в научной и образовательной среде.

Несмотря на свою направленность на серьезные математические вычисления, системы класса Mathematica просты в освоении и могут использоваться довольно широкой категорией пользователей -- студентами и преподавателями вузов, инженерами, аспирантами, научными работниками и даже учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. При этом широчайшие функции программы не перегружают ее интерфейс и не замедляют вычислений. Mathematica неизменно демонстрирует высокую скорость символьных преобразований и численных расчетов . Программа Mathematica из всех рассматриваемых систем наиболее полна и универсальна, однако у каждой программы есть как свои достоинства, так и недостатки.

Рисунок 1. Mathematica

Таким образом, Mathematica -- это, с одной стороны, типичная система программирования на базе одного из самых мощных проблемно-ориентированных языков функционального программирования высокого уровня, предназначенная для решения различных задач (в том числе и математических), а с другой -- интерактивная система для решения большинства математических задач в диалоговом режиме без традиционного программирования. Mathematica, как система программирования, имеет все возможности для разработки и создания практически любых управляющих структур, организации ввода-вывода, работы с системными функциями и обслуживания любых периферийных устройств, а с помощью пакетов расширения появляется возможность подстраиваться под запросы любого пользователя.

К недостаткам системы Mathematica следует отнести разве что весьма необычный язык программирования, обращение к которому, впрочем, облегчает подробная система помощи.

Программа Maple -- своего рода патриарх в семействе систем символьной математики и до сих пор является одним из лидеров среди универсальных систем символьных вычислений. Она предоставляет пользователю удобную интеллектуальную среду для математических исследований любого уровня и пользуется особой популярностью в научной среде. Отметим, что символьный анализатор программы Maple является наиболее сильной частью этого ПО, поэтому именно он был позаимствован и включен в ряд других CAE-пакетов, таких как MathCad и MATLAB, а также в состав пакетов для подготовки научных публикаций Scientific WorkPlace и Math Office for Word .

Maple предоставляет удобную среду для компьютерных экспериментов, в ходе которых пробуются различные подходы к задаче, анализируются частные решения, а при необходимости программирования отбираются требующие особой скорости фрагменты. Пакет позволяет создавать интегрированные среды с участием других систем и универсальных языков программирования высокого уровня. Когда расчеты произведены и требуется оформить результаты, то можно использовать средства этого пакета для визуализации данных и подготовки иллюстраций для публикации. Для завершения работы остается подготовить печатный материал в среде Maple, а затем можно приступать к очередному исследованию. Работа проходит интерактивно -- пользователь вводит команды и тут же видит на экране результат их выполнения (рисунок 2). При этом пакет Maple совсем не похож на традиционную среду программирования, где требуется жесткая формализация всех переменных и действий с ними. Здесь же автоматически обеспечивается выбор подходящих типов переменных и проверяется корректность выполнения операций, так что в общем случае не требуется описания переменных и строгой формализации записи.

Рисунок 2. Maple

Maple -- это удачно сбалансированная система и бесспорный лидер по возможностям символьных вычислений для математики. При этом оригинальный символьный движок сочетается здесь с легко запоминающимся структурным языком программирования, так что Maple может быть использована как для небольших задач, так и для серьезных проектов.

К недостаткам системы Maple можно отнести лишь ее некоторую «задумчивость», причем не всегда обоснованную, а также очень высокую стоимость этой программы.

Система MATLAB, представленная на рисунке 3, относится к среднему уровню продуктов, предназначенных для символьной математики, но рассчитана на широкое применение в сфере CAE.

MATLAB -- одна из старейших, тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении матричных операций. Это нашло отражение и в самом названии системы -- MATrix LABoratory, то есть матричная лаборатория. Однако синтаксис языка программирования системы продуман настолько тщательно, что данная ориентация почти не ощущается теми пользователями, которых не интересуют непосредственно матричные вычисления.

Библиотеки MATLAB отличаются высокой скоростью численных вычислений. Однако матрицы широко применяются не только в таких математических расчетах, как решение задач линейной алгебры и математического моделирования, обсчета статических и динамических систем и объектов. Они являются основой автоматического составления и решения уравнений состояния динамических объектов и систем. Именно универсальность аппарата матричного исчисления значительно повышает интерес к системе MATLAB, вобравшей в себя лучшие достижения в области быстрого решения матричных задач. Поэтому MATLAB давно уже вышла за рамки специализированной матричной системы, превратившись в одну из наиболее мощных универсальных интегрированных систем компьютерной математики.

Рисунок 3. MATLAB

Из недостатков системы MATLAB можно отметить невысокую интегрированность среды (очень много окон, с которыми лучше работать на двух мониторах), не очень внятную справочную систему (объем фирменной документации достигает почти 5 тыс. страниц, что делает ее трудно обозримой) и специфический редактор кода MATLAB-программ (рисунок 4). Сегодня система MATLAB широко используется в технике, науке и образовании, но все-таки она больше подходит для анализа данных и организации вычислений, нежели для чисто математических выкладок.

В отличие от мощного и ориентированного на высокоэффективные вычисления при анализе данных пакета MATLAB, программа MathCad -- это, скорее, простой, но продвинутый редактор математических текстов с широкими возможностями символьных вычислений и прекрасным интерфейсом. MathCad не имеет языка программирования как такового, а движок символьных вычислений заимствован из пакета Maple. Зато интерфейс программы MathCad очень простой, а возможности визуализации богатые. Все вычисления здесь осуществляются на уровне визуальной записи выражений в общеупотребительной математической форме. Пакет имеет хорошие подсказки, подробную документацию, функцию обучения использованию, целый ряд дополнительных модулей и приличную техническую поддержку производителя. Однако пока математические возможности MathCad в области компьютерной алгебры намного уступают системам Maple, Mathematica, MATLAB. Однако по программе MathCad выпущено много книг и обучающих курсов. Сегодня эта система стала международным стандартом для технических вычислений, и даже многие школьники осваивают и используют MathCad.

Рисунок 4. MathCad

Для небольшого объема вычислений MathCad идеален -- здесь все можно проделать очень быстро и эффективно, а затем оформить работу в привычном виде (MathCad предоставляет широкие возможности для оформления результатов, вплоть до публикации в Интернете). Пакет имеет удобные возможности импорта/экспорта данных. Например, можно работать с электронными таблицами Microsoft MS Excel прямо внутри MathCad-документа .

В общем, MathCad -- это очень простая и удобная программа, которую можно рекомендовать широкому кругу пользователей, в том числе не очень сведущих в математике, а особенно тем, кто только постигает ее азы.

В качестве более дешевых, простых, можно отметить такие пакеты, как UMS, Microsoft MS Excel.

Когда-то системы символьной математики были ориентированы исключительно на узкий круг профессионалов и работали на больших компьютерах. Но с появлением ПК эти системы были переработаны под них и доведены до уровня массовых серийных программных систем. Сейчас на рынке сосуществуют системы символьной математики самого разного калибра -- от рассчитанной на широкий круг потребителей системы MathCad до компьютерных монстров Mathematica, MATLAB и Maple, имеющих тысячи встроенных и библиотечных функций, широкие возможности графической визуализации вычислений и развитые средства для подготовки документации.

Отметим, что практически все эти системы работают не только на персональных компьютерах, оснащенных популярными операционными системами Windows, но и под управлением операционных системы Linux, UNIX, Mac OS, а также на КПК .

Перейдем к пакетам наиболее часто используемых в школах при проведении уроков математики в старших классах. К ним относятся: Universal Math Solver (UMS), Microsoft MS Excel.

Программа UMS - "Универсальный математический решатель" позволяет решать задания из многих разделов алгебры и анализа. Знания "Универсального решателя" охватывают почти весь курс по алгебре и анализу средней школы и первых курсов вузов .

В отличие от ряда мощных математических пакетов, UMS доступен для быстрого изучения благодаря простому интерфейсу и расправляется с предложенными задачами исключительно "школьными" методами, оформляя все этапы решения так, как это бы сделал учитель (рисунок 5).

Если смотреть на практическую ценность Universal Math Solver шире, то приложение с успехом сослужит службу родителям, привыкшим контролировать выполнение домашних заданий ребёнком, и учителям математики. Последние могут использовать интерактивные возможности программы в учебном процессе, возлагая объяснение решений задач на "плечи" электронного педагога.

Universal Math Solver поставляется в двух редакциях - стационарной и сетевой. Стоимость годичной лицензии за одну инсталляцию первой версии составляет 3000 тенге, цена сетевой редакции - в три раза выше .

Рисунок 5. Universal Math Solve

К сожалению, в школьной практике нет возможности использовать такие мощные математические пакеты, как Mathematica, Mathcad, MathLab, Maple из-за дороговизны их лицензионных копий. Однако офисные приложения MS Office есть в каждой школе. Применение математической оболочки офисного табличного процессора MS Excel позволяет решать математические задачи высокой сложности.

Cвободная математика

Александр Бикмеев разбирается, насколько свободна компьютерная математика и насколько свободное ПО является математическим.

Любая наука, от физики до филологии, использует достижения математики. В связи с этим специалистам не-математикам необходимы средства, которые позволяли бы ставить задачи в математической форме и получать решения в виде формул или набора значений, то есть нужны системы компьютерной математики, способные взять на себя труд решения математических задач различными методами.

К сожалению, в нашей стране подобные программы распространены в достаточно узкой области научной деятельности, и не в последнюю очередь это обусловлено тем, что школьников и студентов не знакомят с профессиональными математическими пакетами, стоимость только одной лицензии на которые зачастую исчисляется тысячами и десятками тысяч рублей.

Мы предлагаем вам заглянуть в мир свободных математических пакетов, которые можно бесплатно загрузить из сети Интернет, использовать для любого вида изысканий (иногда с оговорками), а также, благодаря наличию исходных текстов, изучать их внутреннее устройство и, при желании, расширять их функциональность собственными силами.

Символьные вычисления

Системы компьютерной математики (СКМ) разрабатываются давно, и Maxima () была одной из первых. Изначально это был коммерческий продукт, но, не выдержав конкуренции, система перешла в разряд свободных.

Оболочка wxMaxima и пункт меню, позволяющий вывести или убрать с экрана панели математических операций.

Основное преимущество Maxima перед другими свободными системами – это поддержка символьных вычислений. То есть, введя аналитическое выражение или уравнение, вы можете получить результат также в аналитическом виде.

Maxima позволяет решать алгебраические уравнения, системы уравнений, выполнять операции интегрирования, дифференцирования, разложения в ряд и так далее. Кроме того, она умеет решать дифференциальные уравнения, граничные задачи, задачи Коши, выполнять алгебраические вычисления с матрицами, строить графики и поверхности, заданные различными функциями в декартовой и полярной системах координат. Все возможности перечислить трудно.

Для СКМ Maxima разработано несколько оболочек, наиболее удобной из которых (для начинающего пользователя) является wxMaxima (см. рис. 1). Начиная с версии 0.8.0, она стремительно меняется в лучшую сторону. Последняя версия (0.8.3) содержит черты таких известных коммерческих пакетов, как Maple и MathCAD . Работа в данной оболочке достаточно проста и позволяет получать приемлемые результаты уже через несколько минут использования. Многие операции, названия которых присутствуют в меню и на панелях инструментов, снабжены удобными мастерами, позволяющими решать задачи, даже не зная встроенного языка и команд Maxima . Ну и еще один немаловажный факт – все оболочки для данной СКМ русифицированы. Кроме того, изучив свободный пакет Maxima , обучающиеся смогут легче освоиться в коммерческих пакетах, что обусловлено как относительной схожестью интерфейса, так и используемым синтаксисом (особенно это касается Maxima и Maple ).

Система прекрасно документирована, но справочный материал представлен только на английском языке. Наш журнал публиковал учебные материалы о работе в СКМ Maxima (LXF81–86). Будучи консольным приложением, Maxima может работать в пакетном режиме, то есть ей можно передавать на обработку текстовый файл со списком команд и получать опять же текстовый файл с результатами, а если учесть, что вывод может быть оформлен средствами системы разметки TeX , то это позволяет использовать ее в качестве базы для построения собственных приложений. Одним из примеров такой разработки является расширение TeXmacs .

На основании имеющегося опыта обучения можно сказать, что студенты младших курсов осваивают работу в Maxima достаточно быстро и начинают использовать ее при выполнении заданий по другим предметам. Но с каждым курсом у них возникает все больше проблем.

Дело в том, что наряду с большим количеством положительных моментов у Maxima присутствуют и отрицательные. Во-первых, конечный результат, особенно при решении сложных задач, во многом зависит от уровня знания математики и опыта использования данной СКМ, потому как иногда требуется выполнить предварительные преобразования самостоятельно. Во-вторых, Maxima очень хорошо работает с алгебраическими выражениями, но трансцендентные, логарифмические и подобные им вызывают у нее значительные трудности. Впрочем, если нельзя получить аналитическое решение, то всегда можно воспользоваться численным расчетом. В-третьих, возможности Maxima по построению сложных графиков или визуализации, например, векторного поля, не идут ни в какое сравнение с возможностями Maple . И, наконец, в-четвертых, для полноценной работы необходимо изучить многочисленные команды и константы Maxima , а это требует времени и терпения.

СКМ Maxima входит во многие дистрибутивы Linux или, по крайней мере, обязательно присутствует в репозиториях. Она включена в состав таких образовательных продуктов, как AltLinux Школьный, Edubuntu и EduMandriva.

Окно SMath Studio , в котором определена функция, вычислена ее производная и построен график.

Следует отметить, что инженеры все-таки привыкли работать с таким мощным приложением-калькулятором, как MathCAD . Это система инженерных расчетов, доступная для любых платформ (см. Коммерческие пакеты), но за серьезные деньги. Однако работодатели требуют, чтобы выпускники умели работать в этой системе. Как же быть образовательным учреждениям?

В нашей стране родился спасительный проект: SMath Studio (http://ru.smath.info/forum/). Это бесплатный, но, к сожалению, пока не свободный продукт, разработчик которого, Андрей Ивашов, пытается создать альтернативу монстру MathCAD , и у него это получается (см. рис. 2). Приложение разработано для среды .NET , а затем адаптировано для Mono .

SMath Studio позволяет выполнять аналитические вычисления, операции с матрицами, строить графики и вычислять производные, и даже поддерживает функции программирования. К сожалению, аналитическое интегрирование пока не поддерживается, но продукт успешно развивается, и осенью 2009 г. автор заканчивает разработку инфраструктуры, которая позволит использовать сторонние подключаемые модули. Возможно, тогда развитие приложения выйдет на новый уровень, и мы получим полноценную альтернативу MathCAD .

Следует также отметить, что весной 2009 года, по соглашению с автором, продукт был включен в состав образовательного дистрибутива EduMandriva. Несмотря на ограниченную функциональность, данное приложение позволяет выполнять повседневные вычисления на уровне школьников и студентов младших курсов, а также простые инженерные расчеты. А если учесть, что SMath Studio прекрасно чувствует себя на карманных компьютерах и смартфонах, управляемых Windows Mobile, то знакомство с ним для школьников и студентов просто обязательно.

На официальном сайте всегда присутствует документация в форматах DOC и ODT, а на официальном форуме можно задать вопросы разработчику или сообществу и обсудить использованные при разработке приложения алгоритмы.

Окно wxMaxima с результатами символьных вычислений и графиком функции

В завершение данного раздела хочется заострить внимание на том, что пакеты символьной математики в качестве результата выдают выражение, а не число. Рассмотрим пример, показанный на рис. 3, в котором определена пользовательская функция и для нее найдена вторая производная; затем функция проинтегрирована. Заодно построен график. Таким образом, школьники и студенты могут наглядно выполнить полный анализ функции. И это далеко не все: Maxima умеет упрощать выражения путем раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, выполнения подстановок и задания некоторых условий и допущений, накладываемых на выражение. Добавьте сюда возможность символьного решения уравнений и систем уравнений, а также дифференциальных уравнений, и поймете, что современному студенту без этих инструментов не обойтись, а преподаватели естественных дисциплин могут оживить уроки и практические занятия за счет ввода интерактивных заданий или демонстрационного материала.

Численные расчеты

Как известно, не каждую задачу можно решить аналитически, то есть получить решение в виде некой формулы. Тогда на помощь приходят различные численные методы, для получения решения с некоторой точностью. Наиболее известным представителем приложений для численных расчетов является система компьютерной алгебры (СКА) Matlab .

Matlab широко распространен по всему миру (см. Сравнение в LXF109), но стоимость даже образовательных лицензий не по карману не только школам, но и многим российским вузам. За рубежом также предпочитают считать деньги – и вкладывают человеческие ресурсы в разработку свободных аналогов Matlab . Рассмотрим некоторые из них.

Прежде всего, на мой взгляд, стоит остановится на проекте GNU Oсtave (http://www.gnu.org/software/octave/). Разработчики позиционируют эту систему как «высокоуровневый язык программирования для численных расчетов». Как и многие свободные *nix-проекты с давней традицией, она предоставляет интерфейс командной строки. Введите в терминале octave – и (если, конечно GNU Octave установлена на компьютере) перед вами появится приглашение данной системы. Начните вводить команды, и в терминале будут выводится результаты вычислений.

Интерфейс командной строки имеет свои преимущества, так как он практически не отнимает вычислительных ресурсов компьютера, оставляя всю мощь процессора на сами вычисления, а не на красивое отображение текста команд и результата расчетов. И все же современный пользователь редко готов мириться с этим.

. Оболочка qtOctave с выполненными вычислениями.

Долгое время GNU Octave не имела графического интерфейса, пока, наконец, не появился qtOctave (см. рис. 4). Эта оболочка весьма напоминает интерфейс Matlab и позволяет автоматизировать выполнение некоторых рутинных операций (например, построения графиков) при помощи мастеров.

Язык системы сделан максимально схожим с языком Matlab ; следовательно, человек, освоивший GNU Octave , сможет практически без переобучения работать и в Matlab , а именно это и необходимо работодателям. Кроме того, энтузиастами движения свободного ПО для системы создано достаточное количество пакетов расширений. За счет этого функционал самой СКА постоянно растет. Ну, а наличие исчерпывающей документации (пусть и на английском языке) как для системы, так и для пакетов расширений делает данный продукт не только выгодным, но и доступным для изучения.

К минусам относится не совсем удобный интерфейс оболочки qtOctave , тем более, что версия не обновлялась с осени 2008 года (создается впечатление, что проект заброшен). Пакеты расширений не богаты функциями и не блещут графическими возможностями; кроме того, они не равнозначны, поскольку ситуация такова, что один проект разработан студентом-первокурсником, а второй, например, командой преподавателей вуза. Зато это полностью свободный проект, с которым можно не беспокоиться о лицензионной чистоте получаемых решений.

Следующий пакет, который хотелось бы рассмотреть, называется Scilab (http://www.scilab.org), само имя которого указывает на схожесть с Matlab . Изначально это был также коммерческий продукт, и назывался он Blaise , а затем Basile . Его создателей вдохновили первые версии Matlab , и некоторое время они конкурировали. Однако в начале 90‑х фирма Simulog прекратила его продажу, и тогда шесть разработчиков французского национального исследовательского института (INRIA) основали проект Scilab .

Scilab выгодно отличается от своих собратьев по цеху проработанным интерфейсом, наличием достаточно большого числа специализированных пакетов расширений, а также тем, что он поддерживается Консорциумом Scilab , в состав которого входят крупные образовательные и научные учреждения со всего мира.

Интерфейс Scilab 5

Scilab – единственная свободная система, аналогичная Matlab , имеющая свой собственный инструмент для блочного моделирования под названием Scicos . В дистрибутиве продукта имеется встроенный редактор скриптов и функций с возможностью отладки. Scilab обладает развитыми графическими возможностями для создания высокотехнологичных приложений. С функциональностью системы можно ознакомиться, рассмотрев демонстрационные примеры – некоторые из них весьма впечатляют (выберите пункты меню ? > Демонстрация возможностей ).

Scilab имеет в своем составе функции не только для выполнения всевозможных операций над матрицами, но и для построения графиков и трехмерных поверхностей в различных системах координат, функции для работы с генетическими алгоритмами, решения задач на графах, статистические функции, средства имитационного моделирования и многое другое. Ежегодно проходит несколько конференций, посвященных использованию СКА Scilab в науке, образовании и на производстве.

Во всем мире вышло несколько книг, посвященных описанию работы в Scilab , а также решению ряда специализированных задач. К сожалению, ни одна из них не была переведена на русский язык. В России вышло всего две книги, одна – в рамках национального проекта, а во второй Scilab описывается наряду с несвободными пакетами. Наш журнал также неоднократно печатал учебники о работе в Scilab (LXF106–109 и ), и все же документации пока не хватает, а справочные материалы не всегда позволяют понять, как работает та или иная функция.

Freemat - впечатляющий результат того, на что способна команда из трех единомышленников.

Выход пятой версии Scilab ознаменовал собой начало нового этапа в развитии системы. Изменился интерфейс приложения (разработчики отказались от GTK -интерфейса), начал меняться инструмент блочного моделирования Scicos , который в октябре 2009 года должен поменять свое имя на Xcos .

Еще одной вариацией на тему Matlab является Freemat (); этот пакет имеет другую немаловажную общую черту с Matlab , а именно поддержку объектно-ориентированного программирования. Интерфейс программы достаточно приятен. В основном окне реализовано автодополнение команд. На официальном сайте присутствует полное руководство по работе с системой (на английском языке). Дистрибутив программы имеет небольшой, по нынешним меркам, объем – 18 МБ.

Система позволяет выполнять численное решение уравнений и систем уравнений, как линейных, так и нелинейных, и числовую обработку сигналов (см. рис. 6); способна работать с многомерными матрицами. Основными положительными моментами Freemat , по сравнению со Scilab и Octave , являются большая совместимость внутреннего языка системы с языком Matlab и использование OpenGL для построения графиков и поверхностей, в результате чего они выглядят более качественно.

Минусами же Freemat являются низкое быстродействие (некоторые задачи решаются в разы медленнее, чем в других пакетах) и отсутствие пакетов расширений. Данная система развивается только усилиями команды из трех человек. Большого сообщества у проекта не наблюдается.

Дистанционная математика

Упомянутые выше системы представляют собой локальные проекты, то есть работа с ними ведется на одной машине. Но это бывает неудобно – например, при дистанционном обучении; кроме того, не все студенты согласятся (а иногда и смогут) поставить данные приложения на своих домашних компьютерах. В этом случае необходимы средства для удаленной работы с математическими пакетами.

SMath Studio Live : считайте, не выходя из браузера (пусть и не очень быстро).

Среди рассмотренного нами такую возможность предоставляет SMath Studio . В разделе Live официального сайта (http://smath.info/live) располагается виртуальный рабочий лист, на котором любой желающий может выполнить свои вычисления. Система очень удобна, хотя и не блещет быстродействием.

И все же более профессиональна в этом плане система SAGE (http://www.sagemath.org/). Данная система состоит из web-сервера, обеспечивающего графический интерфейс для взаимодействия с кодом Python , на котором написано ее ядро. Любой пользователь при помощи своего любимого web-браузера может подключиться к серверу, зарегистрироваться и получить в свое владение личное пространство. Оно может быть и открытым, и закрытым, то есть доступным только администратору сервера и самому владельцу. В личном пространстве могут создаваться рабочие листы, на них и выполняются все вычисления.

В рамках рабочего листа можно использовать любой доступный язык, а таких немало. По умолчанию система SAGE объединяет следующие продукты: GAP, Maxima, Python, R, LaTeX . Кроме этого, могут быть подключены Octave, Axiom, Magma, Mathematica, Matlab, Maple, Mupad и другие. В результате мы получаем единый сервер удаленной работы, позволяющий обучать любым математическим пакетам и выполнять вычисления с помощью как свободных, так и коммерческих систем компьютерной математики.

. По непонятным причинам, Sage отказывается работать в Firefox , но в остальном это удачное решение для удаленной работы.

Система прав доступа к личным пространствам и возможность совместной работы с рабочим листом сразу нескольких пользователей позволяет организовать дистанционное обучение с листом объяснения учебного материала, содержащим примеры решения задач, и листами личных заданий для каждого студента.

В настоящее время в сети существует несколько публичных SAGE -серверов – к ним можно подключиться, посмотреть листы, выложенные в общий доступ, завести свое личное пространство и, в случае трудностей, попросить помощь у сообщества. Для этого просто сделайте рабочий лист публичным. Уверяю вас: желающих помочь достаточно много, единственная проблема в том, что рабочий язык – английский.

На официальном сайте присутствуют ссылки на тестовый публичный сервер (http://www.sagenb.org), а также на учебные материалы и книги, созданные с помощью данной системы. Зарегистрируйтесь и опробуйте SAGE – может быть, это то, что вы ищете? Стоит также отметить, что у нас не получилось войти на сервер в Firefox , но в других браузерах проблем не возникло.

Итак, мы рассмотрели наиболее популярные свободные системы компьютерной математики. Можно ли их использовать в обучении и для работы – решать вам. Мы свой выбор уже сделали, и не жалеем об этом.

Коммерческие системы

Среди коммерческих систем наиболее популярны три: Matlab (численные вычисления), Maple (основной упор сделан на символьные вычисления) и Mathematica (удачно сочетает устремления первых двух). Особняком стоит мощный инженерный пакет MathCAD , поскольку это скорее большой инженерный калькулятор, и он не предназначен для решения сложных задач математической физики или теории шифрования, обработки сигналов и так далее.

Все эти пакеты имеют версии под наиболее распространенные платформы: Windows, Linux и Mac OS X. Приведем стоимость одной лицензии данных пакетов для академических учреждений, согласно прайс-листу Softline:

Matlab – 30 765 руб;
Mathematica – 9002 руб;
Maple – 36 286 руб;
MathCAD – 5290 руб.

Выводы вы можете сделать сами.

дипломная работа

1.1 Современные математические пакеты

Проведение математических исследований, требующих вычислений и аналитических выкладок;

Разработка и анализ алгоритмов;

Математическое моделирование и компьютерный эксперимент;

Анализ и обработка данных;

Визуализация, научная и инженерная графика;

Разработка графических и расчетных приложений.

Рисунок 1. Mathematica

Рисунок 2. Maple

Рисунок 3. MATLAB

Рисунок 4. MathCad

В качестве более дешевых, простых, можно отметить такие пакеты, как UMS, Microsoft MS Excel.

Рисунок 5. Universal Math Solve

Информационные системы в экономике

Так как по числу потребителей рынок офисных пакетов является одним из самых массовых, очевидно, что у Microsoft были и остаются конкуренты - компании, предлагающие альтернативные офисные продукты. Свои офисные пакеты имеют многие крупные компании...

Время от времени производители программного обеспечения выпускают исправления к своим программным продуктам. Как правило, исправления корректируют выявленную проблему...

Клиентское программное обеспечение

Между пакетами обновления и исправлениями нет больших отличий. Как правило, в состав пакета обновления входят несколько уже протестированных исправлений. Пакеты обновления распространяются реже, чем исправления, но чаще...

Мезонинный адаптер USB 2.0

Для USB шины используются четыре типа пакетов. Пакет-маркер обозначает...

Операционная система LynxOS

LynuxWorks поставляет пакеты поддержки целевых архитектур в LynxOS 4.0 (BSPs) для широкого спектра платформ, таких, как любые AT- и CompactPCI-платы с процессором Intel, Motorola Sand-point 750, Intel XScale IQ80310, IBM 440GP, Motorola FADS-ZU, Thales VM-PC6a/c, Force PowerCore 680 G3 & G4, Motorola CompactPCI for PPC MCP750, MCPN750...

Основные этапы объектно-ориентированного проектирования

Пакет (package) -- основной способ организации элементов модели в языке UML. Каждый пакет владеет всеми своими элементами, т. е. теми элементами, которые включены в него...

Применение информационных систем в колледже

Конфигурация «Информационная система предприятия» предназначена для организации работы с корреспонденцией и внутренними документами организации, а так же для автоматизации ряда действий...

Применение пакетов прикладных программ в экономике

Одним из направлений внедрения информационных технологий в вузовское образование является применение прикладного программного обеспечения в учебном процессе...

Разработка программного продукта, оптимизирующего создание отчетов по базе данных

1) Операционная система: Microsoft Windows 7 Корпоративная. Среда разработки: Borland C++ Builder 6. Офисные пакеты: MS Office 2010. Дополнительное ПО: Mozilla Firefox 12.0, Toad for Oracle 10.6...

Разработка программной системы для автоматизации информационного обмена между страховыми медицинскими организациями

Информационный пакет - это защищенный паролем, архивный файл типа ZIP, в котором содержится фрагмент базы данных в виде набора взаимосвязанных таблиц формата DBF III (dBASE RUS cp866). Формат имени информационного пакета имеет следующий вид: NNNNNSSK.YMD...

Самым распространенным в мире офисным пакетом является Microsoft Office. По данным IDC, это приложение установлено более чем на 95% персональных компьютеров...

Экономическая эффективность внедрения информационных технологий (на примере ОАО "Сбербанк")

Для того, чтобы отправить в Банк созданные Вами документы, надо сформировать их в пакет. Для этого Вам нужно нажать кнопку «Пакеты». Вашему вниманию будет предоставлена таблица с отправленными Вами пакетами в банк...

Сайт о компьютерной технике