Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов .

Элементы матрицы a ij , у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ .

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a 11 , a 22 ,..., a nn .

Равенство матриц.

A=B , если порядки матриц A и B одинаковы и a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A mk *B kn =C mn причем каждый элемент с ij матрицы C mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A"

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опрераций над матрицами

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1 . Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1 . Например

5. Диагональная матрица: m=n и a ij =0 , если i≠j . Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

9. Симметрическая матрица: m=n и a ij =a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A"=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a ij =-a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a ii =-a ii )

Ясно, A"=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и a ii =-ã ii (ã ji - комплексно - сопряженное к a ji , т.е. если A=3+2i , то комплексно - сопряженное Ã=3-2i )

Это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица - таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n .

Общий вид матрицы:

Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:

• Главная диагональ, состоящая из элементов а 11 ,а 22 …..а mn .
• Побочная диагональ, состоящая из элементов а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .

Основные виды матриц:

• Квадратная - такая матрица, где число строк = числу столбцов (m=n ).
• Нулевая - где все элементы матрицы = 0.
• Транспонированная матрица — матрица В , которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
• Единичная - все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0.
• Обратная матрица — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.

Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 , то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.

Методы решения матриц.

Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n -го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.

Нахождение определителей 2-го порядка.

Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:

Методы нахождения определителей 3го порядка.

Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.

Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц , можно изобразить таким образом:

Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "+"; так же, для 2го определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "-", то есть по такой схеме:

При решении матриц правилом Саррюса , справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком "+"; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком "-":

Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.

Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.

При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.

Теорема Лапласа при решении матриц.

Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ - это определитель n -го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k ≤ n - 1 . В таком случае сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы :

1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
2. Вычисляем алгебраические дополнения.
3. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
4. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
5. Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Решение систем матриц.

Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.

Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.

Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.

Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.

Определение 1. Матрицей А размера m  n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений (называемых элементами матрицы),i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, или

Определение 2. Две матрицы
и
одного размера называютсяравными , если они совпадают поэлементно, т.е. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

С помощью матриц легко записывать некоторые экономические зависимости, например таблицы распределения ресурсов по некоторым отраслям экономики.

Определение 3. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n , а в противном случае прямоугольной.

Определение 4. Переход от матрицы А к матрице А т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы.

Виды матриц: квадратная (размера 33) -
,

прямоугольная (размера 25) -
,

диагональная -
, единичная -
, нулевая -
,

матрица-строка -
, матрица-столбец -.

Определение 5. Элементы квадратной матрицы порядка n с одинаковыми индексами называются элементами главной диагонали, т.е. это элементы:
.

Определение 6. Элементы квадратной матрицы порядка n называются элементами побочной диагонали, если сумма их индексов равна n + 1, т.е. это элементы: .

1.2. Операции над матрицами.

1 0 . Суммой двух матриц
и
одинакового размера называется матрица С = (с ij), элементы которой определяются равенством с ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции сложения матриц.

Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:

1) А + В = В + А (коммутативность),

2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).

2 0 . Произведением матрицы
на число  называется матрица
того же размера, что и матрица А, причемb ij = (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции умножения матрицы на число.

(А) = ()А (ассоциативность умножения);

(А+В) = А+В (дистрибутивность умножения относительно сложения матриц);

(+)А = А+А (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).

Определение 7. Линейной комбинацией матриц
и
одинакового размера называется выражение видаА+В, где  и  - произвольные числа.

3 0 . Произведением А  В матриц А и В соответственно размеров mn и nk называется матрица С размера mk, такая, что элемент с ij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В, т.е. с ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц:

(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность);

(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность относительно сложения матриц);

А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивность относительно сложения матриц);

АВ  ВА (не коммутативность).

Определение 8. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими или перестановочными.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции:

Перемена местами двух строк (столбцов).

Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля.

Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Определение 10. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается ВА).

Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если

,
.

,
,

.

Пример 1.2. Найти произведение матриц
, если

.

Решение: т.к количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы, то произведение матриц существует. В результате получаем новую матрицу
, где

В результате получим
.

Лекция 2. Определители. Вычисление определителей второго, третьего порядка. Свойства определителей n -го порядка.

>> Матрицы

4.1.Матрицы. Операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера mxn называется совокупность mxn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать ее в виде

или сокращенно в виде A = (a i j) (i = ; j = ), числа a i j , называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. A = (a i j) и B = (b i j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a i j = b i j .

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно -строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. A размера mxn, все элементы которой равны нулю, называются нулевой и обозначается через 0. Элементы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными и записываются так:

Если все элементы a i i диагонали равны 1, то она называется единичной и обозначается буквой Е:

.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Если в (4.1) переставим строки со столбцами, то получим

,

которая будет транспонированной по отношению к А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением А на число b называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов А умножением на число b: b A = (b a i j).

Суммой А = (a i j) и B = (b i j) одного размера называется C = (c i j) того же размера, элементы которой определяются по формуле c i j = a i j + b i j .

Произведение АВ определяется в предположении, что число столбцов А равно числу строк В.

Произведением AB, где А = (a i j) и B = (b j k), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется С = (c i k), элементы которой определяются по следующему правилу:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Иначе говоря, элемент произведения AB определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца С равен сумме произведений элементов i-й строки А на соответствующие элементы k-го столбца В.

Пример 2.1. Найти произведение AB и .

Решение. Имеем: А размера 2x3, В размера 3x3, тогда произведение АВ = С существует и элементы С равны

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с 22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

, а произведение BA не существует.

Пример 2.2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М 1 , М 2 и М 3 , причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М 1 стоит 50 ден. ед., в магазин М 2 - 70, а в М 3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через
В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

,

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

.

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.

Пример 2.3. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 . В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

	Расход ткани
Зимнее пальто
Демисезонное пальто

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е.,

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:

Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор C T:

.

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина

X А P T =
.

Итак, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед).

Действия над матрицой

1. Сложение и вычитание матриц :

Сложение и вычитание матриц - одно из простейших действий над ними, т.к. необходимо сложить или отнять соответствующие элементы двух матриц. Главное помнить, что складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров , т.е. тех, у которых одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Например, пусть даны две матрицы равного размера 2х3, т.е. с двумя строками и тремя столбцами:

Сумма двух матриц:

Разность двух матриц:

2. Умножение матрицы на число:

Умножение матрицы на число - процесс, заключающийся в умножении числа на каждый элемент матрицы.

Например, пусть дана матрица А:

Умножим число 3 на матрицу А:

3. Умножение двух матриц:

Умножение двух матриц возможно только при условии, что число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй. Новая матрица, которая получится при умножении матриц, будет состоять из количества строк, равное количеству столбцов первой матрицы и количества столбцов, равное количеству строк второй матрицы.

Предположим есть две матрицы размерами 3х4 и 4х2, т.е. в первой матрице 3 строки и 4 столбца, а во второй матрице 4 строки и 2 столбца. Т.к. количество столбцов первой матрицы (4), равно количеству строк второй матрицы (4), то матрицы можно перемножить, новая матрица будет иметь размер: 3х2, т.е. 3 строки и 2 столбца.

Можно представить все это в виде схемы:

После того как Вы определились с размером новой матрицы, которая получится при умножении двух матриц, можно приступить к заполнению этой матрицы элементами. Если Вам надо заполнить первую строчку первого столбца этой матрицы, то надо каждый элемент первой строки первой матрицы умножать на каждый элемент первого столбца второй матрицы, если будем заполнять вторую строку первого столбца соответственно будем брать каждый элемент второй строки первой матрицы и умножать на первый столбец второй матрицы и т.д.

Посмотрим как это выглядит на схеме:

Посмотрим как это выглядит на примере:

Даны две матрицы:

Найдем произведение этих матриц:

4. Деление матриц :

Деление матриц - действие над матрицами, которое в этом понятии не встретишь в учебниках. Но если есть необходимость разделить матрицу А на матрицу В, то в этом случае используют одно из свойств степеней:

Согласно этому свойству разделим матрицу А на матрицу В:

В результате задача о делении матриц сводиться к умножению обратной матрицы матрице В на матрицу А.

Обратная матрица

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица - такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, - единицы, а остальные - нули, например:

Обратная матрица может существоватьтолько для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.

Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.

Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.

Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Определители матриц (Детерминанты) Определители матриц (Детерминанты)

Определители матриц, способ № 1:

Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

Где М 1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и k - oго столбца. Следует обратить внимание на то, чтоопределители имеют только квадратные матрицы , т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Первая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя матрицы по первому столбцу:

Вообще говоря, определитель матрицы может вычисляться по любой строке или столбцуматрицы , т.е. справедлива формула:

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители . Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М 1k называется дополнительным минором элемента матрицы a 1k . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах .

Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a ij равенопределителю матрицы , полученной из исходной матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Определители матриц, способ № 2:

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а 11:

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы . Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Замечание:

Вычисление определителей матриц четвертого и более высокого порядка приводит к большим вычислениям, так как:

для первого порядка мы находим одно слагаемое, состоящее из одного сомножителя;

для нахождения определителя матрицы второго порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двух слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения двух сомножителей;

для нахождения определителя матрицы третьего порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из шести слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей;

для нахождения определителя матрицы четвертого порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двадцати четырех слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения четырех сомножителей и т.д.

Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы , в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 1!=1 2!=1×2=2 3!=1×2×3=6 4!=1×2×3×4=24 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 ...