Метод ветвей и границ − один из комбинаторных методов. В отличие от метода Гомори применим как к полностью, так и частично целочисленнным задачам.

Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам полезными для нахождения оптимального решения.

Идея метода ветвей и границ состоит в следующем: пусть решена ослабленная задача без ограничения целочисленности, и - целочисленная переменная, значение которой в оптимальном плане является дробным. Тогда интервал

не содержит допустимых решений с целочисленной координатой . Следовательно, допустимое целое значениедолжно удовлетворять

или
, или

Введение этих условий в задачу порождает две несвязанные между собой задачи с одной и той же целевой функцией, но непересекающимися областями допустимых значений переменных. В этом случае говорят, что задача разветвляется.

Очевидно, что возможен один из следующих четырех случаев.

Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нем и дают решение исходной задачи.

Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи на новых ограничениях по этой переменной, полученных разделением ее ближайших к решению целочисленных значений.

Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой. Для определенности здесь и далее полагаем, что решается задача о максимуме целевой функции. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.

Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, произвести ветвление по дробной переменной и построить две новые задачи.

Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и производим ветвление на две новые задачи, разбивая область изменения этой переменной на две, ограниченные целыми числами справа и слева соответственно.

Таким образом, процесс построения все новых и новых задач может быть представлен на рисунке в виде ветвистого дерева, с вершиной, обозначенной «задача 1», и отходящими от этой вершины ветвями. Такая последовательность действий при нахождении оптимального решения задачи целочисленного программирования нашла свое отражение в названии этого метода.

Исходная вершина отвечает оптимальному плану исходной задачи 1, а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам новых задач, построенных для новых ограничений по одной из переменных, имеющих в оптимальном плане задачи 1 значение в виде дробного числа.

Каждая из вершин имеет свои ответвления, при этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение целевой функции будет наибольшим.

Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные значения, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

Пример . Найти методом ветвей и границ решение задачи целочисленного программирования

Решение . Находим оптимальный план сформулированной задачи симплексным методом без учета целочисленности переменных, а именно решаем задачу 1.

Оптимальный план задачи 1 линейного программирования

при
.

Для исходной задачи, с учетом целочисленности переменных, полученное решение не является оптимальным.

Для поиска целочисленного оптимального решения разделим интервал изменения переменной x 1 на две области, а именно x 1  и x 1 = 10 , и разобьем заданную задачу на две новые задачи.

Нижняя граница линейной функции не изменилась: Z 0 = 0. Решаем одну из задач, например задачу 3, симплексным методом. Получаем, что условия задачи противоречивы.

Решаем задачу 2 симплексным методом. Получаем оптимальный целочисленный план поставленной задачи 2, который является также оптимальным планом задачи 1:

при
.

Таким образом, в результате одного ветвления задачи было найдено ее оптимальное решение.

Здравствуй, Хабр! Реализовывая различные алгоритмы для нахождения гамильтонова цикла с наименьшей стоимостью, я наткнулся на публикацию , предлагающую свой вариант. Попробовав в деле, я получил неправильный ответ:

Дальнейшие поиски в Интернете не принесли ожидаемого результата: либо сложное для не-математиков теоретическое описание, либо понятное, но с ошибками.

Под катом вас будет ждать исправленный алгоритм и онлайн-калькулятор.

Сам метод, опубликованный Литтлом, Мерти, Суини, Кэрелом в 1963 г. применим ко многим NP-полным задачам, и представляет собой очень теоритеризованный материал, который без хороших знаний английского языка и математики сразу не применишь к нашей задаче коммивояжера.

Кратко о методе - это полный перебор всех возможных вариантов с отсеиванием явно неоптимальных решений.

Исправленный алгоритм, для нахождения действительно минимального маршрута

Алгоритм состоит из двух этапов:

Первый этап

Приведение матрицы затрат и вычисление нижней оценки стоимости маршрута r.

1. Вычисляем наименьший элемент в каждой строке (константа приведения для строки)
2. Переходим к новой матрице затрат, вычитая из каждой строки ее константу приведения
3. Вычисляем наименьший элемент в каждом столбце (константа приведения для столбца)
4. Переходим к новой матрице затрат, вычитая из каждого столбца его константу приведения.
Как результат имеем матрицу затрат, в которой в каждой строчке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент.
5. Вычисляем границу на данном этапе как сумму констант приведения для столбцов и строк (данная граница будет являться стоимостью, меньше которой невозможно построить искомый маршрут)

Второй (основной) этап

1.Вычисление штрафа за неиспользование для каждого нулевого элемента приведенной матрицы затрат.
Штраф за неиспользование элемента с индексом (h,k) в матрице, означает, что это ребро не включается в наш маршрут, а значит минимальная стоимость «неиспользования» этого ребра равна сумме минимальных элементов в строке h и столбце k.

А) Ищем все нулевые элементы в приведенной матрице
б) Для каждого из них считаем его штраф за неиспользование.
в) Выбираем элемент, которому соответствует максимальный штраф (любой, если их несколько)

2. Теперь наше множество S разбиваем на множества - содержащие ребро с максимальным штрафом(S w) и не содержащие это ребро(S w/o).
3. Вычисление оценок затрат для маршрутов, входящих в каждое из этих множеств.
а) Для множества S w/o все просто: раз мы не берем соответствующее ребро c максимальным штрафом(h,k), то для него оценка затрат равна оценки затрат множества S + штраф за неиспользование ребра (h,k)
б) При вычислении затрат для множества S w примем во внимание, что раз ребро (h,k) входит в маршрут, то значит ребро (k,h) в маршрут входить не может, поэтому в матрице затрат пишем c(k,h)=infinity, а так как из пункта h мы «уже ушли», а в пункт k мы «уже пришли», то ни одно ребро, выходящее из h, и ни одно ребро, приходящее в k, уже использоваться не могут, поэтому вычеркиваем из матрицы затрат строку h и столбец k. После этого приводим матрицу, и тогда оценка затрат для S w равна сумме оценки затрат для S и r(h,k), где r(h,k) - сумма констант приведения для измененной матрицы затрат.
4. Из всех неразбитых множеств выбирается то, которое имеет наименьшую оценку.

Так продолжаем, пока в матрице затрат не останется одна не вычеркнутая строка и один не вычеркнутый столбец.

Небольшая оптимизация - подключаем эвристику

Да, правда, почему бы нам не ввести эвристику? Ведь в алгоритме ветвей и границ мы фактически строим дерево, в узлах которого решаем брать ребро (h,k) или нет, и вешаем двух детей - Sw(h,k) и Sw/o(h,k). Но лучший вариант для следующей итерации выбираем только по оценке. Так давайте выбирать лучший не только по оценке, но и по глубине в дереве, т.к. чем глубже выбранный элемент, тем ближе он к концу подсчета. Тем самым мы сможем наконец дождаться ответа.

Теперь, собственно, об ошибках в той публикации

Ошибка была одна единственная - следует выбирать для разбиения множество с минимальной границей из всех возможных путей, а не из двух полученных в результате последнего разбиения детей.

Доказательство

Вернемся к картинке в начале поста:

А вот решение с исправленным алгоритмом:

Ответ: путь:3=>4=>2=>1=>5=>3 длина: 41
Как видите, включая ребро 5:2 в решение будет ошибкой. Что и требовалось доказать

График сравнения метода ветвей и границ и потраченного времени для случайной таблицы от 5х5 до 10х10:


График максимального и минимального потраченного времени для матриц от 5х5 до 66х66.


Попробовать с подробным решением можно

Рассмотрим задачу дискретного программирования в общем виде:

Найти -вектор неизвестных, D- конечное

множество допустимых значений этого вектора, F(x)- заданная целевая функция.

Идея метода состоит в разбиении D на непересекающиеся подмножества Di (эта процедура называется ветвлением) и вычислении верхней и нижней границ целевой функции на каждом из подмножеств. Нижнюю границу будем обозначать Н, а верхнюю Е. Соответственно Hi Eo, то это подмножество не содержит точку оптимума и может быть исключено из дальнейшего рассмотрения. Если верхняя граница Ei H заменяем Н на min Hi. Если Е=Н, то задача решена, иначе надо продолжить процедуру ветвления и вычисления верхней и нижней границ. При этом разбиению на очередном шаге могут подвергаться все или только некоторые подмножества до достижения равенства верхней и нижней границ, причём не на отдельном подмножестве, а для допустимой области в целом.

Простая идея метода ветвей и границ требует дополнительных вычислений для определения границ. Как правило, это приводит к решению вспомогательной оптимизационной задачи. Если эти дополнительные вычисления требуют большого числа операций, то эффективность метода может быть невелика.

Схему динамического программирования при движении от начальной точке к конечной (рис. 5.1) можно представлять как процедуру ветвления.

Множество всех допустимых траекторий (последовательность по-шаговых переходов) - это исходное множество D, на котором мы должны найти нижнюю и верхнюю границы, а также траекторию, на которой целевая функция достигает верхней границы и объявить рекордом соответствующее ей значение целевой функции. Построение множества состояний, получаемых после первого шага, - это первое ветвление.

Рис. 5.1.

Теперь подмножествами Di являются множества траекторий, каждая из которых проходит через соответствующую i-ую точку.

На последующих шагах после отбраковки всех путей, приводящих в любое (i-oe) состояние, кроме одного, соответствующим подмножеством является этот оставшийся путь со всеми его допустимыми продолжениями (рис. 5.1). Для каждого из таких подмножеств надо как-то найти верхнюю и нижнюю границы. Если нижняя граница превышает текущее значение рекорда, соответствующее состояние и все его продолжения отбраковываются. Если верхняя граница достигается на некоторой траектории и она меньше текущего значения рекорда, то получаем новый рекорд.

Эффективность такого подхода зависит от точности получаемых оценок, т.е. от Ei - Hi, и от затрат времени на их вычисление.

Фактически в упрощённом виде мы уже использовали этот метод при решении задачи о защите поверхности (разд. 4.6), когда отбраковывали состояния, для которых текущие затраты превышали суммарные затраты для начального приближения. В этом случае текущие затраты являются нижней границей, если считать нулевыми затраты на весь оставшийся путь, а суммарные затраты, соответствующие начальному приближению, являются рекордом. При таком подходе рекорд не обновлялся, хотя это можно было сделать построением начального приближения (верхней границы) для оставшегося пути подобно тому как это делалось для всей траектории при построении начального приближения. Получаемая без вычислений нижняя граница соответствует нулевым затратам на весь оставшийся путь и является крайне грубой оценкой, но получаемой «бесплатно», т.е. без вычислений.

Покажем как получать и использовать более точные оценки при решении рассмотренных выше и целого ряда других задач. При этом будем стремиться получать авозможно более точные границы при минимуме вычислений.

Ниже приведено условие задачи и текстовая часть решения. Все решение полностью, в формате doc в архиве, вы можете скачать. Некоторые символы могут не отображаться на странице, но документе word все отображается. Еще примеры работ по ЭМММ можно посмотреть

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Издательское предприятие должно выполнить в течении недели (число дней m = 5) работу по набору текста с помощью работников n категорий (высокая, средняя, ниже средней, низкая). Требуются определить оптимальную численность работников по категориям, при которой обеспечивается выполнение работы с минимальным расходом фонда зарплаты при заданных ограничениях. Исходные данные приведены в таблице 1 и 2.

Таблица 1

Таблица 2

Задача должна решаться методом целочисленного линейного программирования в Mathcad 2000/2001.

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Для расчета оптимальной численности работников, при которой обеспечивается минимум расхода фонда зарплаты, составляется математическая модель целочисленного линейного программирования, так как численность работников не может быть дробной величиной.

Решение задачи целочисленного программирования выполняется в два этапа.

На первом этапе выполняется задача линейного программирования без учета целочисленности.

На втором этапе производится пошаговый процесс замены нецелочисленных переменных ближайшими верхними или нижними целыми значениями.

Сначала решается, задача без учета условия целочисленности.

Целевая функция определяется по формуле:

где Q - общий фонд зарплаты на выполнение работы;

x 1 , x 2 , …, x n - численность работников по категориям;

n - число категорий работников;

c 1 , c 2 ,…, c n - дневная тарифная ставка одного работника по категориям;

m - число рабочих дней в неделю, m = 5.

Целевую функцию можно записать в векторной форме:

При решении задачи должны выполняться следующие ограничения. Ограничение сверху

x ≤ d (1)

задает максимальную численность работников по категориям, где d —вектор, определяющий численность по категориям.

В ограничении

учтено, что общая численность работников не должна превышать k max .

В ограничении снизу

р × х≥Р (3)

отражается, что все работники вместе должны выполнить заданный объем работ Р .

В качестве последнего ограничения записывается условие неотрицательности вектора переменных

x ≥0 (4)

Математическая модель решения задачи без учета условия целочисленности включает следующие выражения:

x ≤ d

р × х≥Р ,

x ≥ 0 .

Модель целочисленного программирования должна включать выражения (5), а также дополнительные ограничения, с помощью которых нецелочисленные переменные х заменяются целочисленными значениями. Конкретные выражения модели с целочисленными переменными рассмотрены в следующем подразделе.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В MATHCAD

Исходные данные для примера даны в табл. 1 и 2.

Для решения задачи используется пакет Mathcad с функцией Minimize. Данная функция определяет вектор решения задачи:

х := Minimize (Q , x ),

где Q — выражение целевой функции, определяющей минимальный фонд зарплаты, х - вектор переменных.

Сначала задача решается без учета условия целочисленности. Это решение приведено в Приложении 1. В первой строке введены нулевые начальные значения вектора х и целевая функция Q (x ) . После слова Given и перед функцией Minimize указаны ограничения. В результате получена нецелочисленная оптимальная численность по категориям:

х =

с фондом зарплаты Q = 135 у. е.

Из данного решения находится целочисленное решение методом ветвей и границ.

Сначала в полученном решении анализируется дробная величина х 4 =
= 1,143. Для нее можно задать два целочисленных значения: х 4 = 1 и х 4 = 2. Начинается построение дерева решений (Приложение 2). На дереве решений откладывается начальный нулевой узел. Затем он соединяется первым узлом х 4 , и из этого узла проводятся две ветви, соответствующие ограничениям: х 4 = 1 и х 4 = 2.

Для ветви с ограничением х 4 = 1 решается задача линейного программирования, данная в Приложении 1, с учетом этого ограничения.

В результате получено решение этой задачи. Переменная х 1 стала целочисленная, но переменная х 2 стала дробной х 2 = 0,9.

Для продолжения ветви создается узел х 3 и ветвь х 3 = 1. Снова выполняется задача линейного программирования со всеми тремя ограничениями: x 4 = 1, х 2 = 1, х 3 = 1. С этими ограничениями задача имеет решение х Т =
= (1,938 1 1 1).

Для продолжения ветви создается узел х 1 и ветвь х 1 = 2. Снова выполняется задача линейного программирования со всеми тремя ограничениями: x 4 = 1, х 2 = 1, х 3 = 1, х 1 = 2. С этими ограничениями задача имеет решение х Т = = (2 1 1 1).

Процесс построения дерева решении и выполнение задачи линейного программирования повторяется, пока не будут построены все ветви.

В Приложении 2 приводится полное дерево возможных целочисленных решений, из которого следуют, что в задаче имеется 4 результативных решения.

Из результативных выбирается наилучшее и оно принимается как оптимальное целочисленное решение всей задачи с минимальной величиной Q (x ) . В нашем случае мы имеем два оптимальных целочисленных решения

Q (х) = 140,

x T = (2 1 1 1),

x T = (1 1 2 2).

Следовательно, издательская организация должна привлечь для набора текста двух работников высокой категории, одного работника средней категории, одного работника ниже средней категории и одного работника низкой категории. Возможен так же другой равнозначный вариант привлечения работников: один работник высокой категории, один работник средней категории, два работника категории ниже средней и два работника низкой категории. В обоих вариантах затраты будут минимальными и составят 140 ден. ед.

Скачать решение задачи:

Имя файла: 2.rar
Размер файла: 24.99 Kb

Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните

Одна из самых известных и важных задач транспортной логистики (и класса задач оптимизации в целом) – задача коммивояжера (англ. «Travelling salesman problem», TSP ). Также встречается название «задача о бродячем торговце ». Суть задачи сводится к поиску оптимального, то есть кратчайшего пути проходящего через некие пункты по одному разу. Например, задача коммивояжера может применяться для нахождения самого выгодного маршрута, позволяющего объехать определенные города со своим товаром по одному разу и вернуться в исходную точку. Мерой выгодности маршрута будет минимальное время, проведенное в пути, минимальные расходы на дорогу или, в простейшем случае, минимальная длина пути.

Кто и когда впервые начал исследовать задачу коммивояжера неизвестно, но одним из первых предложил решение подобной проблемы выдающийся математик XIX в. – Уильям Гамильтон. Здесь мы рассмотрим замкнутый вариант задачи (т.е. такой, когда в итоге мы возвращаемся в исходную точку) и ее решение методом ветвей и границ .

Общий план решения задачи коммивояжера

Для решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ необходимо выполнить следующий алгоритм (последовательность действий):

1. Построение матрицы с исходными данными.
2. Нахождение минимума по строкам.
3. Редукция строк.
4. Нахождение минимума по столбцам.
5. Редукция столбцов.
6. Вычисление оценок нулевых клеток.
7. Редукция матрицы.
8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9.
9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута.

Более подробно эти этапы решения задачи о бродячем торговце раскрыты ниже.

Подробная методика решения задачи коммивояжера

В целях лучшего понимания задачи будем оперировать не понятиями графа, его вершин и т.д., а понятиями простыми и максимально приближенными к реальности: вершины графа будут называться «города», ребра их соединяющие – «дороги».

Итак, методика решения задачи коммивояжера:

1. Построение матрицы с исходными данными

Сначала необходимо длины дорог соединяющих города представить в виде следующей таблицы:

В нашем примере у нас 4 города и в таблице указано расстояние от каждого города к 3-м другим, в зависимости от направления движения (т.к. некоторые ж/д пути могут быть с односторонним движением и т.д.).

Расстояние от города к этому же городу обозначено буквой M. Также используется знак бесконечности. Это сделано для того, чтобы данный отрезок путь был условно принят за бесконечно длинный. Тогда не будет смысла выбрать движение от 1-ого города к 1-му, от 2-ого ко 2-му, и т.п. в качестве отрезка маршрута.

2. Нахождение минимума по строкам

Находим минимальное значение в каждой строке (di ) и выписываем его в отдельный столбец.

3. Редукция строк

Производим редукцию строк – из каждого элемента в строке вычитаем соответствующее значение найденного минимума (di).

В итоге в каждой строке будет хотя бы одна нулевая клетка .

4. Нахождение минимума по столбцам

5. Редукция столбцов

Вычитаем из каждого элемента матрицы соответствующее ему dj.

В итоге в каждом столбце будет хотя бы одна нулевая клетка .

6. Вычисление оценок нулевых клеток

Для каждой нулевой клетки получившейся преобразованной матрицы находим «оценку ». Ею будет сумма минимального элемента по строке и минимального элемента по столбцу, в которых размещена данная нулевая клетка. Сама она при этом не учитывается. Найденные ранее di и dj не учитываются. Полученную оценку записываем рядом с нулем, в скобках.

И так по всем нулевым клеткам:

7. Редукция матрицы

Выбираем нулевую клетку с наибольшей оценкой. Заменяем ее на «М ». Мы нашли один из отрезков пути. Выписываем его (от какого города к какому движемся, в нашем примере от 4-ого к 2-му).

Ту строку и тот столбец, где образовалось две «М» полностью вычеркиваем. В клетку, соответствующую обратному пути , ставим еще одну букву «М» (т.к. мы уже не будем возвращаться обратно).

8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9

Если мы еще не нашли все отрезки пути, то возвращаемся ко 2 -му пункту и вновь ищем минимумы по строкам и столбцам, проводим их редукцию, считаем оценки нулевых клеток и т.д.

Если все отрезки пути найдены (или найдены еще не все отрезки, но оставшаяся часть пути очевидна) – переходим к пункту 9 .

9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута

Найдя все отрезки пути, остается только соединить их между собой и рассчитать общую длину пути (стоимость поездки по этому маршруту, затраченное время и т.д.). Длины дорог соединяющих города берем из самой первой таблицы с исходными данными.

В нашем примере маршрут получился следующий: 4 → 2 → 3 → 1 → 4 .

Общая длина пути: L = 30 .

Практическое применение задачи коммивояжера

Применение задачи коммивояжера на практике довольно обширно. В частности ее можно использовать для поиска кратчайшего маршрута при гастролях эстрадной группы по городам, нахождения последовательности технологических операций обеспечивающей наименьшее время выполнения всего производственного цикла и пр.

Решение задачи коммивояжера онлайн

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на