Форма амплитудно-частотной характеристики есть не что иное как спектральное изображение затухающего синусоидального сигнала. Кроме того, как известно, подобную форму имеет амплитудно-частотная проходная характеристика одиночного электрического колебательного контура.

Зависимость между формой амплитудно-частотной характеристики тех или иных устройств и свойствами сигнала изучают в основах теоретической электротехники и теоретической радиотехники. Вкратце, то, что нас сейчас должно интересовать из этого, заключается в следующем.

Амплитудно-частотная характеристика колебательного контура по очертаниям совпадает с изображением частотного спектра сигнала, который возникает при ударном возбуждении этого колебательного контура. Для иллюстрации этого момента приведен рис.1-3, на котором изображена затухающая синусоида, которая возникает при ударном воздействии на колебательный контур. Этот сигнал приведен во временно м (а ) и спектральном (b ) изображении.

Рис. 1-3

Согласно разделу математики, называемому спектрально-времен-ными преобразованиями, спектральное и временное изображение одного и того же изменяющегося во времени процесса являются как бы синонимами, они эквивалентны и идентичны друг другу. Это можно сравнить с переводом одного и того же понятия с одного языка на другой. Любой человек, знакомый с этим разделом математики, скажет, что рисунки 1-3а и 1-3b эквивалентны друг другу. Кроме того, спектральное изображение этого сигнала, полученного при ударном возбуждении колебательной системы (колебательного контура) одновременно является геометрически подобным амплитудно-частотной характеристике этого самого контура.

Нетрудно заметить, что график (b ) на рис.1-3 геометрически подобен графику 3 на рис.1-1. То есть, увидев, что в результате измерений был получен график 3 , я сразу отнесся к нему не просто как к амплитудно-частотной характеристике затухания звука в породах кровли, но и как к свидетельству наличия в породной толще колебательной системы.

С одной стороны, наличие колебательных систем в горных породах, залегающих в кровле подземной выработки у меня не вызвало никаких вопросов, потому что другими способами получить синусоидальный (или, иначе говоря, гармонический) сигнал невозможно. С другой стороны, о наличии колебательных систем в земной толще я никогда раньше не слышал.

Для начала, напомним определение колебательной системы. Колебательная система - это объект, который на ударное (импульсное) воздействие реагирует затухающим гармоническим сигналом. Или, иначе говоря, это объект, обладающий механизмом преобразования импульса (удара) в синусоиду.

Параметры затухающего синусоидального сигнала - это частота f 0 и добротность Q , величина которой обратно пропорциональна коэффициенту затухания. Как видно из рис.1-3, оба эти параметра могут быть определены как из временного, так и из спектрального изображения этого сигнала.

Спектрально-временные преобразования - самостоятельный раздел математики, и один из выводов, который мы должны сделать из знания этого раздела, а также из формы амплитудно-частотной характеристики звукопроводности породного массива, изображенной на рис.1-1 (кривая 3), состоит в том, что по акустическим свойствам исследуемый породный массив проявил свойство колебательной системы.

Этот вывод является совершенно очевидным для любого, кто знаком со спектрально-временными преобразованиями, но категорически неприемлем для тех, кто профессионально занимается акустикой твердых сред, сейсморазведкой или вообще геофизикой. Так сложилось, что в курсе обучения студентов этих специальностей этот материал не дают.

Как известно, в сейсморазведке принято считать, что единственным механизмом, обуславливающим форму сейсмосигнала, является распространение поля упругих колебаний по законам геометрической оптики, отражение его от залегающих в земной толще границ и интерференция между отдельными составляющими сигнала. Считается, что форма сейсмосигналов обусловлена характером интерференции между множеством мелких эхо-сигналов, то есть отражений от множества мелких, залегающих в горном массиве границ. Кроме того, считается, что с помощью интерференции можно получить сигнал любой формы.

Да, это всё так, но в том-то и дело, что гармонический (в том числе, и гармонический затухающий) сигнал является исключением. Его интерференцией получить невозможно.

Синусоида - это элементарный информационный кирпичик, не подлежащий разложению на более простые составляющие, потому что проще, чем синусоида, сигнала в природе не существует. Именно поэтому, кстати, ряд Фурье - это совокупность именно синусоидальных членов. Будучи элементарным, неделимым информационным элементом, синусоида не может быть получена путем сложения (интерференции) каких бы то ни было других, еще более простых составляющих.

Получить гармонический сигнал можно одним-единственным путем - а именно, воздействием на колебательную систему. При ударном (импульсном) воздействии на колебательную систему возникает затухающая синусоида, а при периодическом или шумовом воздействии - незатухающая синусоида. А следовательно, увидев, что амплитудно-частотная характеристика некоего объекта геометрически подобна спектральному изображению гармонического затухающего сигнала, уже нельзя относиться к этому объекту иначе, как к колебательной системе.

Перед тем как проводить первые свои измерения в шахте, я, как и все остальные люди, функционирующие в области акустики твердых сред и сейсморазведки, был убежден, что никаких колебательных систем в породном массиве нет и быть не может. Однако обнаружив такую амплитудно-частотную характеристику затухания, я уже просто не имел права оставаться при этом мнении.

Проведение измерений, аналогичных описанным выше, весьма трудоемко, и обработка результатов этих измерений занимает много времени. Поэтому, увидев, что по характеру звукопроводности породный массив является колебательной системой, я понял, что следует использовать другую схему измерений, которую применяют при исследовании колебательных систем, и которую мы используем и по сей день. По этой схеме, источником зондирующего сигнала служит импульсное (ударное) воздействие на горный массив, а приемником - сейсмоприемник, специально предназначенный для проведения спектрально-сейсморазведочных измерений. Схема индикации и обработки сейсмосигнала позволяет наблюдать его как во временном, так и в спектральном виде.

Применив эту схему измерений в той же точке подземной выработки, что и при первом нашем измерении, мы убедились в том, что при ударном воздействии на породный массив кровли, сигнал, возникающий при этом, действительно имеет вид затухающей синусоиды, подобный показанному на рис.1-3a , а спектральное изображение ее подобно графику, показанному на рис.1-3b .

Чаще всего бывает, что сейсмосигнал содержит не одну, а несколько гармонических составляющих. Однако сколько бы ни было гармонических составляющих, они все возникают исключительно вследствие наличия соответствующего количества колебательных систем.

Многократные исследования сейсмосигналов, полученных в самых различных условиях - и в подземных выработках, и на земной поверхности, и в условиях осадочного чехла, и при исследовании пород кристаллического фундамента - показали, что во всех возможных случаях сигналов, полученных не в результате наличия колебательных систем, а в результате интерференционных процессов, не существует.

1. Строго говоря, форма спектра затухающего гармонического сигнала не совсем колоколообразная, но для нас сейчас эта неточность не имеет значения.

Фурье-изображения - комплексные коэффициенты ряда Фурье F (j w k ) периодического сигнала (1) и спектральная плотность F (j w) непериодического сигнала (2) - обладают рядом общих свойств.

1. Линейность . Интегралы (1) и (2) осуществляют линейное преобразование функции f (t ). Поэтому Фурье-изображение линейной комбинации функций равно аналогичной линейной комбинации их изображений. Если f (t ) = a 1 f 1 (t ) + a 2 f 2 (t ), то F (j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), где F 1 (j w) и F 2 (j w) - Фурье-изображения сигналов f 1 (t ) и f 2 (t ), соответственно.

2. Задержка (изменение начала отсчета времени для периодических функций). Рассмотрим сигнал f 2 (t ), задержанный на время t 0 относительно сигнала f 1 (t ), имеющего такую же форму: f 2 (t ) = f 1 (t – t 0). Если сигнал f 1 имеет изображение F 1 (j w), то Фурье-изображение сигнала f 2 равно F 2 (j w) = = . Домножив и разделив на , сгруппируем члены следующим образом:

Поскольку последний интеграл равен F 1 (j w), то F 2 (j w) = e -j wt 0 F 1 (j w). Таким образом, при задержке сигнала на время t 0 (изменении начала отсчета времени) модуль его спектральной плотности не изменяется, а аргумент уменьшается на величину wt 0 , пропорциональную времени задержки. Поэтому амплитуды спектра сигнала не зависят от начала отсчета, а начальные фазы при задержке на t 0 уменьшаются на wt 0 .

3. Симметрия . Для действительного f (t ) изображение F (j w) обладает сопряженной симметрией: F (– j w) = . Если f (t ) - четная функция, то Im F (j w) = 0; для нечетной функции Re F (j w) = 0. Модуль |F (j w)| и вещественная часть Re F (j w) - четные функции частоты, аргумент arg F (j w) и Im F (j w) - нечетные.

4. Дифференцирование . Из формулы прямого преобразования, интегрируя по частям, получим связь изображения производной сигнала f (t ) с изображением самого сигнала

Для абсолютно интегрируемой функции f (t ) внеинтегральный член равен нулю, и, следовательно, при , а последний интеграл представляет Фурье-изображение исходного сигнала F (j w). Поэтому Фурье-изображение производной df /dt связано с изображением самого сигнала соотношением j wF (j w) - при дифференцировании сигнала его Фурье-изображение умножается на j w. Это же соотношение справедливо и для коэффициентов F (j w k ), которые определяются интегрированием в конечных пределах от – T /2 до + T /2. Действительно, произведение в соответствующих пределах

Поскольку вследствие периодичности функции f (T /2) = f (– T /2), а = = = (– 1) k , то и в этом случае внеинтегральный член пропадает, и справедлива формула

где стрелкой символически обозначена операция прямого преобразования Фурье. Это соотношение обобщается и на многократное дифференцирование: для n -й производной имеем: d n f /dt n (j w) n F (j w).

Полученные формулы позволяют найти Фурье-изображение производных функции по ее известному спектру. Эти формулы удобно также применять в случаях, когда в результате дифференцирования приходим к функции, Фурье-изображение которой вычисляется более просто. Так, если f (t ) - кусочно-линейная функция, то ее производная df /dt - кусочно-постоянная, и для нее интеграл прямого преобразования находится элементарно. Для получения спектральных характеристик интеграла функции f (t ) ее изображение следует разделить на j w.

5. Дуальность времени и частоты . Сопоставление интегралов прямого и обратного преобразований Фурье приводит к выводу о их своеобразной симметрии, которая становится более очевидной, если формулу обратного преобразования переписать, перенося множитель 2p в левую часть равенства:

Для сигнала f (t ), являющегося четной функцией времени f (– t ) = f (t ), когда спектральная плотность F (j w) - вещественная величина F (j w) = F (w), оба интеграла можно переписать в тригонометрической форме косинус-преобразования Фурье:

При взаимной замене t и w интегралы прямого и обратного преобразований переходят друг в друга. Отсюда следует, что если F (w) представляет спектральную плотность четной функции времени f (t ), то функция 2pf (w) является спектральной плотностью сигнала F (t ). Для нечетных функций f (t ) [f (t ) = – f (t )] спектральная плотность F (j w) чисто мнимая [F (j w) = jF (w)]. Интегралы Фурье в этом случае приводятся к виду синус-преобразований, из которых следует, что если спектральная плотность jF (w) соответствует нечетной функции f (t ), то величина j 2pf (w) представляет спектральную плотность сигнала F (t ). Таким образом, графики временной зависимости сигналов указанных классов и его спектральной плотности дуальны друг другу.

Интеграл (1)

Интеграл (2)

В радиотехнике широко используется спектральное и временное представление сигналов. Хотя сигналы по своей природе являются случайными процессами, однако, отдельные реализации случайного процесса и некоторые специальные (например, измерительные) сигналы можно считать детерминированными (то есть известными) функциями. Последние принято делить на периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов не существует. Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию

на интервале времени ,где Т - постоянная величина, называемая периодом, а k-любое целое число.

Простейшим примером периодического сигнала является гармоническое колебание (или коротко гармоника).

где - амплитуда, = - частота, - круговая частота, - начальная фаза гармоники.

Важное значение понятия гармоники для теории и практики радиотехники объясняется рядом причин:

1. гармонические сигналы сохраняют свою форму и частоту при прохождении через стационарные линейные электрические цепи (например, фильтры), меняя лишь амплитуду и фазу;
2. гармонические сигналы достаточно просто вырабатываются (например, при помощи автогенераторов LC).

Непериодическим сигналом называется сигнал, который отличен от нуля на конечном интервале времени. Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, но с бесконечно большим периодом. Одной из основных характеристик непериодического сигнала является его спектр. Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала, от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала - это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частоты гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют. Для непериодического сигнала спектр - это прямое преобразование Фурье сигнала. Итак, спектр периодического сигнала - это дискретный спектр (дискретная функция частоты), в то время как для непериодического сигнала характерен сплошной спектр (непрерывный) спектр.

Обратим внимание на то, что дискретный и непрерывный спектры имеют разные размерности. Дискретный спектр имеет ту же размерность, что и сигнал, в то время как размерность непрерывного спектра равна отношению размерности сигнала к размерности частоты. Если, например, сигнал представлен электрическим напряжением, то дискретный спектр будет измеряться в вольтах [B], а непрерывный - в вольт на герц [ B/Гц]. Поэтому для непрерывного спектра употребляют также термин "спектральная плотность".

Рассмотрим сначала спектральное представление периодических сигналов. Из курса математики известно, что любую периодическую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле (одним из необходимых является условие, чтобы энергия была конечной), можно представить рядом Фурье в тригонометрической форме:

где определяет среднее значение сигнала за период и называется постоянной составляющей. Частота называется основной частотой сигнала (частота первой гармоники), а кратные ей частоты - высшими гармониками. Выражение (3) можно представить в виде:

Обратные зависимости для коэффициентов а и b имеют вид

На рисунке 1 приведен типичный вид графика спектра амплитуд периодического сигнала для тригонометрической формы ряда (6):

С использованием выражения (формула Эйлера).

вместо (6) можно записать комплексную форму ряда Фурье:

где коэффициент называются комплексными амплитудами гармоник, значения которых, как следует из (4) и формулы Эйлера, определяется выражением:

Сравнивая (6) и (9), замечаем, что при использовании комплексной формы записи ряда Фурье отрицательные значения k позволяют говорить о составляющих с "отрицательными частотами". Однако, появление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала.

Тогда вместо (9) получим:

имеет размерность [амплитуда/герц] и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на полосу в 1 Герц. Поэтому эта непрерывная функция частоты S(jw) называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью. Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выражения (10) и (11) замечаем, что при w=kwo они отличаются лишь постоянным множителем, а

т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т можно определить по спектральной характеристике непериодической функции такой же формы, заданной в интервале . Сказанное справедливо и по отношению к модулю спектральной плотности:

Из этого соотношения следует, что огибающая сплошного амплитудного спектра непериодического сигнала и огибающая амплитуд линейчатого спектра периодического сигнала совпадают по форме и отличаются лишь масштабом. Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Умножая обе части неравенства (14) на s(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим:

где S(jw) и S(-jw) - комплексно-сопряженные величины. Так как

Это выражение называется равенством Парсеваля для непериодического сигнала. Оно определяет полную энергию сигнала. Отсюда следует, что есть не что иное, как энергия сигнала, приходящаяся на 1 Гц полосы частот около частоты w. Поэтому функцию иногда называют спектральной плотностью энергии сигнала s(t). Приведем теперь без доказательства несколько теорем о спектрах, выражающих основные свойства преобразования Фурье.

Цель работы- ознакомление с принципами измерения спектрального состава электрических сигналов, получение навыков работы с анализаторами спектра, измерение спектрального состава электрических сигналов.

Программа работы.

• 1. Проверка основных технических характеристик анализатора спектра.
• 2. Измерение спектрального состава периодических импульсных сигналов.
• 3. Измерение спектрального состава модулированных колебаний.

Основные положения.

Спектральный состав электрических сигналов. Для анализа формы электрических сигналов широко используют измерение их спектрального состава (частотного). Сложные периодические сигналы полностью описываются амплитудами и фазами их спектральных составляющих, однако в большинстве случаев достаточно иметь информацию об амплитуде и частоте составляющих спектра сигнала, т.е. об амплитудно-частотном спектре.

Теоретически спектральный состав периодического сигнала можно определить в результате разложения его в ряд Фурье:

спектральный электрический сигнал анализатор

где A 0 - постоянная составляющая сигнала, А к - амплитуда к - й гармоники, - начальная фаза к - й гармоники, W -частота первой (основной) гармоники, к - порядковый номер гармоники.

Из выражения (1) следует, что спектр периодического сигнала является дискретным или линейным. В общем случае периодический сигнал содержат не зависящую от времени постоянную составляющую A 0 и бесконечный набор гармонических колебаний называемых гармониками, с частотами кратными основной частоте периодической последовательности.

Постоянную составляющую сигнала определяют как его среднее значение за время, равное периоду Т:

Амплитуды отдельных гармоник определяют по формуле

Зависимость амплитуды А к от частоты представляет собой амплитудно-частотный спектр и графически изображается в виде спектральной диаграммы, приведенной на рис. 1.

Кроме амплитудного спектра теоретически можно определить и фазовый спектр, который представляет собой зависимость начальных фаз от частоты. Начальные фазы отдельных гармоник рассчитываются по формуле

В табл.1 приведены амплитудные спектры некоторых периодических сигналов.

Таблица 1

Исходный сигнал	Амплитудный спектр
Прямоугольный импульсы
Амплитудно-модулированный сигнал
Амплитудно-манипулированный сигнал

Непериодические сигналы в отличие от периодических имеют непрерывный спектр, т.е, в их составе присутствуют все частоты без исключения. Однако амплитуды отдельных спектральных составляющих в таких сигналах бесконечно малы, поэтому их спектральный состав описывают не амплитудами отдельных гармоник, а спектральной плотностью Х() , под которой понимают отношение приращения амплитуды А к приращению частоты на некоторой частоте, т.е.

Теоретически комплексную спектральную плотность непериодического сигнала, x(t) можно определить с помощью интеграла Фурье.

При этом комплексная спектральная плотность (6) несет информацию не только об амплитудах, но и о фазах спектральных составляющих сигнала. Амплитудный спектр сигнала x(t) определяется модулем спектральной плотности (6)

Кроме спектральной плотности амплитуд теоретически можно определить спектральную плотность фаз

Приборы для анализа спектра электрических сигналов, или спектроанализаторы, предназначены для исследования амплитудно-частотного спектра периодических электрических сигналов. По принципу действия эти приборы можно разделить на приборы параллельного, последовательного и последовательно-параллельного анализа.

Структурная схема параллельного спектроанализатора приведена на рис.2. Исследуемый электрический сигнал подводится к ряду параллельно включенных электрических фильтров, каждый из которых выделяет из спектра сигнала только одну гармонику. На выходе фильтров включены индикаторы амплитуды гармоник, на которых можно увидеть значения амплитуд отдельных гармоник.

Точность измерения частот спектральных составляющих определяется полосой пропускания каждого фильтра. Практически полосы пропускания соседних фильтров несколько перекрываются, как показано на рис.3, поэтому при измерении спектра при помощи фильтров можно определять амплитуды сигналов в некоторой полосе частот, совпадающей с полосой пропускания фильтра. Для повышения точности анализа полосу пропускания фильтров делают возможно более узкой, однако при этом резко увеличивается необходимое количество фильтров, что существенно усложняет аппаратуру.

Структурная схема последовательного спектроанализатора приведена на рис.4. Исследуемый электрический сигнал x(t) подводится к смесителю СМ, в котором осуществляется перемножение сигнала x(t) с гармоническим сигналом, поступающим от гетеродина Г. Полосовой фильтр ПФ выделяет из спектра на выходе смесителя сигнал, частота которого равна разности частоты гармоники входного сигнала и частоты гетеродина. Изменяя частоту гетеродина, можно измерить амплитуды всех гармоник сигнала x(t). На выходе полосового фильтра ПФ включен индикатор, в качестве которого наиболее часто используют электроннолучевую трубку (ЭЛТ).

И если исследуемый сигнал x(t) имеет спектральный состав, определяемый выражением

а гармонический сигнал гетеродина равен

то сигнал на выходе смесителя определяется выражением

Составляющая сигнала, для которой выполняется условие

где - частота фильтра, проходит на выход фильтра и индицируется на экране ЭЛТ.

Изменение частоты гетеродина позволяет при постоянной частоте фильтра выделять из спектра сигнала x(t) гармоники с порядковым номером

Для определения частоты каждой составляющей спектра перестройка частоты гетеродина согласована во времени с горизонтальным перемещением луча электронно-лучевой трубки. Для этого используют единый генератор развертки ГР, обеспечивающий перестройку гетеродина синхронно, с перемещением луча по экрану. Структурная схема последовательного спектроанализатора с электроннолучевой трубкой приведена на рис.5.

Таким образом, в последовательном спектроанализаторе последовательно выделяются частотные составляющие спектра исследуемого сигнала при помощи не перестраиваемого полосового фильтра ПФ. Однако при быстром изменении частоты гетеродина напряжение на выходе полосового фильтра не успевает устанавливаться и возникает специфическая погрешность, обусловленная динамическим режимом измерения. Для снижения динамической погрешности перестройка гетеродина проводится очень медленно, что приводит к увеличению времени анализа.

Структурная схема последовательно-параллельного спектроанализатора приведена на рис.6. Исследуемый сигнал x(t) подводится, как и в параллельном спектроанализаторе, к ряду полосовых фильтров. Однако для получения изображения спектра на экране электронно-лучевой трубки (ЭЛТ) выходы фильтров подключаются поочередно при помощи коммутатора К. Таким образом, исключаются нестационарные режимы обусловленные перестройкой гетеродина, и уменьшается время анализа.

Последовательно-параллельный анализатор спектра повышенной точности требует большого количества фильтров, полосы которых не должны практически перекрываться. Ширина полосы пропускания отдельных фильтров определяет погрешность измерения частоты гармонических составляющих.

Основные технические характеристики последовательного спектроанализатора. К основным техническим характеристикам последовательного спектроанализатора относят: диапазон частот F, анализируемого сигнала, полосу обзора F К, полосу пропускания F фильтра, время анализа, погрешности измерения частоты и амплитуды спектральных составляющих.

Диапазон частот P анализируемого сигнала характеризует полосу частот, в которой могут быть определены гармоники. Этот диапазон в приборе разделен на участки F K , которые называют полосами обзора. В пределах полосы обзора F K из спектра исследуемого сигнала выделяют отдельные гармоники с разрешающей способностью, равной полосе пропускания F фильтра.

Для анализа спектра в полосе частот F требуется время

Время анализа в полосе частот F анализируемого сигнала увеличивается соответственно в F/ F раз и равно

В связи с этим последовательный анализ при полосе пропускания практически не используют из-за большого времени анализа. Это обстоятельство ограничивает нижний частотный диапазон последовательных анализаторов значениями 5,....., 10 Гц.

В последовательных анализаторах погрешности измерения частоты и амплитуды спектральных составляющих можно разделить на статические и динамические. Статические погрешности обусловлены неточной установкой частоты гетеродина, неравномерностью амплитудно-частотной характеристики смесителя, погрешностью отсчетных делителей и погрешностью шкалы индикатора.

Динамические погрешности обусловлены перестройкой частоты гетеродина в пределах полосы обзора. При изменении частоты гетеродина изменяется разностная частота на входе полосового фильтра ПФ, и амплитуда напряжения на выходе фильтра не успевает достигнуть установившегося значения. Это приводит к деформации амплитудно-частотной характеристики фильтра, которая характеризуется относительным изменением максимума частотной характеристики фильтра

и относительным смещением частоты максимума

относительно статической характеристики фильтра, где частота динамической характеристики ПФ; - частота статической характеристики ПФ; - значение максимума динамической частотной характеристики ПФ; - значение максимума статической частотной характеристики ПФ.

Полоса пропускания фильтра в динамическом режиме также изменяется, что характеризуется относительным ее расширением

где - полоса пропускания ПФ в динамическом режиме; - полоса пропускания ПФ в статическом режиме.

Анализатор спектра С4-25 предназначен для наблюдения и измерения спектров периодических модулированных и немодулированных сигналов. Основные технические характеристики прибора приведены в табл.2.

Таблица 2

Структурная схема прибора приведена на рис. 7. Исследуемый сигнал x(t) через входной делитель ВД и фильтр нижних частот ФНЧ поступает на смеситель СМ, где преобразуется в частоту 108 МГц. Гетеродин Г1 перестраивается в диапазоне частоты от 108 до 158 МГц. Полоса обзора определяется диапазоном изменения частоты гетеродина и изменяется в пределах от 0 до 50 МГц. Это позволяет просматривать спектр во всем диапазоне частот, при необходимости исследовать его более подробно на любом участке диапазона прибора.

Для снижения помех от преобразователя частоты в приборе использовано двойное преобразование частоты при помощи второго смесителя СМИ и второго гетеродина Г2, работающего на частоте 100 МГц. На выходе второго смесителя образуется сигнал с частотой 8160 кГц, который проходит через полосовой фильтр ПФ с полосой пропускания 300 кГц или кварцевый фильтр КФ с регулируемой полосой пропускания в пределах от 3 до 70 кГц.

После фильтрации сигнал детектируется детектором Д, усиливается усилителем У и поступает на вертикальные отклоняющие пластины электронно-лучевой трубки ЭЛТ. Генератор развертки ГР обеспечивает изменение частоты гетеродина Г1 и синхронную с ним развертку луча ЭЛТ.

Измерение частоты и частотных интервалов проводится с помощью меток, в качестве которых используются спектральные составляющие калибратора К. Фиксированные интервалы между метеками 0,1, I и 10 МГц определяются по шкале с помощью переключателя меток. Основные органы управления анализатора спектра и их назначение приведено в табл.3.

Таблица 3.

Орган управления	Назначение
Центральная частота	Перестройка частоты настройки прибора в пределах от 20 кГц до 50 МГц
	Грубое и плавное изменение полосы обзора в пределах от 0 до 50 МГц
Полоса пропускания	Изменение полосы пропускания: фиксирования полоса 300 кГц или плавно регулируемая полоса - 3-70 кГц
Развертка	Изменение скорости развертки. В положение ВЫКЛ развертка выключается
Верт. Масштаб	Изменение масштаба индикатора по вертикальной оси
детектора	Изменение постоянной времени детектора. При увеличение постоянной времени уменьшается уровень шумов без изменения среднего уровня
Чувствительность	Изменение ослабления входного делителя
Отсчет амплитуд	Относительное изменение уровня составляющий спектр

Общие замечания

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

В радиотехнике приходится иметь дело с электрическими сигналами, которые связаны с передаваемыми сообщениями принятым способом кодирования.

Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой физический (электрический) процесс, несущий в себе информацию. Количество информации, которое можно передать с помощью некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длительности, полосы частот, мощности и некоторых других характеристик. Важное значение имеет также уровень помех в канале связи: чем меньше этот уровень, тем большее количество информации можно передать с помощью сигнала с заданной мощностью. Прежде чем говорить об информационных возможностях сигнала, необходимо ознакомиться с его основными характеристиками. Целесообразно рассмотреть отдельно детерминированные и случайные сигналы.

Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью единица.

Примерами детерминированных сигналов могут служить импульсы или пачки импульсов, форма, величина и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра. Детерминированные сигналы можно подразделить на периодические и непериодические.

Периодическим называется любой сигнал, для которого выполняется условие

где период Т является конечным отрезком, а k - любое целое число.

Простейшим периодическим детерминированным сигналом является гармоническое колебание. Строго гармоническое колебание называют монохроматическим. Этот заимствованный из оптики термин подчёркивает, что спектр гармонического колебания состоит из одной спектральной линии. У реальных сигналов, имеющих начало и конец, спектр неизбежно размывается. Поэтому строго монохроматического колебания в природе не существует. В дальнейшем под гармоническим и монохроматическим сигналом условно будет подразумеваться колебание. Любой сложный периодический сигнал, как известно, можно представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте w = 2*Pi/T. Основной характеристикой сложного периодического сигнала является его спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гармоник.

Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие s(t)s(t+kT).

Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени. Примерами таких сигналов могут служить уже упоминавшиеся импульсы, пачки импульсов, «обрывки» гармонических колебаний и т.д. Непериодические сигналы представляют основной интерес, так как именно они преимущественно используются в практике.

Основной характеристикой непериодического, как и периодического сигнала, является его спектральная функция;

К случайным сигналам относят сигналы, значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Такими функциями являются, например, электрическое напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. К случайным сигналам относится также последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного приёмника, когда амплитуды импульсов и фазы их высокочастотного заполнения флуктуируют из-за изменения условий распространения, положения цели и некоторых других причин. Можно привести большое число других примеров случайных сигналов. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случайный. Перечисленные детерминированные сигналы, «полностью известные», информации уже не содержат. В дальнейшем такие сигналы часто будут обозначаться термином «колебание».

Для характеристики и анализа случайных сигналов применяется статистический подход. В качестве основных характеристик случайных сигналов принимают:

а) закон распределения вероятностей.

б) спектральное распределение мощности сигнала.

На основе первой характеристики можно найти относительное время пребывания величины сигнала в определённом интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому и ряд других важных параметров сигнала. Вторая характеристика даёт лишь распределение по частотам средней мощности сигнала. Более подробной информации относительно отдельных составляющих спектра - об их амплитудах и фазах - спектральная характеристика случайного процесса не даёт.

Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами - шумами. Как уже упоминалось выше, уровень шумов является основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале.

1.2 Спектральные характеристики сигналов

Сигналы, используемые в радиотехнике, имеют достаточно сложную структуру. Математическое описание таких сигналов является трудной задачей. Поэтому для упрощения процедуры анализа сигналов и прохождения их через радиотехнические цепи используют прием, предусматривающий разложение сложных сигналов на совокупность идеализированных математических моделей, описываемых элементарными функциями.

Гармонический спектральных анализ периодических сигналов предполагает разложение в ряд Фурье по тригонометрическим функциям – синусам и косинусам. Эти функции описывают гармонические колебания, которые сохраняют свою форму в процессе преобразования линейными устройствами (изменяются только амплитуда и фазы), что позволяет использовать теорию колебательных систем для анализа свойств радиотехнических цепей.

Ряд Фурье можно представить в виде

Практическое применение имеет другая форма записи ряда Фурье

где – амплитудный спектр;

– фазовый спектр.

Комплексная форма ряда Фурье

Представленные выше формулы используются для получение спектральной характеристики периодического сигнала. Для получения спектра непериодического сигнала используются преобразования Фурье.

Прямое преобразование Фурье

Обратное преобразование Фурье

Выражения (1.5), (1.6) являются основными соотношениями для получения спектральных характеристик.

1.3 Свойства преобразования Фурье

Формулы прямого и обратного преобразования Фурье позволяют по сигналу s(t) определить его спектральную плотность S(jω) и, если в этом есть необходимость, по известной спектральной плотности S(jω) определить сигнал s(t). Для обозначения этого соответствия между сигналом и его спектром применяется символ s(t)↔ S(jω).

С помощью свойств преобразований Фурье можно определить спектр измененного сигнала, преобразуя спектр первоначального сигнала.

Основные свойства:

1. Линейность

s 1 (t)↔ S 1 (jω)

s n (t)↔ S n (jω)

_____________________

Воспользуемся прямым преобразованием Фурье

Окончательный результат

Вывод: прямое преобразование Фурье, является линейной операцией, обладает свойствами однородности и аддитивности. Поэтому спектр суммы сигналов равен сумме спектров.

2. Спектр сигнала, сдвинутого во времени

s(t±t 0)↔ S c (jω)

Окончательный результат

Вывод: сдвиг сигнала во времени на величину ±t 0 приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину ±ωt 0 . Амплитудный спектр не изменяется.

3. Изменение масштаба во времени

s(αt)↔ S м (jω)

Окончательный результат

Вывод: при сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр по оси частот при пропорциональном уменьшении (увеличении) амплитуд его составляющих.

4. Спектр производной

ds(t)/dt↔ S п (jω).

Для определения спектра производной сигнала возьмем производную по времени от правой и левой части обратного преобразования Фурье:

Окончательный результат

Вывод: спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, умноженному на jω. При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2 при ω>0 и равная -π/2 при ω

5. Спектр интеграла

Возьмем интеграл от правой и левой части обратного преобразования Фурье

Сравнивая результат с обратным преобразованием Фурье, получаем

Окончательный результат

Вывод: спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равен спектру исходного сигнала, деленному на jω. При этом амплитудный спектр изменяется обратно пропорционально изменению частоты, а к фазовом характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2 при ω 0.

6. Спектр произведения двух сигналов

s 1 (t)↔ S 1 (jω)

s 2 (t)↔ S 2 (jω)

s 1 (t) s 2 (t)↔ S пр (jω).

Найдем спектр произведения двух сигналов с помощью обратного преобразования Фурье

Окончательный результат

Вывод: Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, умноженной на коэффициент 1/(2π).

В ходе расчета спектров сигнала будут использованы свойства линейности и интеграла сигнала.

1 .4 Классификация и свойства радиотехнических цепей

В теоретических основах радиотехники большое место занимают методы анализа и синтеза различных радиотехнических цепей. При этом под радиотехнической цепью понимают совокупность соединенных определенным образом пассивных и активных элементов, обеспечивающих прохождение и функциональное преобразование сигналов. Пассивные элементы – это резисторы, емкости, катушки индуктивности и средства их соединения. Активные элементы – это транзисторы, электронные лампы, источники питания и другие элементы, способные вырабатывать энергию, увеличивать мощность сигнала. Если возникает потребность подчеркнуть функциональное назначение цепи, то вместо термина цепь используется термин устройство. Радиотехнические цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по своему составу, структуре и характеристикам. В процессе их разработки и аналитического исследования используют различные математические модели, удовлетворяющие требованиям адекватности и простоты. В общем случае любую радиотехническую цепь можно описать формализованным соотношением, определяющим преобразование входного сигнала x(t) в выходной y(t), которое символически можно представить в виде

где T – оператор, указывающий правило, по которому осуществляется преобразование входного сигнала.

Таким образом, в качестве математической модели радиотехнической цепи может служить совокупность оператора T и двух множеств X = {}, Y = {} сигналов на входе и выходе цепи так, что

По виду преобразования входных сигналов в выходные, т.е. по виду оператора T, производят классификацию радиотехнических цепей.

1. Радиотехническая цепь является линейной, если оператор T таков, что цепь удовлетворяет условиям аддитивности и однородности.

Характерно, что линейное преобразование сигнала любой формы не сопровождается появлением в спектре выходного сигнала гармонических составляющих с новыми частотами, т.е. линейное преобразование не приводит к обогащению спектра сигнала.

2. Радиотехническая цепь является нелинейной, если оператор T не обеспечивает выполнения условий аддитивности и однородности. Функционирование таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями, хотя бы один коэффициент которых является функцией входного сигнала или его производных. Нелинейные цепи не удовлетворяют принципу суперпозиции. При анализе прохождения сигналов через нелинейную цепь результат определяется как отклик на сигнал как таковой. Его нельзя разлагать на более простые сигналы. В то же время нелинейные цепи обладают очень важным свойством – обогащать спектр сигнала. Это значит, что при нелинейных преобразованиях в спектре выходного сигнала появляются гармонические составляющие с частотами, которых не было в спектре входного сигнала. Возможно появление также составляющих с частотами, равными комбинации частот гармонических составляющих спектра входного сигнала. Это свойство нелинейных цепей обусловило их применение для решения широкого класса задач, связанных с генерацией и преобразованием сигналов. Структурно линейные цепи содержат только линейные элементы, к числу которых относятся и нелинейные элементы, работающие в линейном режиме (на линейных участках своих характеристик). Линейные цепи – это усилители, работающие в линейном режиме, фильтры, длинные линии, линии задержки и др. Нелинейные цепи содержат один или несколько нелинейных элементов. К числу нелинейных цепей относятся генераторы, детекторы, модуляторы, умножители и преобразователи частоты, ограничители и др.