Le système numérique familier aux humains est décimal. Il est basé sur dix chiffres de 0 à 9. Le système hexadécimal se distingue par la présence des six premières lettres de l'alphabet latin pour l'écriture des nombres en plus des nombres de base. C'est-à-dire que le chiffre 9 est suivi du symbole « A », qui correspond au chiffre 10 pour le système décimal. En conséquence, F en hexadécimal vaut 16 en décimal. L'utilisation de seize caractères dans le système n'est pas un choix aléatoire.
L'unité d'information est un peu. Huit bits forment un octet. Il existe un concept comme un mot machine - une unité de données représentant deux, c'est-à-dire seize bits. Ainsi, à l'aide de seize symboles différents, il est possible de décrire n'importe quelle information qui sera la plus petite particule lors de l'échange de données. Vous pouvez effectuer n'importe quelle opération arithmétique avec eux et le résultat, par conséquent, sera également obtenu dans le système hexadécimal.
Afin de distinguer qu'un nombre est écrit en hexadécimal, la lettre « h » ou l'indice « 16 » est écrit après lui.
Application
Le plus largement utilisé système hexadécimal les chiffres sont des codes d'erreur produits logiciels, Par exemple, système opérateur. Les numéros contenus dans ces codes sont standardisés. Disposant d'un tableau spécial, vous pouvez toujours déterminer ce que signifie exactement telle ou telle erreur.
Dans les langages de bas niveau, aussi proches que possible de codes machines Le système hexadécimal est utilisé pour écrire des programmes. De nombreux programmeurs l'utilisent également lorsqu'ils travaillent avec des langages de haut niveau, car les nombres de ce système, à l'aide d'une table de correspondance spéciale, sont facilement convertis en système binaire sur lequel repose le fonctionnement de toute la technologie numérique. Toute information sur un ordinateur, que ce soit fichier de musique ou Document texte, après traduction, est représenté par la séquence de l'original code binaire, et il est plus pratique de le visualiser représenté par des symboles hexadécimaux.
L'une des utilisations des caractères hexadécimaux est également la description. schémas de couleurs, c'est-à-dire que les trois composants R, G, B sont décrits d'une manière appropriée au système donné. Cette approche d'enregistrement est appelée couleur hexadécimale
La possibilité d'afficher un programme en code hexadécimal vous permet de le déboguer, d'y apporter des modifications et aux attaquants cette approche utilisé pour pirater des programmes.
Notation hexadécimale ("Hex") - moyen pratique représentation de valeurs binaires. Tout comme le système numérique décimal a une base de dix et le système numérique binaire a une base de deux, le système numérique hexadécimal a une base de seize.
Le système numérique en base 16 utilise les nombres 0 à 9 et les lettres A à F. La figure montre les valeurs décimales, binaires et hexadécimales équivalentes pour les nombres binaires 0000 à 1111. Nous trouvons plus facile d'exprimer une valeur comme une chiffre hexadécimal plutôt que quatre bits
Comprendre les octets
Étant donné que 8 bits (octets) constituent le regroupement binaire standard, les nombres binaires 00000000 à 11111111 peuvent être représentés en notation hexadécimale sous la forme de nombres 00 à FF. Les zéros non significatifs sont toujours affichés pour compléter la représentation sur 8 bits. Par exemple, la valeur binaire 0000 1010 en hexadécimal serait 0A.
Représentation des valeurs hexadécimales
Veuillez noter: Il est important de distinguer les valeurs hexadécimales des valeurs décimales pour les caractères 0 à 9, comme le montre la figure.
Les valeurs hexadécimales sont généralement représentées dans le texte par une valeur précédée de 0x (comme 0x73) ou en utilisant un indice de 16. Plus rarement, elles peuvent être suivies de la lettre H, comme 73H. Cependant, comme le texte en indice n'est reconnu ni dans ligne de commande, ni dans les environnements de programmation, dans la représentation technique des nombres hexadécimaux, ils sont précédés de "0x" (zéro X). Par conséquent, les exemples ci-dessus seraient respectivement affichés sous la forme 0x0A et 0x73.
La notation hexadécimale est utilisée pour représenter les adresses MAC Ethernet et les adresses IP version 6.
Conversions hexadécimales
La conversion de nombres entre valeurs décimales et hexadécimales est simple, mais diviser ou multiplier rapidement par 16 n'est pas toujours pratique. Si de telles conversions sont nécessaires, il est généralement plus facile de convertir une valeur décimale ou hexadécimale en valeur binaire, puis de convertir la valeur binaire en valeur décimale ou hexadécimale, selon ce que vous souhaitez obtenir.
Avec de la pratique, il est possible de reconnaître les configurations binaires binaires qui correspondent aux valeurs décimales et binaires. valeurs hexadécimales. La figure montre ces modèles pour certaines valeurs de 8 bits.
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Systèmes numériques
Il existe des systèmes de numérotation positionnels et non positionnels. Le système de numérotation arabe que nous utilisons dans Vie courante, est positionnel, mais Roman ne l'est pas. Dans les systèmes de numérotation positionnelle, la position d'un nombre détermine de manière unique sa grandeur. Considérons cela en utilisant l'exemple du nombre 6372 dans le système numérique décimal. Numérotons ce nombre de droite à gauche en partant de zéro :
Alors le nombre 6372 peut être représenté comme suit :
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Le nombre 10 détermine le système numérique (dans ce cas, c'est 10). Les valeurs de la position d'un nombre donné sont prises comme puissances.
Considérons le nombre décimal réel 1287,923. Numérotons-le à partir de zéro, position du nombre depuis la virgule vers la gauche et la droite :
Alors le nombre 1287.923 peut être représenté comme :
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.
En général, la formule peut être représentée comme suit :
C n s n + C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
où C n est un entier en position n, D -k - nombre fractionnaire en position (-k), s- système de numérotation.
Quelques mots sur les systèmes numériques. Un nombre dans le système numérique décimal se compose de plusieurs chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), dans le système numérique octal, il se compose de plusieurs chiffres. (0,1, 2,3,4,5,6,7), en système binaire notation - à partir d'un ensemble de chiffres (0,1), dans le système numérique hexadécimal - à partir d'un ensemble de chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C ,D,E, F), où A, B, C, D, E, F correspondent aux nombres 10,11,12,13,14,15. Le tableau 1 montre les nombres dans différents systèmes Compte.
| Tableau 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notation | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UN |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
Pour convertir des nombres d'un système numérique à un autre, le moyen le plus simple consiste d'abord à convertir le nombre au système numérique décimal, puis à convertir le système numérique décimal au système numérique requis.
Conversion de nombres de n'importe quel système numérique vers le système numérique décimal
À l'aide de la formule (1), vous pouvez convertir des nombres de n'importe quel système numérique en système numérique décimal.
Exemple 1. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres binaires (SS) en SS décimal. Solution:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Exemple2. Convertissez le nombre 1011101.001 de système octal notation (SS) en décimal SS. Solution:
Exemple 3 . Convertissez le nombre AB572.CDF du système numérique hexadécimal en SS décimal. Solution:
Ici UN-remplacé par 10, B- à 11 heures, C- à 12, F- à 15 heures.
Conversion de nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique
Pour convertir des nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique, vous devez convertir séparément la partie entière du nombre et la partie fractionnaire du nombre.
La partie entière d'un nombre est convertie du SS décimal en un autre système numérique en divisant séquentiellement la partie entière du nombre par la base du système numérique (pour le SS binaire - par 2, pour le SS 8-aire - par 8, pour 16 -ary SS - par 16, etc. ) jusqu'à l'obtention d'un résidu entier, inférieur à la base CC.
Exemple 4 . Convertissons le nombre 159 de SS décimal en SS binaire :
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Comme on peut le voir sur la Fig. 1, le nombre 159 divisé par 2 donne le quotient 79 et le reste 1. De plus, le nombre 79 divisé par 2 donne le quotient 39 et le reste 1, etc. De ce fait, en construisant un nombre à partir des restes de division (de droite à gauche), on obtient un nombre en SS binaire : 10011111 . On peut donc écrire :
159 10 =10011111 2 .
Exemple 5 . Convertissons le nombre 615 de SS décimal en SS octal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Lors de la conversion d'un nombre décimal SS en octal SS, vous devez diviser séquentiellement le nombre par 8 jusqu'à obtenir un reste entier inférieur à 8. En conséquence, en construisant un nombre à partir des restes de division (de droite à gauche), nous obtenons un nombre en SS octal : 1147 (voir fig. 2). On peut donc écrire :
615 10 =1147 8 .
Exemple 6 . Convertissons le nombre 19673 du système numérique décimal en SS hexadécimal.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Comme le montre la figure 3, en divisant successivement le nombre 19673 par 16, les restes sont 4, 12, 13, 9. Dans le système numérique hexadécimal, le nombre 12 correspond à C, le nombre 13 - D. Par conséquent, notre nombre hexadécimal- c'est 4CD9.
Pour convertir des fractions décimales régulières (un nombre réel avec une partie entière nulle) en un système numérique avec base s, vous avez besoin numéro donné multiplier successivement par s jusqu'à ce que la partie fractionnaire soit un zéro pur, ou que nous obtenions le nombre de chiffres requis. Si, lors de la multiplication, un nombre avec une partie entière autre que zéro est obtenu, alors cette partie entière n'est pas prise en compte (elles sont incluses séquentiellement dans le résultat).
Regardons ce qui précède avec des exemples.
Exemple 7 . Convertissons le nombre 0,214 du système numérique décimal en SS binaire.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Comme le montre la figure 4, le nombre 0,214 est multiplié séquentiellement par 2. Si le résultat de la multiplication est un nombre avec une partie entière autre que zéro, alors la partie entière est écrite séparément (à gauche du nombre), et le nombre est écrit avec une partie entière nulle. Si la multiplication donne un nombre avec une partie entière nulle, alors un zéro est écrit à sa gauche. Le processus de multiplication se poursuit jusqu'à ce que la partie fractionnaire atteigne un zéro pur ou que nous obtenions le nombre de chiffres requis. En écrivant les nombres en gras (Fig. 4) de haut en bas, nous obtenons le nombre requis dans le système de nombres binaires : 0. 0011011 .
On peut donc écrire :
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemple 8 . Convertissons le nombre 0,125 du système numérique décimal en SS binaire.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Pour convertir le nombre 0,125 de SS décimal en binaire, ce nombre est multiplié séquentiellement par 2. Dans la troisième étape, le résultat est 0. Par conséquent, le résultat suivant est obtenu :
0.125 10 =0.001 2 .
Exemple 9 . Convertissons le nombre 0,214 du système numérique décimal en SS hexadécimal.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
En suivant les exemples 4 et 5, on obtient les nombres 3, 6, 12, 8, 11, 4. Mais en hexadécimal SS, les nombres 12 et 11 correspondent aux nombres C et B. On a donc :
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Exemple 10 . Convertissons le nombre 0,512 du système numérique décimal en SS octal.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
A obtenu:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemple 11 . Convertissons le nombre 159,125 du système numérique décimal en SS binaire. Pour ce faire, on traduit séparément la partie entière du nombre (Exemple 4) et la partie fractionnaire du nombre (Exemple 8). En combinant davantage ces résultats, nous obtenons :
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemple 12 . Convertissons le nombre 19673.214 du système numérique décimal en SS hexadécimal. Pour ce faire, on traduit séparément la partie entière du nombre (Exemple 6) et la partie fractionnaire du nombre (Exemple 9). De plus, en combinant ces résultats, nous obtenons.
0123456789ABCDEF. En prenant le nombre 16 comme base, nous obtenons le système numérique hexadécimal. Ici, nous pouvons utiliser 10 chiffres du système décimal, en ajoutant 6 chiffres supplémentaires - lettres de l'alphabet latin (A, B, C, D, E, F) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 , A, B, C, D, E, F 10 11 12 13 14 15 Au total, 16 caractères différents composent l'alphabet du système numérique hexadécimal. Vous pouvez écrire n'importe quel nombre comprenant tous ces signes : A37, 1B45, F302, 1A3C5... - attention : nous utilisons des signes de 0 à F. Pour le système numérique hexadécimal q=16. Contenu.
Diapositive 32 de la présentation «Histoire du comptage et des systèmes de numération». La taille de l'archive avec la présentation est de 2292 Ko.Informatique 9e année
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Pour représenter les nombres dans un microprocesseur, il est utilisé système de numération binaire.
De plus, tout signal numérique peut avoir deux états stables : " haut niveau" Et " niveau faible" Dans le système de numérotation binaire, deux chiffres sont utilisés pour représenter n'importe quel nombre, respectivement : 0 et 1. Nombre arbitraire x=a n a n-1 ..a 1 a 0 ,a -1 a -2 …a -m sera écrit dans le système de nombres binaires comme
x = a n ·2 n +a n-1 ·2 n-1 +…+a 1 ·2 1 +a 0 ·2 0 +a -1 ·2 -1 +a -2 ·2 -2 +…+a -m ·2 -m
Où un je— chiffres binaires (0 ou 1).
Système de numérotation octale
Dans le système de numérotation octale, les chiffres de base sont les nombres de 0 à 7. 8 chiffres d'ordre inférieur sont combinés en un chiffre d'ordre élevé.
Système de nombres hexadécimaux
Dans le système numérique hexadécimal, les chiffres de base sont les nombres de 0 à 15 inclus. Pour désigner les chiffres de base supérieurs à 9 avec un symbole, en plus des chiffres arabes 0...9 dans le système numérique hexadécimal, des lettres de l'alphabet latin sont utilisées :
10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16
11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16.
Par exemple, le nombre 175 10 en système numérique hexadécimal s'écrira AF 16. Vraiment,
10·16 1 +15·16 0 =160+15=175
Le tableau montre les nombres de 0 à 16 dans les systèmes numériques décimaux, binaires, octaux et hexadécimaux.
| Décimal | Binaire | Octal | Hexadécimal |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UN |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Conversions binaire-octale et binaire-hexadécimale
Le système de nombres binaires est pratique pour effectuer des opérations arithmétiques à l'aide d'un microprocesseur, mais il est peu pratique pour la perception humaine car il nécessite grande quantité décharges. Donc dans la technologie informatique En plus du système de nombres binaires, les systèmes de nombres octaux et hexadécimaux sont largement utilisés pour une représentation plus compacte des nombres.
Les trois chiffres du système de numérotation octale implémentent toutes les combinaisons possibles de chiffres octaux dans le système de numérotation binaire : de 0 (000) à 7 (111). Pour convertir un nombre binaire en octal, vous devez combiner les chiffres binaires en groupes de 3 chiffres (triades) dans deux directions, en commençant par le séparateur décimal. Si nécessaire, vous devez ajouter des zéros non significatifs à gauche du numéro d'origine. Si un nombre contient une partie fractionnaire, à sa droite, vous pouvez également ajouter des zéros insignifiants jusqu'à ce que toutes les triades soient remplies. Chaque triade est ensuite remplacée par un chiffre octal.
Exemple : convertissez le nombre 1101110.01 2 en système de nombres octaux.
Nous combinons les chiffres binaires en triades de droite à gauche. On a
001 101 110,010 2 = 156,2 8 .
Pour convertir un nombre octal en binaire, vous devez écrire chaque chiffre octal en code binaire :
156,2 8 = 001 101 110,010 2 .
Les quatre chiffres du système numérique hexadécimal implémentent toutes les combinaisons possibles de chiffres hexadécimaux dans le système numérique binaire : de 0 (0000) à F(1111). Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, vous devez combiner les chiffres binaires en groupes de 4 chiffres (tétrades) dans deux directions, en commençant par le séparateur décimal. Si nécessaire, vous devez ajouter des zéros non significatifs à gauche du numéro d'origine. Si le nombre contient une partie fractionnaire, à sa droite, vous devez également ajouter des zéros insignifiants jusqu'à ce que tous les cahiers soient remplis. Chaque tétrade est ensuite remplacée par un chiffre hexadécimal.
Exemple : Convertissez le nombre 1101110.11 2 en système numérique hexadécimal.
Nous combinons les chiffres binaires en tétrades de droite à gauche. On a
0110 1110.1100 2 = 6E,C 16 .
Pour convertir un nombre hexadécimal en binaire, vous devez écrire chaque chiffre hexadécimal en code binaire.