Une fonction linéaire d'une variable complexe z est une fonction de la forme où a et 6 reçoivent des nombres complexes, et a Φ 0. La fonction linéaire est définie pour toutes les valeurs de la variable indépendante z, est à valeur unique et, puisque la fonction inverse est également à valeur unique, elle est univalente dans tout le plan z. Une fonction linéaire est analytique dans tout le plan complexe, et sa dérivée, par conséquent, l'application qu'elle effectue est conforme dans tout le plan. Une fonction fractionnaire-linéaire est une fonction de la forme - nombres complexes donnés, et la fonction Fractionnelle-linéaire est définie pour toutes les valeurs de la variable indépendante zy sauf z = -|, elle est sans ambiguïté et, puisqu'il s'agit d'un inverse fonction Fonctions élémentaires d'une variable complexe Fonctions fractionnaires-rationnelles Fonction puissance Fonction exponentielle Fonction logarithmique Les fonctions trigonométriques et hyperboliques sont à valeur unique, univalentes dans tout le plan complexe, à l'exclusion du point z = - Dans cette région, la fonction (3) est analytique et sa dérivée donc la cartographie qu'il effectue est conforme. Définissons la fonction (3) au point z = - \, en fixant £) = oo, et au point infiniment éloigné w = oo nous associons le point z(oo) = Alors la fonction linéaire fractionnaire sera univalente dans le domaine étendu plan complexe z. Exemple 1. Considérons une fonction linéaire fractionnaire. De l'égalité il résulte que les modules des nombres complexes r et u sont liés par la relation et que ces nombres eux-mêmes sont situés sur des rayons sortant du point O et symétriques par rapport à l'axe réel. En particulier, les points du cercle unité |z| = 1 allez aux points du cercle unité Н = 1. Dans ce cas, le nombre complexe se voit attribuer un nombre conjugué (Fig. 11). Notez également que la fonction th = -g mappe le point infiniment éloigné z - oo au point zéro th - 0. 2.2. Fonction puissance La fonction puissance où n est un nombre naturel, est analytique dans tout le plan complexe ; sa dérivée = nzn~] pour n > 1 est différente de zéro en tous points sauf z = 0. En écrivant w et z sous forme exponentielle dans la formule (4), on obtient que De la formule (5) il est clair que les nombres complexes Z\ et z2 tels que où k est un entier, vont à un point w. Cela signifie que pour n > 1, la cartographie (4) n'est pas univalente sur le plan z. L'exemple le plus simple d'une région dans laquelle l'application gi = zn est univalente est le secteur où a est un nombre réel. Dans le domaine (7), la cartographie (4) est conforme. - est à valeurs multiples, car pour chaque nombre complexe z = е1в Ф 0 on peut spécifier n nombres complexes différents tels que leur nième degré soit égal à z : Notons qu'un polynôme de degré n d'une variable complexe z est la fonction où le étant donné les nombres complexes, où ao Ф 0. Un polynôme de n'importe quel degré est une fonction analytique sur l'ensemble du plan complexe. 2.3. Fonction fractionnaire-rationnelle Une fonction fractionnaire-rationnelle est appelée fonction de la forme où) sont des polynômes de la variable complexe z. La fonction rationnelle fractionnaire est analytique sur tout le plan, à l'exception des points où le dénominateur Q(z) disparaît. Exemple 3. La fonction Joukovski__ est analytique dans tout le plan r, à l'exclusion du point r = 0. Découvrons les conditions de la région du plan complexe sous laquelle la fonction Joukovski considérée dans cette région sera univalente. M Supposons que les points Z) et zj soient transférés par la fonction (8) à un seul point. On obtient alors que Donc, pour que la fonction Joukovski soit univalente, il est nécessaire et suffisant de satisfaire la condition. Un exemple de région qui satisfait la condition d'univalence (9) est l'extérieur du cercle |z| > 1. Puisque la dérivée de la fonction Joukovski Fonctions élémentaires d'une variable complexe Fonctions fractionnaires-rationnelles Fonction puissance Fonction exponentielle Fonction logarithmique Fonctions trigonométriques et hyperboliques est non nulle partout sauf en des points, la cartographie du domaine réalisée par cette fonction sera conforme (Fig. 13). Notez que l'intérieur du disque unité |I est également le domaine d'univalence de la fonction Joukovski. Riz. 13 2.4. Fonction exponentielle On définit la fonction exponentielle ez pour tout nombre complexe z = x + y par la relation suivante : Pour x = 0 on obtient la formule d'Euler : Décrivons les principales propriétés de la fonction exponentielle : 1. Pour z réel, cette définition coïncide avec l'habituel. Ceci peut être vérifié directement en mettant y = 0 dans la formule (10). 2. La fonction ez est analytique sur tout le plan complexe, et pour elle la formule de différenciation habituelle est conservée. 3. Pour la fonction ez le théorème d'addition est conservé . Supposons 4. La fonction ez est périodique de période principale imaginaire 2xi. En fait, pour tout entier k D'autre part, si alors de la définition (10) il résulte que D'où il suit cela, ou où n est un entier. La bande ne contient pas une seule paire de points reliés par la relation (12), donc de l'étude réalisée il résulte que l'application w = e" est unique dans la bande (Fig. 14). Puisqu'il s'agit d'une dérivée, cette application est conforme. Remarque niv. La fonction g.g est univalente dans toute bande 2.5 Fonction logarithmique De l'équation où l'inconnue est donnée, on obtient Donc Ainsi, la fonction inverse de la fonction est définie pour tout et est représentée par la formule où Cette la fonction à valeurs multiples est appelée logarithmique et est notée comme suit La valeur arg z est appelée la valeur principale du logarithme et notée Alors pour Ln z nous obtenons la formule 2. 6. Fonctions trigonométriques et hyperboliques A partir de la formule d'Euler (11) pour le réel y on obtient D'où On définit les fonctions trigonométriques sin z et cos z pour tout nombre complexe z en utilisant les formules suivantes : Le sinus et le cosinus d'un argument complexe ont des propriétés intéressantes . Listons les principaux. Fonctions sinz et cos z : 1) pour les réels z -x coïncident avec les sinus et cosinus ordinaires ; 2) analytique sur l'ensemble du plan complexe ; 3) obéissent aux formules de différenciation habituelles : 4) sont périodiques de période 2π ; 5) sin z est une fonction impaire et cos z est une fonction paire ; 6) les relations trigonométriques habituelles sont conservées. Toutes les propriétés répertoriées peuvent être facilement obtenues à partir des formules (15). Les fonctions tgz et ctgz dans le domaine complexe sont déterminées par les formules, et les fonctions hyperboliques - par les formules "Les fonctions hyperboliques sont étroitement liées aux fonctions trigonométriques. Cette relation est exprimée par les égalités suivantes : Le sinus et le cosinus d'un argument complexe ont autre propriété importante : sur le plan complexe |\ prendre des valeurs positives arbitrairement grandes. Montrons ceci. En utilisant les propriétés 6 et les formules (18), nous obtenons que Fonctions élémentaires d'une variable complexe Fonctions fractionnaires-rationnelles Fonction puissance Fonction exponentielle Fonction logarithmique Trigonométrique et fonctions hyperboliques Wherece En supposant que nous ayons l'exemple 4. Il est facile de vérifier -4En fait,,

Fonctions d'une variable complexe.
Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

Cet article ouvre une série de leçons dans lesquelles j'examinerai des problèmes typiques liés à la théorie des fonctions d'une variable complexe. Pour réussir à maîtriser les exemples, vous devez avoir des connaissances de base sur les nombres complexes. Afin de consolider et de répéter le matériel, il suffit de visiter la page. Vous aurez également besoin des compétences nécessaires pour trouver dérivées partielles du second ordre. Les voici, ces dérivées partielles... même maintenant, j'étais un peu surpris de la fréquence à laquelle elles se produisent...

Le sujet que nous commençons à examiner ne présente pas de difficultés particulières, et dans les fonctions d'une variable complexe, en principe, tout est clair et accessible. L'essentiel est de respecter la règle de base que j'ai dérivée expérimentalement. Continuer à lire!

Notion de fonction d'une variable complexe

Tout d'abord, rafraîchissons nos connaissances sur la fonction d'école d'une variable :

Fonction variable unique est une règle selon laquelle chaque valeur de la variable indépendante (du domaine de définition) correspond à une et une seule valeur de la fonction. Naturellement, « x » et « y » sont des nombres réels.

Dans le cas complexe, la dépendance fonctionnelle se précise de la même manière :

Fonction à valeur unique d'une variable complexe- c'est la règle selon laquelle tout le monde complet la valeur de la variable indépendante (du domaine de définition) correspond à un et un seul complet valeur de la fonction. La théorie considère également les fonctions à valeurs multiples et certains autres types de fonctions, mais par souci de simplicité, je me concentrerai sur une définition.

Quelle est la différence entre une fonction variable complexe ?

La principale différence : les nombres complexes. Je ne suis pas ironique. De telles questions laissent souvent les gens dans la stupeur ; à la fin de l’article, je vais vous raconter une histoire amusante. À la leçon Nombres complexes pour les nuls nous avons considéré un nombre complexe sous la forme . Depuis, la lettre « z » est devenue variable, alors nous le noterons comme suit : , tandis que « x » et « y » peuvent prendre des valeurs différentes valide significations. En gros, la fonction d'une variable complexe dépend des variables et , qui prennent des valeurs « ordinaires ». De ce fait découle logiquement le point suivant :

La fonction d’une variable complexe peut s’écrire :
, où et sont deux fonctions de deux valide variables.

La fonction s'appelle partie réelle les fonctions
La fonction s'appelle partie imaginaire les fonctions

Autrement dit, la fonction d'une variable complexe dépend de deux fonctions réelles et . Pour enfin tout clarifier, regardons des exemples pratiques :

Exemple 1

Solution: La variable indépendante « zet », comme vous vous en souvenez, s'écrit sous la forme , donc :

(1) Nous avons remplacé .

(2) Pour le premier terme, la formule de multiplication abrégée a été utilisée. Dans le terme, les parenthèses ont été ouvertes.

(3) Équarri soigneusement, sans oublier que

(4) Réarrangement des termes : nous réécrivons d'abord les termes , dans lequel il n'y a pas d'unité imaginaire(premier groupe), puis les termes là où il y en a (deuxième groupe). Il convient de noter qu’il n’est pas nécessaire de mélanger les termes et que cette étape peut être ignorée (en la faisant oralement).

(5) Pour le deuxième groupe, nous le retirons des parenthèses.

En conséquence, notre fonction s’est avérée être représentée sous la forme

Répondre:
– une véritable partie de la fonction.
– partie imaginaire de la fonction.

De quel genre de fonctions s’agissait-il? Les fonctions les plus ordinaires de deux variables parmi lesquelles vous pouvez trouver des fonctions si populaires dérivées partielles. Sans pitié, nous le trouverons. Mais un peu plus tard.

En bref, l'algorithme du problème résolu peut s'écrire comme suit : on substitue , dans la fonction originale, on effectue des simplifications et on divise tous les termes en deux groupes - sans unité imaginaire (partie réelle) et avec une unité imaginaire (partie imaginaire) .

Exemple 2

Trouver la partie réelle et imaginaire de la fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Avant de vous lancer dans la bataille sur un plan complexe avec vos pions tirés au sort, laissez-moi vous donner les conseils les plus importants sur le sujet :

SOIS PRUDENT! Bien sûr, vous devez être prudent partout, mais dans les nombres complexes, vous devriez être plus prudent que jamais ! N'oubliez pas qu'en ouvrant soigneusement les supports, vous ne perdrez rien. D'après mes observations, l'erreur la plus courante est la perte d'un signe. Ne te presse pas!

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Maintenant le cube. En utilisant la formule de multiplication abrégée, nous obtenons :
.

Les formules sont très pratiques à utiliser dans la pratique, car elles accélèrent considérablement le processus de résolution.

Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

J'ai deux nouvelles : une bonne et une mauvaise. Je vais commencer par le bon. Pour une fonction d'une variable complexe, les règles de différenciation et le tableau des dérivées des fonctions élémentaires sont valables. Ainsi, la dérivée se prend exactement de la même manière que dans le cas d'une fonction d'une variable réelle.

La mauvaise nouvelle est que pour de nombreuses fonctions variables complexes, il n'y a pas de dérivée du tout et vous devez trouver est-ce différentiable une fonction ou une autre. Et « comprendre » ce que ressent votre cœur est associé à des problèmes supplémentaires.

Considérons la fonction d'une variable complexe. Pour que cette fonction soit différentiable il faut et suffit :

1) Pour que des dérivées partielles du premier ordre existent. Oubliez tout de suite ces notations, puisque dans la théorie des fonctions d'une variable complexe une notation différente est traditionnellement utilisée : .

2) Pour réaliser ce qu'on appelle Conditions de Cauchy-Riemann:

Ce n'est que dans ce cas que la dérivée existera !

Exemple 3

Solution se divise en trois étapes successives :

1) Trouvons les parties réelles et imaginaires de la fonction. Cette tâche a été abordée dans les exemples précédents, je vais donc l'écrire sans commentaire :

Depuis lors:

Ainsi:

– partie imaginaire de la fonction.

Permettez-moi d'aborder un autre point technique : dans quel ordreécrire les termes dans les parties réelle et imaginaire ? Oui, en principe, cela n'a pas d'importance. Par exemple, la partie réelle peut s'écrire ainsi : , et l'imaginaire – comme ceci : .

2) Vérifions la réalisation des conditions de Cauchy-Riemann. Il y a deux d'entre eux.

Commençons par vérifier l'état. Nous trouvons dérivées partielles:

La condition est donc satisfaite.

Bien entendu, la bonne nouvelle est que les dérivées partielles sont presque toujours très simples.

On vérifie la réalisation de la deuxième condition :

Le résultat est le même, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable.

3) Trouvons la dérivée de la fonction. La dérivée est également très simple et se trouve selon les règles habituelles :

L'unité imaginaire est considérée comme une constante lors de la différenciation.

Répondre: – partie réelle, – partie imaginaire.
Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, .

Il existe deux autres façons de trouver la dérivée, elles sont bien sûr utilisées moins fréquemment, mais les informations seront utiles pour comprendre la deuxième leçon - Comment trouver une fonction d'une variable complexe ?

La dérivée peut être trouvée en utilisant la formule :

Dans ce cas:

Ainsi

Nous devons résoudre le problème inverse : dans l'expression résultante, nous devons isoler . Pour ce faire, il faut dans les termes et hors parenthèses :

L'action inverse, comme beaucoup l'ont remarqué, est un peu plus difficile à réaliser ; pour vérifier, il est toujours préférable de prendre l'expression sur un brouillon ou d'ouvrir oralement les parenthèses, en s'assurant que le résultat est exactement

Formule miroir pour trouver la dérivée :

Dans ce cas: , C'est pourquoi:

Exemple 4

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Si les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies, trouvez la dérivée de la fonction.

Une solution courte et un échantillon approximatif de la conception finale à la fin de la leçon.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont-elles toujours satisfaites ? Théoriquement, ils ne se réalisent pas plus souvent qu’ils ne le sont. Mais dans des exemples pratiques, je ne me souviens pas d'un cas où elles n'étaient pas remplies =) Ainsi, si vos dérivées partielles « ne convergent pas », alors avec une très forte probabilité, vous pouvez dire que vous avez fait une erreur quelque part.

Compliquons nos fonctions :

Exemple 5

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Calculer

Solution: L'algorithme de solution est entièrement conservé, mais à la fin un nouveau point sera ajouté : trouver la dérivée en un point. Pour le cube, la formule requise a déjà été dérivée :

Définissons les parties réelles et imaginaires de cette fonction :

Attention et attention encore !

Depuis lors:


Ainsi:
– partie réelle de la fonction ;
– partie imaginaire de la fonction.

Vérification de la deuxième condition :

Le résultat est le même, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable :

Calculons la valeur de la dérivée au point requis :

Répondre:, , les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites,

Les fonctions avec des cubes sont courantes, voici donc un exemple pour renforcer :

Exemple 6

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Calculer.

Solution et exemple de finition en fin de cours.

Dans la théorie de l'analyse complexe, d'autres fonctions d'un argument complexe sont également définies : exposant, sinus, cosinus, etc. Ces fonctions ont des propriétés inhabituelles, voire bizarres - et c'est vraiment intéressant ! Je veux vraiment vous le dire, mais ici, en l'occurrence, il ne s'agit pas d'un ouvrage de référence ou d'un manuel, mais d'un livre de solutions, je vais donc examiner le même problème avec certaines fonctions communes.

Tout d'abord à propos de ce qu'on appelle Les formules d'Euler:

Pour tout le monde valide nombres, les formules suivantes sont valides :

Vous pouvez également le copier dans votre cahier comme document de référence.

À proprement parler, il n'y a qu'une seule formule, mais généralement, pour plus de commodité, ils écrivent également un cas particulier avec un moins dans l'exposant. Le paramètre ne doit pas nécessairement être une seule lettre ; il peut s'agir d'une expression ou d'une fonction complexe, il est seulement important qu'ils acceptent seulement valable significations. En fait, nous allons voir ceci maintenant :

Exemple 7

Trouvez la dérivée.

Solution: La ligne générale du parti reste inébranlable : il faut distinguer les parties réelles et imaginaires de la fonction. Je vais donner une solution détaillée et commenter chaque étape ci-dessous :

Depuis lors:

(1) Remplacez « z » à la place.

(2) Après substitution, vous devez sélectionner les parties réelles et imaginaires premier dans l'indicateur exposants. Pour ce faire, ouvrez les crochets.

(3) Nous regroupons la partie imaginaire de l'indicateur en plaçant l'unité imaginaire hors parenthèses.

(4) Nous utilisons l'action scolaire avec des diplômes.

(5) Pour le multiplicateur nous utilisons la formule d’Euler, et .

(6) Ouvrez les supports, ce qui donne :

– partie réelle de la fonction ;
– partie imaginaire de la fonction.

D’autres actions sont standards ; vérifions le respect des conditions de Cauchy-Riemann :

Exemple 9

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Qu’il en soit ainsi, nous ne trouverons pas la dérivée.

Solution: L'algorithme de solution est très similaire aux deux exemples précédents, mais il y a des points très importants, je vais donc à nouveau commenter l'étape initiale étape par étape :

Depuis lors:

1) Remplacez « z » à la place.

(2) Tout d'abord, nous sélectionnons les parties réelles et imaginaires à l'intérieur du sinus. À ces fins, nous ouvrons les parenthèses.

(3) Nous utilisons la formule, et .

(4) Utilisation parité du cosinus hyperbolique: Et bizarrerie du sinus hyperbolique: . Les hyperboliques, bien que hors de ce monde, rappellent à bien des égards des fonctions trigonométriques similaires.

Finalement:
– partie réelle de la fonction ;
– partie imaginaire de la fonction.

Attention! Le signe moins fait référence à la partie imaginaire, et il ne faut en aucun cas le perdre ! Pour une illustration claire, le résultat obtenu ci-dessus peut être réécrit comme suit :

Vérifions la réalisation des conditions de Cauchy-Riemann :

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites.

Répondre:, , les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites.

Mesdames et messieurs, découvrons-le par nous-mêmes :

Exemple 10

Déterminez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann.

J'ai délibérément choisi des exemples plus difficiles, car tout le monde semble être capable de faire face à quelque chose, comme des cacahuètes décortiquées. Par la même occasion, vous entraînerez votre attention ! Casse-noix à la fin de la leçon.

Eh bien, en conclusion, je vais examiner un autre exemple intéressant où un argument complexe est au dénominateur. C’est arrivé plusieurs fois dans la pratique, regardons quelque chose de simple. Eh, je vieillis...

Exemple 11

Déterminez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann.

Solution: Encore une fois, il faut distinguer les parties réelles et imaginaires de la fonction.
Si donc

La question se pose, que faire lorsque « Z » est au dénominateur ?

Tout est simple - le standard vous aidera méthode de multiplication du numérateur et du dénominateur par l'expression conjuguée, il a déjà été utilisé dans les exemples de la leçon Nombres complexes pour les nuls. Rappelons la formule scolaire. Nous avons déjà le dénominateur, ce qui signifie que l'expression conjuguée sera . Ainsi, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par :

, page 6

11 Fonctions de base d'une variable complexe

Rappelons la définition d'un exposant complexe – ​​​​. Alors

Extension de la série Maclaurin. Le rayon de convergence de cette série est +∞, ce qui signifie que l'exponentielle complexe est analytique sur tout le plan complexe et

(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)

La première égalité découle ici, par exemple, du théorème sur la différenciation terme à terme d'une série entière.

11.1 Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Sinus d'une variable complexe fonction appelée

Cosinus d'une variable complexe il y a une fonction

Sinus hyperbolique d'une variable complexe est défini ainsi :

Cosinus hyperbolique d'une variable complexe-- c'est une fonction

Notons quelques propriétés des fonctions nouvellement introduites.

UN. Si x∈ ℝ, alors cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.

B. Le lien suivant existe entre les fonctions trigonométriques et hyperboliques :

cos iz=chz; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz = isin z.

B. Identités trigonométriques et hyperboliques de base:

cos 2 z+sin 2 z=1; ml 2 z-sh 2 z=1.

Preuve de l'identité hyperbolique principale.

L'identité trigonométrique principale découle de l'identité hyperbolique principale en tenant compte du lien entre les fonctions trigonométriques et hyperboliques (voir propriété B)

g Formules d'addition:

En particulier,

D. Pour calculer les dérivées des fonctions trigonométriques et hyperboliques, il faut appliquer le théorème de la différenciation terme par terme d'une série de puissances. On a:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

E. Les fonctions cos z, ch z sont paires et les fonctions sin z, sin z sont impaires.

J. (Fréquence) La fonction e z est périodique de période 2π i. Les fonctions cos z, sin z sont périodiques de période 2π, et les fonctions ch z, sin z sont périodiques de période 2πi. De plus,

En appliquant les formules de somme, on obtient

Z. Expansion en parties réelles et imaginaires:

Si une fonction analytique à valeur unique f(z) mappe bijectivement un domaine D sur un domaine G, alors D est appelé un domaine univalent.

ET. Région D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Preuve. De la relation (5), il s'ensuit que l'application exp:D k → ℂ est injective. Soit w n'importe quel nombre complexe non nul. Ensuite, en résolvant les équations e x =|w| et e iy =w/|w| avec des variables réelles x et y (y est choisi dans le demi-intervalle)