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Résolution d'intégrales indéfinies

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Résolution d'intégrales définies

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• Entrez l'expression de l'intégrande (fonction intégrale)
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Résolution d'intégrales doubles

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Résoudre les intégrales incorrectes

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• Entrez la région inférieure d'intégration (ou - l'infini)

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Résolution d'intégrales triples

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• Entrez la limite inférieure et supérieure pour la troisième région d'intégration

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Ce service vous permet de vérifier votre calculs pour l'exactitude

Possibilités

• Prise en charge de tous les possibles fonctions mathématiques: sinus, cosinus, exponentielle, tangente, cotangente, racines carrées et cubiques, puissances, exponentielles et autres.
• Il existe des exemples de saisie, à la fois pour les intégrales indéfinies et pour les intégrales impropres et définies.
• Corrige les erreurs dans les expressions que vous saisissez et propose vos propres options de saisie.
• Solution numérique pour les intégrales définies et impropres (y compris les intégrales doubles et triples).
• Prise en charge des nombres complexes, ainsi que de divers paramètres (vous pouvez spécifier non seulement la variable d'intégration, mais également d'autres variables de paramètre dans l'expression d'intégrande)

Sous irrationnel comprendre une expression dans laquelle la variable indépendante %%x%% ou le polynôme %%P_n(x)%% de degré %%n \in \mathbb(N)%% est inclus sous le signe radical(du latin base- racine), c'est-à-dire élevé à une puissance fractionnaire. En remplaçant une variable, certaines classes d'intégrandes irrationnelles par rapport à %%x%% peuvent être réduites à des expressions rationnelles par rapport à une nouvelle variable.

Le concept de fonction rationnelle d'une variable peut être étendu à plusieurs arguments. Si pour chaque argument %%u, v, \dotsc, w%% lors du calcul de la valeur d'une fonction, seules les opérations arithmétiques et l'élévation à une puissance entière sont fournies, alors on parle d'une fonction rationnelle de ces arguments, qui est généralement noté %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Les arguments d'une telle fonction peuvent eux-mêmes être des fonctions de la variable indépendante %%x%%, incluant des radicaux de la forme %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Par exemple, la fonction rationnelle $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ avec %%u = x, v = \sqrt(x)%% et %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% est une fonction rationnelle de $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ de %%x%% et radicaux %%\sqrt(x)%% et %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, tandis que la fonction %%f(x)%% sera une fonction irrationnelle (algébrique) d'une variable indépendante %%x%%.

Considérons des intégrales de la forme %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. De telles intégrales sont rationalisées en remplaçant la variable %%t = \sqrt[n](x)%%, puis %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Exemple 1

Recherchez %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

L'intégrande de l'argument recherché s'écrit en fonction de radicaux de degré %%2%% et %%3%%. Puisque le plus petit commun multiple de %%2%% et %%3%% est %%6%%, cette intégrale est une intégrale de type %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% et peut être rationalisé en remplaçant %%\sqrt(x) = t%%. Alors %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Par conséquent, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Prenons %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% et $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(tableau) $$

Les intégrales de la forme %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% sont un cas particulier d'irrationalités linéaires fractionnaires, c'est-à-dire intégrales de la forme %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, où %% ad - bc \neq 0%%, qui peut être rationalisé en remplaçant la variable %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, puis %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Alors $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Exemple 2

Recherchez %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Prenons %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, alors %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Par conséquent, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Considérons des intégrales de la forme %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Dans les cas les plus simples, ces intégrales sont réduites à des intégrales tabulaires si, après avoir isolé le carré complet, un changement de variables est effectué.

Exemple 3

Trouvez l'intégrale %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Considérant que %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, on prend %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, alors $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(tableau) $$

Dans des cas plus complexes, pour trouver des intégrales de la forme %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% sont utilisés

Il n’existe pas de méthode universelle pour résoudre les équations irrationnelles, car leur classe diffère en quantité. L'article mettra en évidence les types caractéristiques d'équations avec substitution utilisant la méthode d'intégration.

Pour utiliser la méthode d'intégration directe, il est nécessaire de calculer des intégrales indéfinies du type ∫ k x + b p d x , où p est une fraction rationnelle, k et b sont des coefficients réels.

Exemple 1

Trouvez et calculez les primitives de la fonction y = 1 3 x - 1 3 .

Solution

D'après la règle d'intégration, il faut appliquer la formule ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, et le tableau des primitives dit qu'il y a solution toute faite cette fonction. Nous obtenons cela

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 +C

Répondre:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Il existe des cas où il est possible d'utiliser la méthode de subsomption d'un signe différentiel. Ceci est résolu par le principe de trouver des intégrales indéfinies de la forme ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , lorsque la valeur de p est considérée comme une fraction rationnelle.

Exemple 2

Trouvez l'intégrale indéfinie ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Solution

Notez que d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Il est alors nécessaire de subsumer le signe différentiel à l'aide de tableaux de primitives. On obtient que

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Répondre:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

La résolution d'intégrales indéfinies implique une formule de la forme ∫ d x x 2 + p x + q, où p et q sont des coefficients réels. Ensuite, vous devez sélectionner un carré complet sous la racine. Nous obtenons cela

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

En appliquant la formule située dans le tableau des intégrales indéfinies, on obtient :

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Ensuite l'intégrale est calculée :

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Exemple 3

Trouver l'intégrale indéfinie de la forme ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Solution

Pour calculer, il faut retirer le chiffre 2 et le placer devant le radical :

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Sélectionnez un carré complet en expression radicale. Nous obtenons cela

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

On obtient alors une intégrale indéfinie de la forme 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Répondre: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

L'intégration fonctions irrationnelles produit de la même manière. Applicable aux fonctions de la forme y = 1 - x 2 + p x + q.

Exemple 4

Trouver l'intégrale indéfinie ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Solution

Vous devez d’abord dériver le carré du dénominateur de l’expression sous la racine.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x-2) 2 + 9

L'intégrale de table a la forme ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, alors on obtient que ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Répondre:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Le processus de recherche de fonctions irrationnelles primitives de la forme y = M x + N x 2 + p x + q, où les M, N, p, q existants sont des coefficients réels et sont similaires à l'intégration de fractions simples du troisième type . Cette transformation comporte plusieurs étapes :

additionner la différentielle sous la racine, isoler le carré complet de l'expression sous la racine, à l'aide de formules tabulaires.

Exemple 5

Trouvez les primitives de la fonction y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Solution

De la condition nous avons que d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x et x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, alors (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 ré x = 1 2 ré (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ré x .

Calculons l'intégrale : ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Répondre:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 ré x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

La recherche des intégrales indéfinies de la fonction ∫ x m (a + b x n) p d x est réalisée par la méthode de substitution.

Pour résoudre il faut introduire de nouvelles variables :

1. Lorsque p est un nombre entier, alors x = z N est considéré et N est le dénominateur commun de m, n.
2. Lorsque m + 1 n est un entier, alors a + b x n = z N et N est le dénominateur de p.
3. Lorsque m + 1 n + p est un nombre entier, alors la variable a x - n + b = z N est requise et N est le dénominateur du nombre p.

Exemple 6

Trouver l'intégrale définie ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Solution

On obtient que ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Il s'ensuit que m = - 1, n = 1, p = - 1 2, alors m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 est un entier. Vous pouvez saisir un nouveau variable comme- 9 + 2 x = z 2. Il faut exprimer x en fonction de z. En sortie, nous obtenons cela

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z ré z - 9 + 2 x = z

Il est nécessaire de faire une substitution dans l'intégrale donnée. Nous avons ça

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Répondre:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Pour simplifier la solution des équations irrationnelles, des méthodes d'intégration de base sont utilisées.

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Cette section discutera de la méthode d’intégration des fonctions rationnelles. 7.1. Information brèveà propos des fonctions rationnelles La fonction rationnelle la plus simple est un polynôme du dixième degré, c'est-à-dire une fonction de la forme où sont des constantes réelles, et a0 Ф 0. Le polynôme Qn(x) dont le coefficient a0 = 1 est dit réduit. Un nombre réel b est appelé racine du polynôme Qn(z) si Q„(b) = 0. On sait que chaque polynôme Qn(x) à coefficients réels est décomposé de manière unique en facteurs réels de la forme où p, q sont des coefficients réels et les facteurs quadratiques n'ont pas de racines réelles et ne peuvent donc pas être décomposables en facteurs linéaires réels. En combinant des facteurs identiques (le cas échéant) et en supposant, par souci de simplicité, que le polynôme Qn(x) est réduit, nous pouvons écrire sa factorisation sous la forme où sont des nombres naturels. Puisque le degré du polynôme Qn(x) est égal à n, alors la somme de tous les exposants a, /3,..., A, ajoutée à la double somme de tous les exposants ω,..., q, est égale à n : La racine a d'un polynôme est dite simple ou unique, si a = 1, et multiple si a > 1 ; le nombre a est appelé multiplicité de la racine a. Il en va de même pour les autres racines du polynôme. Une fonction rationnelle f(x) ou une fraction rationnelle est le rapport de deux polynômes, et on suppose que les polynômes Pm(x) et Qn(x) n'ont pas des facteurs communs. Une fraction rationnelle est dite propre si le degré du polynôme au numérateur est inférieur au degré du polynôme au dénominateur, c'est-à-dire Si m n, alors la fraction rationnelle est appelée fraction impropre, et dans ce cas, en divisant le numérateur par le dénominateur selon la règle de division des polynômes, elle peut être représentée sous la forme où sont des polynômes, et ^^ est un propre fraction rationnelle. Exemple 1. Une fraction rationnelle est une fraction impropre. En divisant par un « coin », nous avons Donc. Ici. et c'est une fraction appropriée. Définition. Les fractions les plus simples (ou élémentaires) sont des fractions rationnelles des quatre types suivants : où sont des nombres réels, k est un nombre naturel supérieur ou égal à 2, et le trinôme carré x2 + px + q n'a pas de racines réelles, donc -2 _2 est son discriminant. En algèbre, le théorème suivant est prouvé. Théorème 3. Une fraction rationnelle propre à coefficients réels dont le dénominateur Qn(x) a la forme se décompose de manière unique en somme de fractions simples selon la règle Intégration des fonctions rationnelles Brève information sur les fonctions rationnelles Intégration des fractions simples Cas général Intégration de fonctions irrationnelles Première substitution d'Euler Deuxième substitution d'Euler Troisième substitution d'Euler Dans ce développement, il y a des constantes réelles, dont certaines peuvent être égales à zéro. Pour trouver ces constantes, le membre droit de l'égalité (I) est ramené à un dénominateur commun, puis les coefficients aux mêmes puissances de x dans les numérateurs des côtés gauche et droit sont assimilés. Cela donne au système équations linéaires, à partir duquel les constantes requises sont trouvées. . Cette méthode de recherche de constantes inconnues est appelée méthode des coefficients indéterminés. Parfois, il est plus pratique d'utiliser une autre méthode pour trouver des constantes inconnues, qui consiste dans le fait qu'après avoir égalisé les numérateurs, une identité est obtenue par rapport à x, dans laquelle l'argument x reçoit certaines valeurs, par exemple les valeurs ​des racines, ce qui donne lieu à des équations pour trouver les constantes. C'est particulièrement pratique si le dénominateur Q"(x) n'a que de véritables racines simples. Exemple 2. Décomposer la fraction rationnelle en fractions plus simples. Cette fraction est propre. Nous décomposons le dénominateur en multiplicateurs : Puisque les racines du dénominateur sont réelles et différentes, alors, sur la base de la formule (1), la décomposition de la fraction en la plus simple aura la forme : Réduire le droit honneur « de cette égalité au dénominateur commun et en égalisant les numérateurs sur ses côtés gauche et droit, on obtient l'identité ou On trouve les coefficients inconnus A. 2?, C de deux manières. Première façon Égaliser les coefficients pour les mêmes puissances de x, t.v. avec (terme libre), et les côtés gauche et droit de l'identité, on obtient système linéaireéquations pour trouver des coefficients inconnus A, B, C : Ce système a une solution unique C La deuxième méthode. Puisque les racines du dénominateur sont déchirées en i 0, on obtient 2 = 2A, d'où A * 1 ; g i 1, on obtient -1 * -B, d'où 5 * 1 ; x je 2, on obtient 2 = 2C. d'où C» 1, et le développement requis a la forme 3. Rehlozhnt pas les fractions les plus simples fraction rationnelle 4 Nous décomposons le polynôme, qui est dans le sens opposé, en facteurs : . Le dénominateur a deux racines réelles différentes : x\ = 0 multiplicité de multiplicité 3. La décomposition de cette fraction n'est donc pas la plus simple et a la forme Donnée côté droità un dénominateur commun, nous trouverons ou La première méthode. Égaliser les coefficients pour les mêmes puissances de x dans les côtés gauche et droit de la dernière identité. nous obtenons un système linéaire d'équations. Ce système a une solution unique et le développement requis sera la deuxième méthode. Dans l'identité résultante, en mettant x = 0, on obtient 1 a A2, soit A2 = 1 ; champ* gay x = -1, on obtient -3 i B), ou Bj i -3. En remplaçant les valeurs trouvées des coefficients A\ et B) et l'identité prendra la forme ou Mettre x = 0, puis x = -I. on trouve que = 0, B2 = 0 et. cela signifie B\ = 0. Ainsi, nous obtenons à nouveau l'exemple 4. Développez la fraction rationnelle 4 en fractions plus simples. Le dénominateur de la fraction n'a pas de racines réelles, puisque la fonction x2 + 1 n'est égale à zéro pour aucun de vraies valeurs X. Par conséquent, la décomposition en fractions simples devrait avoir la forme. De là, nous obtenons ou. En égalisant les coefficients des puissances synaxiales de x dans les côtés gauche et droit de la dernière égalité, nous aurons où nous trouvons et, par conséquent, Il convient de noter que dans certains cas, les décompositions en fractions simples peuvent être obtenues plus rapidement et plus facilement en agissant d'une autre manière, sans utiliser la méthode des coefficients indéfinis Par exemple, pour obtenir la décomposition de la fraction de l'exemple 3, vous pouvez ajouter et soustraire au numérateur 3x2 et diviser comme indiqué ci-dessous. 7.2. Intégration de fractions simples, Comme mentionné ci-dessus, toute fraction rationnelle impropre peut être représentée comme la somme d'un polynôme et d'une fraction rationnelle propre (§7), et cette représentation est unique. L'intégration d'un polynôme n'est pas difficile, alors considérons la question de l'intégration d'une fraction rationnelle appropriée. Puisque toute fraction rationnelle propre peut être représentée comme une somme de fractions simples, son intégration se réduit à l’intégration de fractions simples. Examinons maintenant la question de leur intégration. III. Pour trouver l'intégrale de la fraction la plus simple du troisième type, on isole le carré complet du binôme du trinôme carré : Puisque le deuxième terme est égal à a2, où et alors on fait la substitution. Ensuite, en tenant compte des propriétés linéaires de l'intégrale, on trouve : Exemple 5. Trouver l'intégrale 4 La fonction intégrande est la fraction la plus simple du troisième type, puisque le trinôme carré x1 + Ax + 6 n'a pas de racines réelles (son discriminant est négatif : , et le numérateur contient un polynôme du premier degré. On procède donc de la manière suivante : 1) sélectionner un carré parfait au dénominateur 2) faire une substitution (ici 3) par * une intégrale Pour trouver l'intégrale du fraction la plus simple du quatrième type, on pose, comme ci-dessus, . Ensuite, nous obtenons l'intégrale du côté droit désignée par A et la transformons comme suit : L'intégrale du côté droit est intégrée par parties, en supposant d'où ou Intégration des fonctions rationnelles Brèves informations sur les fonctions rationnelles Intégration des fractions simples Cas général Intégration des fonctions irrationnelles fonctions Première substitution d'Euler Deuxième substitution d'Euler Troisième substitution Euler Nous avons obtenu la formule dite récurrente, qui nous permet de trouver l'intégrale Jk pour tout k = 2, 3,.... En effet, l'intégrale J\ est tabulaire : En mettant dans la formule de récurrence, on trouve Connaissant et en mettant A = 3, on peut facilement trouver Jj et ainsi de suite. Dans le résultat final, en substituant partout à la place de t et a leurs expressions en termes de x et les coefficients p et q, on obtient pour l'intégrale initiale son expression en termes de x et les nombres donnés M, LG, p, q. Exemple 8. Nouvelle intégrale « La fonction intégrande est la fraction la plus simple du quatrième type, puisque le discriminant d'un trinôme carré est négatif, c'est-à-dire Cela signifie que le dénominateur n'a pas de racines réelles et que le numérateur est un polynôme du 1er degré. 1) On sélectionne un carré complet au dénominateur 2) On fait une substitution : L'intégrale prendra la forme : En mettant dans la formule de récurrence * = 2, a3 = 1. on aura, et, donc, l'intégrale recherchée est égale En revenant à la variable x, on obtient finalement 7.3. Cas général À partir des résultats des paragraphes. 1 et 2 de cette section suivent immédiatement un théorème important. Théorème! 4. L'intégrale indéfinie de toute fonction rationnelle existe toujours (sur des intervalles dans lesquels le dénominateur de la fraction Q„(x) φ 0) et s'exprime à travers un nombre fini de fonctions élémentaires, à savoir, c'est une somme algébrique, les termes dont on ne peut que multiplier les fractions rationnelles, les logarithmes naturels et les arctangentes. Alors pour trouver intégrale indéfinieà partir d'une fonction fractionnaire-rationnelle, il faut agir de la manière suivante : 1) si la fraction rationnelle est impropre, alors en divisant le numérateur par le dénominateur, la partie entière est isolée, c'est-à-dire cette fonction représenté comme la somme d'un polynôme et d'une fraction rationnelle propre ; 2) ensuite le dénominateur de la fraction propre résultante est décomposé en produit de facteurs linéaires et quadratiques ; 3) cette fraction propre se décompose en somme de fractions simples ; 4) en utilisant la linéarité de l'intégrale et les formules de l'étape 2, les intégrales de chaque terme sont trouvées séparément. Exemple 7. Trouver l'intégrale M Puisque le dénominateur est un polynôme du troisième ordre, la fonction intégrande est une fraction impropre. Nous y soulignons toute la partie : Par conséquent, nous l'aurons. Le dénominateur d'une fraction propre a phi des racines réelles différentes : et donc sa décomposition en fractions simples a la forme On trouve donc. En donnant à l'argument x des valeurs égales aux racines du dénominateur, on trouve à partir de cette identité que : Par conséquent, l'intégrale requise sera égale à l'exemple 8. Trouver l'intégrale 4 L'intégrande est une fraction propre dont le dénominateur a deux racines réelles différentes : x - O multiplicité de 1 et x = 1 de multiplicité 3, Par conséquent, le développement de l'intégrande en fractions simples a la forme Ramener le côté droit de cette égalité à un dénominateur commun et réduire les deux côtés de l'égalité par ce dénominateur, on obtient ou. Nous assimilons les coefficients pour les mêmes puissances de x sur les côtés gauche et droit de cette identité : De là, nous trouvons. En substituant les valeurs trouvées des coefficients dans le développement, nous aurons. En intégrant, nous trouvons : Exemple 9. Trouver l'intégrale 4 Le dénominateur de la fraction n'a pas de racines réelles. Par conséquent, le développement de l'intégrande en fractions simples a la forme Donc ou En égalisant les coefficients pour les mêmes puissances de x dans les côtés gauche et droit de cette identité, nous aurons d'où nous trouvons et, donc, Remarque. Dans l’exemple donné, l’intégrande peut être représentée comme une somme de fractions simples de plus de d'une manière simple, à savoir qu'au numérateur de la fraction on sélectionne le binôme qui est au dénominateur, puis on effectue une division terme par terme : §8. Intégration de fonctions irrationnelles Une fonction de la forme où Pm et £?„ sont respectivement des polynômes de type degré dans les variables uub2,... est appelée fonction rationnelle de ubu2j... Par exemple, un polynôme du deuxième degré en deux variables u\ et u2 a la forme où - des constantes réelles, et Exemple 1, La fonction est une fonction rationnelle des variables r et y, puisqu'elle représente le rapport d'un polynôme du troisième degré et d'un polynôme du cinquième degré, mais ce n'est pas une fonction d'if. Dans le cas où les variables, à leur tour, sont des fonctions de la variable w : alors la fonction ] est appelée fonction rationnelle des fonctions de l'Exemple. Une fonction est une fonction rationnelle de r et rvdikvlv Pryaivr 3. Une fonction de la forme n'est pas une fonction rationnelle de x et du radical y/r1 + 1, mais c'est une fonction rationnelle de fonctions. Comme le montrent les exemples, les intégrales de irrationnel les fonctions ne sont pas toujours exprimées en termes fonctions élémentaires . Par exemple, les intégrales souvent rencontrées dans les applications ne sont pas exprimées en termes de fonctions élémentaires ; ces intégrales sont appelées intégrales elliptiques de première et de seconde espèce, respectivement. Considérons les cas où l'intégration de fonctions irrationnelles peut être réduite, à l'aide de quelques substitutions, à l'intégration de fonctions rationnelles. 1. Soit qu'il soit nécessaire de trouver l'intégrale où R(x, y) est une fonction rationnelle de ses arguments x et y ; m £ 2 - nombre naturel ; a, 6, c, d sont des constantes réelles qui satisfont à la condition ad - bc ^ O (pour ad - be = 0, les coefficients a et b sont proportionnels aux coefficients c et d, et donc la relation ne dépend pas de x ; cela signifie que dans ce cas la fonction intégrande sera une fonction rationnelle de la variable x, dont l'intégration a été discutée précédemment). Faisons un changement de variable dans cette intégrale, en mettant On exprime donc la variable x à travers une nouvelle variable. On a x = - une fonction rationnelle de t. On trouve ensuite ou, après simplification, Donc où A1 (t) est une fonction rationnelle de *, puisque les fonctions rationnelles d'une fonction rationnelle, ainsi que le produit de fonctions rationnelles, sont des fonctions rationnelles. Nous savons intégrer des fonctions rationnelles. Soit alors l'intégrale requise égale à At. Intégrale IvYti 4 Une fonction intégrande* est une fonction rationnelle de. Par conséquent, nous fixons t = Then Intégration des fonctions rationnelles Brèves informations sur les fonctions rationnelles Intégration des fractions simples Cas général Intégration des fonctions irrationnelles Première substitution d'Euler Deuxième substitution d'Euler Troisième substitution d'Euler Ainsi, nous obtenons Primar 5. Trouver l'intégrale Le dénominateur commun des fractionnaires exposants de x est égal à 12, donc l'intégrande de la fonction peut être représentée sous la forme 1 _ 1_ ce qui montre que c'est une fonction rationnelle de : En tenant compte de cela, mettons. Par conséquent, 2. Considérons des intégrateurs de la forme où la fonction sous-entéphale est telle qu'en y remplaçant le radical \/ax2 + bx + c par y, on obtient une fonction R(x) y) - rationnelle par rapport aux deux arguments x Andy. Cette intégrale se réduit à l'intégrale d'une fonction rationnelle d'une autre variable en utilisant les substitutions d'Euler. 8.1. Première substitution d'Euler Soit le coefficient a > 0. Posons ou Nous trouvons donc x comme fonction rationnelle de u, ce qui signifie Ainsi, la substitution indiquée s'exprime rationnellement en termes de *. Nous aurons donc une remarque. La première substitution d'Euler peut également être prise sous la forme Exemple 6. Trouvons l'intégrale. Par conséquent, nous aurons la substitution dx d'Euler, montrant que Y 8. 2. Deuxième substitution d'Euler Soit le trinôme ax2 + bx + c des racines réelles R] et x2 différentes (le coefficient peut avoir n'importe quel signe). Dans ce cas, nous supposons que puisque nous obtenons Puisque x,dxn y/ax2 + be + c sont exprimés rationnellement en termes de t, alors l'intégrale d'origine est réduite à l'intégrale d'une fonction rationnelle, c'est-à-dire où Problème. En utilisant la première substitution d'Euler, montrez que c'est une fonction rationnelle de t. Exemple 7. Trouver l'intégrale dx M fonction ] - x1 a différentes racines réelles. Par conséquent, nous appliquons la deuxième substitution d'Euler. À partir de là, nous trouvons : En substituant les expressions trouvées dans le Donné?v*gyvl; nous obtenons 8,3. Troisième substascom d'Euler Soit le coefficient c > 0. On fait un changement de variable en mettant. A noter que pour réduire l'intégrale à l'intégrale d'une fonction rationnelle, les première et deuxième substitutions d'Euler suffisent. En fait, si le discriminant b2 -4ac > 0, alors les racines du trinôme quadratique ax + bx + c sont réelles, et dans ce cas la deuxième substitution d'Euler est applicable. Si, alors le signe du trinôme ax2 + bx + c coïncide avec le signe du coefficient a, et puisque le trinôme doit être positif, alors a > 0. Dans ce cas, la première substitution d'Euler est applicable. Pour trouver des intégrales du type indiqué ci-dessus, il n'est pas toujours conseillé d'utiliser les substitutions d'Euler, car pour elles il est possible de trouver d'autres méthodes d'intégration qui conduisent plus rapidement au but. Considérons quelques-unes de ces intégrales. 1. Pour trouver les intégrales de la forme, isolez le carré parfait du carré du ème trinôme : où Après cela, faites une substitution et obtenez où les coefficients a et P ont des signes différents ou sont tous deux positifs. Pour, et aussi pour a > 0, l'intégrale sera réduite à un logarithme, et si oui, à l'arc sinus. À. Trouvez alors l'intégral 4 Sokak. En supposant que nous obtenions Prmmar 9. Trouvez. En supposant x -, nous aurons 2. L'intégrale de la forme est réduite à l'intégrale y de l'étape 1 comme suit. Considérant que la dérivée ()" = 2, on la met en évidence au numérateur : 4 On identifie la dérivée de l'expression radicale au numérateur. Puisque (x, alors on aura, compte tenu du résultat de l'exemple 9, 3. Les intégrales de la forme où P„(x) est un polynôme n-ème degré, peuvent être trouvées par la méthode des coefficients indéfinis, qui consiste en ce qui suit : Supposons que l'égalité soit vérifiée Exemple 10. Intégrale puissante où Qn-i (s) est un polynôme de (n - 1) degré à coefficients indéfinis : Pour trouver les coefficients inconnus | on différencie les deux côtés de (1) : Puis on réduit le membre droit de l'égalité (2) à un dénominateur commun égal au dénominateur du côté gauche, c'est-à-dire y/ax2 + bx + c, réduisant les deux côtés de (2) par lequel, on obtient l'identité dont les deux côtés contiennent des polynômes de degré n. En égalant les coefficients pour les mêmes puissances de x dans les côtés gauche et droit de (3), nous obtenons n + 1 équations, à partir desquelles nous trouvons les coefficients requis j4*(fc = 0,1,2,..., n ). En substituant leurs valeurs dans le côté droit de (1) et en trouvant l'intégrale + c, nous obtenons la réponse pour cette intégrale. Exemple 11. Trouver l'intégrale Mettons En différenciant les deux suites de l'égalité, nous aurons En ramenant le côté droit à un dénominateur commun et en réduisant les deux côtés par celui-ci, nous obtenons l'identité ou. En égalant les coefficients aux mêmes puissances de x, on arrive à un système d'équations à partir duquel on trouve = Puis on trouve l'intégrale du côté droit de l'égalité (4) : Par conséquent, l'intégrale recherchée sera égale à