La calculatrice résout les intégrales avec une description des actions en DÉTAIL en russe et gratuitement !

Résolution d'intégrales indéfinies

Il s'agit d'un service en ligne dans une étape:

Résolution d'intégrales définies

Il s'agit d'un service en ligne dans une étape:

• Entrez l'expression de l'intégrande (fonction intégrale)
• Entrez une limite inférieure pour l'intégrale
• Entrez une limite supérieure pour l'intégrale

Résolution d'intégrales doubles

• Entrez l'expression de l'intégrande (fonction intégrale)

Résoudre les intégrales incorrectes

• Entrez l'expression de l'intégrande (fonction intégrale)
• Entrer zone supérieure intégration (ou + infini)
• Entrez la région inférieure d'intégration (ou - l'infini)

Allez à : Service en ligne « Intégrale non propriétaire » →

Résolution d'intégrales triples

• Entrez l'expression de l'intégrande (fonction intégrale)
• Entrez les limites inférieure et supérieure pour la première région d'intégration.
• Saisissez les limites inférieure et supérieure de la deuxième région d'intégration.
• Entrez la limite inférieure et supérieure pour la troisième région d'intégration

Allez à : Service en ligne "Triple Intégral" →

Ce service vous permet de vérifier votre calculs pour l'exactitude

Possibilités

• Prise en charge de tous les possibles fonctions mathématiques: sinus, cosinus, exponentielle, tangente, cotangente, racines carrées et cubiques, puissances, exponentielles et autres.
• Il existe des exemples de saisie, à la fois pour les intégrales indéfinies et pour les intégrales impropres et définies.
• Corrige les erreurs dans les expressions que vous saisissez et propose vos propres options de saisie.
• Solution numérique pour les intégrales définies et impropres (y compris les intégrales doubles et triples).
• Prise en charge des nombres complexes, ainsi que de divers paramètres (vous pouvez spécifier non seulement la variable d'intégration, mais également d'autres variables de paramètre dans l'expression d'intégrande)

Souvenons-nous de nos heureuses années d'école. Les pionniers des cours de mathématiques, lorsqu'ils ont commencé à étudier les racines, se sont tout d'abord familiarisés avec la racine carrée. Nous allons-y alors de la même manière.

Exemple 1

Trouver l'intégrale indéfinie

En analysant l'intégrande, vous arrivez à la triste conclusion qu'il ne ressemble pas du tout aux intégrales de table. Maintenant, si tout cela était au numérateur, ce serait simple. Ou il n'y aurait pas de racine en dessous. Ou un polynôme. Aucun méthodes d'intégration de fractions Ils n'aident pas non plus. Ce qu'il faut faire?

La principale technique pour résoudre les intégrales irrationnelles est un changement de variable, qui nous débarrassera de TOUTES les racines de l’intégrande.

Notez que ce remplacement est un peu particulier ; sa mise en œuvre technique diffère de la méthode de remplacement « classique », qui a été abordée dans la leçon. Méthode de substitution en intégrale indéfinie.

DANS dans cet exemple doit être remplacé x = t 2, c'est-à-dire qu'au lieu de « X » sous la racine, nous aurons t 2. Pourquoi ce remplacement ? Parce que et suite au remplacement, la racine disparaîtra.

Si dans la fonction intégrande à la place racine carrée nous l'avions fait, alors nous l'aurions remplacé. Si cela avait été là, ils l'auraient exécuté et ainsi de suite.

D'accord, nous allons nous transformer en . Qu'arrive-t-il au polynôme ? Il n'y a pas de difficultés : si , alors .

Reste à savoir quelle sera la forme de ce différentiel. Cela se fait comme ceci :

Nous prenons notre remplaçant et nous accrochons des différentiels sur les deux parties:

(nous le décrirons de manière aussi détaillée que possible).

Le format de la solution devrait ressembler à ceci :

.

Remplaçons : .

.

(1) Nous effectuons la substitution après le remplacement (comment, quoi et où est déjà pris en compte).

(2) Nous prenons la constante en dehors de l'intégrale. Le numérateur et le dénominateur sont réduits de t.

(3) L'intégrale résultante est tabulaire ; nous la préparons pour l'intégration en sélectionnant le carré.

(4) Intégrer sur le tableau en utilisant la formule

.

(5) Nous effectuons le remplacement inversé. Comment cela se fait-il ? Nous nous souvenons pourquoi nous avons dansé : si, alors.

Exemple 2

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

D'une manière ou d'une autre, il s'est avéré que dans les exemples 1 et 2, il existe un numérateur « nu » avec un différentiel solitaire. Réparons la situation.

Exemple 3

Trouver l'intégrale indéfinie

Une analyse préliminaire de l’intégrande montre encore une fois qu’il n’existe pas de solution simple. Et donc vous devez vous débarrasser de la racine.

Faisons un remplacement : .

Pour nous désignons l'expression ENTIÈRE sous la racine. Le remplacement des exemples précédents ne convient pas ici (plus précisément, cela peut être fait, mais cela ne supprimera pas la racine).

Nous accrochons des différentiels sur les deux parties :

Nous avons réglé le numérateur. Que faire avec le dénominateur ?

Nous prenons notre remplaçant et en exprimons : .

Si, alors.

(1) Nous effectuons le remplacement conformément au remplacement effectué.

(2) Peignez le numérateur. Ici j'ai choisi de ne pas retirer la constante du signe intégral (vous pouvez le faire de cette façon, ce ne sera pas une erreur)

(3) Nous développons le numérateur en une somme. Encore une fois, nous vous recommandons fortement de lire le premier paragraphe de la leçon Intégrer certaines fractions. Gimp avec expansion du numérateur en une somme dans intégrales irrationnelles il y en aura beaucoup, il est très important de pratiquer cette technique.

(4) Divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(5) Nous utilisons les propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie. Dans la deuxième intégrale, nous sélectionnons un carré pour une intégration ultérieure selon le tableau.

(6) Nous intégrons selon le tableau. La première intégrale est assez simple, dans la seconde on utilise la formule tabulaire du logarithme haut .

(7) Nous effectuons le remplacement inversé. Si nous avons effectué un remplacement, alors, retour : .

Exemple 4

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même ; si vous n’avez pas soigneusement étudié les exemples précédents, vous ferez une erreur ! Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

En principe, les intégrales à plusieurs identique les racines, par exemple

Etc. Que faire si l'intégrande a des racines différent?

Exemple 5

Trouver l'intégrale indéfinie

Voici le décompte pour les numérateurs nus. Lorsqu’une telle intégrale est rencontrée, cela devient généralement effrayant. Mais les craintes sont vaines ; après avoir effectué un remplacement approprié, l'intégrande devient plus simple. La tâche est la suivante : réussir un remplacement afin de se débarrasser immédiatement de TOUTES les racines.

Lorsqu'on leur donne des racines différentes, il est pratique d'adhérer à un certain schéma de solution.

Tout d’abord, nous écrivons la fonction intégrande sur un brouillon et présentons toutes les racines sous la forme :

Nous serons intéressés dénominateurs diplômes :

Sous irrationnel comprendre une expression dans laquelle la variable indépendante %%x%% ou le polynôme %%P_n(x)%% de degré %%n \in \mathbb(N)%% est inclus sous le signe radical(du latin base- racine), c'est-à-dire élevé à une puissance fractionnaire. En remplaçant une variable, certaines classes d'intégrandes irrationnelles par rapport à %%x%% peuvent être réduites à des expressions rationnelles par rapport à une nouvelle variable.

Le concept de fonction rationnelle d'une variable peut être étendu à plusieurs arguments. Si pour chaque argument %%u, v, \dotsc, w%% lors du calcul de la valeur d'une fonction, seules les opérations arithmétiques et l'élévation à une puissance entière sont fournies, alors on parle de fonction rationnelle de ces arguments, qui est généralement noté %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Les arguments d'une telle fonction peuvent eux-mêmes être des fonctions de la variable indépendante %%x%%, incluant des radicaux de la forme %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Par exemple, la fonction rationnelle $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ avec %%u = x, v = \sqrt(x)%% et %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% est une fonction rationnelle de $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ de %%x%% et radicaux %%\sqrt(x)%% et %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, tandis que la fonction %%f(x)%% sera une fonction irrationnelle (algébrique) d'une variable indépendante %%x%%.

Considérons des intégrales de la forme %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. De telles intégrales sont rationalisées en remplaçant la variable %%t = \sqrt[n](x)%%, puis %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Exemple 1

Recherchez %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

L'intégrande de l'argument recherché s'écrit en fonction de radicaux de degré %%2%% et %%3%%. Puisque le plus petit commun multiple de %%2%% et %%3%% est %%6%%, cette intégrale est une intégrale de type %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% et peut être rationalisé en remplaçant %%\sqrt(x) = t%%. Alors %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Par conséquent, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Prenons %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% et $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(tableau) $$

Les intégrales de la forme %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% sont un cas particulier d'irrationalités linéaires fractionnaires, c'est-à-dire intégrales de la forme %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, où %% ad - bc \neq 0%%, qui peut être rationalisé en remplaçant la variable %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, puis %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Alors $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Exemple 2

Recherchez %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Prenons %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, alors %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Par conséquent, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Considérons des intégrales de la forme %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Dans les cas les plus simples, ces intégrales sont réduites à des intégrales tabulaires si, après avoir isolé le carré complet, un changement de variables est effectué.

Exemple 3

Trouvez l'intégrale %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Considérant que %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, on prend %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, alors $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(tableau) $$

Dans des cas plus complexes, pour trouver des intégrales de la forme %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% sont utilisés

Définition 1

L'ensemble de toutes les primitives fonction donnée$y=f(x)$ défini sur un certain segment est appelé l'intégrale indéfinie d'une fonction donnée $y=f(x)$. Intégrale indéfinie désigné par symbole$\int f(x)dx $.

Commentaire

La définition 2 peut s’écrire comme suit :

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Toutes les fonctions irrationnelles ne peuvent pas être exprimées comme une intégrale à travers des fonctions élémentaires. Cependant, la plupart de ces intégrales peuvent être réduites en utilisant des substitutions aux intégrales de fonctions rationnelles, qui peuvent être exprimées en termes de fonctions élémentaires.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

je

Lors de la recherche d'une intégrale de la forme $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ il est nécessaire d'effectuer la substitution suivante :

Avec cette substitution, chaque puissance fractionnaire de la variable $x$ est exprimée par une puissance entière de la variable $t$. En conséquence, la fonction intégrande est transformée en fonction rationnelleà partir de la variable $t$.

Exemple 1

Effectuer l'intégration :

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Solution:

$k=4$ est le dénominateur commun des fractions $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(tableau)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Lors de la recherche d'une intégrale de la forme $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ il faut effectuer la substitution suivante :

où $k$ est le dénominateur commun des fractions $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Du fait de cette substitution, l'intégrande se transforme en une fonction rationnelle de la variable $t$.

Exemple 2

Effectuer l'intégration :

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Solution:

Faisons la substitution suivante :

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

Après avoir effectué la substitution inverse, nous obtenons le résultat final :

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

Lors de la recherche d'une intégrale de la forme $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, la substitution dite d'Euler est effectuée (l'une des trois substitutions possibles est utilisé).

Premier remplacement d'Euler

Pour le cas $a>

En prenant le signe « + » devant $\sqrt(a) $, on obtient

Exemple 3

Effectuer l'intégration :

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Solution:

Faisons la substitution suivante (cas $a=1>0$) :

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Après avoir effectué la substitution inverse, nous obtenons le résultat final :

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Deuxième remplacement d'Euler

Pour le cas $c>0$ il faut effectuer la substitution suivante :

En prenant le signe « + » devant $\sqrt(c) $, on obtient

Exemple 4

Effectuer l'intégration :

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Solution:

Faisons la substitution suivante :

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Ayant fait l'inverse substitution, on obtient le résultat final :

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( tableau)\]

Troisième remplacement d'Euler