Sous irrationnel comprendre une expression dans laquelle la variable indépendante %%x%% ou le polynôme %%P_n(x)%% de degré %%n \in \mathbb(N)%% est inclus sous le signe radical(du latin base- racine), c'est-à-dire élevé à une puissance fractionnaire. En remplaçant une variable, certaines classes d'intégrandes irrationnelles par rapport à %%x%% peuvent être réduites à des expressions rationnelles par rapport à une nouvelle variable.

Le concept de fonction rationnelle d'une variable peut être étendu à plusieurs arguments. Si pour chaque argument %%u, v, \dotsc, w%% lors du calcul de la valeur d'une fonction, seules les opérations arithmétiques et l'élévation à une puissance entière sont fournies, alors on parle d'une fonction rationnelle de ces arguments, qui est généralement noté %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Les arguments d'une telle fonction peuvent eux-mêmes être des fonctions de la variable indépendante %%x%%, incluant des radicaux de la forme %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Par exemple, fonction rationnelle$$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ avec %%u = x, v = \sqrt(x)%% et %%w = \sqrt(x ^2 + 1)%% est une fonction rationnelle $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x^2) ) (\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ de %%x%% et radicaux %%\sqrt(x)%% et %%\sqrt(x^2 + 1)%% , alors que la fonction %%f(x)%% sera une fonction irrationnelle (algébrique) d'une variable indépendante %%x%%.

Considérons des intégrales de la forme %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. De telles intégrales sont rationalisées en remplaçant la variable %%t = \sqrt[n](x)%%, puis %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Exemple 1

Recherchez %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

L'intégrande de l'argument recherché s'écrit en fonction de radicaux de degré %%2%% et %%3%%. Puisque le plus petit commun multiple de %%2%% et %%3%% est %%6%%, cette intégrale est une intégrale de type %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% et peut être rationalisé en remplaçant %%\sqrt(x) = t%%. Alors %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Par conséquent, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Prenons %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% et $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(tableau) $$

Les intégrales de la forme %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% sont un cas particulier d'irrationalités linéaires fractionnaires, c'est-à-dire intégrales de la forme %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, où %% ad - bc \neq 0%%, qui peut être rationalisé en remplaçant la variable %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, puis %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Alors $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Exemple 2

Recherchez %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Prenons %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, alors %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Par conséquent, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Considérons des intégrales de la forme %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Dans les cas les plus simples, ces intégrales sont réduites à des intégrales tabulaires si, après avoir isolé le carré complet, un changement de variables est effectué.

Exemple 3

Trouvez l'intégrale %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Considérant que %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, on prend %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, alors $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(tableau) $$

Dans des cas plus complexes, pour trouver des intégrales de la forme %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% sont utilisés

La classe des fonctions irrationnelles est très large, il ne peut donc tout simplement pas y avoir de manière universelle de les intégrer. Dans cet article, nous allons essayer d'identifier les types les plus caractéristiques de fonctions intégrandes irrationnelles et de leur associer la méthode d'intégration.

Il existe des cas où il convient d'utiliser la méthode de souscription au signe différentiel. Par exemple, lors de la recherche d'intégrales indéfinies de la forme, où p– fraction rationnelle.

Exemple.

Trouver intégrale indéfinie .

Solution.

Il n'est pas difficile de s'en rendre compte. On le met donc sous le signe différentiel et on utilise le tableau des primitives :

Répondre:

.

13. Substitution linéaire fractionnaire

Les intégrales du type où a, b, c, d sont des nombres réels, a, b,..., d, g sont des nombres naturels, sont réduites aux intégrales d'une fonction rationnelle par substitution, où K est le plus petit commun multiple de les dénominateurs des fractions

En effet, de la substitution il résulte que

c'est-à-dire que x et dx sont exprimés par des fonctions rationnelles de t. De plus, chaque degré de la fraction est exprimé par une fonction rationnelle de t.

Exemple 33.4. Trouver l'intégrale

Solution : Le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions 2/3 et 1/2 est 6.

Par conséquent, nous mettons x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, donc,

Exemple 33.5. Spécifiez la substitution pour trouver les intégrales :

Solution : Pour la substitution I 1 x=t 2, pour la substitution I 2

14. Substitution trigonométrique

Les intégrales de type sont réduites aux intégrales de fonctions qui dépendent rationnellement de fonctions trigonométriques en utilisant les substitutions trigonométriques suivantes : x = un sint pour la première intégrale ; x=une cible pour la deuxième intégrale ; pour la troisième intégrale.

Exemple 33.6. Trouver l'intégrale

Solution : Mettons x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Alors

Ici l'intégrande est une fonction rationnelle par rapport à x et En sélectionnant un carré complet sous le radical et en effectuant la substitution, les intégrales type spécifié se réduisent à des intégrales du type déjà considéré, c'est-à-dire à des intégrales du type Ces intégrales peuvent être calculées en utilisant des substitutions trigonométriques appropriées.

Exemple 33.7. Trouver l'intégrale

Solution : Puisque x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, alors x+1=t, x=t-1, dx=dt. C'est pourquoi Mettons

Remarque : Type intégral Il est opportun de trouver en utilisant la substitution x=1/t.

15. Intégrale définie

Soit une fonction définie sur un segment et comportant une primitive dessus. La différence s'appelle Intégrale définie fonctions le long du segment et dénotent. Donc,

La différence s'écrit sous la forme, alors . Les numéros sont appelés limites de l'intégration .

Par exemple, l’une des primitives d’une fonction. C'est pourquoi

16 . Si c est un nombre constant et que la fonction ƒ(x) est intégrable sur , alors

c'est-à-dire que le facteur constant c peut être retiré du signe de l'intégrale définie.

▼Composons la somme intégrale de la fonction avec ƒ(x). Nous avons:

Il s'ensuit alors que la fonction c ƒ(x) est intégrable sur [a; b] et la formule (38.1) est valide.▲

2. Si les fonctions ƒ 1 (x) et ƒ 2 (x) sont intégrables sur [a;b], alors intégrables sur [a; b] leur somme u

c'est-à-dire que l'intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales.

▼
▲

La propriété 2 s'applique à la somme de tout nombre fini de termes.

3.

Cette propriété peut être acceptée par définition. Cette propriété est également confirmée par la formule de Newton-Leibniz.

4. Si la fonction ƒ(x) est intégrable sur [a; b] et un< с < b, то

c'est-à-dire que l'intégrale sur tout le segment est égale à la somme des intégrales sur les parties de ce segment. Cette propriété est appelée additivité d’une intégrale définie (ou propriété d’additivité).

Lors de la division du segment [a;b] en parties, nous incluons le point c dans le nombre de points de division (cela peut être fait grâce à l'indépendance de la limite de la somme intégrale de la méthode de division du segment [a;b] en parties). Si c = x m, alors la somme intégrale peut être divisée en deux sommes :

Chacune des sommes écrites est intégrale, respectivement, pour les segments [a ; b], [une; s] et [s; b]. En passant à la limite dans la dernière égalité comme n → ∞ (λ → 0), on obtient l'égalité (38.3).

La propriété 4 est valable pour tout emplacement des points a, b, c (on suppose que la fonction ƒ (x) est intégrable sur le plus grand des segments résultants).

Ainsi, par exemple, si un< b < с, то

(les propriétés 4 et 3 ont été utilisées).

5. « Théorème sur les valeurs moyennes. » Si la fonction ƒ(x) est continue sur l'intervalle [a; b], alors il y a un tonka avec є [a; b] tel que

▼Par la formule de Newton-Leibniz on a

où F"(x) = ƒ(x). En appliquant le théorème de Lagrange (le théorème sur l'incrément fini d'une fonction) à la différence F(b)-F(a), on obtient

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

La propriété 5 (« le théorème de la valeur moyenne ») pour ƒ (x) ≥ 0 a une signification géométrique simple : la valeur de l'intégrale définie est égale, pour certains c є (a ; b), à l'aire d'un rectangle avec hauteur ƒ (c) et base b-a ( voir Fig. 170). Nombre

est appelée la valeur moyenne de la fonction ƒ(x) sur l'intervalle [a; b].

6. Si la fonction ƒ (x) maintient son signe sur le segment [a; b], où un< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Par le « théorème de la valeur moyenne » (propriété 5)

où c є [a; b]. Et puisque ƒ(x) ≥ 0 pour tout x О [a; b], alors

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Donc ƒ(с) (b-а) ≥ 0, c'est-à-dire ▲

7. Inégalité entre fonctions continues sur l'intervalle [a; b], (une

▼Depuis ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, alors quand un< b, согласно свойству 6, имеем

Ou, selon la propriété 2,

A noter qu’il est impossible de différencier les inégalités.

8. Estimation de l'intégrale. Si m et M sont respectivement les plus petites et les plus grandes valeurs de la fonction y = ƒ (x) sur le segment [a ; b], (une< b), то

▼Puisque pour tout x є [a;b] on a m≤ƒ(x)≤М, alors, d'après la propriété 7, on a

En appliquant la propriété 5 aux intégrales extrêmes, on obtient

▲

Si ƒ(x)≥0, alors la propriété 8 est illustrée géométriquement : l'aire d'un trapèze curviligne est comprise entre les aires de rectangles dont la base est , et dont les hauteurs sont m et M (voir Fig. 171).

9. Le module d'une intégrale définie ne dépasse pas l'intégrale du module de l'intégrande :

▼En appliquant la propriété 7 aux inégalités évidentes -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, on obtient

Il s'ensuit que

▲

10. La dérivée d'une intégrale définie par rapport à une limite supérieure de variable est égale à l'intégrande dans laquelle la variable d'intégration est remplacée par cette limite, c'est-à-dire

Le calcul de l'aire d'une figure est l'un des problèmes les plus difficiles de la théorie des aires. Dans le cours de géométrie scolaire, nous avons appris à trouver les aires des formes géométriques de base, par exemple un cercle, un triangle, un losange, etc. Cependant, il est beaucoup plus fréquent de devoir calculer les aires de figures plus complexes. Pour résoudre de tels problèmes, il faut recourir au calcul intégral.

Dans cet article, nous examinerons le problème du calcul de l'aire d'un trapèze curviligne et nous l'aborderons dans un sens géométrique. Cela nous permettra de découvrir le lien direct entre l'intégrale définie et l'aire d'un trapèze curviligne.

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Résolution d'intégrales indéfinies

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Résolution d'intégrales définies

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Résolution d'intégrales doubles

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Résoudre les intégrales incorrectes

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Résolution d'intégrales triples

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Possibilités

• Prend en charge toutes les fonctions mathématiques possibles : sinus, cosinus, exposant, tangente, cotangente, racines carrées et cubiques, puissances, exponentielles et autres.
• Il existe des exemples de saisie, à la fois pour les intégrales indéfinies et pour les intégrales impropres et définies.
• Corrige les erreurs dans les expressions que vous saisissez et propose vos propres options de saisie.
• Solution numérique pour les intégrales définies et impropres (y compris les intégrales doubles et triples).
• Prise en charge des nombres complexes, ainsi que de divers paramètres (vous pouvez spécifier non seulement la variable d'intégration, mais également d'autres variables de paramètre dans l'expression d'intégrande)

Une fonction irrationnelle d'une variable est une fonction formée à partir d'une variable et de constantes arbitraires à l'aide d'un nombre fini d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication (élévation à une puissance entière), de division et de prise de racines. Une fonction irrationnelle diffère d'une fonction rationnelle en ce sens qu'elle contient des opérations d'extraction de racines.

Il existe trois principaux types de fonctions irrationnelles dont les intégrales indéfinies sont réduites aux intégrales de fonctions rationnelles. Ce sont des intégrales contenant des racines de puissances entières arbitraires provenant d'une fonction fractionnaire linéaire (les racines peuvent être de puissances différentes, mais issues de la même fonction fractionnaire linéaire) ; intégrales d'un binôme différentiel et intégrales avec la racine carrée d'un trinôme carré.

Note importante. Les racines ont plusieurs significations !

Lors du calcul d'intégrales contenant des racines, on rencontre souvent des expressions de la forme où est une fonction de la variable d'intégration. Il ne faut pas oublier cela. Autrement dit, à t > 0 , |t| =t. À t< 0 , |t| = -t. Par conséquent, lors du calcul de telles intégrales, il est nécessaire de considérer séparément les cas t > 0 et T< 0 . Cela peut être fait en écrivant des signes ou si nécessaire. En supposant que le signe du haut fait référence au cas t > 0 , et celui du bas - au cas t< 0 . Avec une transformation ultérieure, ces signes s'annulent généralement.

Une deuxième approche est également possible, dans laquelle l'intégrande et le résultat de l'intégration peuvent être considérés comme fonctions complètesà partir de variables complexes. Dans ce cas, vous n’avez pas besoin de prêter attention aux signes des expressions radicales. Cette approche est applicable si l'intégrande est analytique, c'est-à-dire une fonction différentiable d'une variable complexe. Dans ce cas, l’intégrande et son intégrale sont des fonctions à valeurs multiples. Par conséquent, après l'intégration, lors de la substitution de valeurs numériques, il est nécessaire de sélectionner une branche à valeur unique (surface de Riemann) de l'intégrande, et pour elle de sélectionner la branche correspondante du résultat de l'intégration.

Irrationalité linéaire fractionnée

Ce sont des intégrales avec des racines de la même fonction linéaire fractionnaire :
,
où R est une fonction rationnelle, sont des nombres rationnels, m 1, n 1, ..., m s, n s sont des nombres entiers, α, β, γ, δ sont des nombres réels.
De telles intégrales se réduisent à l'intégrale d'une fonction rationnelle par substitution :
, où n est le dénominateur commun des nombres r 1, ..., r s.

Les racines ne proviennent pas nécessairement d’une fonction fractionnaire linéaire, mais aussi d’une fonction linéaire (γ = 0 , δ = 1), ou sur la variable d'intégration x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Voici des exemples de telles intégrales :
, .

Intégrales de binômes différentiels

Les intégrales des binômes différentiels ont la forme :
,
où m, n, p sont des nombres rationnels, a, b sont des nombres réels.
De telles intégrales se réduisent aux intégrales de fonctions rationnelles dans trois cas.

1) Si p est un entier. Substitution x = t N, où N est le dénominateur commun des fractions m et n.
2) Si - un entier. Substitution a x n + b = t M, où M est le dénominateur du nombre p.
3) Si - un entier. Substitution a + b x - n = t M, où M est le dénominateur du nombre p.

Dans d’autres cas, ces intégrales ne sont pas exprimées par des fonctions élémentaires.

Parfois, ces intégrales peuvent être simplifiées à l'aide de formules de réduction :
;
.

Intégrales contenant la racine carrée d'un trinôme carré

De telles intégrales ont la forme :
,
où R est une fonction rationnelle. Pour chacune de ces intégrales, il existe plusieurs méthodes pour la résoudre.
1) L'utilisation de transformations conduit à des intégrales plus simples.
2) Appliquez des substitutions trigonométriques ou hyperboliques.
3) Appliquez les substitutions d'Euler.

Examinons ces méthodes plus en détail.

1) Transformation de la fonction intégrande

En appliquant la formule et en effectuant des transformations algébriques, nous réduisons la fonction intégrande à la forme :
,
où φ(x), ω(x) sont des fonctions rationnelles.

Tapez I

Intégrale de la forme :
,
où P n (x) est un polynôme de degré n.

De telles intégrales sont trouvées par la méthode des coefficients indéfinis en utilisant l'identité :

.
En différenciant cette équation et en égalisant les côtés gauche et droit, on trouve les coefficients A i.

Type II

Intégrale de la forme :
,
où P m (x) est un polynôme de degré m.

Remplacement t = (x - α) -1 cette intégrale se réduit au type précédent. Si m ≥ n, alors la fraction doit avoir une partie entière.

type III

Ici, nous effectuons la substitution :
.
Après quoi l’intégrale prendra la forme :
.
Ensuite, les constantes α, β doivent être choisies telles que les coefficients de t au dénominateur deviennent nuls :
B = 0, B1 = 0.
Ensuite l'intégrale se décompose en somme d'intégrales de deux types :
,
,
qui sont intégrés par substitutions :
vous 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = UNE 1 + C 1 t -2 .

2) Substitutions trigonométriques et hyperboliques

Pour les intégrales de la forme , un > 0 ,
nous avons trois substitutions principales :
;
;
;

Pour les intégrales, un > 0 ,
nous avons les substitutions suivantes :
;
;
;

Et enfin, pour les intégrales, un > 0 ,
les substitutions sont les suivantes :
;
;
;

3) Remplacements d'Euler

De plus, les intégrales peuvent être réduites aux intégrales de fonctions rationnelles de l'une des trois substitutions d'Euler :
, pour un > 0 ;
, pour c > 0 ;
, où x 1 est la racine de l'équation a x 2 + b x + c = 0. Si cette équation a de vraies racines.

Intégrales elliptiques

En conclusion, considérons les intégrales de la forme :
,
où R est une fonction rationnelle, . De telles intégrales sont appelées elliptiques. En général, ils ne s’expriment pas à travers des fonctions élémentaires. Cependant, il existe des cas où il existe des relations entre les coefficients A, B, C, D, E, dans lesquels de telles intégrales sont exprimées par des fonctions élémentaires.

Vous trouverez ci-dessous un exemple lié aux polynômes réflexifs. Le calcul de telles intégrales s'effectue à l'aide de substitutions :
.

Exemple

Calculez l'intégrale :
.

Solution

Faisons une substitution.

.
Ici à x > 0 (tu> 0 ) prenez le signe supérieur ′+ ′. À x< 0 (tu< 0 ) - inférieur '- '.

.

Répondre

Les références:
N. M. Gunther, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes en mathématiques supérieures, «Lan», 2003.

Souvenons-nous de nos heureuses années d'école. Les pionniers des cours de mathématiques, lorsqu'ils ont commencé à étudier les racines, se sont tout d'abord familiarisés avec la racine carrée. Nous allons-y alors de la même façon.

Exemple 1

Trouver l'intégrale indéfinie

En analysant l'intégrande, vous arrivez à la triste conclusion qu'il ne ressemble pas du tout aux intégrales de table. Maintenant, si tout cela était au numérateur, ce serait simple. Ou il n'y aurait pas de racine en dessous. Ou un polynôme. Aucun méthodes d'intégration de fractions Ils n'aident pas non plus. Ce qu'il faut faire?

La principale technique pour résoudre les intégrales irrationnelles est un changement de variable, qui nous débarrassera de TOUTES les racines de l’intégrande.

A noter que ce remplacement est un peu particulier ; sa mise en œuvre technique diffère de la méthode de remplacement « classique », qui a été abordée dans la leçon. Méthode de substitution en intégrale indéfinie.

DANS dans cet exemple doit être remplacé X = t 2, c'est-à-dire qu'au lieu du « X » sous la racine nous aurons t 2. Pourquoi ce remplacement ? Parce que et suite au remplacement, la racine disparaîtra.

Si dans la fonction intégrande à la place racine carrée nous l'avions fait, alors nous l'aurions remplacé. Si cela avait été là, ils l'auraient exécuté et ainsi de suite.

D'accord, nous allons nous transformer en . Qu'arrive-t-il au polynôme ? Il n'y a pas de difficultés : si , alors .

Reste à savoir quelle sera la forme de ce différentiel. Cela se fait comme ceci :

Nous prenons notre remplaçant et accrocher les différentiels sur les deux parties:

(nous le décrirons de manière aussi détaillée que possible).

Le format de la solution devrait ressembler à ceci :

.

Remplaçons : .

.

(1) Nous effectuons la substitution après le remplacement (comment, quoi et où est déjà pris en compte).

(2) Nous prenons la constante en dehors de l'intégrale. Le numérateur et le dénominateur sont réduits de t.

(3) L'intégrale résultante est tabulaire ; nous la préparons pour l'intégration en sélectionnant le carré.

(4) Intégrer sur le tableau en utilisant la formule

.

(5) Nous effectuons le remplacement inversé. Comment c'est fait? Nous nous souvenons pourquoi nous avons dansé : si, alors.

Exemple 2

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

D'une manière ou d'une autre, il s'est avéré que dans les exemples 1 et 2, il existe un numérateur « nu » avec un différentiel solitaire. Réparons la situation.

Exemple 3

Trouver l'intégrale indéfinie

Une analyse préliminaire de l’intégrande montre encore une fois qu’il n’existe pas de solution simple. Et donc vous devez vous débarrasser de la racine.

Remplaçons : .

Derrière nous désignons l'expression ENTIÈRE sous la racine. Le remplacement des exemples précédents ne convient pas ici (plus précisément, cela peut être fait, mais cela ne supprimera pas la racine).

Nous accrochons des différentiels sur les deux parties :

Nous avons réglé le numérateur. Que faire avec le dénominateur ?

Nous prenons notre remplaçant et en exprimons : .

Si donc.

(1) Nous effectuons le remplacement conformément au remplacement effectué.

(2) Peignez le numérateur. Ici j'ai choisi de ne pas retirer la constante du signe intégral (vous pouvez le faire de cette façon, ce ne sera pas une erreur)

(3) Nous développons le numérateur en une somme. Encore une fois, nous vous recommandons fortement de lire le premier paragraphe de la leçon Intégrer certaines fractions. Gimp avec expansion du numérateur en une somme dans intégrales irrationnelles il y en aura beaucoup, il est très important de pratiquer cette technique.

(4) Divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(5) Nous utilisons les propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie. Dans la deuxième intégrale, nous sélectionnons un carré pour une intégration ultérieure selon le tableau.

(6) Nous intégrons selon le tableau. La première intégrale est assez simple, dans la seconde on utilise la formule tabulaire du logarithme haut .

(7) Nous effectuons le remplacement inversé. Si nous avons effectué un remplacement, alors retour : .

Exemple 4

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même ; si vous n’avez pas soigneusement étudié les exemples précédents, vous ferez une erreur ! Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

En principe, les intégrales à plusieurs identique les racines, par exemple

Etc. Que faire si l'intégrande a des racines différent?

Exemple 5

Trouver l'intégrale indéfinie

Voici le décompte pour les numérateurs nus. Lorsqu’une telle intégrale est rencontrée, cela devient généralement effrayant. Mais les craintes sont vaines : après avoir effectué un remplacement approprié, l'intégrande devient plus simple. La tâche est la suivante : réussir un remplacement afin de se débarrasser immédiatement de TOUTES les racines.

Lorsqu'on leur donne des racines différentes, il est pratique d'adhérer à un certain schéma de solution.

Tout d’abord, nous écrivons la fonction intégrande sur un brouillon et présentons toutes les racines sous la forme :

Nous serons intéressés dénominateurs degrés: