1. Comptage ordinal divers systèmes Compte.
DANS Vie moderne nous utilisons des systèmes de numérotation positionnelle, c'est-à-dire des systèmes dans lesquels le nombre indiqué par un chiffre dépend de la position du chiffre dans la notation du nombre. Par conséquent, à l'avenir, nous ne parlerons que d'eux, en omettant le terme « positionnel ».
Afin d'apprendre à convertir des nombres d'un système à un autre, nous comprendrons comment se produit l'enregistrement séquentiel des nombres en utilisant l'exemple du système décimal.
Puisque nous avons un système de nombres décimaux, nous disposons de 10 symboles (chiffres) pour construire des nombres. On commence à compter : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Les chiffres sont terminés. Nous augmentons la profondeur de bits du nombre et réinitialisons le chiffre de poids faible : 10. Ensuite, nous augmentons à nouveau le chiffre de poids faible jusqu'à ce que tous les chiffres disparaissent : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Nous augmentons le chiffre de poids fort de 1 et réinitialisons le chiffre de poids faible : 20. Lorsque nous utilisons tous les chiffres pour les deux chiffres (nous obtenons le nombre 99), nous augmentons à nouveau la capacité numérique du nombre et réinitialisons le chiffres existants : 100. Et ainsi de suite.
Essayons de faire de même dans les 2ème, 3ème et 5ème systèmes (on introduit la notation pour le 2ème système, pour le 3ème, etc.) :
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Si le système numérique a une base supérieure à 10, nous devrons alors saisir caractères supplémentaires, il est d'usage de saisir des lettres de l'alphabet latin. Par exemple, pour le système décimal, en plus des dix chiffres, nous avons besoin de deux lettres ( et ) :
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Conversion du système de nombres décimaux vers un autre.
Pour convertir un nombre décimal entier positif en un système numérique avec une base différente, vous devez diviser ce nombre par la base. Divisez à nouveau le quotient obtenu par la base, et plus loin jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à la base. En conséquence, notez sur une ligne le dernier quotient et tous les restes, en commençant par le dernier.
Exemple 1. Convertissons le nombre décimal 46 en système binaire Compte.
Exemple 2. Convertissons le nombre décimal 672 en système numérique octal.
Exemple 3. Convertissons le nombre décimal 934 en système numérique hexadécimal.
3. Conversion de n'importe quel système numérique en décimal.
Afin d'apprendre à convertir des nombres de n'importe quel autre système en décimal, analysons la notation habituelle pour un nombre décimal.
Par exemple, le nombre décimal 325 est égal à 5 unités, 2 dizaines et 3 centaines, soit
La situation est exactement la même dans d'autres systèmes numériques, sauf que nous multiplierons non pas par 10, 100, etc., mais par les puissances de la base du système numérique. Par exemple, prenons le nombre 1201 dans système ternaire Compte. Numérotons les chiffres de droite à gauche en partant de zéro et imaginons notre nombre comme la somme des produits d'un chiffre et de trois à la puissance du chiffre du nombre :
C'est la notation décimale de notre nombre, c'est-à-dire
Exemple 4. Convertissons le nombre octal 511 en système numérique décimal.
Exemple 5. Passons au système de nombres décimaux nombre hexadécimal 1151.
4. Conversion du système binaire vers le système de base « puissance de deux » (4, 8, 16, etc.).
Pour convertir un nombre binaire en un nombre de base « puissance de deux », il faut diviser la séquence binaire en groupes selon le nombre de chiffres égal à la puissance de droite à gauche et remplacer chaque groupe par le chiffre correspondant. nouveau système Compte.
Par exemple, convertissons le nombre binaire 1100001111010110 en système octal. Pour ce faire, nous allons le diviser en groupes de 3 caractères en partant de la droite (depuis ), puis utiliser la table de correspondance et remplacer chaque groupe par un nouveau numéro :
Nous avons appris à créer une table de correspondance à l'étape 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Ceux.
Exemple 6. Convertissons le nombre binaire 1100001111010110 en hexadécimal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | UN |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Conversion d'un système avec la base « puissance de deux » (4, 8, 16, etc.) en binaire.
Cette traduction est similaire à la précédente, réalisée en verso: Nous remplaçons chaque chiffre par un groupe de chiffres binaires de la table de recherche.
Exemple 7. Convertissons le nombre hexadécimal C3A6 en système de nombres binaires.
Pour cela, remplacez chaque chiffre du numéro par un groupe de 4 chiffres (depuis ) de la table de correspondance, en complétant le groupe par des zéros au début si nécessaire :
Lorsque vous configurez des réseaux diverses échelles et chaque jour on tombe sur des calculs - il n'est pas nécessaire de créer ce genre d'aide-mémoire, tout est déjà fait sur un réflexe inconditionnel. Mais lorsque vous fouillez très rarement dans les réseaux, vous ne vous souvenez pas toujours quel est le masque sous forme décimale pour le préfixe 21 ou quelle est l'adresse réseau pour le même préfixe. À cet égard, j'ai décidé d'écrire plusieurs petits articles-aide-mémoire sur la conversion des nombres en divers systèmes numériques, adresses réseau, masques, etc. Dans cette partie, nous parlerons de la conversion des nombres en différents systèmes numériques.
1. Systèmes numériques
Lorsque vous faites quelque chose en rapport avec réseaux informatiques et informatique, vous rencontrerez de toute façon ce concept. Et en tant qu'informaticien intelligent, vous devez comprendre cela au moins un peu, même si dans la pratique vous l'utiliserez très rarement.
Regardons la traduction de chaque chiffre d'une adresse IP 98.251.16.138
dans les systèmes numériques suivants :
- Binaire
- Octal
- Décimal
- Hexadécimal
1.1 Décimal
Puisque les nombres sont écrits en décimal, nous ignorerons la conversion de décimal en décimal :)
1.1.1 Décimal → Binaire
Comme nous le savons, le système de nombres binaires est utilisé dans presque tous les pays. ordinateurs modernes et de nombreux autres appareils informatiques. Le système est très simple : nous n’avons que 0 et 1.
Pour convertir un nombre avec une dîme sous forme binaire, vous devez utiliser la division modulo 2 (c'est-à-dire une division entière par 2), ce qui fait que nous aurons toujours un reste de 1 ou de 0. Dans ce cas, le résultat est écrit de droite à gauche. Un exemple remettra tout à sa place :
Figure 1.1 – Conversion de nombres du système décimal au système binaire
Figure 1.2 – Conversion de nombres du système décimal au système binaire
Je vais décrire la division du nombre 98. Nous divisons 98 par 2, nous avons donc 49 et le reste est 0. Ensuite, nous continuons la division et divisons 49 par 2, nous avons donc 24 avec un reste de 1. Et de la même manière on arrive à 1 ou 0 en divisible. Ensuite, nous écrivons le résultat de droite à gauche.
1.1.2 Décimal → Octal
Le système octal est un système de nombres entiers en base 8. C'est-à-dire tous les nombres qu'il contient sont représentés dans la plage de 0 à 7 et pour convertir à partir du système décimal, vous devez utiliser la division modulo 8.
Figure 1.3 – Conversion de nombres du système décimal au système octal
La division est similaire au système en 2 points.
1.1.3 Décimal → Hexadécimal
Le système hexadécimal a presque complètement remplacé le système octal. Il a une base de 16, mais utilise des chiffres décimaux de 0 à 9 + des lettres latines de A (chiffre 10) à F (chiffre 15). Vous le rencontrez à chaque fois que vous vérifiez vos paramètres. Adaptateur de réseau- c'est l'adresse MAC. Idem lorsque IPv6 est utilisé.
Figure 1.4 – Conversion de nombres décimaux en hexadécimaux
1.2 Binaire
Dans l’exemple précédent, nous avons converti tous les nombres décimaux en d’autres systèmes numériques, dont l’un est binaire. Convertissons maintenant chaque nombre sous forme binaire.
1.2.1 Binaire → Décimal
Pour convertir des nombres binaires en décimaux, vous devez connaître deux nuances. La première est que chaque zéro et un ont un multiplicateur de 2 en nième degré, dans lequel n augmente de droite à gauche d'exactement un. La seconde est qu'après avoir multiplié, tous les nombres doivent être additionnés et nous obtenons le nombre sous forme décimale. En conséquence, nous aurons une formule comme celle-ci :
D = (un n × p n-1) + (un n-1 × p n-2) + (un n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)
Où,
D est le nombre décimal que nous recherchons ;
n– le nombre de caractères dans un nombre binaire ;
a – nombre sous forme binaire sur nième position(c'est-à-dire premier caractère, deuxième, etc.) ;
p – coefficient égal à 2,8 ou 16 à la puissance n(selon le système de numérotation)
Par exemple, prenons le nombre 110102. On regarde la formule et on écrit :
- Le numéro est composé de 5 caractères ( n=5)
- p = 2 (puisque nous convertissons du binaire en décimal)
un 5 = 1, un 4 = 1, un 3 = 0, un 2 = 1, un 1 = 0
En conséquence nous avons :
D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10
Pour ceux qui ont l'habitude d'écrire de droite à gauche, le formulaire ressemblera à ceci :
D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10
Mais comme nous le savons, réorganiser les termes ne change pas la somme. Convertissons maintenant nos nombres sous forme décimale.
Figure 1.5 – Conversion de nombres du système binaire au système décimal
1.2.2 Binaire → Octal
Lors de la traduction, nous avons besoin nombre binaire divisez-vous en groupes de trois symboles de droite à gauche. Si le dernier groupe n'est pas composé de trois caractères, alors on remplace simplement les bits manquants par des zéros. Par exemple:
10101001 = 0 10 101 001
1011100 = 00 1 011 100
Chaque groupe de bits est l'un des nombres octaux. Pour savoir lequel, vous devez utiliser la formule 1.2.1 écrite ci-dessus pour chaque groupe de bits. En conséquence, nous obtenons.
Figure 1.6 – Conversion de nombres du système binaire au système octal
1.2.3 Binaire → Hexadécimal
Ici, nous devons diviser le nombre binaire en groupes de quatre caractères de droite à gauche, puis ajouter des zéros aux bits manquants du groupe, comme décrit ci-dessus. Si le dernier groupe est constitué de zéros, ils doivent alors être ignorés.
110101011 = 000 1 1010 1011
1011100 = 0 101 1100
001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000
Chaque groupe de bits est l'un des nombres hexadécimaux. Nous utilisons la formule 1.2.1 pour chaque groupe de bits.
Figure 1.7 – Conversion de nombres binaires en hexadécimaux
1.3 Octal
Dans ce système, nous pouvons avoir des difficultés uniquement lors de la conversion en hexadécimal, puisque le reste de la traduction se déroule sans problème.
1.3.1 Octal → Binaire
Chaque nombre du système octal est un groupe de trois bits dans le système binaire, comme décrit ci-dessus. Pour traduire, nous devons utiliser un aide-mémoire :
Figure 1.8 – Spur pour convertir les nombres du système octal
À l'aide de cette tablette, nous convertirons nos nombres au système binaire.
Figure 1.9 – Conversion de nombres octaux en binaires
Je vais décrire un peu la conclusion. Notre premier nombre est 142, ce qui signifie qu'il y aura trois groupes de trois bits chacun. Nous utilisons l'éperon et voyons que le numéro 1 est 001, le numéro 4 est 100 et le numéro 2 est 010. En conséquence, nous avons le numéro 001100010.
1.3.2 Octal → Décimal
Ici, nous utilisons la formule 1.2.1 uniquement avec un coefficient de 8 (c'est-à-dire p=8). En conséquence nous avons
Figure 1.10 – Conversion de nombres du système octal au système décimal
- Le numéro est composé de 3 caractères ( n=3)
- p = 8 (puisque nous convertissons d'octal en décimal)
un 3 = 1, un 2 = 4, un 1 = 2
En conséquence nous avons :
D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10
1.3.3 Octal → Hexadécimal
Comme cela a été écrit précédemment, pour traduire, il faut d'abord convertir les nombres en système binaire, puis du binaire en hexadécimal, en les divisant en groupes de 4 bits. Vous pouvez utiliser l'éperon suivant.
Figure 1.11 – Spur pour convertir des nombres à partir de système hexadécimal
Ce tableau vous aidera à convertir du binaire en hexadécimal. Maintenant, convertissons nos nombres.
Figure 1.12 – Conversion de nombres octaux en hexadécimaux
1.4 Hexadécimal
Ce système a le même problème lors de la conversion en octal. Mais plus là-dessus plus tard.
1.4.1 Hex → Binaire
Chaque nombre en hexadécimal est un groupe de quatre bits en binaire, comme décrit ci-dessus. Pour traduire, on peut utiliser l’aide-mémoire situé ci-dessus. Par conséquent:
Figure 1.13 – Conversion de nombres hexadécimaux en binaires
Prenons le premier nombre - 62. En utilisant le tableau (Fig. 1.11), nous voyons que 6 est 0110, 2 est 0010, nous avons donc le nombre 01100010.
1.4.2 Hex → Décimal
Nous utilisons ici la formule 1.2.1 uniquement avec un coefficient de 16 (soit p=16). En conséquence nous avons
Figure 1.14 – Conversion de nombres hexadécimaux en décimaux
Prenons le premier chiffre. Basé sur la formule 1.2.1 :
- Le numéro est composé de 2 caractères ( n=2)
- p = 16 (puisque nous convertissons de l'hexadécimal en décimal)
un 2 = 6, un 1 = 2
En conséquence, nous avons.
D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10
1.4.3 Hex → Octal
Pour convertir en système octal, vous devez d'abord convertir en binaire, puis le diviser en groupes de 3 bits et utiliser le tableau (Fig. 1.8). Par conséquent:
Figure 1.15 – Conversion de nombres hexadécimaux en octaux
Nous parlerons d'adresses IP, de masques et de réseaux.
Objectifs de la leçon:
- répéter le matériel étudié sur le thème du système numérique ;
- apprendre à convertir un nombre du système décimal en tout autre système de numérotation positionnelle et vice versa ;
- maîtriser les principes de conversion des nombres d'un système à un autre ;
- développer une pensée logique.
Pendant les cours
Au début du cours, une brève révision et vérification des devoirs.
Sous quelle forme les informations numériques sont-elles présentées dans la mémoire de l’ordinateur ?
A quoi servent les systèmes numériques ?
Quels types de systèmes numériques connaissez-vous ? Donnez vos propres exemples.
En quoi les systèmes positionnels diffèrent-ils des systèmes non positionnels ?
Le but de notre leçon est d'apprendre à convertir un nombre du système décimal vers tout autre système numérique positionnel et vice versa. Mais d'abord, nous verrons comment vous pouvez
représente tout entier non négatif :
DANS systèmes de position la valeur de l'écriture d'un entier est déterminée par la règle suivante : soit a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 soit un enregistrement du nombre A, et i sont des chiffres, alors
où p est un entier supérieur à 1, appelé la base du système numérique
Pour que, pour un p donné, tout entier non négatif puisse s'écrire selon la formule (1) et, de plus, de manière unique, les valeurs numériques des différents chiffres doivent être des entiers différents appartenant au segment de 0 à p-1.
1) Système décimal
nombres : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
numéro 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0
2) Système ternaire
nombres : 0,1,2
nombre 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0
Remarque : l'indice dans un nombre indique la base du système numérique dans lequel le nombre est écrit. Pour le système de nombres décimaux, l’index n’a pas besoin d’être écrit.
Représentation des nombres négatifs et fractionnaires :
Dans tous les systèmes positionnels, le signe « – » est utilisé pour écrire des nombres négatifs, tout comme dans le système décimal. Une virgule est utilisée pour séparer la partie entière d’un nombre de la partie fractionnaire. La valeur de l'entrée a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m du nombre A est déterminée par la formule, qui est une généralisation de formule 1):
75,6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1
–2,314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)
Conversion de nombres de système arbitraire nombres en décimal :
Il faut comprendre que lors de la traduction d'un nombre d'un système numérique à un autre, la valeur quantitative du nombre ne change pas, mais seule la forme d'écriture du nombre change, tout comme lors de la traduction du nom d'un nombre, par exemple de Du russe vers l'anglais.
La conversion des nombres d'un système numérique arbitraire en décimal est effectuée par calcul direct en utilisant la formule (1) pour les entiers et la formule (2) pour les fractions.
Conversion de nombres du système numérique décimal en un système numérique arbitraire.
Convertir un nombre du système décimal en un système de base p signifie trouver les coefficients dans la formule (2). Parfois, cela est facile à faire avec une simple sélection. Par exemple, disons que vous devez convertir le nombre 23,5 en système octal. Il est facile de voir que 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27,48. Force est de constater que la réponse n’est pas toujours aussi évidente. En général, la méthode de conversion séparée des parties entières et fractionnaires d'un nombre est utilisée.
Pour convertir des entiers, l'algorithme suivant est utilisé (obtenu sur la base de la formule (1)) :
1. Trouvez le quotient et le reste en divisant un nombre par p. Le reste sera le prochain chiffre ai (j=0,1,2...) du nombre dans le nouveau système numérique.
2. Si le quotient est égal à zéro, alors la traduction du nombre est terminée, sinon on applique le point 1 au quotient.
Remarque 1. Les chiffres ai dans la notation numérique sont numérotés de droite à gauche.
Remarque 2. Si p>10, alors il est nécessaire d'introduire une notation pour les nombres dont les valeurs numériques sont supérieures ou égales à 10.
Convertissez le nombre 165 en système de numérotation septale.
165:7 = 23 (reste 4) => a 0 = 4
23:7 = 3 (reste 2) => a 1 = 2
3:7 = 0 (reste 3) => a 2 = 3
Écrivons le résultat : a 2 a 1 a 0 , c'est-à-dire 3247.
Après avoir vérifié à l'aide de la formule (1), nous nous assurerons que la traduction est correcte :
3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.
Pour convertir des parties fractionnaires de nombres, un algorithme obtenu basé sur la formule (2) est utilisé :
1. Multipliez la partie fractionnaire du nombre par p.
2. La partie entière du résultat sera le prochain chiffre am (m = –1, –2, –3 ...) d'écriture du nombre dans le nouveau système de numérotation. Si la partie fractionnaire du résultat est nulle, alors la traduction du nombre est terminée, sinon on lui applique l'étape 1.
Remarque 1. Les chiffres a m dans la notation numérique sont disposés de gauche à droite par ordre croissant de la valeur absolue de m.
Remarque 2. Habituellement, le nombre de chiffres fractionnaires dans nouvelle entrée les nombres sont limités à l’avance. Cela permet d'effectuer une traduction approximative avec une précision donnée. Dans le cas de fractions infinies, une telle restriction garantit la finitude de l’algorithme.
Convertissez le nombre 0,625 en système de nombres binaires.
0,625 2 = 1,25 (partie entière 1) => a -1 =1
0,25 2 = 0,5 (partie entière 0) => a- 2 = 0
0,5 2 = 1,00 (partie entière 1) => a- 3 = 1
Donc 0,62510 = 0,1012
Après avoir vérifié à l'aide de la formule (2), nous nous assurerons que la traduction est correcte :
0,1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.
Convertissez le nombre 0,165 en système numérique quaternaire, en le limitant à quatre chiffres quaternaires.
0,165 4 = 0,66 (partie entière 0) => a -1 =0
0,66 4 = 2,64 (partie entière 2) => a -2 = 2
0,64 4 = 2,56 (partie entière 2) => a -3 = 2
0,56 4 = 2,24 (partie entière 2) => a -4 = 2
Donc 0,16510" 0,02224
Faisons une rétrotraduction pour nous assurer que l'erreur absolue ne dépasse pas 4–4 :
0,02224 = 0·4 -1 +2·4 -2 +2·4 -3 +2·4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Conversion de nombres d'un système arbitraire à un autre
Dans ce cas, vous devez d'abord convertir le nombre au système décimal, puis du système décimal au système requis.
Une méthode spéciale est utilisée pour convertir les nombres pour les systèmes à bases multiples.
Soit p et q les bases de deux systèmes numériques. Nous appellerons ces systèmes des systèmes numériques à bases multiples si p = qn ou q = pn, où n est un nombre naturel. Ainsi, par exemple, les systèmes numériques avec bases 2 et 8 sont des systèmes numériques à bases multiples.
Soit p = qn et vous devez convertir un nombre d'un système numérique de base q en un système numérique de base p. Divisons les parties entières et fractionnaires du nombre en groupes de n chiffres écrits séquentiellement à gauche et à droite de la virgule décimale. Si le nombre de chiffres dans la partie entière d'un nombre n'est pas un multiple de n, vous devez alors ajouter le nombre de zéros correspondant à gauche. Si le nombre de chiffres dans la partie fractionnaire d'un nombre n'est pas un multiple de n, alors des zéros sont ajoutés à droite. Chacun de ces groupes de chiffres est un nombre dans ancien système Le numéro correspondra à un chiffre d'un numéro dans le nouveau système de numérotation.
Convertissons 1100001.111 2 en système numérique quaternaire.
En ajoutant des zéros et en sélectionnant des paires de nombres, nous obtenons 01100001.11102.
Traduisons maintenant chaque paire de chiffres séparément, en utilisant la section Traduire des nombres d'un système arbitraire à un autre.
Donc, 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.
Supposons maintenant que nous devons passer d'un système avec une base q plus grande à un système avec une base p plus petite, c'est-à-dire q = pn. Dans ce cas, un chiffre d'un numéro dans l'ancien système de numérotation correspond à n chiffres d'un numéro dans le nouveau système de numérotation.
Exemple : Vérifions la traduction précédente d'un nombre.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
Dans le système hexadécimal, il existe des chiffres avec les valeurs numériques 10,11,12, 13,14,15. Pour les désigner, utilisez les six premières lettres de l'alphabet latin A, B, C, D, E, F.
Voici un tableau de nombres de 0 à 16, écrits dans des systèmes numériques de bases 10, 2, 8 et 16.
| Nombre en système décimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| En octal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| En binaire | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| En hexadécimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | UN | B | C | D | E | F | 10 |
Pour écrire des chiffres hexadécimaux, vous pouvez également utiliser les lettres latines minuscules a-f.
Exemple : Convertissons le nombre 110101001010101010100.11 2 en système numérique hexadécimal.
Utilisons la multiplicité des bases des systèmes numériques (16=2 4). Regroupons les nombres par quatre, en ajoutant le nombre requis de zéros à gauche et à droite
000110101001010101010100,1100 2
et, en vérifiant le tableau, on obtient : 1A9554,C 16
Conclusion:
Le meilleur système numérique pour écrire les nombres est une question de commodité et de tradition. D'un point de vue technique, il est pratique d'utiliser le système binaire dans un ordinateur, car il utilise seulement deux chiffres 0 et 1 pour enregistrer un nombre, qui peut être représenté par deux états facilement distinguables « pas de signal » et « il y a ». un signal."
Au contraire, il est gênant pour une personne de traiter avec des nombres binaires car ils sont plus longs que les nombres décimaux et contiennent de nombreux chiffres répétitifs. Par conséquent, si nécessaire, travaillez avec des représentations automatiques de nombres, utilisez des systèmes de nombres octaux ou hexadécimaux. Les bases de ces systèmes sont des puissances entières de deux, et donc les nombres sont facilement convertis de ces systèmes en binaires et vice versa.
Notez le devoir :
a) Notez la date de naissance de tous les membres de votre famille dans différents systèmes numériques.
b) Convertissez les nombres binaires en octaux et hexadécimaux, puis vérifiez les résultats en effectuant les conversions inverses :
a) 1001111110111.011 2 ;
Objet de la prestation. Le service est conçu pour convertir des nombres d'un système numérique à un autre dans mode en ligne. Pour ce faire, sélectionnez la base du système à partir de laquelle vous souhaitez convertir le numéro. Vous pouvez saisir des nombres entiers et des nombres avec des virgules.Vous pouvez saisir à la fois des nombres entiers, par exemple 34, et des nombres fractionnaires, par exemple 637,333. Pour les nombres fractionnaires, la précision de la traduction après la virgule décimale est indiquée.
Les éléments suivants sont également utilisés avec cette calculatrice :
Façons de représenter les nombres
Binaire nombres (binaires) - chaque chiffre signifie la valeur d'un bit (0 ou 1), le bit le plus significatif est toujours écrit à gauche, la lettre « b » est placée après le nombre. Pour faciliter la perception, les cahiers peuvent être séparés par des espaces. Par exemple, 1010 0101b.Hexadécimal nombres (hexadécimaux) - chaque tétrade est représentée par un symbole 0...9, A, B, ..., F. Cette représentation peut être désignée de différentes manières ; ici seul le symbole « h » est utilisé après le dernier hexadécimal. chiffre. Par exemple, A5h. Dans les textes de programme, le même numéro peut être désigné par 0xA5 ou 0A5h, selon la syntaxe du langage de programmation. Un zéro (0) non significatif est ajouté à gauche du chiffre hexadécimal le plus significatif représenté par la lettre pour distinguer les nombres et les noms symboliques.
Décimal nombres (décimaux) - chaque octet (mot, double mot) est représenté par un nombre régulier et le signe de représentation décimale (la lettre « d ») est généralement omis. L'octet dans les exemples précédents a une valeur décimale de 165. Contrairement à la notation binaire et hexadécimale, la notation décimale est difficile à déterminer mentalement la valeur de chaque bit, ce qui est parfois nécessaire.
Octal nombres (octaux) - chaque triplet de bits (la division commence par le poids le moins significatif) est écrit sous la forme d'un nombre de 0 à 7, avec un « o » à la fin. Le même nombre s’écrirait 245o. Le système octal n'est pas pratique car l'octet ne peut pas être divisé de manière égale.
Algorithme de conversion de nombres d'un système numérique à un autre
La conversion des nombres décimaux entiers vers tout autre système numérique s'effectue en divisant le nombre par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que le reste reste un nombre inférieur à la base du nouveau système numérique. Le nouveau nombre s'écrit sous forme de restes de division, en commençant par le dernier.La conversion d'une fraction décimale régulière en un autre PSS s'effectue en multipliant uniquement la partie fractionnaire du nombre par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que tous les zéros restent dans la partie fractionnaire ou jusqu'à ce que la précision de traduction spécifiée soit atteinte. À la suite de chaque opération de multiplication, un chiffre d'un nouveau nombre est formé, en commençant par le plus élevé.
Une traduction incorrecte des fractions est effectuée selon les règles 1 et 2. Les parties entières et fractionnaires sont écrites ensemble, séparées par une virgule.
Exemple n°1. 
Conversion du système numérique de 2 à 8 à 16.
Ces systèmes sont des multiples de deux, la traduction s'effectue donc à l'aide d'une table de correspondance (voir ci-dessous).
Pour convertir un nombre du système de nombres binaires au système de nombres octal (hexadécimal), il est nécessaire de diviser le nombre binaire du point décimal à droite et à gauche en groupes de trois (quatre pour hexadécimal) chiffres, en complétant les groupes externes. avec des zéros si nécessaire. Chaque groupe est remplacé par le chiffre octal ou hexadécimal correspondant.
Exemple n°2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ici 001=1 ; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Lors de la conversion au système hexadécimal, vous devez diviser le nombre en parties de quatre chiffres, en suivant les mêmes règles.
Exemple n°3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
ici 0010=2 ; 1011=B; 1010 = 12 ; 1011=13
La conversion des nombres de 2, 8 et 16 au système décimal s'effectue en divisant le nombre en nombres individuels et en le multipliant par la base du système (à partir de laquelle le nombre est traduit) élevée à la puissance correspondant à son numéro de série en le nombre en cours de conversion. Dans ce cas, les nombres sont numérotés à gauche de la virgule décimale (le premier nombre est numéroté 0) par ordre croissant, et dans côté droit avec une diminution (c'est-à-dire avec un signe négatif). Les résultats obtenus sont additionnés.
Exemple n°4.
Un exemple de conversion du système de nombres binaires au système de nombres décimaux.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Un exemple de conversion du système de nombres octal en décimal. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Un exemple de conversion du système numérique hexadécimal au système décimal. 108,5 16 = 1,16 2 +0,16 1 +8,16 0 + 5,16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Encore une fois, nous répétons l'algorithme de conversion des nombres d'un système numérique à un autre PSS
- À partir du système de nombres décimaux :
- diviser le nombre par la base du système numérique en cours de traduction ;
- trouver le reste en divisant une partie entière d'un nombre ;
- notez tous les restes de la division dans l'ordre inverse ;
- Du système de nombres binaires
- Pour convertir au système numérique décimal, il est nécessaire de trouver la somme des produits de base 2 par le degré de chiffre correspondant ;
- Pour convertir un nombre en octal, vous devez diviser le nombre en triades.
Par exemple, 1000110 = 1 000 110 = 106 8 - Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, vous devez diviser le nombre en groupes de 4 chiffres.
Par exemple, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Table de correspondance du système numérique :
| SS binaire | SS hexadécimal |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | UN |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tableau de conversion vers le système de nombres octaux
Instructions
Vidéo sur le sujet
Dans le système de comptage que nous utilisons quotidiennement, il y a dix chiffres – de zéro à neuf. C'est pourquoi on l'appelle décimal. Cependant, dans les calculs techniques, notamment ceux liés aux ordinateurs, d'autres systèmes, spécifiquement binaire et hexadécimal. Il faut donc pouvoir traduire Nombres D'un systèmes compter à un autre.
Tu auras besoin de
- - une feuille de papier;
- - un crayon ou un stylo ;
- - calculatrice.
Instructions
Le système binaire est le plus simple. Il n'a que deux chiffres : zéro et un. Chaque chiffre du binaire Nombres, en partant de la fin, correspond à une puissance de deux. Deux dans est égal à un, dans le premier - deux, dans le deuxième - quatre, dans le troisième - huit, et ainsi de suite.
Supposons que l'on vous donne le nombre binaire 1010110. Les unités qu'il contient occupent les deuxième, troisième, cinquième et septième places. Par conséquent, dans le système décimal, ce nombre est 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.
Problème inverse - décimal Nombres système. Disons que vous avez le nombre 57. Pour l'obtenir, vous devez diviser séquentiellement le nombre par 2 et écrire le reste. Le nombre binaire sera construit de la fin au début.
La première étape vous donnera le dernier chiffre : 57/2 = 28 (reste 1).
Ensuite, vous obtenez le deuxième à partir de la fin : 28/2 = 14 (reste 0).
Autres étapes : 14/2 = 7 (reste 0) ;
7/2 = 3 (reste 1) ;
3/2 = 1 (reste 1) ;
1/2 = 0 (reste 1).
C'est la dernière étape car le résultat de la division est nul. En conséquence, vous obtenez le nombre binaire 111001.
Vérifiez votre réponse : 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Le second, utilisé en informatique, est hexadécimal. Il ne comporte pas dix, mais seize chiffres. Pour ne pas être nouveau symboles, dix premiers chiffres de l'hexadécimal systèmes sont désignés par des nombres ordinaires, et les six autres - par des lettres latines : A, B, C, D, E, F. Ils correspondent à la notation décimale Nombres m de 10 à 15. Pour éviter toute confusion, le nombre écrit en hexadécimal est précédé du signe # ou des symboles 0x.
Conversion inverse du nombre décimal systèmes en hexadécimal se fait en utilisant la même méthode de restes qu'en binaire. Par exemple, prenons le nombre 10000. En le divisant systématiquement par 16 et en notant les restes, vous obtenez :
10000/16 = 625 (reste 0).
625/16 = 39 (reste 1).
39/16 = 2 (reste 7).
2/16 = 0 (reste 2).
Le résultat du calcul sera le nombre hexadécimal #2710.
Vérifiez votre réponse : #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.
Transfert Nombresà partir de l'hexadécimal systèmes Il est beaucoup plus facile de convertir en binaire. Le nombre 16 est un deux : 16 = 2^4. Par conséquent, chaque chiffre hexadécimal peut être écrit sous la forme d’un nombre binaire à quatre chiffres. Si vous avez moins de quatre chiffres dans un nombre binaire, ajoutez des zéros non significatifs.
Par exemple, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Vérifiez la réponse : les deux Nombres en notation décimale, ils sont égaux à 8062.
Pour traduire, vous devez diviser le nombre binaire en groupes de quatre chiffres, en commençant par la fin, et remplacer chacun de ces groupes par un chiffre hexadécimal.
Par exemple, 11000110101001 devient (0011)(0001)(1010)(1001), ce qui en notation hexadécimale équivaut à #31A9. L'exactitude de la réponse est confirmée par la traduction en notation décimale: les deux Nombres sont égaux à 12713.
Astuce 5 : Comment convertir un nombre en binaire
En raison de son utilisation limitée de symboles, le système binaire est le plus pratique pour une utilisation dans les ordinateurs et autres appareils numériques. Il n'y a que deux symboles : 1 et 0, donc ceci système utilisé dans le fonctionnement des registres.
Instructions
Le binaire est positionnel, c'est-à-dire La position de chaque chiffre dans un nombre correspond à un certain chiffre, qui est égal à deux à la puissance appropriée. Le degré commence à zéro et augmente à mesure que vous vous déplacez de droite à gauche. Par exemple, nombre 101 est égal à 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.
Considérez un nombre décimal comme binaire système par division séquentielle par 2. Pour convertir un nombre décimal nombre 25 dans le code, vous devez le diviser par 2 jusqu'à ce qu'il reste 0. Les restes obtenus à chaque étape de division sont écrits sur une ligne de droite à gauche, après avoir écrit le chiffre du dernier reste ce sera le final