Vous pouvez saisir à la fois des nombres entiers, par exemple 34, et des nombres fractionnaires, par exemple 637,333. Pour les nombres fractionnaires, la précision de la traduction après la virgule décimale est indiquée.
Les éléments suivants sont également utilisés avec cette calculatrice :
Façons de représenter les nombres
Binaire nombres (binaires) - chaque chiffre signifie la valeur d'un bit (0 ou 1), le bit le plus significatif est toujours écrit à gauche, la lettre « b » est placée après le nombre. Pour faciliter la perception, les cahiers peuvent être séparés par des espaces. Par exemple, 1010 0101b.Hexadécimal nombres (hexadécimaux) - chaque tétrade est représentée par un symbole 0...9, A, B, ..., F. Cette représentation peut être désignée de différentes manières ; ici seul le symbole « h » est utilisé après le dernier hexadécimal. chiffre. Par exemple, A5h. Dans les textes de programme, le même numéro peut être désigné par 0xA5 ou 0A5h, selon la syntaxe du langage de programmation. Un zéro (0) non significatif est ajouté à gauche du chiffre hexadécimal le plus significatif représenté par la lettre pour distinguer les nombres et les noms symboliques.
Décimal nombres (décimaux) - chaque octet (mot, double mot) est représenté par un nombre régulier et le signe de représentation décimale (la lettre « d ») est généralement omis. L'octet dans les exemples précédents a une valeur décimale de 165. Contrairement à la notation binaire et hexadécimale, la notation décimale est difficile à déterminer mentalement la valeur de chaque bit, ce qui est parfois nécessaire.
Octal nombres (octaux) - chaque triplet de bits (la division commence par le poids le moins significatif) est écrit sous la forme d'un nombre de 0 à 7, avec un « o » à la fin. Le même nombre s’écrirait 245o. Le système octal n'est pas pratique car l'octet ne peut pas être divisé de manière égale.
Algorithme de conversion de nombres d'un système numérique à un autre
La conversion des nombres décimaux entiers vers tout autre système numérique s'effectue en divisant le nombre par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que le reste reste un nombre inférieur à la base du nouveau système numérique. Le nouveau nombre s'écrit sous forme de restes de division, en commençant par le dernier.La conversion d'une fraction décimale régulière en un autre PSS s'effectue en multipliant uniquement la partie fractionnaire du nombre par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que tous les zéros restent dans la partie fractionnaire ou jusqu'à ce que la précision de traduction spécifiée soit atteinte. À la suite de chaque opération de multiplication, un chiffre d'un nouveau nombre est formé, en commençant par le plus élevé.
Une traduction incorrecte des fractions est effectuée selon les règles 1 et 2. Les parties entières et fractionnaires sont écrites ensemble, séparées par une virgule.
Exemple n°1. 
Conversion du système numérique de 2 à 8 à 16.
Ces systèmes sont des multiples de deux, la traduction s'effectue donc à l'aide d'une table de correspondance (voir ci-dessous).
Pour convertir un nombre du système de nombres binaires au système de nombres octal (hexadécimal), il est nécessaire de diviser le nombre binaire du point décimal à droite et à gauche en groupes de trois (quatre pour hexadécimal) chiffres, en complétant les groupes externes. avec des zéros si nécessaire. Chaque groupe est remplacé par le chiffre octal ou hexadécimal correspondant.
Exemple n°2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ici 001=1 ; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Lors du transfert vers système hexadécimal il faut diviser le nombre en parties de quatre chiffres, en suivant les mêmes règles.
Exemple n°3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
ici 0010=2 ; 1011=B; 1010 = 12 ; 1011=13
La conversion des nombres de 2, 8 et 16 au système décimal s'effectue en divisant le nombre en nombres individuels et en le multipliant par la base du système (à partir de laquelle le nombre est traduit) élevée à la puissance correspondant à son numéro de série en le nombre en cours de conversion. Dans ce cas, les nombres sont numérotés à gauche de la virgule décimale (le premier nombre est numéroté 0) par ordre croissant, et dans côté droit avec une diminution (c'est-à-dire avec un signe négatif). Les résultats obtenus sont additionnés.
Exemple n°4.
Un exemple de conversion du système de nombres binaires au système de nombres décimaux.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Un exemple de conversion du système de nombres octal en décimal. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Un exemple de conversion du système numérique hexadécimal au système décimal. 108,5 16 = 1,16 2 +0,16 1 +8,16 0 + 5,16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Encore une fois, nous répétons l'algorithme de conversion des nombres d'un système numérique à un autre PSS
- Depuis système décimal notation:
- diviser le nombre par la base du système numérique en cours de traduction ;
- trouver le reste en divisant une partie entière d'un nombre ;
- notez tous les restes de la division dans l'ordre inverse ;
- Du système de nombres binaires
- Pour convertir au système numérique décimal, il est nécessaire de trouver la somme des produits de base 2 par le degré de chiffre correspondant ;
- Pour convertir un nombre en octal, vous devez diviser le nombre en triades.
Par exemple, 1000110 = 1 000 110 = 106 8 - Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, vous devez diviser le nombre en groupes de 4 chiffres.
Par exemple, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Table de correspondance du système numérique :
| SS binaire | SS hexadécimal |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | UN |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tableau de conversion en système octal Dead Reckoning
Pour convertir rapidement des nombres du système numérique décimal au système binaire, vous devez avoir une bonne connaissance des nombres « 2 à la puissance ». Par exemple, 2 10 =1024, etc. Cela vous permettra de résoudre certains exemples de traduction littéralement en quelques secondes. L'une de ces tâches est Problème A1 de la démo USE 2012. Bien entendu, vous pouvez prendre un temps long et fastidieux pour diviser un nombre par « 2 ». Mais il vaut mieux décider différemment, ce qui permet de gagner un temps précieux sur l'examen.
La méthode est très simple. Son essence est la suivante : si le nombre qui doit être converti du système décimal est égal au nombre "2 à la puissance", alors ce nombre est en système binaire contient un nombre de zéros égal à une puissance. On ajoute un « 1 » devant ces zéros.
- Convertissons le nombre 2 du système décimal. 2=2 1 . Par conséquent, dans le système binaire, un nombre contient 1 zéro. On met « 1 » devant et on obtient 10 2.
- Convertissons 4 du système décimal. 4=2 2 . Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 2 zéros. On met « 1 » devant et on obtient 100 2.
- Convertissons 8 du système décimal. 8=2 3 . Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 3 zéros. On met « 1 » devant et on obtient 1000 2.
De même pour les autres nombres "2 à la puissance".
Si le nombre à convertir est inférieur de 1 au nombre « 2 à la puissance », alors dans le système binaire, ce nombre est constitué uniquement d'unités dont le nombre est égal à la puissance.
- Convertissons 3 du système décimal. 3=2 2 -1. Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 2 uns. Nous obtenons 11 2.
- Convertissons 7 du système décimal. 7=2 3 -1. Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 3 uns. Nous obtenons 111 2.
Sur la figure, les carrés indiquent la représentation binaire du nombre et la couleur rose à gauche indique la représentation décimale.
La traduction est similaire pour les autres nombres « 2 puissance-1 ».
Il est clair que la traduction des nombres de 0 à 8 peut se faire rapidement soit par division, soit simplement connaître par cœur leur représentation dans le système binaire. J'ai donné ces exemples pour que vous compreniez le principe cette méthode et l'a utilisé pour traduire des « nombres plus impressionnants », par exemple pour traduire les nombres 127, 128, 255, 256, 511, 512, etc.
Vous pouvez rencontrer de tels problèmes lorsque vous devez convertir un nombre qui n'est pas égal au nombre « 2 à la puissance », mais qui s'en rapproche. Elle peut être supérieure ou inférieure à 2 puissance. La différence entre le nombre traduit et le nombre « 2 à la puissance » devrait être faible. Par exemple, jusqu'à 3. La représentation des nombres de 0 à 3 dans le système binaire doit simplement être connue sans traduction.
Si le nombre est supérieur à , résolvez comme ceci :
Nous convertissons d’abord le nombre « 2 à la puissance » dans le système binaire. Et puis on y ajoute la différence entre le nombre « 2 à la puissance » et le nombre en cours de traduction.
Par exemple, convertissons 19 du système décimal. Il plus de numéro"2 à la puissance" par 3.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
Si le nombre est inférieur au nombre « 2 à la puissance », alors il est plus pratique d'utiliser le nombre « 2 à la puissance-1 ». Nous le résolvons comme ceci :
Nous convertissons d’abord le nombre « 2 à la puissance 1 » dans le système binaire. Et puis nous soustrayons la différence entre le nombre « 2 puissance 1 » et le nombre à traduire.
Par exemple, convertissons 29 du système décimal. Il est supérieur au nombre « 2 puissance-1 » de 2. 29=31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
Si la différence entre le nombre à traduire et le nombre « 2 à la puissance » est supérieure à trois, vous pouvez alors diviser le nombre en ses composants, convertir chaque partie en système binaire et additionner.
Par exemple, convertissez le nombre 528 du système décimal. 528=512+16. Nous traduisons 512 et 16 séparément.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
Ajoutons-le maintenant dans une colonne :
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Systèmes numériques
Il existe des systèmes de numérotation positionnels et non positionnels. Le système de numérotation arabe que nous utilisons dans Vie courante, est positionnel, mais Roman ne l'est pas. DANS systèmes de position En notation, la position d'un nombre détermine de manière unique la taille du nombre. Considérons cela en utilisant l'exemple du nombre 6372 dans le système numérique décimal. Numérotons ce nombre de droite à gauche en partant de zéro :
Alors le nombre 6372 peut être représenté comme suit :
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Le nombre 10 détermine le système numérique (dans ce cas, c'est 10). Les valeurs de la position d'un nombre donné sont prises comme puissances.
Considérez le réel nombre décimal 1287.923. Numérotons-le à partir de la position zéro du nombre à partir de la virgule décimale vers la gauche et la droite :
Alors le nombre 1287.923 peut être représenté comme :
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.
En général, la formule peut être représentée comme suit :
C n s n + C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
où C n est un entier en position n, D -k - nombre fractionnaire en position (-k), s- système de numérotation.
Quelques mots sur les systèmes numériques. Un nombre dans le système numérique décimal se compose de plusieurs chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), dans le système numérique octal, il se compose de plusieurs chiffres. (0,1, 2,3,4,5,6,7), dans le système de numérotation binaire - à partir d'un ensemble de chiffres (0,1), dans le système de numérotation hexadécimal - à partir d'un ensemble de chiffres (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), où A,B,C,D,E,F correspondent aux nombres 10,11, 12, 13, 14, 15. Dans le tableau Tab.1, les numéros sont présentés en différents systèmes Compte.
| Tableau 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notation | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UN |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
Pour convertir des nombres d'un système numérique à un autre, le moyen le plus simple consiste d'abord à convertir le nombre au système numérique décimal, puis à convertir le système numérique décimal au système numérique requis.
Conversion de nombres de n'importe quel système numérique vers le système numérique décimal
À l'aide de la formule (1), vous pouvez convertir des nombres de n'importe quel système numérique en système numérique décimal.
Exemple 1. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres binaires (SS) en SS décimal. Solution:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Exemple2. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres octal (SS) en SS décimal. Solution:
Exemple 3 . Convertissez le nombre AB572.CDF du système numérique hexadécimal en SS décimal. Solution:
Ici UN-remplacé par 10, B- à 11 heures, C- à 12, F- à 15 heures.
Conversion de nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique
Pour convertir des nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique, vous devez convertir séparément la partie entière du nombre et la partie fractionnaire du nombre.
La partie entière d'un nombre est convertie du SS décimal en un autre système numérique en divisant séquentiellement la partie entière du nombre par la base du système numérique (pour le SS binaire - par 2, pour le SS 8-aire - par 8, pour 16 -ary SS - par 16, etc. ) jusqu'à l'obtention d'un résidu entier, inférieur à la base CC.
Exemple 4 . Convertissons le nombre 159 de SS décimal en SS binaire :
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Comme on peut le voir sur la Fig. 1, le nombre 159 divisé par 2 donne le quotient 79 et le reste 1. De plus, le nombre 79 divisé par 2 donne le quotient 39 et le reste 1, etc. De ce fait, en construisant un nombre à partir des restes de division (de droite à gauche), on obtient un nombre en SS binaire : 10011111 . On peut donc écrire :
159 10 =10011111 2 .
Exemple 5 . Convertissons le nombre 615 de SS décimal en SS octal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Lors de la conversion d'un nombre décimal SS en octal SS, vous devez diviser séquentiellement le nombre par 8 jusqu'à obtenir un reste entier inférieur à 8. En conséquence, en construisant un nombre à partir des restes de division (de droite à gauche), nous obtenons un nombre en SS octal : 1147 (voir fig. 2). On peut donc écrire :
615 10 =1147 8 .
Exemple 6 . Convertissons le nombre 19673 du système numérique décimal en SS hexadécimal.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Comme le montre la figure 3, en divisant successivement le nombre 19673 par 16, les restes sont 4, 12, 13, 9. Dans le système numérique hexadécimal, le nombre 12 correspond à C, le nombre 13 à D. Par conséquent, notre Le nombre hexadécimal est 4CD9.
Pour convertir des fractions décimales régulières (un nombre réel avec une partie entière nulle) en un système numérique de base s, il faut multiplier successivement ce nombre par s jusqu'à ce que la partie fractionnaire contienne un zéro pur, ou que l'on obtienne le nombre de chiffres requis . Si, lors de la multiplication, un nombre avec une partie entière autre que zéro est obtenu, alors cette partie entière n'est pas prise en compte (elles sont incluses séquentiellement dans le résultat).
Regardons ce qui précède avec des exemples.
Exemple 7 . Convertissons le nombre 0,214 du système numérique décimal en SS binaire.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Comme le montre la figure 4, le nombre 0,214 est multiplié séquentiellement par 2. Si le résultat de la multiplication est un nombre avec une partie entière autre que zéro, alors la partie entière est écrite séparément (à gauche du nombre), et le nombre est écrit avec une partie entière nulle. Si la multiplication donne un nombre avec une partie entière nulle, alors un zéro est écrit à sa gauche. Le processus de multiplication se poursuit jusqu'à ce que la partie fractionnaire atteigne un zéro pur ou que nous obtenions le nombre de chiffres requis. En écrivant les nombres en gras (Fig. 4) de haut en bas, nous obtenons le nombre requis dans le système de nombres binaires : 0. 0011011 .
On peut donc écrire :
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemple 8 . Convertissons le nombre 0,125 du système numérique décimal en SS binaire.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Pour convertir le nombre 0,125 de SS décimal en binaire, ce nombre est multiplié séquentiellement par 2. Dans la troisième étape, le résultat est 0. Par conséquent, le résultat suivant est obtenu :
0.125 10 =0.001 2 .
Exemple 9 . Convertissons le nombre 0,214 du système numérique décimal en SS hexadécimal.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
En suivant les exemples 4 et 5, on obtient les nombres 3, 6, 12, 8, 11, 4. Mais en hexadécimal SS, les nombres 12 et 11 correspondent aux nombres C et B. On a donc :
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Exemple 10 . Convertissons le nombre 0,512 du système numérique décimal en SS octal.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
A obtenu:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemple 11 . Convertissons le nombre 159,125 du système numérique décimal en SS binaire. Pour ce faire, on traduit séparément la partie entière du nombre (Exemple 4) et la partie fractionnaire du nombre (Exemple 8). En combinant davantage ces résultats, nous obtenons :
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemple 12 . Convertissons le nombre 19673.214 du système numérique décimal en SS hexadécimal. Pour ce faire, on traduit séparément la partie entière du nombre (Exemple 6) et la partie fractionnaire du nombre (Exemple 9). De plus, en combinant ces résultats, nous obtenons.
La calculatrice vous permet de convertir des nombres entiers et fractionnaires d'un système numérique à un autre. La base du système numérique ne peut pas être inférieure à 2 et supérieure à 36 (10 chiffres et 26 lettres latines après tout). La longueur des chiffres ne doit pas dépasser 30 caractères. Pour saisir des nombres fractionnaires, utilisez le symbole. ou, . Pour convertir un numéro d'un système à un autre, entrez le numéro d'origine dans le premier champ, la base du système de numérotation d'origine dans le deuxième et la base du système de numérotation vers lequel vous souhaitez convertir le numéro dans le troisième champ. puis cliquez sur le bouton "Obtenir l'enregistrement".
Numéro d'origine écrit en 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ième système de numérotation.
Je veux qu'un numéro soit écrit 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ième système de numérotation.
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Systèmes numériques
Les systèmes numériques sont divisés en deux types : positionnel Et pas de position. Nous utilisons le système arabe, il est positionnel, mais il existe aussi le système romain – il n’est pas positionnel. Dans les systèmes positionnels, la position d'un chiffre dans un nombre détermine de manière unique la valeur de ce nombre. Ceci est facile à comprendre en regardant un nombre à titre d’exemple.
Exemple 1. Prenons le nombre 5921 dans le système numérique décimal. Numérotons le nombre de droite à gauche en partant de zéro :
Le nombre 5921 peut s'écrire sous la forme suivante : 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Le nombre 10 est une caractéristique qui définit le système numérique. Les valeurs de la position d'un nombre donné sont prises comme puissances.
Exemple 2. Considérons le nombre décimal réel 1234,567. Numérotons-le en partant de la position zéro du nombre à partir de la virgule décimale vers la gauche et la droite :
Le nombre 1234,567 peut s'écrire sous la forme suivante : 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .
Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
La plupart d'une manière simple convertir un nombre d'un système numérique à un autre consiste à convertir d'abord le nombre en un système numérique décimal, puis le résultat obtenu dans le système numérique requis.
Conversion de nombres de n'importe quel système numérique vers le système numérique décimal
Pour convertir un nombre de n'importe quel système numérique en décimal, il suffit de numéroter ses chiffres, en commençant par zéro (le chiffre à gauche de la virgule décimale) de la même manière que dans les exemples 1 ou 2. Trouvons la somme des produits des chiffres du nombre par la base du système numérique à la puissance de la position de ce chiffre :
1.
Convertissez le nombre 1001101.1101 2 au système numérique décimal.
Solution: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Répondre: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Convertissez le nombre E8F.2D 16 au système numérique décimal.
Solution: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Répondre: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Conversion de nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique
Pour convertir des nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique, les parties entières et fractionnaires du nombre doivent être converties séparément.
Conversion d'une partie entière d'un nombre d'un système numérique décimal vers un autre système numérique
Une partie entière est convertie d'un système numérique décimal en un autre système numérique en divisant séquentiellement la partie entière d'un nombre par la base du système numérique jusqu'à obtenir un reste entier inférieur à la base du système numérique. Le résultat de la traduction sera un enregistrement du reste, en commençant par le dernier.
3.
Convertissez le nombre 273 10 en système numérique octal.
Solution: 273/8 = 34 et reste 1. 34/8 = 4 et reste 2. 4 est inférieur à 8, le calcul est donc terminé. L'enregistrement des soldes ressemblera à ceci : 421
Examen: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, le résultat est le même. Cela signifie que la traduction a été effectuée correctement.
Répondre: 273 10 = 421 8
Considérons la traduction de fractions décimales régulières en divers systèmes numériques.
Conversion de la partie fractionnaire d'un nombre du système numérique décimal vers un autre système numérique
Rappelez-vous qu'une fraction décimale propre s'appelle nombre réel avec une partie entière nulle. Pour convertir un tel nombre en un système numérique de base N, vous devez multiplier séquentiellement le nombre par N jusqu'à ce que la partie fractionnaire atteigne zéro ou que le nombre de chiffres requis soit obtenu. Si, lors de la multiplication, un nombre avec une partie entière autre que zéro est obtenu, alors la partie entière n'est plus prise en compte, puisqu'elle est inscrite séquentiellement dans le résultat.
4.
Convertissez le nombre 0,125 10 en système de nombres binaires.
Solution: 0,125·2 = 0,25 (0 est la partie entière qui deviendra le premier chiffre du résultat), 0,25·2 = 0,5 (0 est le deuxième chiffre du résultat), 0,5·2 = 1,0 (1 est le troisième chiffre du résultat, et puisque la partie fractionnaire est nulle, alors la traduction est terminée).
Répondre: 0.125 10 = 0.001 2
2.3. Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
2.3.1. Conversion d'entiers d'un système numérique à un autre
Il est possible de formuler un algorithme de conversion d'entiers à partir d'un système de base p dans un système avec une base q :
1. Exprimez la base du nouveau système numérique en utilisant les numéros du système numérique d'origine et effectuez toutes les actions ultérieures dans système d'origine Compte.
2. Divisez systématiquement le nombre donné et les quotients entiers résultants par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que nous obtenions un quotient plus petit que le diviseur.
3. Les restes résultants, qui sont les chiffres du nombre dans nouveau système chiffres, les aligner sur l’alphabet du nouveau système numérique.
4. Composez un nombre dans le nouveau système de numérotation, en l'écrivant en commençant par le dernier reste.
Exemple 2.12. Convertissez le nombre décimal 173 10 en système de nombres octaux :
On obtient : 173 10 =255 8
Exemple 2.13. Convertissez le nombre décimal 173 10 en système numérique hexadécimal :
On obtient : 173 10 =AD 16.
Exemple 2.14. Convertissez le nombre décimal 11 10 en système de nombres binaires. Il est plus pratique de décrire la séquence d'actions discutée ci-dessus (algorithme de traduction) comme suit :
On obtient : 11 10 =1011 2.
Exemple 2.15. Parfois, il est plus pratique d’écrire l’algorithme de traduction sous forme de tableau. Convertissons le nombre décimal 363 10 en nombre binaire.
|
Diviseur |
|||||||||
On obtient : 363 10 =101101011 2
2.3.2. Conversion de nombres fractionnaires d'un système numérique à un autre
Il est possible de formuler un algorithme pour convertir une fraction propre avec une base p en une fraction avec une base q :
1. Exprimez la base du nouveau système de numérotation avec les numéros du système de numérotation d'origine et effectuez toutes les actions ultérieures dans le système de numérotation d'origine.
2. Multipliez systématiquement les nombres donnés et les parties fractionnaires des produits résultantes par la base du nouveau système jusqu'à ce que la partie fractionnaire du produit devienne égale à zéro ou que la précision requise de la représentation des nombres soit atteinte.
3. Les parties entières résultantes des produits, qui sont les chiffres du numéro dans le nouveau système de numérotation, doivent être mises en conformité avec l'alphabet du nouveau système de numérotation.
4. Composez la partie fractionnaire d'un nombre dans le nouveau système numérique, en commençant par la partie entière du premier produit.
Exemple 2.17. Convertissez le nombre 0,65625 10 en système numérique octal.
On obtient : 0,65625 10 =0,52 8
Exemple 2.17. Convertissez le nombre 0,65625 10 en système numérique hexadécimal.
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X 16 |
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On obtient : 0,65625 10 =0,A8 1
Exemple 2.18. Convertissez la fraction décimale 0,5625 10 en système de nombres binaires.
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X 2 |
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X 2 |
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X 2 |
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|
X 2 |
|
On obtient : 0,5625 10 =0,1001 2
Exemple 2.19. Convertissez la fraction décimale 0,7 10 en système de nombres binaires.
Évidemment, ce processus peut se poursuivre indéfiniment, donnant de plus en plus de nouveaux signes à l'image de l'équivalent binaire du nombre 0,7 10. Ainsi, en quatre étapes, nous obtenons le nombre 0,1011 2, et en sept étapes le nombre 0,1011001 2, qui est une représentation plus précise du nombre 0,7 10 dans le système de nombres binaires, etc. lorsqu'on estime que l'exactitude requise de la représentation des nombres a été obtenue.
2.3.3. Traduction de nombres arbitraires
Traduction de nombres arbitraires, c'est-à-dire les nombres contenant un entier et une partie fractionnaire s'effectuent en deux étapes : la partie entière est traduite séparément et la partie fractionnaire séparément. Dans l'enregistrement final du nombre obtenu, la partie entière est séparée de la partie fractionnaire par une virgule (point).
Exemple 2.20. Convertissez le nombre 17,25 10 au système de nombres binaires.
On obtient : 17,25 10 =1001,01 2
Exemple 2.21. Convertissez le nombre 124,25 10 en système octal.
On obtient : 124,25 10 =174,2 8
2.3.4. Conversion de nombres de base 2 en base 2 n et vice versa
Traduction d'entiers. Si la base du système numérique q-aire est une puissance de 2, alors la conversion des nombres du système numérique q-aire vers le système numérique 2-aire et inversement peut être effectuée en utilisant plus règles simples. Pour écrire un nombre entier binaire dans le système numérique de base q=2 n, vous avez besoin de :
1. Divisez le nombre binaire de droite à gauche en groupes de n chiffres chacun.
2. Si le dernier groupe de gauche comporte moins de n chiffres, il doit alors être complété à gauche par des zéros jusqu'au nombre de chiffres requis.
Exemple 2.22. Le nombre 101100001000110010 2 sera converti au système numérique octal.
On divise le nombre de droite à gauche en triades et sous chacune d'elles on écrit le chiffre octal correspondant :
On obtient la représentation octale du nombre original : 541062 8 .
Exemple 2.23. Le nombre 1000000000111110000111 2 sera converti au système numérique hexadécimal.
On divise le nombre de droite à gauche en tétrades et sous chacune d'elles on écrit le chiffre hexadécimal correspondant :
On obtient la représentation hexadécimale du nombre d'origine : 200F87 16.
Conversion de nombres fractionnaires. Pour écrire un nombre binaire fractionnaire dans un système numérique de base q=2 n, vous avez besoin de :
1. Divisez le nombre binaire de gauche à droite en groupes de n chiffres chacun.
2. Si le dernier groupe de droite comporte moins de n chiffres, il doit alors être complété à droite par des zéros jusqu'au nombre de chiffres requis.
3. Considérez chaque groupe comme un nombre binaire de n bits et écrivez-le avec le chiffre correspondant dans le système numérique avec la base q=2 n.
Exemple 2.24. Le nombre 0,10110001 2 sera converti en système numérique octal.
On divise le nombre de gauche à droite en triades et sous chacune d'elles on écrit le chiffre octal correspondant :
On obtient la représentation octale du nombre original : 0,542 8 .
Exemple 2.25. Le nombre 0,100000000011 2 sera converti au système numérique hexadécimal. Nous divisons le nombre de gauche à droite en tétrades et sous chacune d'elles écrivons le chiffre hexadécimal correspondant :
On obtient la représentation hexadécimale du nombre original : 0,803 16
Traduction de nombres arbitraires. Afin d'écrire un nombre binaire arbitraire dans le système numérique avec la base q=2 n, vous avez besoin de :
1. Divisez la partie entière d'un nombre binaire donné de droite à gauche et la partie fractionnaire de gauche à droite en groupes de n chiffres chacun.
2. Si les derniers groupes de gauche et/ou de droite comportent moins de n chiffres, alors ils doivent être complétés à gauche et/ou à droite par des zéros jusqu'au nombre de chiffres requis ;
3. Considérez chaque groupe comme un nombre binaire à n bits et écrivez-le avec le chiffre correspondant dans le système numérique avec la base q = 2 n
Exemple 2.26. Convertissons le nombre 111100101.0111 2 au système numérique octal.
Nous divisons les parties entières et fractionnaires du nombre en triades et sous chacune d'elles écrivons le chiffre octal correspondant :
On obtient la représentation octale du nombre original : 745.34 8 .
Exemple 2.27. Le nombre 11101001000,11010010 2 sera converti au système numérique hexadécimal.
Nous divisons les parties entières et fractionnaires du nombre en cahiers et sous chacun d'eux écrivons le chiffre hexadécimal correspondant :
On obtient la représentation hexadécimale du nombre original : 748,D2 16.
Conversion de nombres à partir de systèmes numériques avec base q=2n en binaire. Afin de convertir un nombre arbitraire écrit dans le système numérique avec la base q=2 n dans le système numérique binaire, vous devez remplacer chaque chiffre de ce nombre par son équivalent à n chiffres dans le système numérique binaire.
Exemple 2.28.Convertissons le nombre hexadécimal 4AC35 16 en système de nombres binaires.
Selon l'algorithme :
On obtient : 1001010110000110101 2 .
Tâches pour un achèvement indépendant (Réponses)
2.38. Remplissez le tableau dans chaque ligne duquel le même entier doit être écrit divers systèmes Compte.
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Binaire |
Octal |
Décimal |
Hexadécimal |
2.39. Remplissez le tableau dans chaque ligne duquel le même nombre fractionnaire doit être écrit dans différents systèmes numériques.
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Binaire |
Octal |
Décimal |
Hexadécimal |
2h40. Remplissez le tableau, dans chaque ligne duquel le même nombre arbitraire (le nombre peut contenir à la fois un nombre entier et une partie fractionnaire) doit être écrit dans différents systèmes numériques.
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Binaire |
Octal |
Décimal |
Hexadécimal |
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59.B |