Définition 1

Rappelons-nous d'abord Règles pour multiplier un monôme par un monôme :

Pour multiplier un monôme par un monôme, il faut d'abord multiplier les coefficients des monômes, puis, en utilisant la règle de multiplication des puissances de même base, multiplier les variables incluses dans les monômes.

Exemple 1

Trouver le produit des monômes $(2x)^3y^2z$ et $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Solution:

Tout d'abord, calculons le produit des coefficients

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ dans cette tâche, nous avons utilisé la règle de multiplication d'un nombre par une fraction - pour multiplier un nombre entier par une fraction, vous avez besoin multiplier le nombre par le numérateur de la fraction et le dénominateur mis sans changement

Utilisons maintenant la propriété de base d'une fraction : le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés par le même nombre, différent de $0$. Divisons le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 2$, c'est-à-dire réduisons cette fraction de 2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3 )(2)$

Le résultat obtenu s'est avéré être une fraction impropre, c'est-à-dire une fraction dans laquelle le numérateur est supérieur au dénominateur.

Transformons cette fraction en isolant la partie entière. Rappelons que pour isoler une partie entière, il faut écrire le reste de la division au numérateur de la partie fractionnaire, le diviseur au dénominateur.

Nous avons trouvé le coefficient du futur produit.

Nous allons maintenant multiplier séquentiellement les variables $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Ici, nous avons utilisé la règle de multiplication des puissances avec la même base : $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Alors le résultat de la multiplication des monômes sera :

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Puis basé sur de cette règle vous pouvez effectuer la tâche suivante :

Exemple 2

Représenter un polynôme donné comme le produit d'un polynôme et d'un monôme $(4x)^3y+8x^2$

Représentons chacun des monômes inclus dans le polynôme comme le produit de deux monômes afin d'isoler un monôme commun, qui sera un facteur à la fois dans le premier et dans le deuxième monôme.

Commençons par le premier monôme $(4x)^3y$. Factorisons son coefficient en facteurs simples : $4=2\cdot 2$. Nous ferons de même avec le coefficient du deuxième monôme $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Notez que deux facteurs $2\cdot 2$ sont inclus dans le premier et le deuxième coefficients, ce qui signifie $2\cdot 2=4$ - ce nombre sera inclus dans le monôme général en tant que coefficient

Notons maintenant que dans le premier monôme il y a $x^3$, et dans le second il y a la même variable à la puissance $2:x^2$. Cela signifie qu'il est pratique de représenter la variable $x^3$ comme ceci :

La variable $y$ n'est incluse que dans un seul terme du polynôme, ce qui signifie qu'elle ne peut pas être incluse dans le monôme général.

Imaginons le premier et le deuxième monôme inclus dans le polynôme comme un produit :

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Notez que le monôme commun, qui sera un facteur à la fois dans le premier et le deuxième monôme, est $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Maintenant, nous appliquons la loi distributive de la multiplication, l'expression résultante peut alors être représentée comme le produit de deux facteurs. L'un des multiplicateurs sera le multiplicateur total : $4x^2$ et l'autre sera la somme des multiplicateurs restants : $xy + 2$. Moyens:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Cette méthode est appelée factorisation en retirant un facteur commun.

Le facteur commun dans ce cas était le monôme $4x^2$.

Algorithme

Note 1

Trouvez le plus grand diviseur commun des coefficients de tous les monômes inclus dans le polynôme - ce sera le coefficient du facteur commun-monôme, que nous mettrons entre parenthèses

Un monôme constitué du coefficient trouvé au paragraphe 2 et des variables trouvées au paragraphe 3 sera un facteur commun. qui peut être retiré des parenthèses comme facteur commun.

Exemple 3

Retirez le facteur commun $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Solution:

Trouvons le pgcd des coefficients ; pour cela nous allons décomposer les coefficients en facteurs simples

45$=3\cdot 3\cdot 5$

Et on retrouve le produit de ceux qui sont inclus dans le développement de chacun :

Identifiez les variables qui composent chaque monôme et sélectionnez la variable avec le plus petit exposant

$a^3=a^2\cdot a$

La variable $b$ n'est incluse que dans les deuxième et troisième monômes, ce qui signifie qu'elle ne sera pas incluse dans le facteur commun.

Composons un monôme constitué du coefficient trouvé à l'étape 2, des variables trouvées à l'étape 3, nous obtenons : $3a$ - ce sera le facteur commun. Alors:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Cours de mathématiques en 7ème

1.	Nom complet (nom complet)	Trofimenko Nadejda Pavlovna
2.	Lieu de travail	Établissement d'enseignement municipal "École Miloslavskaya"
3.	Titre d'emploi	Professeur de mathématiques
4.	Article
5.	Classe
6.	Sujet et numéro de leçon dans le sujet	Sortir le facteur commun entre parenthèses (1 leçon par sujet)
7.	Tutoriel de base	Miam. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabounine. Manuel "Algèbre 7e année" pour les organismes d'enseignement général. M. Prosveshchenie. 2016.

8. Objectifs de la leçon

Pour le professeur :

éducatif

organiser des activités pédagogiques :

En maîtrisant l'algorithme de sortie du facteur commun entre parenthèses et en comprenant la logique de sa construction ;

Développer la capacité d'appliquer l'algorithme pour sortir le facteur commun des parenthèses

développement

créer les conditions du développement des compétences réglementaires :

Déterminez vos propres objectifs Activités éducatives;

Planifier des moyens d'atteindre les objectifs ;

Corrélez vos actions avec les résultats prévus ;

Suivre et évaluer les activités éducatives en fonction des résultats ;

Organiser une coopération éducative et des activités conjointes avec l'enseignant et les pairs.

- éducatif

Créer les conditions pour la formation d'une attitude responsable envers l'apprentissage ;

Créer les conditions propices au développement de l’autonomie des étudiants dans l’organisation et la réalisation de leurs activités éducatives.

Créer les conditions d’une éducation patriotique

Créer les conditions d’une éducation environnementale

Pour les étudiants :

Maîtriser l'algorithme de sortie du facteur commun entre parenthèses et comprendre la logique de sa construction ;

Développer la capacité d'appliquer l'algorithme pour sortir le facteur commun des parenthèses

9. UUD utilisées : réglementaire (fixation d'objectifs, planification des activités, contrôle et évaluation)

10.Type de cours : apprendre du nouveau matériel

11.Formes de travail étudiant : frontale, hammam, individuelle

12. NécessaireEquipement technique: ordinateur, projecteur, logo de la leçon, manuels de mathématiques, présentation électronique réalisée en Power Point, documents à distribuer

Structure et déroulement de la leçon

Étapes de la leçon		Activités des enseignants	Activités étudiantes	Éducatif
Organisationnel		Bonjour gars! je suis très heureux de voir toi! Notre devise de cours : J'entends et j'oublie. Je vois et je me souviens. je le fais et Comprendre. Confucius. Donnons à notre leçon une coloration inhabituelle (l'emblème d'un arbre vert et un cœur rouge), l'emblème au tableau. A la fin de la leçon nous vous dévoilerons le secret de cet emblème	Vérifier lieu de travail, saluer le professeur, rejoindre le rythme de travail de la leçon
Actualisation des connaissances et de la motivation		Aujourd'hui, en classe, vous apprendrez du nouveau matériel. Mais d’abord, travaillons verbalement. 1.Multiplier les monômes : 2a 2 *3av; 2av*(-a 4) ; 6x2 *(-2x); -3s*5x ; -3x*(-xy 2);-4a 2 b*(-0,2av 2) Si la réponse est correcte, ouvrez la première lettre 2) Quels monômes faut-il mettre à la place de * pour obtenir la bonne égalité : x 3 * = x 6 ; - un 6 = un 4* ; *oui 7 = oui 8; -2a 3 * = 8a 5 ; 5xy 4 * = 25x 2 et 6. Si la réponse est correcte, ouvrez la deuxième lettre 3) Introduire un monôme 12x 3 à 4 comme produit de deux facteurs dont l'un est égal 2x 3 ; 3u 3 ; -4x ; 6xy ; -2x 3 à ; 6x 2 à 2 . Si la réponse est correcte, la troisième lettre est révélée 4) Présent différentes façons monôme 6x 2 à comme le produit de deux facteurs. Ouvrez la 4ème lettre 5) L'élève a multiplié un monôme par un polynôme, après quoi le monôme a été effacé. Restaurer …*(x – y) = 3ax – 3ay …*(-x + y 2 – 1) = xy 2 – y 4 + y …*(a +b – 1) = 2ah +2in – 2x …*(une – b) = une 2 c – une 3 …*(2у 2 – 3) = 10у 4 – 15у 2. Ouvrez la 5ème lettre 6.Calculer 768*95 – 668*95 = 76,8*9,5 + 23,2*9,5 = Ouvrez la 6ème lettre. Les lettres formaient le nom d’un mathématicien allemand.	Effectuer la tâche oralement Commentez la solution en utilisant les règles Ouvrez les lettres au tableau Étudiant (reçu la tâche à l'avance) Référence historique : Michel Stiefel (1487-1567), mathématicien allemand et prédicateur itinérant ; auteur du livre « Complete Arithmetic », il a introduit le terme « exposant », a également étudié les propriétés des polynômes et a apporté une contribution significative au développement de l'algèbre. (photo)
3. Fixation d'objectifs et motivation	Fournir de la motivation aux enfants pour apprendre et les inciter à accepter les objectifs de la leçon.	Au tableau : Trouver valeur d'expression UN 2 – 3av à une = 106,45 ; po = 2,15 . Comment faire? a) Vous pouvez remplacer des valeurs numériques UN Et V et trouver le sens de l'expression, mais c'est difficile. c) Est-il possible de faire autrement ? Comment? Au tableau, nous notons le sujet de la leçon : « Mettre le facteur commun entre parenthèses ». Les gars, écrivez soigneusement ! N’oubliez pas que pour produire une tonne de papier, il faut abattre environ 17 arbres matures. Essayons de fixer des objectifs de cours selon le schéma suivant : Avec quels concepts allez-vous vous familiariser ? Quelles compétences et capacités allons-nous maîtriser ?	Proposer leurs propres solutions
4. Assimilation de nouvelles connaissances et méthodes d'assimilation (première connaissance du matériel)	Assurer la perception, la compréhension et la mémorisation primaire du sujet étudié par les enfants	Ouvrez le manuel pp. 120-121, lisez et répondez aux questions aux pages 121. Mettre en évidence les points de l'algorithme Algorithme pour sortir le facteur commun des parenthèses Trouver le facteur commun des coefficients des polynômes Sortez-le du support 3.Professeur: Je vais donner un exemple de prise d'un multiplicateur entre parenthèses en russe. Dans l'expression « Prendre un livre, prendre un stylo, prendre un cahier », la fonction de facteur commun est assurée par le verbe « prendre », et le livre, le cahier et le stylo sont des compléments. La même expression peut être dite d’une autre manière : « prenez un livre, un cahier et un stylo ». 4 J'ai écrit la règle de multiplication d'un monôme par un polynôme sous la forme d'un diagramme. Une note apparaît au tableau : Essayez de dessiner une règle schématique pour soustraire un facteur commun	Lire le matériel Répondez aux questions Trouver une feuille avec un algorithme Oh, maintenant tu essaies : Manger : soupe, porridge, salade Dessinez un diagramme inversé au tableau
5. Détente		Comprend le dessin animé « Summer Assignment » Du temps hivernal, nous nous retrouvons dans un été chaud. Mais le fragment est instructif, essayez de saisir l'idée principale	Ils regardent un fragment de dessin animé et tirent des conclusions sur la beauté de leur terre natale	Fragment de dessin animé "Devoir d'été"
6.Consolidation primaire	Établir l'exactitude et la conscience de l'étude du sujet. Identifier les lacunes dans la compréhension initiale du matériel étudié, corriger les lacunes identifiées, s'assurer que les connaissances et les méthodes d'action dont elles ont besoin travail indépendant sur du nouveau matériel.	Frontal au tableau : № 318, 319, 320,321,324,325,328 À tour de rôle, comme vous le souhaitez	Résolvez au tableau avec des commentaires
6. Organisation du contrôle primaire	Identification de la qualité et du niveau d'assimilation des connaissances et des méthodes d'action, ainsi que l'identification des lacunes dans les connaissances et les méthodes d'action, établissant les causes des lacunes identifiées	Résolvez de manière indépendante en vous basant sur le texte sur des morceaux de papier et vérifiez les réponses au tableau : TRAVAIL INDÉPENDANT (différencié) 1 possibilité Complétez la factorisation du polynôme : 5akh ​​​​– 30ау = 5а(…………..) x 4 – 5x 3 – x 2 = x 2 (…………..) Factoriser le polynôme - 5ав + 15а 2 в, en prenant le facteur entre parenthèses : a) 5а ; b)-5a. Factorisez-le : 5x + 5a = 7av + 14ac = 20a – 4b= 5mn – 5= ah – ay= 3x 2 – 6x= 2a – 10а= 15a 2 + 5a 3 = 2 option Terminez la saisie : 18av +16v= 2v(…………) 4a 2s – 8ac= 4ac(………..) Factoriser le polynôme -15a 2 in + 5ab 4 de deux manières : a) retirer le facteur 5ab des parenthèses ; b) en sortant le facteur -5av des parenthèses. 5х+6ху= 2ав – 3а 3в= 12av – 9v= x 3 -4x 2 +6x= 6a 4 – 4a 2 = 4a 4 -8a 3 +12a 2 = 24x 2 ans -12xy= 9v 2 -6v 4 +3v= 4. Trouvez la valeur de l'expression en la factorisant : xy 2 +y 3 avec x=97, y=3. Option 3 Sortez le facteur commun entre parenthèses et vérifiez en multipliant le monôme par le polynôme : a) 12xy+ 18x= b) 36ab 2 – 12a 2 c= 2. Terminez l'enregistrement : 18a 3 en 2 +36av = 18av(…………) 18a 3 en 2 +36av = -18av(…………) 3. Retirez le facteur commun des parenthèses : 12a 2 +16a= -11x 2 y 2 +22xy= 2a 4 -6a 2 = -12a 3 en 3 +6av= 30a 4 b- 6av 4 = x 8 -8x 4 + x 2 = 4. Remplacez M par un polynôme ou un monôme pour que l'égalité résultante soit l'identité : 12a 2 b-8av 2 +6av=M*(6a-4b+3) 15x 2 ans-10x3 ans2+25x 4 ans 3 =5x 2 ans*M 5. Trouvez le sens de l'expression : a) 2,76a-ab à a=1,25 et b=0,76 ; b) 2xy + 2y 2 à x=0,27 et b=0,73.	Ils font leur travail, une fois terminé ils reçoivent les clés et vérifient, mettent + ou moins, évaluent leur travail selon les critères au tableau : (réponses au tableau) 10-12 points - "5" 8-9 points - "4" 6-7 points - "3" Moins de 6 - vous devez travailler davantage.	Fiches de tâches différenciées
7. Résumer la leçon.	Fournir une évaluation qualitative du travail de la classe et de chaque étudiant	Notez les étudiants qui travaillent activement et résumez les résultats du travail indépendant : Levez la main qui a 5,4,3.	Analyser leur travail
8. Informations sur devoirs	S'assurer que les enfants comprennent le but, le contenu et les méthodes de réalisation des devoirs.	Paragraphe n° 19 № 322,326, 329 Nous le faisons selon des exemples de devoirs en cours	Enregistrer les tâches dans un journal
9. Réflexion		Professeur: C'était une leçon – une recherche. Vous et moi avons cherché un terrain d'entente, avons appris à communiquer et avons également révélé l'une des méthodes d'explication et de consolidation du sujet. Revenons aux objectifs de la leçon et analysons comment nous les avons atteints Oh, de quoi d'autre avons-nous parlé, à part retirer le facteur commun des parenthèses ? Revenons au logo de la leçon.	Lire les objectifs et analyser leur mise en œuvre Sur le lien entre les mathématiques et la langue russe, De la beauté de notre terre natale, de l'écologie

>>Mathématiques : sortir le facteur commun des parenthèses

Avant de commencer l'étude de cette section, revenons au § 15. Nous y avons déjà vu un exemple dans lequel il fallait présenter polynôme comme produit d'un polynôme et d'un monôme. Nous avons établi que ce problème n'est pas toujours correct. Si, néanmoins, un tel produit a pu être compilé, alors on dit généralement que le polynôme est factorisé en utilisant jugement général facteur commun hors parenthèses. Regardons quelques exemples.

Exemple 1. Factoriser le polynôme :

A) 2x + 6y, c) 4a 3 + 6a 2 ; e) 5a 4 - 10a 3 + 15a 8.
b) un 3 + un 2 ; d) 12ab 4 - 18a 2 b 3 c ;

Solution.
une) 2x + 6y = 2 (x + 3). Le diviseur commun des coefficients des termes polynomiaux a été retiré entre parenthèses.

b) un 3 + un 2 = un 2 (un + 1). Si la même variable est incluse dans tous les termes du polynôme, elle peut alors être retirée des parenthèses à un degré égal au plus petit des exposants disponibles (c'est-à-dire choisir le plus petit des exposants disponibles).

c) Nous utilisons ici la même technique que pour résoudre les exemples a) et b) : pour les coefficients nous trouvons le diviseur commun (dans ce cas le nombre 2), pour les variables - le plus petit degré parmi ceux disponibles (dans ce cas un 2). On a:

4a 3 + 6a 2 = 2a 2 2a + 2a 2 3 = 2a 2 (2a + 3).

d) Habituellement, pour les coefficients entiers, ils essaient de trouver non seulement un diviseur commun, mais aussi le plus grand diviseur commun. Pour les coefficients 12 et 18, ce sera le nombre 6. On remarque que la variable a est incluse dans les deux termes du polynôme, le plus petit exposant étant 1. La variable b est également incluse dans les deux termes du polynôme, avec le le plus petit exposant étant 3. Enfin, la variable c est incluse uniquement dans le deuxième terme du polynôme et n'est pas incluse dans le premier terme, ce qui signifie que cette variable ne peut en aucun cas être sortie des parenthèses. En conséquence nous avons :

12ab 4 - 18a 2 b 3 c = 6ab 3 2b - 6ab 3 Zas = 6ab 3 (2b - Zas).

e) 5a 4 -10a 3 +15a 8 = 5a 3 (a-2 + Pour 2).

En fait, dans cet exemple, nous avons développé l'algorithme suivant.

Commentaire . Dans certains cas, il est utile de retirer le coefficient fractionnaire comme facteur général.

Par exemple:

Exemple 2. Factoriser :

X 4 et 3 -2x 3 et 2 + 5x 2.

Solution. Utilisons l'algorithme formulé.

1) Le plus grand commun diviseur des coefficients -1, -2 et 5 est 1.
2) La variable x est incluse dans tous les termes du polynôme d'exposants 4, 3, 2, respectivement ; par conséquent, x 2 peut être retiré des parenthèses.
3) La variable y n'est pas incluse dans tous les termes du polynôme ; Cela signifie qu’il ne peut pas être retiré des parenthèses.

Conclusion: x 2 peuvent être retirés des parenthèses. Certes, dans ce cas, il est plus logique de mettre -x 2 entre parenthèses.

On a:
-x 4 et 3 -2x 3 et 2 + 5x 2 = - x 2 (x 2 et 3 + 2xy 2 - 5).

Exemple 3. Est-il possible de diviser le polynôme 5a 4 - 10a 3 + 15a 5 en monôme 5a 3 ? Si oui, alors exécutez division.

Solution. Dans l'exemple 1d), nous avons obtenu cela

5a 4 - 10a 3 + 15a 8 - 5a 3 (a - 2 + Pour 2).

Cela signifie que le polynôme donné peut être divisé par 5a 3 et que le quotient sera a - 2 + Pour 2.

Nous avons examiné des exemples similaires au § 18 ; Veuillez les parcourir à nouveau, mais cette fois en cherchant à retirer le facteur commun des parenthèses.

Factoriser un polynôme en sortant le facteur commun entre parenthèses est étroitement lié à deux opérations que nous avons étudiées aux § 15 et 18 : multiplier un polynôme par un monôme et diviser un polynôme par monôme.

Élargissons maintenant quelque peu nos idées sur la suppression du facteur commun entre parenthèses. Le truc c'est que parfois expression algébrique est donné de telle manière que le facteur commun peut être non pas un monôme, mais la somme de plusieurs monômes.

Exemple 4. Factoriser :

2x(x-2) + 5(x-2)2 .

Solution. Introduisons une nouvelle variable y = x - 2. On obtient alors :

2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2xy + 5y 2.

On note que la variable y peut être sortie entre parenthèses :

2xy + 5a 2 - y (2x + 5a). Revenons maintenant à l'ancienne notation :

y(2x + 5y) = (x- 2)(2x + 5(x - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).

Dans de tels cas, après avoir acquis une certaine expérience, vous ne pouvez pas introduire une nouvelle variable, mais utiliser ce qui suit

2x(x - 2) + 5(x - 2) 2 = (x - 2)(2x + 5(x - 2))= (x - 2)(2x + 5x~ 10) = (x - 2)( 7x-10).

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A. V. Pogorelov, Géométrie pour les classes 7 à 11, Manuel pour les établissements d'enseignement

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Chichaeva Darina 8e année

Dans l'ouvrage, un élève de 8e année a décrit la règle de factorisation d'un polynôme en mettant le facteur commun entre parenthèses avec une procédure détaillée pour résoudre de nombreux exemples sur ce sujet. Pour chaque exemple discuté, 2 exemples sont proposés pour décision indépendante, à laquelle il y a des réponses. Le travail vous aidera à étudier ce sujet les élèves qui, pour une raison quelconque, ne l'ont pas appris en parcourant le matériel du programme de 7e année et (ou) en reprenant le cours d'algèbre en 8e année après les vacances d'été.

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Aperçu:

Établissement d'enseignement budgétaire municipal

école secondaire n°32

"École associée de l'UNESCO "Eureka Développement"

Voljski, région de Volgograd

Travaux achevés:

élève de la classe 8B

Chichaeva Darina

Voljski

2014

Sortir le facteur commun des parenthèses

• - Une façon de factoriser un polynôme estmettre le facteur commun entre parenthèses ;
• - En sortant le multiplicateur général des parenthèses, il est appliquépropriété distributive;
• - Si tous les termes d'un polynôme contiennent facteur commun alors ce facteur peut être retiré entre parenthèses.

Lors de la résolution d'équations, dans les calculs et dans un certain nombre d'autres problèmes, il peut être utile de remplacer un polynôme par le produit de plusieurs polynômes (qui peuvent inclure des monômes). Représenter un polynôme comme un produit de deux ou plusieurs polynômes s'appelle factoriser le polynôme.

Considérons le polynôme 6a 2b+15b2 . Chacun de ses termes peut être remplacé par le produit de deux facteurs dont l'un est égal à 3b : →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →de là on obtient : 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

L'expression résultante basée sur la propriété de distribution de la multiplication peut être représentée comme un produit de deux facteurs. L'un d'eux est le multiplicateur commun 3b , et l'autre est la somme 2a 2 et 5b → 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Ainsi, nous avons développé le polynôme : 6a 2b+15b2 en facteurs, le représentant comme le produit d'un monôme 3b et le polynôme 2a 2 +5b. Cette méthode factoriser un polynôme s’appelle retirer le facteur commun des parenthèses.

Exemples:

Factorisez-le :

A) kx-px.

Multiplicateur x x nous l'avons mis entre parenthèses.

kx:x=k; px:x=p.

On obtient : kx-px=x*(k-p).

b) 4a-4b.

Multiplicateur 4 existe aussi bien au 1er qu'au 2ème mandat. C'est pourquoi 4 nous l'avons mis entre parenthèses.

4a:4=a; 4b:4=b.

On obtient : 4a-4b=4*(a-b).

c) -9m-27n.

9m et -27n sont divisibles par -9 . Par conséquent, nous retirons le facteur numérique entre parenthèses-9.

9m : (-9)=m ; -27n : (-9)=3n.

On a : -9m-27n=-9*(m+3n).

d) 5 ans 2 -15 ans.

5 et 15 sont divisibles par 5 ; y 2 et y sont divisés par y.

Par conséquent, nous retirons le facteur commun entre parenthèses 5у.

5 ans 2 : 5 ans = oui ; -15 ans : 5 ans = -3.

Donc : 5a 2 -15a=5a*(a-3).

Commentaire: De deux degrés de même base, on soustrait le degré avec le plus petit exposant.

e) 16у 3 +12у 2.

16 et 12 sont divisibles par 4 ; y 3 et y 2 sont divisés par y 2.

Donc le facteur commun 4 ans 2 .

16 ans 3 : 4 ans 2 = 4 ans ; 12 ans 2 : 4 ans 2 = 3.

En conséquence nous obtenons : 16 ans 3 +12 ans 2 =4 ans 2 *(4 ans + 3).

f) Factoriser le polynôme 8b(7a+a)+n(7a+a).

Dans cette expression on voit que le même facteur est présent(7 ans+a) , qui peut être retiré des parenthèses. On obtient donc :8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

g) une(b-c)+d(c-b).

Expressions b-c et c-b sont opposés. Par conséquent, pour les rendre identiques, avant d changez le signe « + » en « - » :

une(bc)+d(cb)=une(bc)-d(bc).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Exemples de solutions indépendantes :

1. mx+mon;
2. ah+oui ;
3. 5x+5ans ;
4. 12x+48 ans ;
5. 7ax+7bx ;
6. 14x+21 ans ;
7. –ma-a;
8. 8mn-4m2 ;
9. -12 ans 4 -16 ans ;
10. 15 ans 3 -30 ans 2 ;
11. 5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
12. 8m(une-3)+n(une-3);
13. x(y-5)-y(5-y);
14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Réponses.

1) m(x+y); 2) une(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7х(a+b); 6) 7(2x+3a); 7) -à(m+1); 8) 4 m (2 n-m) ;

9) -4ans(3ans 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5c+y2); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec les règles pour mettre un facteur commun entre parenthèses et apprendrons comment le trouver dans divers exemples et des expressions. Parlons de comment opération simple, placer le facteur commun hors parenthèses permet de simplifier les calculs. Nous consoliderons les connaissances et compétences acquises en examinant des exemples de complexités diverses.

Qu'est-ce qu'un facteur commun, pourquoi le rechercher et dans quel but est-il mis entre parenthèses ? Répondons à ces questions en regardant un exemple simple.

Résolvons l'équation. Le côté gauche de l’équation est un polynôme composé de termes similaires. La partie lettre est commune à ces termes, ce qui signifie qu'elle sera le facteur commun. Mettons-le entre parenthèses :

Dans ce cas, retirer le facteur commun des parenthèses nous a aidé à convertir le polynôme en monôme. Ainsi, nous avons pu simplifier le polynôme et sa transformation nous a aidé à résoudre l'équation.

Dans l'exemple considéré, le facteur commun était évident, mais serait-il si facile de le trouver dans un polynôme arbitraire ?

Trouvons le sens de l'expression : .

DANS dans cet exemple placer le facteur commun entre parenthèses a grandement simplifié le calcul.

Résolvons un autre exemple. Montrons la divisibilité en expressions.

L’expression résultante est divisible par , comme cela doit être prouvé. Encore une fois, prendre le facteur commun a permis de résoudre le problème.

Résolvons un autre exemple. Montrons que l'expression est divisible par pour tout nombre naturel : .

L'expression est le produit de deux nombres naturels adjacents. L’un des deux nombres sera certainement pair, ce qui signifie que l’expression sera divisible par .

Nous l'avons réglé différents exemples, mais ils ont utilisé la même méthode de résolution : ils ont retiré le facteur commun des parenthèses. On voit que cette opération simple simplifie grandement les calculs. Il était facile de trouver un facteur commun à ces cas particuliers, mais que faire dans le cas général, pour un polynôme arbitraire ?

Rappelons qu'un polynôme est une somme de monômes.

Considérons le polynôme . Ce polynôme est la somme de deux monômes. Un monôme est le produit d'un nombre, d'un coefficient et d'une partie de lettre. Ainsi, dans notre polynôme, chaque monôme est représenté par le produit d'un nombre et de puissances, produit de facteurs. Les facteurs peuvent être les mêmes pour tous les monômes. Ce sont ces facteurs qui doivent être déterminés et retirés du panier. Tout d’abord, nous trouvons le facteur commun des coefficients, qui sont des nombres entiers.

Il était facile de trouver le facteur commun, mais définissons le pgcd des coefficients : .

Regardons un autre exemple : .

Trouvons , ce qui nous permettra de déterminer le facteur commun à cette expression : .

Nous avons dérivé une règle pour les coefficients entiers. Vous devez trouver leur pgcd et le retirer du support. Consolidons cette règle en résolvant un autre exemple.

Nous avons examiné la règle d'attribution d'un facteur commun aux coefficients entiers, passons à la partie lettre. Tout d'abord, nous recherchons les lettres qui sont incluses dans tous les monômes, puis nous déterminons le degré le plus élevé de la lettre qui est incluse dans tous les monômes : .

Dans cet exemple, il n'y avait qu'une seule variable de lettre commune, mais il peut y en avoir plusieurs, comme dans l'exemple suivant :

Compliquons l'exemple en augmentant le nombre de monômes :

Après avoir retiré le facteur commun, nous avons converti la somme algébrique en produit.

Nous avons examiné séparément les règles de soustraction pour les coefficients entiers et les variables alphabétiques, mais le plus souvent, vous devez les appliquer ensemble pour résoudre l'exemple. Regardons un exemple :

Parfois, il peut être difficile de déterminer quelle expression est laissée entre parenthèses, regardons une astuce simple qui vous permettra de résoudre rapidement ce problème.

Le facteur commun peut aussi être la valeur souhaitée :

Le facteur commun peut être non seulement un nombre ou un monôme, mais aussi n’importe quelle expression, comme dans l’équation suivante.