Puisque maintenant nous ne parlerons que de l'intégrale indéfinie, par souci de concision nous omettrons le terme « indéfini ».

Pour apprendre à calculer des intégrales (ou, comme on dit, intégrer des fonctions), il faut d'abord apprendre le tableau des intégrales :

Tableau 1. Tableau des intégrales

2. ( ), toi>0. 2a. (α=0); 2b. (α=1) ; 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10h. 11. 11a. 12. 13. 13h.

De plus, vous aurez besoin de la capacité de calculer la dérivée d'une fonction donnée, ce qui signifie que vous devrez vous souvenir des règles de différenciation et du tableau des dérivées des fonctions élémentaires de base :

Tableau 2. Tableau des dérivés et règles de différenciation :

6.a .

(péché Et) = cos Et  Et (parce que toi) = – péché Et Et

Nous avons également besoin de la capacité de trouver la différentielle d’une fonction. Rappelons que la différentielle de la fonction
trouver par formule
, c'est à dire. la différentielle d'une fonction est égale au produit de la dérivée de cette fonction et de la différentielle de son argument. Il est utile de garder à l’esprit les relations connues suivantes :

Tableau 3. Tableau différentiel

1. (b= Const) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

De plus, ces formules peuvent être utilisées soit en les lisant de gauche à droite, soit de droite à gauche.

Considérons séquentiellement les trois principales méthodes de calcul de l'intégrale. Le premier d'entre eux s'appelle par méthode d'intégration directe. Elle repose sur l’utilisation des propriétés de l’intégrale indéfinie et comprend deux techniques principales : développement d'une intégrale en une somme algébrique plus simple et souscrire au signe différentiel, et ces techniques peuvent être utilisées à la fois indépendamment et en combinaison.

UN) Considérons développement de somme algébrique– cette technique implique l'utilisation de transformations identiques de l'intégrande et des propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie :
Et .

Exemple 1. Trouvez les intégrales :

UN)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Solution.

UN)Transformons l'intégrande en divisant le numérateur terme par terme :

La propriété des puissances est utilisée ici :
.

b) Tout d'abord, on transforme le numérateur de la fraction, puis on divise le numérateur terme par terme par le dénominateur :

La propriété des diplômes est également utilisée ici :
.

La propriété utilisée ici est :
,
.

.

Les formules 2 et 5 du tableau 1 sont utilisées ici.

Exemple 2. Trouvez les intégrales :

UN)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Solution.

UN)Transformons l'intégrande en utilisant l'identité trigonométrique :

.

Ici encore, nous utilisons la division terme par terme du numérateur par le dénominateur et les formules 8 et 9 du tableau 1.

b) Nous transformons de la même manière, en utilisant l'identité
:

.

c) Tout d'abord, divisez le numérateur terme par terme par le dénominateur et retirez les constantes du signe intégral, puis utilisez l'identité trigonométrique
:

d) Appliquer la formule de réduction du degré :

,

e) À l'aide d'identités trigonométriques, on transforme :

B) Considérons la technique d'intégration, appelée p en le plaçant sous le signe différentiel. Cette technique est basée sur la propriété d'invariance de l'intégrale indéfinie :

Si
, alors pour toute fonction différentiable Et = Et(X) se produit:
.

Cette propriété nous permet d'élargir considérablement le tableau des intégrales simples, car grâce à cette propriété les formules du tableau 1 sont valables non seulement pour la variable indépendante Et, mais aussi dans le cas où Et est une fonction différentiable d'une autre variable.

Par exemple,
, mais aussi
, Et
, Et
.

Ou
Et
, Et
.

L'essence de la méthode est d'isoler la différentielle d'une certaine fonction dans un intégral donné afin que cette différentielle isolée, avec le reste de l'expression, forme une formule tabulaire pour cette fonction. Si nécessaire, lors d'une telle conversion, des constantes peuvent être ajoutées en conséquence. Par exemple:

(dans le dernier exemple écrit ln(3 + X 2) au lieu de ln|3 + X 2 | , puisque l'expression est 3 + X 2 est toujours positif).

Exemple 3. Trouvez les intégrales :

UN)
; b)
; V)
;

G)
; d)
; e)
;

et)
; h)
.

Solution.

UN) .

On utilise ici les formules 2a, 5a et 7a du tableau 1, dont les deux dernières sont obtenues précisément en subsumant le signe différentiel :

Intégrer les fonctions d'affichage
se produit très souvent dans le cadre du calcul d'intégrales de fonctions plus complexes. Afin de ne pas répéter à chaque fois les étapes décrites ci-dessus, nous vous recommandons de retenir les formules correspondantes données dans le tableau 1.

.

La formule 3 du tableau 1 est utilisée ici.

c) De même, en tenant compte de que , on transforme :

.

La formule 2c du tableau 1 est utilisée ici.

G)

.

d) ;

e)

.

et) ;

h)

.

Exemple 4. Trouvez les intégrales :

UN)
b)

V)
.

Solution.

a) Transformons :

La formule 3 du tableau 1 est également utilisée ici.

b) On utilise la formule pour réduire le degré
:

Les formules 2a et 7a du tableau 1 sont utilisées ici.

Ici, avec les formules 2 et 8 du tableau 1, les formules du tableau 3 sont également utilisées :
,
.

Exemple 5. Trouvez les intégrales :

UN)
; b)

V)
; G)
.

Solution.

un travail
peut être complété (voir formules 4 et 5 du tableau 3) au différentiel de la fonction
, Où UN Et b– des constantes éventuelles,
. En effet, d'où
.

Ensuite nous avons:

.

b) En utilisant la formule 6 du tableau 3, nous avons
, et
, ce qui signifie la présence dans l'intégrande du produit
signifie un indice : sous le signe différentiel, vous devez saisir l'expression
. On obtient donc

c) Idem qu'au point b), le produit
peut être étendu aux fonctions différentielles
. On obtient alors :

.

d) Nous utilisons d'abord les propriétés de linéarité de l'intégrale :

Exemple 6. Trouvez les intégrales :

UN)
; b)
;

V)
; G)
.

Solution.

UN)Étant donné que
(formule 9 du tableau 3), on transforme :

b) En utilisant la formule 12 du tableau 3, on obtient

c) En tenant compte de la formule 11 du tableau 3, on transforme

d) En utilisant la formule 16 du tableau 3, on obtient :

.

Exemple 7. Trouvez les intégrales :

UN)
; b)
;

V)
; G)
.

Solution.

UN)Toutes les intégrales présentées dans cet exemple ont une caractéristique commune: L'intégrande contient un trinôme quadratique. Par conséquent, la méthode de calcul de ces intégrales sera basée sur la même transformation : isoler le carré complet dans ce trinôme quadratique.

.

b)

.

V)

G)

La méthode de substitution d'un signe différentiel est une implémentation orale d'une méthode plus générale de calcul d'intégrale, appelée méthode de substitution ou de changement de variable. En effet, chaque fois, en sélectionnant dans le tableau 1 une formule appropriée pour celle obtenue en subsumant la fonction signe différentiel, nous avons mentalement remplacé la lettre Et fonction introduite sous le signe différentiel. Par conséquent, si l’intégration en subsumant le signe différentiel ne fonctionne pas très bien, vous pouvez directement modifier la variable. Plus de détails à ce sujet dans le paragraphe suivant.

Fonctions auxiliaires (ou M-codes) sont programmés à l'aide du mot d'adresse M. Les fonctions auxiliaires sont utilisées pour contrôler le programme et l'automatisation électrique de la machine - allumer/éteindre la broche, le liquide de refroidissement, changer d'outils, etc.

Tableau 3.

Désignation	But
M00	Arrêt programmable
M01	Arrêter avec confirmation
M02	Fin du programme
M03	Rotation de la broche dans le sens des aiguilles d'une montre
M04	Rotation de la broche dans le sens antihoraire
M05	Arrêt de broche
M06	Changement d'outil
M08	Allumer le refroidissement
M09	Rafraîchir
M17	Retour du sous-programme
M18	Positionner la broche à un angle donné
M19	Orientation de la broche
M20	Fin d'une section de programme répétitif
M30	Arrêtez-vous et allez au début du programme de contrôle
M99	Continuer l'exécution de la première image

Fonctions auxiliaires qui effectuent l'inclusion de toutes les opérations ( M03, M04 Et M08), sont exécutés au début du bloc avant les commandes de mouvement. Les fonctions auxiliaires restantes sont exécutées à la fin du bloc.

Dans le tableau 3 est une liste de fonctions d'assistance couramment utilisées.

2.1. Arrêt programmable (M00)

Arrêt inconditionnel du programme de contrôle après l'exécution du mouvement contenu dans le bloc en cours. L'état du programme ne change pas jusqu'à ce que le bouton soit à nouveau enfoncé COMMENCER sur le panneau de commande ou les touches AU DÉBUT, pour revenir au début du programme en cours.

2.2. Arrêter avec confirmation (M01)

Arrêter le programme de contrôle après l'exécution du mouvement contenu dans le bloc en cours, à condition que le mode soit activé "Arrêtez avec confirmation" depuis le panneau de commande du système de contrôle (voir document Manuel de l'opérateur MSHAK-CNC).

Exemple:

X-2X-4.

M1 ; Arrêtez l'exécution du programme sur ce bloc si

; mode séléctionné "Arrêtez avec confirmation" depuis la console de l'opérateur

2.3. Fin du programme (M02)

Détermine la fin de l'exécution du programme de contrôle, arrête l'alimentation en liquide de refroidissement et arrête la rotation de la broche.

Exemple:

G0X20Z50Z.5

G0X0Z0M2

2.4. Rotation de la broche dans le sens horaire (M03)

Démarre la rotation de la broche dans le sens des aiguilles d'une montre en utilisant la valeur actuelle spécifiée par mot.

Exemple:

G54 G0 X-20 Z30 S500M3

2.5. Rotation de la broche dans le sens antihoraire (M04)

Démarre la rotation de la broche dans le sens antihoraire en utilisant la valeur actuelle spécifiée par mot.

Exemple:

G54 G0 X-20 Z30 S1500M4

2.6. Arrêt de broche (M05)

Arrête la rotation de la broche. Exécuté après les mouvements contenus dans le cadre.

Exemple:

G28X0Z0M5

G4P2M2

2.7. Changement d'outil (M06)

Effectue les changements d'outils entre la broche et le magasin d'outils. Selon cette fonction, il se produit ce qui suit :

· Positionnement le long des axes jusqu'au point de changement d'outil ;

· Arrêt de rotation de la broche et orientation de la broche ;

· Changement d'outil.

Exemple:

T5 ; commencez à chercher l'outil 5 dans le magasin

X50Z60 ; suite du programme

M6 ; changement d'outil

2.8. Activer le refroidissement (M08)

Active l'alimentation en liquide de coupe (liquide de refroidissement).

Exemple:

S300M3X20Z30G0

G1X50Z44M8 ; Allumez le liquide de refroidissement

G0Z-100

2.9. Refroidissement (M09)

Coupe l'alimentation en liquide de coupe (liquide de refroidissement).

Exemple:

S300M3X20Z30G0 G1X50Z44 M9M5G0Z-100

2.10. Retour du sous-programme (M17)

Définit la fin d'un sous-programme lorsqu'il est appelé avec un mot d'adresse L.

Exemple:

X5Z5

; Programme principal

L10 ; Appel d'un sous-programme à partir du bloc N10 X2Z8

N10Z2 ; Sous-programme avec repère de bloc N10 X10

M17 ; Fin du sous-programme et retour au programme principal

2.11. Positionnement de la broche (M18)

En utilisant cette fonction, vous pouvez faire pivoter la broche à un angle spécifié

Format:

M18 Pnnn

Où : nnn – angle de rotation +/- 360 degrés.

L'angle de rotation est mesuré par rapport à la position de broche sur laquelle la broche est réglée à l'aide de la fonction M19.

Exemple:

M18 P45 ; rotation de la broche 45 degrés

2.12. Orientation de la broche (M19)

Fonction d'assistance M19 arrête la rotation de la broche et effectue son orientation.

2.13. Fin d'une section de programme répétitif (M20)

Détermine la fin d'un segment répétitif d'un programme lorsqu'il est appelé par un mot avec une adresse H.

Exemple:

N10H2 ; exécuter la section du programme jusqu'à M20 2 fois

Un exemple important de classe fermée est la classe des fonctions monotones. Nous prouverons plus tard le fait que les fonctions monotones forment une classe fermée, mais pour l'instant, familiarisons-nous avec ce qu'est une fonction booléenne monotone.

Sur l'ensemble B=0,1 on introduit l'ordre complet : on suppose que 0<1. Нам придётся иметь дело с функциями от n переменных, поэтому полезно ввести частичное упорядочение в булевом пространстве В n .

Définition 1. Soit b=(b 1 b 2 ...b n) et b=(b 1 b 2 ...b n) sont des éléments de B n. Nous dirons que b précède (est plus jeune que) c, et notons bv si b k est dans k pour k=1,2,...,n, et pour au moins un k il existe une inégalité stricte.

Exemple. b=(001100), c=(001110) ; b 1 =c 1, b 2 =c 2, b 3 =c 3, b 4 =c 4, b 5<в 5 , б 6 =в 6 . Значит, бв.

Définition 2. Deux vecteurs b et v sont dits comparables entre eux si bv ou vb. Sinon, les vecteurs sont considérés comme incomparables. Cet ordre est dit partiel car tous les éléments de B n ne sont pas comparables. Il n'y a donc pas lieu de confondre partiel commande sur B n s complet l'ordre qui a été utilisé lors de la définition d'une fonction booléenne en tant que tableau ou vecteur de ses valeurs.

Voici quelques exemples de vecteurs incomparables.

1.b =(1100), c =(0110). Ici b 1 > c 1, b 2 = c 2, b 3< 3 , б 4 =в 4 .

2.b =(01), c =(10). Ici b 1< в 1 , б 2 >à 2 heures .

D'après les exemples, il ressort clairement que les ensembles incomparables sont ceux dans lesquels il y a des composants de type (01) dans un ensemble et (10) dans un autre ensemble aux endroits correspondants.

Définition 3. Une fonction f(x 1 ,…,x n) est dite monotone (appartient à la classe M) si pour deux ensembles comparables b quelconques, dans B n, du fait que b précède c, il s'ensuit que f(b) pas plus que f(), c'est-à-dire bv f(b) f(c).

S'il existe une paire d'ensembles tels que bw, mais f(b) > f(c), alors la fonction f(x1,...,xn) est non monotone. Par analogie avec les fonctions continues qui sont étudiées dans le cours d'analyse mathématique, les fonctions de l'algèbre de la logique peuvent être appelées non décroissant. Mais comme nous ne traiterons pas des fonctions non croissantes, nous pouvons simplement parler de monotonie..

Exemple 20. La fonction d'identité f(x) = x est monotone, puisque b=(0) (1)=c et f(b)=0< 1=f()

Exemple 21. f(x,y) = xy est une fonction monotone.

En effet, les ensembles (01) et (10) sont incomparables ; nous n'en prendrons pas en compte. Pour les autres ensembles nous avons :

(00)-- (11) et f(0,0)=0 1= f(1,1).

(01) (11) et f(0,1)=1 1= f(1,1).

(10)-- (11) et f(1,0)=1 1= f(1,1).

Nous avons vérifié que xy est égal à 0 uniquement sur l'ensemble (00), qui précède tous les autres ensembles, de sorte que la condition de monotonie de la fonction est satisfaite.

Exemple 22. f(x,y)=x&y est une fonction monotone, car est égal à 1 uniquement sur l'ensemble (11), qui est précédé de tous les autres.

Exemple 23. Les constantes 0 et 1 sont des fonctions monotones, car pour tout ensemble, il y aura f(b)=f(c).

Exemple 24. f(x)=x" est une fonction non monotone, car pour b=(0) et b=(1) nous avons bv, mais f(b)=1> 0=f(c).

Exemple 25. f(x,y)=xy est une fonction non monotone.

Vraiment,

(00)---- (01) et f(0,0)=1 1=f(1,1) ,

(10)---- (11) et f(1,0)=0 1=f(1,1).

Mais avec (00)---- (10) on obtient

f(0,0)=1 > 0=f(1,0).

La condition pour qu’une fonction soit monotone n’est pas remplie !

Exemple 26. Déterminons la monotonie de la fonction d'addition modulo 2 :

Les ensembles (01) et (10) sont incomparables, nous n'en prendrons pas en compte.

Pour les autres ensembles nous avons :

(00) (01) et f(0,0)=0 1= f(0,1).

(00)-- (10) et f(0,0)=0 1= f(1,0).

(00) (11) et f(0,0)=0 0= f(1,1).

(10) (11) et f(1,0)=1 > 0= f(1,1).

La dernière condition indique que la fonction x+y est non monotone.

M00 - arrête l'exécution du programme après avoir terminé les opérations contenues dans le bloc. Arrête la rotation de la broche et le flux de refroidissement. Enregistre toutes les informations accumulées en mémoire.

M01 - arrêt conditionnel du programme : si le code à trois lettres USO = 1 est saisi au clavier, la fonction M01 est interprétée par la commande comme M00 ; Si le code à trois lettres USO = 0 est confirmé, la fonction M01 n'est pas prise en compte.

M02 - détermine la fin du programme sans rembobiner la bande jusqu'au début.

M03 - rotation de la broche dans le sens des aiguilles d'une montre.

M04 - rotation de la broche dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

M05 - arrêter la broche et l'alimentation en refroidissement. Effectué après avoir terminé les opérations contenues dans le cadre.

M06 - remplacement d'outil. Arrête la rotation de la broche, l’alimentation en refroidissement et l’exécution du programme. Confirme les ajustements sélectionnés par la fonction T. La mise en œuvre devient possible après l'exécution des informations contenues dans le bloc. N'efface pas M03, M04, M08, M13, M14.

M07 - alimentation auxiliaire en refroidissement.

M08 - alimentation principale en refroidissement.

M09 - arrêter le refroidissement. Effectué après avoir terminé les opérations contenues dans le cadre.

M10 - blocage des axes linéaires et rotatifs. Grâce à cette fonction, les axes qui ne sont pas impliqués dans le processus d'usinage sont verrouillés.

M11 - annuler M10.

M12 - blocage des axes rotatifs. Grâce à cette fonction, les axes qui ne sont pas impliqués dans le processus d'usinage sont verrouillés.

M13 - rotation de la broche dans le sens des aiguilles d'une montre et alimentation en refroidissement.

M14 - rotation de la broche dans le sens antihoraire et alimentation en refroidissement.

M19 - l'arrêt de la rotation de la broche avec orientation angulaire est possible après les opérations contenues dans le bâti. Annulé par les fonctions M03, M04.

M30 - RESET automatique à la fin du programme. Grâce à la fonction M30, toutes les informations situées dans le tampon dynamique du système sont effacées. Sont automatiquement confirmés : départ du point 0 et reprise du programme sélectionné. Le réglage de l'outil dans la broche n'est pas effacé.

M40 - annuler la plage de rotation de la broche.

M42-M43-M44 - active la plage de rotation de la broche 1-2-3-4.

M45 - changement automatique de la plage de rotation de la broche.

M60 - pièce de rechange.

A l'aide d'un programme logique, il est possible de définir ces fonctions différemment en les ajoutant ou en les soustrayant. Jusqu'à quatre fonctions M peuvent être programmées dans chaque bloc.

Toutes les fonctions M sont effacées en effectuant le mode « RESET, RESET ».

Lors du codage des informations, il convient de garder à l'esprit que dans la CNC, dans l'état initial (initial), certaines valeurs des fonctions préparatoires sont définies. Ces fonctions ne doivent pas être programmées. Elles ne sont introduites (indiquées) dans le programme que si, au cours du programme, d'autres fonctions ont été programmées qui annulent l'effet de celles d'origine. Par exemple, dans la CNC NC201M, les fonctions initiales (saisies dans la CNC) sont G00 (positionnement rapide de l'axe), G17 (plan d'interpolation XY), G27 (mode d'usinage continu avec décélération automatique de la vitesse dans les coins), G20 (sortie du programme GTL). ), G71( programmation en millimètres), G80 (Annulation de cycle fixe),

G40 Annulation de compensation de rayon d'outil, G80 (Annulation de cycle fixe), G90 (Programmation absolue), G95 (Avance en mm/tr ou in/tr), G96 (Vitesse de coupe en m/min ou ft/min).

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