L'une des tâches urgentes des spécialistes de la formation est de maîtriser la théorie et les méthodes de modélisation mathématique, en tenant compte des exigences de systématique, permettant non seulement de construire des modèles des objets étudiés, d'analyser leur dynamique et la capacité de contrôler une expérience machine. avec le modèle, mais aussi de juger, dans une certaine mesure, de l'adéquation des modèles créés aux systèmes étudiés, des limites d'applicabilité et d'organiser correctement la modélisation des systèmes utilisant la technologie informatique moderne.

Si nécessaire, le modèle machine permet d'« étirer » ou de « compresser » le temps réel, puisque la modélisation machine est associée à la notion de temps système différent du temps réel.

L'essence de la modélisation automatique d'un système est de mener une expérience sur un ordinateur avec un modèle, qui est un certain complexe logiciel qui décrit formellement et (ou) algorithmiquement le comportement des éléments du système pendant son fonctionnement, c'est-à-dire dans leur interaction les uns avec les autres et avec l'environnement extérieur . La modélisation des machines est utilisée avec succès dans les cas où il est difficile de formuler clairement un critère d'évaluation de la qualité du fonctionnement d'un système et où son objectif ne peut être entièrement formalisé, car elle permet de combiner les capacités logicielles et matérielles d'un ordinateur avec les capacités d'une personne. penser en catégories informelles.

Exigences des utilisateurs pour le modèle. Formulons les exigences de base pour le modèle du processus de fonctionnement du système .

1. L'exhaustivité du modèle doit offrir à l'utilisateur la possibilité d'obtenir l'ensemble requis d'estimations des caractéristiques du système avec la précision et la fiabilité requises.

2. La flexibilité du modèle doit permettre de reproduire diverses situations en faisant varier la structure, les algorithmes et les paramètres du système.

3. La durée de développement et de mise en œuvre d'un grand modèle de système doit être aussi minimale que possible, en tenant compte des limitations des ressources disponibles.

4. La structure du modèle doit être basée sur des blocs, c'est-à-dire permettre la possibilité de remplacer, d'ajouter et d'exclure certaines parties sans refaire l'ensemble du modèle.

5. Le support d'information doit permettre au modèle de fonctionner efficacement avec une base de données de systèmes d'une certaine classe.

6. Les logiciels et le matériel doivent permettre une mise en œuvre efficace (en termes de vitesse et de mémoire) du modèle sur la machine et une communication pratique avec celui-ci pour l'utilisateur.

7. Il devrait être possible de réaliser des expériences machine ciblées (planifiées) avec un modèle de système en utilisant une approche de simulation analytique en présence de ressources informatiques limitées.

La modélisation de systèmes à l'aide d'un ordinateur peut être utilisée dans les cas suivants : a) pour étudier un système avant sa conception, afin de déterminer la sensibilité des caractéristiques aux changements de la structure, des algorithmes et des paramètres de l'objet de modélisation et de l'environnement externe. environnement; b) au stade de la conception du système, pour l'analyse et la synthèse des diverses options du système et la sélection parmi les options concurrentes qui satisferaient à un critère donné pour évaluer l'efficacité du système dans le cadre de restrictions acceptées ; c) après l'achèvement de la conception et de la mise en œuvre du système, c'est-à-dire pendant son fonctionnement, obtenir des informations qui complètent les résultats des tests (exploitation) à grande échelle du système réel, et obtenir des prévisions sur l'évolution (développement) du système au fil du temps.

Étapes de modélisation du système. Considérons les principales étapes de la modélisation du système , qui comprennent : la construction d'un modèle conceptuel du système et sa formalisation ; algorithmisation du modèle système et sa mise en œuvre machine ; obtenir et interpréter les résultats de simulation du système.

La relation entre les étapes répertoriées de la modélisation du système et leurs composants (sous-étapes) peut être présentée sous la forme d'un diagramme de réseau illustré à la Fig. 1.

Riz. 1. Interrelation des étapes de la modélisation du système

Listons ces sous-étapes :

1.1 - énoncé du problème de modélisation machine du système ; 1.2 - analyse du problème de modélisation du système ; 1.3 - détermination des exigences en matière d'informations initiales sur l'objet de modélisation et organisation de sa collection ; 1.4 - émettre des hypothèses et formuler des hypothèses ; 1.5 - détermination des paramètres et variables du modèle ; 1.6 - établir le contenu principal du modèle ; 1.7 - justification des critères d'évaluation de l'efficacité du système ; 1.8 - définition des procédures de rapprochement ; 1.9 - description du modèle conceptuel du système ; 1.10 - vérifier la fiabilité du modèle conceptuel ; 1.11 - préparation de la documentation technique pour la première étape ; 2.1 - construction d'un schéma logique du modèle ; 2.2 - obtenir des relations mathématiques ; 2.3 - vérifier la fiabilité du modèle du système ; 2.4 - sélection des outils de modélisation ; 2.5 - élaborer un plan d'exécution des travaux de programmation ; 2.6 - spécification et construction du schéma du programme ; 2.7 - vérification et vérification de la fiabilité du schéma du programme ; 2.8 - programmation du modèle ; 2.9 - vérifier la fiabilité du programme ; 2.10 - préparation de la documentation technique pour la deuxième étape ; 3.1 - planifier une expérience machine avec un modèle de système ; 3.2 - détermination des besoins en installations informatiques ; 3.3 - effectuer des calculs de travail ; 3.4 - analyse des résultats de la modélisation du système ; 3.5 - présentation des résultats de simulation ; 3.6 - interprétation des résultats de simulation ; 3.7 - résumer les résultats de la simulation et émettre des recommandations ; 3.8 - préparation de la documentation technique pour la troisième étape.

Au stade de la construction d'un modèle conceptuel et de sa formalisation, une étude de l'objet modélisé est réalisée du point de vue de l'identification des principales composantes du processus de son fonctionnement, les approximations nécessaires sont déterminées et un schéma généralisé du système le modèle est obtenu , qui est converti en modèle de machine lors de la deuxième étape de modélisation par algorithmisation séquentielle et programmation du modèle. La dernière troisième étape de la modélisation du système consiste à effectuer des calculs de travail sur un ordinateur selon le plan reçu à l'aide de logiciels et de matériels sélectionnés, à obtenir et à interpréter les résultats de la modélisation du système en tenant compte de l'influence de l'environnement externe. .

Un modèle est une image (copie) d'un objet, d'un processus ou d'un phénomène réel, qui reflète ses propriétés essentielles, reproduites d'une manière ou d'une autre.

La modélisation est la construction de modèles pour l'étude et la recherche d'objets, de processus ou de phénomènes du monde réel.

La classification suivante des modèles est possible.

Imaginaire Les modèles (mentaux) sont des représentations mentales d'un objet formées dans le cerveau humain.

Information les modèles reflètent les processus d'apparition, de transmission et d'utilisation de l'information dans des systèmes de natures diverses.

Les modèles d'information représentent des objets sous forme de descriptions verbales, de textes, d'images, de tableaux, de diagrammes, de dessins, de formules, etc. Ils peuvent être exprimés dans un langage de description ( modèles emblématiques) ou la langue de présentation ( modèles visuels).

Des exemples de modèles visuels (exprimés par des images) sont les peintures, les films, les photographies, les dessins et les graphiques. Les modèles de signes peuvent être construits en utilisant le langage naturel (on les appelle verbal) ou en utilisant un langage formel. Des exemples de modèles verbaux sont les œuvres littéraires et les règles de circulation.

Le processus de construction de modèles d'information à l'aide de langages formels est appelé formalisation. Les classes les plus importantes de modèles d’informations symboliques sont les modèles mathématiques et informatiques.

Mathématique modèle – une manière de représenter un modèle d’information à l’aide de formules et de termes mathématiques.

Ordinateur Un modèle est une image d'un objet réel créée à l'aide d'un logiciel informatique.

Il existe une relation entre différents types de modèles d'information. Lors de l'étude d'un objet réel, un modèle verbal est généralement construit en langage naturel, puis formalisé (exprimé à l'aide de langages formels), puis la modélisation peut être poursuivie à l'aide d'un ordinateur - un modèle informatique de l'objet est créé.

Les principaux concepts de la modélisation de l'information sont l'entité (objet), la relation (dépendance) et l'attribut.

Essence– il s’agit d’un objet qui existe dans le domaine. Cet objet doit avoir des instances distinctes les unes des autres.

Connexion représente une connexion entre deux ou plusieurs entités. Selon le nombre d'objets connectés, la relation est dite binaire (deux objets), ternaire (trois), etc.

Attribut est une propriété ou une caractéristique d’une entité.

Ainsi, une entité peut être traitée comme un ensemble ordonné d’attributs ayant des connexions avec d’autres entités.

Il existe différents types de connexions :

"1:1" – "un à un", "1:N" – "un à plusieurs", "M:N" – "plusieurs à plusieurs".

Les principaux types de modèles d'information comprennent les modèles tabulaires (relationnels), hiérarchiques (arbre) et réseau (graphique).

les tables est une forme de présentation d’informations sous forme de lignes et de colonnes. Vous pouvez construire des tableaux de la forme « objet – objet » (un attribut caractérisant plusieurs objets est sélectionné), « objet – attribut » (plusieurs attributs d'objets d'un même ensemble sont sélectionnés), « objet – attribut – objet » (type combiné de la table).

Structure hiérarchique Un modèle d'information est une manière d'organiser les données dans laquelle les éléments du modèle sont répartis entre les niveaux et reliés par des relations de subordination. Cette structure est également appelée arborescente, car dans une représentation graphique, elle ressemble à un arbre. Où racine d'un arbre est le sommet correspondant à l'élément principal ou générique de l'objet, feuilles– les sommets qui n'ont pas de descendants. Un exemple classique de structure arborescente d’un modèle d’information est un arbre généalogique.

Graphique est une collection de nœuds (sommets) et de lignes les reliant (arêtes), exprimant les connexions entre eux. Les sommets peuvent être représentés par différents éléments graphiques : points, rectangles, cercles, etc. Dans le modèle de réseau, les éléments peuvent entrer dans des connexions unidirectionnelles et bidirectionnelles.

Modèles de réseau sont la base pour résoudre de nombreux problèmes de modélisation de l'information, car ils permettent d'afficher visuellement les connexions entre les objets.

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Pour les calculs
Lors de la préparation d'un cours, il est nécessaire d'indiquer la littérature nécessaire au cours, ainsi que d'indiquer les méthodes de calcul (algorithmes) que les étudiants doivent étudier. Cette leçon est nécessaire

Caractéristiques de la réalisation d'une formation pratique sur l'équipement
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Fondements théoriques de l'informatique
Concept fondamental de l'informatique - le terme « information » vient du latin Informatio - clarification, présentation, sensibilisation. Actuellement, la science tente de trouver des propriétés et des lois communes

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Il existe de nombreuses façons de perdre des données importantes. Il s'agit de pannes logicielles qui peuvent désactiver le logiciel, de pannes matérielles qui peuvent rendre le disque dur inutilisable.

Actes juridiques normatifs
1. Loi fédérale du 27 juillet 2006 n° 149-FZ « Sur l'information, les technologies de l'information et la protection de l'information » // Journal russe. – 2006. – 29 juillet. 2. Loi fédérale du 9 février

Supplémentaire
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Introduction

1. Examen analytique des méthodes et moyens existants pour résoudre le problème

1.1 Concept et types de modélisation

1.2 Méthodes de calcul numérique

1.3 Concept général de la méthode des éléments finis

2. Analyse algorithmique du problème

2.1 Énoncé du problème

2.2 Description du modèle mathématique

2.3 Schéma graphique de l'algorithme

3. Implémentation logicielle de la tâche

3.1 Déviations et tolérances des filetages de tuyaux cylindriques

3.2 Implémentation des écarts et tolérances des filetages de tuyaux cylindriques dans le logiciel Compass

3.3 Implémentation de la tâche dans le langage de programmation C#

3.4 Implémentation d'un modèle structurel dans le package ANSYS

3.5 Etude des résultats obtenus

Conclusion

Liste de la littérature utilisée

Introduction

Dans le monde moderne, il est de plus en plus nécessaire de prédire le comportement des systèmes physiques, chimiques, biologiques et autres. L'un des moyens de résoudre le problème consiste à utiliser une direction scientifique relativement nouvelle et pertinente - la modélisation informatique, dont une caractéristique est une visualisation élevée des étapes de calcul.

Ce travail est consacré à l'étude de la modélisation informatique dans la résolution de problèmes appliqués. De tels modèles sont utilisés pour obtenir de nouvelles informations sur l'objet modélisé afin d'évaluer approximativement le comportement des systèmes. Dans la pratique, de tels modèles sont activement utilisés dans divers domaines de la science et de la production : physique, chimie, astrophysique, mécanique, biologie, économie, météorologie, sociologie et autres sciences, ainsi que dans les problèmes appliqués et techniques dans divers domaines de la radioélectronique. , génie mécanique, industrie automobile et autres. Les raisons en sont évidentes : c'est l'occasion de créer rapidement un modèle et d'apporter rapidement des modifications aux données source, de saisir et d'ajuster des paramètres de modèle supplémentaires. Les exemples incluent l'étude du comportement des bâtiments, des pièces et des structures sous charge mécanique, la prévision de la résistance des structures et des mécanismes, la modélisation des systèmes de transport, la conception des matériaux et de leur comportement, la conception de véhicules, les prévisions météorologiques, l'émulation du fonctionnement d'appareils électroniques, la simulation de crash tests, tests de résistance et adéquation des systèmes de tuyauterie, thermiques et hydrauliques.

Le but du cours est d'étudier les algorithmes de modélisation informatique, tels que la méthode des éléments finis, la méthode des différences limites, la méthode des différences finies avec une application pratique supplémentaire pour calculer la résistance des connexions filetées ; Développement d'un algorithme de résolution d'un problème donné avec mise en œuvre ultérieure sous la forme d'un produit logiciel ; assurer la précision des calculs requise et évaluer l’adéquation du modèle à l’aide de différents produits logiciels.

1 . Examen analytique des méthodes et moyens existants pour résoudre le problème

1.1 Concept et types de modèlesEtitinérant

Les problèmes de recherche résolus par la modélisation de divers systèmes physiques peuvent être divisés en quatre groupes :

1) Problèmes directs, dans la solution desquels le système étudié est précisé par les paramètres de ses éléments et les paramètres du mode, de la structure ou des équations initiales. Il est nécessaire de déterminer la réponse du système aux forces (perturbations) agissant sur lui.

2) Problèmes inverses, dans lesquels, à partir d'une réaction connue d'un système, il faut trouver les forces (perturbations) qui ont provoqué cette réaction et forcer le système considéré à arriver à un état donné.

3) Problèmes inverses qui nécessitent de déterminer les paramètres du système en fonction du déroulement connu du processus, décrits par des équations différentielles et les valeurs des forces et des réactions à ces forces (perturbations).

4) Problèmes inductifs dont la solution vise à élaborer ou à clarifier des équations décrivant des processus se produisant dans un système dont les propriétés (perturbations et réactions à celles-ci) sont connues.

Selon la nature des processus étudiés dans le système, tous les types de modélisation peuvent être répartis dans les groupes suivants :

Déterministe ;

Stochastique.

La modélisation déterministe représente des processus déterministes, c'est-à-dire processus dans lesquels l’absence de toute influence aléatoire est supposée.

La modélisation stochastique décrit des processus et des événements probabilistes. Dans ce cas, un certain nombre de réalisations d'un processus aléatoire sont analysées et les caractéristiques moyennes sont estimées, c'est-à-dire un ensemble d’implémentations homogènes.

Selon le comportement de l'objet dans le temps, la modélisation est classée en deux types :

Statique;

Dynamique.

La modélisation statique sert à décrire le comportement d'un objet à tout moment, tandis que la modélisation dynamique reflète le comportement d'un objet au fil du temps.

Selon la forme de représentation de l'objet (système), on peut distinguer

Modélisation physique ;

Modélisation mathématique.

La modélisation physique diffère de l'observation d'un système réel (expérience grandeur nature) dans la mesure où la recherche est menée sur des modèles qui préservent la nature des phénomènes et présentent une similitude physique. Un exemple est un modèle d’avion étudié dans une soufflerie. Dans le processus de modélisation physique, certaines caractéristiques de l'environnement externe sont spécifiées et le comportement du modèle sous des influences externes données est étudié. La modélisation physique peut avoir lieu à des échelles de temps réelles et irréelles.

La modélisation mathématique s'entend comme le processus d'établissement d'une correspondance entre un objet réel donné et un certain objet mathématique, appelé modèle mathématique, et l'étude de ce modèle sur un ordinateur afin d'obtenir les caractéristiques de l'objet réel en question.

Les modèles mathématiques sont construits à partir de lois identifiées par les sciences fondamentales : physique, chimie, économie, biologie, etc. En fin de compte, l'un ou l'autre modèle mathématique est choisi sur la base de critères pratiques, entendus au sens large. Une fois le modèle formé, il est nécessaire d’étudier son comportement.

Tout modèle mathématique, comme tout autre, décrit un objet réel uniquement avec un certain degré d'approximation de la réalité. Par conséquent, dans le processus de modélisation, il est nécessaire de résoudre le problème de correspondance (adéquation) du modèle mathématique et du système, c'est-à-dire mener des recherches complémentaires sur la cohérence des résultats de simulation avec la situation réelle.

La modélisation mathématique peut être divisée dans les groupes suivants :

Analytique;

Imitation;

Combiné.

À l'aide de la modélisation analytique, l'étude d'un objet (système) peut être réalisée si des dépendances analytiques explicites sont connues qui relient les caractéristiques souhaitées aux conditions initiales, paramètres et variables du système.

Cependant, de telles dépendances ne peuvent être obtenues que pour des systèmes relativement simples. À mesure que les systèmes deviennent plus complexes, leur étude par des méthodes analytiques se heurte à des difficultés importantes, souvent insurmontables.

Dans la modélisation par simulation, l'algorithme qui met en œuvre le modèle reproduit le processus de fonctionnement du système dans le temps, et les phénomènes élémentaires qui composent le processus sont simulés tout en préservant la structure logique, qui permet, à partir des données sources, d'obtenir des informations sur les états. du processus à certains moments dans chaque maillon du système.

Le principal avantage de la modélisation par simulation par rapport à la modélisation analytique est la capacité à résoudre des problèmes plus complexes. Les modèles de simulation permettent de prendre en compte tout simplement des facteurs tels que la présence d'éléments discrets et continus, les caractéristiques non linéaires des éléments du système, de nombreuses influences aléatoires, etc.

Actuellement, la modélisation par simulation est souvent la seule méthode pratiquement disponible pour obtenir des informations sur le comportement d’un système, notamment au stade de la conception.

La modélisation combinée (analytique-simulation) vous permet de combiner les avantages de la modélisation analytique et de la simulation.

Lors de la construction de modèles combinés, une décomposition préliminaire du processus de fonctionnement de l'objet en ses sous-processus constitutifs est effectuée, et pour ceux-ci, lorsque cela est possible, des modèles analytiques sont utilisés et des modèles de simulation sont construits pour les sous-processus restants.

Du point de vue de la description d'un objet et selon sa nature, les modèles mathématiques peuvent être divisés en modèles :

analogique (continu);

numérique (discret);

analogique-numérique.

Un modèle analogique s'entend comme un modèle similaire décrit par des équations reliant des quantités continues. Par modèle numérique, on entend un modèle décrit par des équations mettant en relation des quantités discrètes présentées sous forme numérique. Par analogique-numérique, nous entendons un modèle qui peut être décrit par des équations reliant des quantités continues et discrètes.

1.2 Méthodes numériquesAveccouple

Résoudre un problème pour un modèle mathématique signifie spécifier un algorithme pour obtenir le résultat requis à partir des données d'origine.

Les algorithmes de solution sont classiquement divisés en :

des algorithmes précis qui permettent d'obtenir le résultat final en un nombre fini d'actions ;

méthodes approximatives - permettent, grâce à certaines hypothèses, de réduire la solution à un problème avec un résultat exact ;

méthodes numériques - impliquent le développement d'un algorithme qui fournit une solution avec une erreur contrôlée donnée.

La résolution de problèmes de mécanique des structures est associée à de grandes difficultés mathématiques, qui sont surmontées à l'aide de méthodes numériques, qui permettent d'obtenir des solutions approximatives, mais satisfaisant des objectifs pratiques, à l'aide d'un ordinateur.

La solution numérique est obtenue par discrétisation et algébraisation du problème aux limites. La discrétisation est le remplacement d'un ensemble continu par un ensemble discret de points. Ces points sont appelés nœuds de grille, et ce n'est qu'à eux que les valeurs de fonction sont recherchées. Dans ce cas, la fonction est remplacée par un ensemble fini de ses valeurs aux nœuds de la grille. En utilisant les valeurs aux nœuds de la grille, les dérivées partielles peuvent être exprimées approximativement. En conséquence, l'équation aux dérivées partielles est transformée en équations algébriques (algébraisation du problème des valeurs limites).

Selon la manière dont la discrétisation et l'algébrisation sont effectuées, différentes méthodes sont distinguées.

La première méthode répandue pour résoudre les problèmes de valeurs limites est la méthode des différences finies (FDM). Dans cette méthode, la discrétisation consiste à couvrir la zone de solution avec une grille et à remplacer un ensemble continu de points par un ensemble discret. Une grille avec des pas constants (grille régulière) est souvent utilisée.

L'algorithme MKR se compose de trois étapes :

1. Construction d'une grille dans une zone donnée. Les valeurs approximatives de la fonction (valeurs nodales) sont déterminées aux nœuds de la grille. Un ensemble de valeurs de nœuds est une fonction de grille.

2. Les dérivées partielles sont remplacées par des expressions de différence. Dans ce cas, la fonction continue est approchée par une fonction de grille. Le résultat est un système d’équations algébriques.

3. Solution du système d'équations algébriques résultant.

Une autre méthode numérique est la méthode des éléments limites (BEM). Elle repose sur la considération d'un système d'équations qui inclut uniquement les valeurs des variables aux limites de la région. Le schéma de discrétisation nécessite uniquement la surface à partitionner. La limite de la région est divisée en un certain nombre d’éléments et on pense qu’il est nécessaire de trouver une solution approximative qui se rapproche du problème de valeur limite d’origine. Ces éléments sont appelés éléments limites. Discrétiser uniquement la frontière conduit à un système d'équations de problème plus petit que discrétiser le corps entier. BEM réduit de un la dimension du problème d’origine.

Lors de la conception de divers objets techniques, la méthode des éléments finis (FEM) est largement utilisée. L’émergence de la méthode des éléments finis est associée à la résolution des problèmes de recherche spatiale dans les années 1950. Actuellement, le champ d'application de la méthode des éléments finis est très étendu et couvre tous les problèmes physiques pouvant être décrits par des équations différentielles. Les avantages les plus importants de la méthode des éléments finis sont les suivants :

1. Il n’est pas nécessaire que les propriétés matérielles des éléments adjacents soient les mêmes. Cela permet d'appliquer la méthode à des corps composés de plusieurs matériaux.

2. Une région courbe peut être approchée à l’aide d’éléments droits ou décrite exactement à l’aide d’éléments courbes.

3. La taille des articles peut être variable. Cela permet d'élargir ou d'affiner le réseau de division de la zone en éléments, si nécessaire.

4. En utilisant la méthode des éléments finis, il est facile de considérer des conditions aux limites avec une charge de surface discontinue, ainsi que des conditions aux limites mixtes.

La résolution de problèmes à l'aide de FEM comprend les étapes suivantes :

1.Partition d'une zone donnée en éléments finis. Numérotation des nœuds et des éléments.

2.Construction de matrices de rigidité par éléments finis.

3. Réduction des charges et impacts appliqués aux éléments finis aux forces nodales.

4.Formation d'un système général d'équations ; en tenant compte des conditions aux limites. Solution du système d'équations résultant.

5. Détermination des contraintes et déformations dans les éléments finis.

Le principal inconvénient de la FEM est la nécessité de discrétiser le corps entier, ce qui conduit à un grand nombre d’éléments finis et donc à des problèmes inconnus. De plus, la FEM conduit parfois à des discontinuités dans les valeurs des grandeurs étudiées, puisque la procédure de la méthode impose des conditions de continuité uniquement aux nœuds.

Pour résoudre le problème, la méthode des éléments finis a été choisie, car elle est la plus optimale pour calculer une structure de forme géométrique complexe.

1.3 Concept général de la méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis consiste à décomposer un modèle mathématique d'une structure en quelques éléments, appelés éléments finis. Les éléments sont unidimensionnels, bidimensionnels et multidimensionnels. Un exemple d'éléments finis est fourni dans la figure 1. Le type d'élément dépend des conditions initiales. L’ensemble des éléments dans lesquels une structure est divisée est appelé maillage d’éléments finis.

La méthode des éléments finis comprend généralement les étapes suivantes :

1. Partitionner la zone en éléments finis. La division d'une zone en éléments commence généralement à partir de sa limite, afin de se rapprocher le plus précisément possible de la forme de la limite. Ensuite, les zones internes sont divisées. Souvent, la division d'une zone en éléments s'effectue en plusieurs étapes. Premièrement, ils sont divisés en grandes parties, dont les limites passent là où les propriétés des matériaux, la géométrie et la charge appliquée changent. Chaque sous-zone est ensuite décomposée en éléments. Après avoir divisé la zone en éléments finis, les nœuds sont numérotés. La numérotation serait une tâche triviale si elle n’affectait pas l’efficacité des calculs ultérieurs. Si l’on considère le système d’équations linéaires résultant, nous pouvons voir que certains éléments non nuls de la matrice des coefficients se trouvent entre les deux lignes ; cette distance est appelée la largeur de bande de la matrice. C'est la numérotation des nœuds qui affecte la largeur de la bande, ce qui signifie que plus la bande est large, plus il faut d'itérations pour obtenir la réponse souhaitée.

logiciel d'algorithme de modélisation ansys

Figure 1 - Quelques éléments finis

2. Détermination de la fonction d'approximation pour chaque élément. A ce stade, la fonction continue requise est remplacée par une fonction continue par morceaux définie sur un ensemble d'éléments finis. Cette procédure peut être effectuée une fois pour un élément de zone typique, puis la fonction résultante peut être utilisée pour d'autres éléments de zone du même type.

3. Combinaison d'éléments finis. A ce stade, les équations relatives aux éléments individuels sont combinées, c'est-à-dire dans un système d'équations algébriques. Le système résultant est un modèle de la fonction continue souhaitée. On obtient la matrice de rigidité.

4. Solution du système d'équations algébriques résultant. La structure réelle est approximée par plusieurs centaines d'éléments finis, et des systèmes d'équations avec plusieurs centaines et milliers d'inconnues apparaissent.

La résolution de tels systèmes d’équations est le principal problème de la mise en œuvre de la méthode des éléments finis. Les méthodes de résolution dépendent de la taille du système d’équations résolvant. À cet égard, des méthodes spéciales de stockage de la matrice de rigidité ont été développées pour réduire la quantité de RAM requise pour cela. Des matrices de rigidité sont utilisées dans chaque méthode d'analyse de résistance utilisant un maillage d'éléments finis.

Pour résoudre des systèmes d'équations, diverses méthodes numériques sont utilisées, qui dépendent de la matrice résultante ; ceci est clairement visible dans le cas où la matrice n'est pas symétrique ; dans ce cas, des méthodes telles que la méthode du gradient conjugué ne peuvent pas être utilisées.

Au lieu d'équations constitutives, une approche variationnelle est souvent utilisée. Parfois, une condition est posée pour garantir une petite différence entre les solutions approximatives et vraies. Étant donné que le nombre d’inconnues dans le système d’équations final est important, la notation matricielle est utilisée. Actuellement, il existe un nombre suffisant de méthodes numériques pour résoudre un système d'équations, ce qui facilite l'obtention du résultat.

2. Analyse algorithmique du problème

2 .1 Énoncé du problème

Il est nécessaire de développer une application qui simule l'état contrainte-déformation d'une structure plate et d'effectuer un calcul similaire dans le système Ansys.

Pour résoudre le problème, il faut : diviser la zone en éléments finis, numéroter les nœuds et les éléments, fixer les caractéristiques du matériau et les conditions aux limites.

Les données initiales du projet sont un schéma d'une structure plate avec une charge répartie appliquée et une fixation (Annexe A), valeurs des caractéristiques du matériau (module d'élasticité -2*10^5 Pa, coefficient de Poisson -0,3), charge 5000H .

Le résultat du cours est l'obtention des mouvements de la pièce dans chaque nœud.

2.2 Description du modèle mathématique

Pour résoudre le problème, la méthode des éléments finis décrite ci-dessus est utilisée. La pièce est divisée en éléments finis triangulaires de nœuds i, j, k (Figure 2).

Figure 2 - Représentation par éléments finis d'un corps.

Les déplacements de chaque nœud ont deux composantes, formule (2.1) :

six composantes de déplacements de nœuds d'éléments forment un vecteur de déplacement (d) :

Le déplacement de tout point à l'intérieur de l'élément fini est déterminé par les relations (2.3) et (2.4) :

En combinant (2.3) et (2.4) en une seule équation, la relation suivante est obtenue :

Les déformations et les déplacements sont liés les uns aux autres comme suit :

En substituant (2.5) dans (2.6), on obtient la relation (2.7) :

La relation (2.7) peut être représentée comme :

où [B] est une matrice de gradient de la forme (2.9) :

Les fonctions de forme dépendent linéairement des coordonnées x, y, et donc la matrice de gradient ne dépend pas des coordonnées du point à l'intérieur de l'élément fini, et les déformations et contraintes à l'intérieur de l'élément fini sont constantes dans ce cas.

Dans un état déformé plan dans un matériau isotrope, la matrice des constantes élastiques [D] est déterminée par la formule (2.10) :

où E est le module élastique et le coefficient de Poisson.

La matrice de rigidité des éléments finis a la forme :

où h e est l'épaisseur, A e est l'aire de l'élément.

L'équation d'équilibre du i-ème nœud a la forme :

Pour prendre en compte les conditions de fixation, il existe la méthode suivante. Soit un système N d'équations (2.13) :

Dans le cas où l'un des supports est immobile, c'est-à-dire U i =0, utilisez la procédure suivante. Soit U 2 =0, alors :

c'est-à-dire que la ligne et la colonne correspondantes sont définies sur zéro et que l'élément diagonal est défini sur un. En conséquence, F 2 est également égal à zéro.

Pour résoudre le système résultant, nous choisissons la méthode gaussienne. L'algorithme de résolution utilisant la méthode de Gauss est divisé en deux étapes :

1. déplacement direct : au moyen de transformations élémentaires sur les rangées, le système est amené à une forme en escalier ou triangulaire, ou il est établi que le système est incompatible. La kème ligne de résolution est sélectionnée, où k = 0…n - 1, et pour chaque ligne suivante, les éléments sont convertis

pour je = k+1, k+2 ... n-1 ; j = k+1,k+2 … n.

2. inverse : les valeurs des inconnues sont déterminées. A partir de la dernière équation du système transformé, la valeur de la variable x n est calculée, après quoi à partir de l'avant-dernière équation, il devient possible de déterminer la variable x n -1 et ainsi de suite.

2. 3 Schéma graphique de l'algorithme

Le diagramme graphique présenté de l'algorithme montre la séquence principale d'actions effectuées lors de la modélisation d'une pièce structurelle. Dans le bloc 1, les données initiales sont saisies. Sur la base des données saisies, l'étape suivante est la construction d'un maillage d'éléments finis. Ensuite, dans les blocs 3 et 4, des matrices de rigidité locale et globale sont construites respectivement. Dans le bloc 5, le système résultant est résolu par la méthode gaussienne. Sur la base de la solution du bloc 6, les mouvements requis dans les nœuds sont déterminés et les résultats sont affichés. Un bref diagramme graphique de l’algorithme est présenté à la figure 7.

Figure 7 - Schéma graphique de l'algorithme

3 . À proposgrammaticalementmise en œuvre réussie de la tâche

3.1 Déviations et tolérances des filetages de tuyaux cylindriques

Le filetage cylindrique du tuyau (GOST 6357-73) a un profil triangulaire avec des sommets et des vallées arrondis. Ce fil est principalement utilisé pour connecter des tuyaux, des raccords de canalisations et des raccords.

Pour obtenir une densité de joint appropriée, des matériaux d'étanchéité spéciaux (fils de lin, fil de plomb rouge, etc.) sont placés dans les espaces formés par la disposition des champs de tolérance entre les cavités des boulons et les saillies des écrous.

Les écarts maximaux des éléments filetés de tuyaux cylindriques pour le diamètre « 1 » des filetages extérieur et intérieur sont indiqués respectivement dans les tableaux 1 et 2.

Tableau 1 - écarts des filetages de tuyaux cylindriques externes (selon GOST 6357 - 73)

Tableau 2 - écarts des filetages cylindriques internes des tuyaux (selon GOST 6357 - 73)

Limiter les écarts du filetage extérieur du diamètre extérieur minimum, formule (3.1) :

dmin=dн + ei (3.1)

où dн est la taille nominale du diamètre extérieur.

Les écarts maximaux du filetage extérieur du diamètre extérieur maximum sont calculés à l'aide de la formule (3.2) :

dmax=dн + es (3.2)

Limiter les écarts des filetages extérieurs de diamètre moyen minimum, formule (3.3) :

d2min=d2 + ei (3.3)

où d2 est la taille nominale du diamètre moyen.

Les écarts limites des filetages extérieurs de diamètre moyen maximum sont calculés à l'aide de la formule (3.4) :

d2max=d2 + es (3.4)

Limiter les écarts du filetage extérieur du diamètre intérieur minimum, formule (3.5) :

d1min=d1 + ei (3,5)

où d1 est la taille nominale du diamètre intérieur.

Les écarts maximaux du filetage extérieur du diamètre intérieur maximum sont calculés à l'aide de la formule (3.6) :

d1max=d1 + es (3.6)

Limiter les écarts du filetage intérieur du diamètre extérieur minimum, formule (3.7) :

Dmin=Dн + EI, (3.7)

où Dн est la taille nominale du diamètre extérieur.

Les écarts maximaux du filetage interne du diamètre extérieur maximal sont calculés à l'aide de la formule (3.8) :

Dmax=Dн + ES (3.8)

Écarts limites des filetages intérieurs de diamètre moyen minimum, formule (3.9) :

D2min=D2 + EI (3,9)

où D2 est la taille nominale du diamètre moyen.

Les écarts limites des filetages internes de diamètre moyen maximum sont calculés à l'aide de la formule (3.10) :

D2max=D2 + ES (3.10)

Écarts limites du filetage intérieur du diamètre intérieur minimum, formule (3.11) :

D1min=D1 + EI (3.11)

où D1 est la taille nominale du diamètre intérieur.

Les écarts maximaux du filetage interne du diamètre interne maximum sont calculés à l'aide de la formule (3.12) :

D1max=D1 + ES (3.12)

Un fragment du croquis du fil est visible sur la figure 6 du chapitre 3.2.

3.2 Mise en œuvre des écarts et tolérances des filetages de tuyaux cylindriques dansLogiciel "Boussole"

Figure 6 - Filetage cylindrique de tuyau avec tolérances.

Les coordonnées des points sont affichées dans le tableau 1 de l'annexe D

Copie d'un thread construit :

Sélectionnez le fil de discussion > Éditeur > copier ;

Insertion du fil :

Nous plaçons le curseur à l'endroit dont nous avons besoin>éditeur>coller.

Le résultat du thread construit peut être vu dans l'annexe D

3.3 Mise en œuvre de la tâchechi dans le langage de programmation C#

Pour implémenter l'algorithme de calcul de résistance, l'environnement de développement MS Visual Studio 2010 a été sélectionné en utilisant le langage C# du paquet . FILETCadre 4.0. En utilisant l'approche de programmation orientée objet, nous allons créer des classes contenant les données nécessaires :

Tableau 3 - Structure des classes d'éléments

Nom de variable

Retards de transactions à une heure précise. La modélisation statique est utilisée pour décrire le comportement d'un objet à tout moment. La modélisation dynamique reflète le comportement d'un objet au fil du temps. La modélisation discrète est utilisée pour afficher un objet à un moment précis.

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Sous-étapes de la première étape de modélisation. Algorithmisation des modèles de systèmes et leur implémentation machine

Informatique, cybernétique et programmation

Formes de présentation des algorithmes de modélisation Sous-étapes de la première étape de modélisation Considérons plus en détail les principales sous-étapes de construction d'un modèle conceptuel du système MC et de sa formalisation, voir la formulation du but et l'énoncé du problème de modélisation machine de le système. Une formulation claire de l'objectif et la formulation de l'étude d'un système spécifique S sont données et l'attention principale est accordée à des questions telles que : la reconnaissance de l'existence de l'objectif et de la nécessité d'une modélisation de la machine ; b choisir une méthode pour résoudre un problème, en tenant compte des ressources disponibles ; en définition...

Conférence 12. Sous-étapes de la première étape de modélisation. Algorithmisation des modèles de systèmes et leur implémentation machine. Principes de construction d'algorithmes de modélisation. Formes de représentation des algorithmes de modélisation

Sous-étapes de la première étape de modélisation

Examinons plus en détail les principales sous-étapes de la construction d'un modèle conceptuel MK système et sa formalisation (voir Fig. 3.1)

1.1. formulation de l'objectif et formulation du problème de modélisation machine du système.Une formulation claire de l'objectif et la formulation de l'étude d'un système spécifique sont données. S et se concentre sur des questions telles que : a) la reconnaissance de l'existence d'un objectif et de la nécessité d'une modélisation des machines ; b) choisir une méthode pour résoudre un problème, en tenant compte des ressources disponibles ; c) déterminer l'ampleur de la tâche et la possibilité de la diviser en sous-tâches. Au cours du processus de modélisation, il est possible de réviser la formulation initiale du problème en fonction de l’objectif de la modélisation et de l’objectif du fonctionnement du système.

1.2. Analyse du problème de modélisation du système.L'analyse comprend les questions suivantes : a) sélection de critères pour évaluer l'efficacité du processus de fonctionnement du système S ; b) détermination des variables endogènes et exogènes du modèle M ; c) sélection des méthodes d'identification possibles ;
d) effectuer une analyse préliminaire du contenu de la deuxième étape d'algorithmique du modèle de système et de sa mise en œuvre machine ; e) effectuer une analyse préliminaire du contenu de la troisième étape d'obtention et d'interprétation des résultats de la modélisation du système.

1.3. Déterminer les exigences en matière d'informations initiales sur l'objet de modélisation et organiser sa collection.Après avoir posé le problème de la modélisation du système S les besoins en informations sont déterminés, à partir desquels sont obtenues les données initiales qualitatives et quantitatives nécessaires pour résoudre ce problème. A cette sous-étape, les opérations suivantes sont effectuées :
a) sélection des informations nécessaires sur le système S et environnement extérieur E ;
b) préparation de données a priori ; c) analyse des données expérimentales disponibles ; d) sélection des méthodes et moyens de traitement préliminaire des informations sur le système.

1.4. Faire des hypothèses et faire des hypothèses.Hypothèses lors de la construction d'un modèle de système S servir à combler les « lacunes » dans la compréhension du problème par le chercheur. Des hypothèses sont également avancées concernant les résultats possibles de la modélisation du système. S, dont la validité est vérifiée lors d’une expérimentation machine. Les hypothèses incluent que certaines données sont inconnues ou ne peuvent pas être obtenues. Des hypothèses peuvent être faites concernant des données connues qui ne répondent pas aux exigences pour résoudre le problème. Des hypothèses permettent de simplifier le modèle en fonction du niveau de modélisation retenu. Lors de la formulation d'hypothèses et de l'élaboration d'hypothèses, les facteurs suivants sont pris en compte : a) la quantité d'informations disponibles pour résoudre les problèmes ; b) les sous-tâches pour lesquelles les informations sont insuffisantes ; c) les restrictions sur les ressources temporelles pour résoudre les problèmes ; d) résultats de simulation attendus.

1.5. Définition des paramètres et variables du modèle.Avant de passer à la description du modèle mathématique, il est nécessaire de déterminer les paramètres du système, variables d'entrée et de sortie, influences de l'environnement extérieur et évaluer le degré de leur influence sur le fonctionnement du système dans son ensemble. La description de chaque paramètre et variable doit être donnée sous la forme suivante : a) définition et brève description ; b) symbole de désignation et unité de mesure ; c) gamme de changements ; d) lieu d'application dans le modèle.

1.6. Établir le contenu principal du modèle.À cette sous-étape, le contenu principal du modèle est déterminé et une méthode de construction d'un modèle de système est sélectionnée, qui est développée sur la base d'hypothèses et d'hypothèses acceptées. Les fonctionnalités suivantes sont prises en compte :
a) formulation de l'objectif et formulation du problème de modélisation du système ;
b) structure du système S et algorithmes de son comportement, influence de l'environnement extérieur E ; c) les méthodes et moyens possibles pour résoudre le problème de modélisation.

1.7. Justification des critères d'évaluation de l'efficacité du système.Pour évaluer la qualité du processus de fonctionnement du système modélisé, il est nécessaire de déterminer un ensemble de critères d'évaluation de l'efficacité en fonction des paramètres et variables du système. Cette fonction représente la surface de réponse dans la région étudiée des changements de paramètres et de variables et permet de déterminer la réponse du système.

1.8. Définition de procédures de rapprochement.Pour approximer les processus réels se produisant dans le système S, Trois types de procédures sont habituellement utilisées : a) déterministe ; b) probabiliste ; c) détermination des valeurs moyennes.

Avec une procédure déterministe, les résultats de simulation sont déterminés de manière unique à partir d'un ensemble donné d'influences d'entrée, de paramètres et de variables système. S. Dans ce cas, aucun élément aléatoire n’influence les résultats de la simulation. Une procédure probabiliste (randomisée) est utilisée lorsque des éléments aléatoires, y compris des influences environnementales E, influencer les caractéristiques du processus de fonctionnement du système S et lorsqu'il est nécessaire d'obtenir des informations sur les lois de distribution des variables de sortie. La procédure de détermination des valeurs moyennes est utilisée lorsque, lors de la modélisation d'un système, les valeurs moyennes des variables de sortie en présence d'éléments aléatoires présentent un intérêt.

1.9. Description du modèle conceptuel du système.A cette sous-étape de construction d'un modèle de système : a) le modèle conceptuel est décrit MK en termes et concepts abstraits ; b) la fonction objectif est spécifiée ; c) une description du modèle est donnée à l'aide de schémas mathématiques standard ;
d) les hypothèses et hypothèses sont finalement acceptées ; e) le choix de la procédure d'approximation des processus réels lors de la construction d'un modèle est justifié.

1.10. Tester la validité du modèle conceptuel.Après le modèle conceptuel MK décrit, il est nécessaire de vérifier la validité de certains concepts du modèle avant de passer à l'étape suivante de la modélisation du système. S. Une des méthodes de vérification de modèle MK : l'utilisation d'opérations de transition inverse, qui permettent d'analyser le modèle, de revenir aux approximations acceptées et enfin de reconsidérer les processus réels se produisant dans le système simulé. Validation du modèle conceptuel MK devrait inclure : a) la vérification de l'intention du modèle ; b) évaluation de la fiabilité des informations initiales ; c) considération de la formulation du problème de modélisation ; d) analyse des approximations acceptées ; e) recherche d'hypothèses et d'hypothèses.

1.11. Rédaction de la documentation technique pour la première étape.À la fin de la phase de construction du modèle conceptuel MK et sa formalisation, un rapport technique est établi pour l'étape, qui comprend :
a) énoncé détaillé du problème de modélisation du système S ; b) analyse du problème de modélisation du système ; c) les critères d'évaluation de l'efficacité du système ;
d) paramètres et variables du modèle de système ; e) les hypothèses et hypothèses adoptées lors de la construction du modèle ; f) description du modèle en termes et concepts abstraits ; g) description des résultats attendus de la modélisation du système S.

3.3. Algorithmisation des modèles de systèmes et leur implémentation machine

Lors de la deuxième étape de modélisation, étape d'algorithmique du modèle et de sa mise en œuvre machine, le modèle mathématique formé lors de la première étape est incarné dans un modèle machine spécifique.

Principes de construction d'algorithmes de modélisation

Processus de fonctionnement du système S peut être considéré comme un changement séquentiel de ses états dans un espace dimensionnel. Évidemment, la tâche de modéliser le processus de fonctionnement du système étudié S est la construction de fonctions z , sur la base duquel il est possible de calculer les caractéristiques intéressantes dans le processus de fonctionnement du système. Pour ce faire, il doit y avoir des relations reliant les fonctions z avec des variables, des paramètres et du temps, ainsi que des conditions initiales à un moment donné.

Pour un système déterministe, dans lequel il n'y a pas de facteurs aléatoires, l'état du processus à un moment donné peut être déterminé sans ambiguïté à partir des relations du modèle mathématique basé sur des conditions initiales connues. Si le pas est suffisamment petit, il est alors possible d'obtenir des valeurs approximatives z.

Pour un système stochastique, ceux. système influencé par des facteurs aléatoires, fonction des états du processus z à l'instant donné et les relations du modèle, déterminer uniquement la distribution de probabilité pour l'instant donné. Dans le cas général, les conditions initiales peuvent être aléatoires, spécifiées par la distribution de probabilité correspondante. Dans ce cas, la structure de l'algorithme de modélisation des systèmes stochastiques correspond à un système déterministe. Seulement, au lieu d'un état, il est nécessaire de calculer la distribution de probabilité pour les états possibles.

Ce principe de construction d'algorithmes de modélisation est appelé principe. C'est le principe le plus universel qui nous permet de déterminer les états séquentiels du processus de fonctionnement du système. S à intervalles spécifiés. Mais du point de vue des coûts de temps informatique, cela s'avère parfois peu rentable.

Lorsque l'on considère les processus de fonctionnement de certains systèmes, on peut constater qu'ils sont caractérisés par deux types d'états : 1) des états spéciaux, inhérents au processus de fonctionnement du système seulement à certains moments dans le temps (moments d'entrée ou d'influences de contrôle , perturbations environnementales, etc.) ; 2) pas spécial, dans lequel se déroule le processus le reste du temps. Les états spéciaux se caractérisent également par le fait que les fonctions des états à ces moments changent brusquement et qu'entre les états spéciaux, le changement de coordonnées se produit de manière fluide et continue ou ne se produit pas du tout. Ainsi, lors de la modélisation du système S ce n'est qu'à partir de ses états particuliers aux moments où ces états se produisent que l'on peut obtenir les informations nécessaires à la construction de la fonction. Évidemment, pour le type de systèmes décrits, des algorithmes de modélisation peuvent être construits en utilisant le « principe des états spéciaux ». Désignons le changement d'état par saut (relais) z comme, et le « principe des États spéciaux » comme principe.

Le « principe » permet à un certain nombre de systèmes de réduire considérablement le coût du temps informatique pour la mise en œuvre des algorithmes de modélisation par rapport au « principe ». La logique de construction d'un algorithme de modélisation qui met en œuvre le « principe » diffère de celle considérée pour le « principe » uniquement en ce qu'elle inclut une procédure permettant de déterminer l'instant correspondant au prochain état particulier du système. S. Pour étudier le processus de fonctionnement des grands systèmes, il est rationnel d'utiliser le principe combiné de construction d'algorithmes de modélisation combinant les avantages de chacun des principes considérés.

Formes de représentation des algorithmes de modélisation

Un diagramme est une forme pratique de représentation de la structure logique des modèles. À différentes étapes de la modélisation, des diagrammes logiques généralisés et détaillés d'algorithmes de modélisation, ainsi que des diagrammes de programme, sont compilés.

Généralisé (élargi) diagramme d'algorithme de modélisationprécise la procédure générale de modélisation des systèmes sans plus de détails. Le diagramme généralisé montre ce qui doit être fait lors de la prochaine étape de modélisation.

Schéma détaillé de l'algorithme de modélisationcontient des précisions qui manquent dans le schéma généralisé. Un diagramme détaillé montre non seulement ce qui doit être fait lors de la prochaine étape de la modélisation du système, mais également comment le faire.

Schéma logique de l'algorithme de modélisationreprésente la structure logique du modèle de processus de fonctionnement du système S. Un diagramme logique spécifie une séquence chronologique d'opérations logiques associées à la résolution d'un problème de modélisation.

Aperçu du programme affiche l'ordre de mise en œuvre logicielle de l'algorithme de modélisation à l'aide d'un logiciel mathématique et d'un langage algorithmique spécifiques.

Le diagramme logique de l'algorithme et le diagramme du programme peuvent être implémentés sous forme agrandie et détaillée. Les symboles les plus couramment utilisés dans la pratique de la modélisation informatique sont présentés dans la Fig. 3.3, qui montre les symboles de base, spécifiques et spéciaux du processus. Ceux-ci incluent : le symbole principal : un processus; symboles spécifiques au processus : b décision ; c préparation ; g processus prédéfini; d opération manuelle; Symboles spéciaux : le connecteur ; g terminateur.

Un exemple d'image du diagramme de l'algorithme de modélisation est présenté sur la Fig. 3.3, z.

Généralement, un diagramme est la forme la plus pratique pour représenter la structure des algorithmes de modélisation, par exemple sous la forme diagrammes graphiques (Fig. 3.3, i). Ici début, fin, calcul, formation, vérification de l'état, comptoir, publier le résultat,, où g le nombre total d'opérateurs de l'algorithme de modélisation. Pour expliquer le diagramme graphique de l'algorithme, le texte fournit une divulgation du contenu des opérateurs, ce qui simplifie la présentation de l'algorithme, mais complique son utilisation.

a b h je

en g

df

Riz. 3.3. Symboles et diagrammes d'algorithmes de modélisation

LISTE BIBLIOGRAPHIQUE

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Maternelle 7

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