Tâche 5.

Condition: L'appareil peut être assemblé à partir de pièces de haute qualité et de pièces de qualité ordinaire. 40 % des appareils sont assemblés à partir de pièces de haute qualité.

Pour un appareil de haute qualité, sa fiabilité sur une période de temps t est de 0,95 ; pour un appareil ordinaire, sa fiabilité est de 0,7. L'appareil a été testé pendant un temps t et a fonctionné parfaitement.

Trouvez la probabilité qu'il soit assemblé à partir de pièces de haute qualité.

Solution: H 1 - l'appareil est assemblé à partir de pièces de haute qualité,

N 2 - l'appareil est assemblé à partir de pièces de qualité ordinaire.

La probabilité de ces hypothèses avant l'expérience :

À la suite de l'expérience, l'événement A a été observé : l'appareil a fonctionné parfaitement pendant le temps t.

Les probabilités conditionnelles de cet événement sous les hypothèses H 1 et H 2 sont égales :

On retrouve la probabilité de l'hypothèse H 1 après l'expérience :

probabilité racine moyenne quadratique variance mathématique

Statistiques mathématiques

Exercice 1.

Condition:Établir une loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X, calculez l'espérance mathématique, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire.

Le chasseur tire sur le gibier jusqu'à ce qu'il touche, mais ne peut tirer plus de trois coups. La probabilité de réussir chaque coup est de 0,6. Établissez une loi de distribution pour la variable aléatoire X - le nombre de coups tirés par le tireur. Calculez l'espérance mathématique, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire.

Solution: La probabilité que le nombre d'échecs soit nul est de 0,6

• - la probabilité que le nombre de ratés soit de 1 est de 0,4 · 0,6 = 0,24 (manqué dans le premier, touché dans le second)
• - la probabilité que le nombre de ratés soit de 2 est de 0,4·0,4·0,6=0,096 (manqué dans les deux premiers, touché dans le troisième)
• - la probabilité que le nombre d'échecs soit de 3 est de 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 (manqué les trois premiers)

L'espérance mathématique est 0·0,6+1·0,24+2·0,096+3·0,064 = 0,624

M(x*x)=0,24 +0,384+0,576=1,2

D(x)=1,2-0,389376=0,810624

Tâche 2.

Condition: Valeur aléatoire X donné par la fonction de distribution F(X).

L'un des concepts les plus importants de la théorie des probabilités est le concept Variable aléatoire.

Aléatoire appelé taille, qui, à la suite de tests, prend certaines valeurs possibles inconnues à l'avance et qui dépendent de raisons aléatoires qui ne peuvent être prises en compte à l'avance.

Les variables aléatoires sont désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin X, Oui, Z etc. ou en lettres majuscules de l'alphabet latin avec un index inférieur droit, et les valeurs que peuvent prendre les variables aléatoires - dans les petites lettres correspondantes de l'alphabet latin X, oui, z etc.

Le concept de variable aléatoire est étroitement lié au concept d'événement aléatoire. Connexion avec un événement aléatoire réside dans le fait que l'adoption d'une certaine valeur numérique par une variable aléatoire est un événement aléatoire caractérisé par la probabilité .

En pratique, il existe deux principaux types de variables aléatoires :

1. Variables aléatoires discrètes ;

2. Variables aléatoires continues.

Une variable aléatoire est une fonction numérique d'événements aléatoires.

Par exemple, une variable aléatoire est le nombre de points obtenus en lançant un dé, ou la taille d'un élève sélectionné au hasard dans un groupe d'étude.

Variables aléatoires discrètes sont appelées variables aléatoires qui ne prennent que des valeurs éloignées les unes des autres et pouvant être répertoriées à l'avance.

Loi de répartition(fonction de distribution et série de distribution ou densité de probabilité) décrivent complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines caractéristiques numériques de la grandeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son éventuel écart par rapport à celle-ci) pour répondre à la question posée. Considérons les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires discrètes.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète toute relation est appelée , établir un lien entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes .

La loi de distribution d'une variable aléatoire peut être représentée comme les tables:

			…	…
			…	…

La somme des probabilités de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire est égale à un, c'est-à-dire

La loi de distribution peut être représentée graphiquement: les valeurs possibles d'une variable aléatoire sont portées le long de l'axe des abscisses, et les probabilités de ces valeurs sont portées le long de l'axe des ordonnées ; les points résultants sont reliés par des segments. La polyligne construite est appelée polygone de distribution.

Exemple. Un chasseur équipé de 4 cartouches tire sur le gibier jusqu'à ce qu'il réussisse le premier coup ou qu'il épuise toutes les cartouches. La probabilité de toucher au premier coup est de 0,7, à chaque coup suivant, elle diminue de 0,1. Etablir une loi de répartition du nombre de cartouches dépensées par un chasseur.

Solution. Puisqu'un chasseur, possédant 4 cartouches, peut tirer quatre coups, alors la variable aléatoire X- le nombre de cartouches dépensées par le chasseur peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4. Pour retrouver les probabilités correspondantes, on introduit les événements :

- "frapper avec je- oh coup de feu", ;

- "manquer quand je- om shot », et les événements et sont indépendants par paire.

Selon les conditions problématiques, nous avons :

,

En utilisant le théorème de multiplication pour les événements indépendants et le théorème d'addition pour les événements incompatibles, on trouve :

(le chasseur a touché la cible du premier coup) ;

(le chasseur a touché la cible avec le deuxième coup) ;

(le chasseur a touché la cible au troisième coup) ;

(le chasseur a touché la cible au quatrième coup ou a raté les quatre fois).

Vérifiez : - vrai.

Ainsi, la loi de distribution d'une variable aléatoire X a la forme :

	0,7	0,18	0,06	0,06

Exemple. Un ouvrier fait fonctionner trois machines. La probabilité que dans une heure la première machine ne nécessite pas de réglage est de 0,9, la seconde de 0,8 et la troisième de 0,7. Etablir une loi de répartition du nombre de machines qui nécessiteront un réglage dans l'heure.

Solution. Valeur aléatoire X- le nombre de machines qui nécessiteront un réglage dans une heure peut prendre les valeurs 0,1, 2, 3. Pour trouver les probabilités correspondantes, on introduit les événements :

- “je- la machine nécessitera un réglage dans une heure, » ;

- “je- la machine ne nécessitera aucun réglage dans l'heure, » .

Selon les conditions du problème on a :

, .

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