Comment trouver le domaine d'une fonction ? Les collégiens sont souvent confrontés à cette tâche.

Les parents devraient aider leurs enfants à comprendre ce problème.

Spécification d'une fonction.

Rappelons les termes fondamentaux de l'algèbre. En mathématiques, une fonction est la dépendance d’une variable par rapport à une autre. On peut dire qu’il s’agit d’une loi mathématique stricte qui relie deux nombres d’une certaine manière.

En mathématiques, lors de l'analyse de formules, les variables numériques sont remplacées caractères alphabétiques. Les plus couramment utilisés sont x (« x ») et y (« y »). La variable x est appelée l'argument et la variable y est appelée la variable dépendante ou fonction de x.

Exister différentes manières définition de dépendances de variables.

Listons-les :

1. Type analytique.
2. Vue tabulaire.
3. Affichage graphique.

La méthode analytique est représentée par la formule. Regardons des exemples : y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). La formule y=2x+3 est typique pour une fonction linéaire. En substituant la valeur numérique de l'argument dans la formule donnée, nous obtenons la valeur de y.

La méthode tabulaire est un tableau composé de deux colonnes. La première colonne est réservée aux valeurs X et dans la colonne suivante, les données du joueur sont enregistrées.

La méthode graphique est considérée comme la plus visuelle. Un graphique est un affichage de l'ensemble de tous les points d'un plan.

Pour construire un graphique, un système de coordonnées cartésiennes est utilisé. Le système se compose de deux lignes perpendiculaires. Des segments unitaires identiques sont posés sur les axes. Le comptage s'effectue à partir du point central d'intersection des droites.

La variable indépendante indique ligne horizontale. C'est ce qu'on appelle l'axe des abscisses. La ligne verticale (axe y) affiche la valeur numérique de la variable dépendante. Les points sont marqués à l'intersection des perpendiculaires à ces axes. En reliant les points entre eux, on obtient une ligne continue. C'est la base du planning.

Types de dépendances variables

Définition.

En général, la dépendance est présentée sous la forme d'une équation : y=f(x). De la formule, il s'ensuit que pour chaque valeur du nombre x, il existe un certain nombre y. La valeur du jeu, qui correspond au nombre x, est appelée valeur de la fonction.

Toutes les valeurs possibles que la variable indépendante acquiert forment le domaine de définition de la fonction. En conséquence, l'ensemble des nombres de la variable dépendante détermine la plage de valeurs de la fonction. Le domaine de définition comprend toutes les valeurs de l'argument pour lesquelles f(x) a un sens.

La tâche initiale dans l’étude des lois mathématiques est de trouver le domaine de définition. Ce terme doit être correctement défini. DANS sinon tous les autres calculs seront inutiles. Après tout, le volume de valeurs est formé sur la base des éléments du premier ensemble.

La portée d'une fonction dépend directement des contraintes. Les limitations sont causées par l'incapacité d'effectuer certaines opérations. Il existe également des limites à l'utilisation de valeurs numériques.

En l’absence de restrictions, le domaine de définition est l’ensemble de l’espace numérique. Le signe de l'infini a un symbole horizontal en forme de huit. L'ensemble des nombres s'écrit ainsi : (-∞; ∞).

DANS certains cas le tableau de données se compose de plusieurs sous-ensembles. La portée des intervalles ou espaces numériques dépend du type de loi de changement de paramètre.

Voici une liste de facteurs qui influencent les restrictions :

• proportionnalité inverse;
• racine arithmétique ;
• exponentiation;
• dépendance logarithmique;
• formes trigonométriques.

S'il existe plusieurs de ces éléments, la recherche de restrictions est divisée pour chacun d'eux. Le plus gros problème représente l’identification des points critiques et des lacunes. La solution au problème sera de réunir tous les sous-ensembles numériques.

Ensemble et sous-ensemble de nombres

À propos des ensembles.

Le domaine de définition est exprimé par D(f), et le signe d'union est représenté par le symbole ∪. Tous les intervalles numériques sont mis entre parenthèses. Si la limite du site n'est pas incluse dans l'ensemble, alors une parenthèse semi-circulaire est placée. Sinon, lorsqu'un nombre est inclus dans un sous-ensemble, des crochets sont utilisés.

La proportionnalité inverse est exprimée par la formule y=k/x. Le graphe de fonctions est une ligne courbe composée de deux branches. C'est ce qu'on appelle communément une hyperbole.

Puisque la fonction est exprimée sous forme de fraction, trouver le domaine de définition revient à analyser le dénominateur. Il est bien connu qu’en mathématiques, la division par zéro est interdite. Résoudre le problème revient à égaliser le dénominateur à zéro et à trouver les racines.

Voici un exemple :

Étant donné : y=1/(x+4). Trouvez le domaine de définition.

1. Nous assimilons le dénominateur à zéro.
   x+4=0
2. Trouver la racine de l'équation.
   x=-4
3. Nous définissons l'ensemble de toutes les valeurs possibles de l'argument.
   ré(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Réponse : Le domaine de la fonction est constitué de tous les nombres réels sauf -4.

La valeur d'un nombre sous le signe racine carrée ne peut pas être négative. Dans ce cas, définir une fonction avec une racine se réduit à résoudre une inégalité. L'expression radicale doit être supérieure à zéro.

La zone de détermination de la racine est liée à la parité de l'indicateur racine. Si l'indicateur est divisible par 2, alors l'expression n'a de sens que si elle est positive. Un nombre impair de l'indicateur indique l'admissibilité de toute valeur de l'expression radicale : à la fois positive et négative.

Les inégalités se résolvent de la même manière que les équations. Il n'y a qu'une seule différence. Après avoir multiplié les deux côtés de l’inégalité par un nombre négatif, le signe doit être inversé.

Si Racine carrée est au dénominateur, alors nous devrions imposer condition supplémentaire. La valeur numérique ne doit pas être nulle. Les inégalités entrent dans la catégorie des inégalités strictes.

Fonctions logarithmiques et trigonométriques

La forme logarithmique est logique pour les nombres positifs. Ainsi, le domaine de la fonction logarithmique est similaire à la fonction racine carrée, à l’exception de zéro.

Considérons un exemple de dépendance logarithmique : y=log(2x-6). Trouvez le domaine de définition.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Réponse : (3 ; +∞).

Le domaine de définition de y=sin x et y=cos x est l'ensemble de tous les nombres réels. Il existe des restrictions pour la tangente et la cotangente. Ils sont associés à la division par le cosinus ou le sinus d'un angle.

La tangente d'un angle est déterminée par le rapport du sinus au cosinus. Indiquons les valeurs d'angle pour lesquelles la valeur tangente n'existe pas. La fonction y=tg x a du sens pour toutes les valeurs de l'argument sauf x=π/2+πn, n∈Z.

Le domaine de définition de la fonction y=ctg x est l'ensemble des nombres réels, à l'exclusion de x=πn, n∈Z. Si l'argument est égal au nombre π ou à un multiple de π, le sinus de l'angle est nul. En ces points (asymptotes), la cotangente ne peut pas exister.

Les premières tâches pour identifier le domaine de définition commencent dès les cours de 7e année. Lorsqu’il est initié pour la première fois à cette section de l’algèbre, l’étudiant doit clairement comprendre le sujet.

Il convient de noter que ce terme accompagnera l'étudiant, puis l'étudiant, tout au long de la période d'études.

Toute expression avec une variable a sa propre portée valeurs acceptables là où il existe. ODZ doit toujours être pris en compte lors de la prise de décision. S'il est absent, vous risquez d'obtenir un résultat incorrect.

Cet article montrera comment trouver correctement ODZ et utiliser des exemples. L’importance d’indiquer la DZ lors de la prise de décision sera également abordée.

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Valeurs de variables valides et invalides

Cette définition est liée aux valeurs autorisées de la variable. Lorsque nous introduisons la définition, voyons à quel résultat elle conduira.

Dès la 7e année, nous commençons à travailler avec les nombres et les expressions numériques. Les définitions initiales avec des variables passent ensuite à la signification des expressions avec des variables sélectionnées.

Lorsqu'il existe des expressions avec des variables sélectionnées, certaines d'entre elles peuvent ne pas satisfaire. Par exemple, une expression de la forme 1 : a, si a = 0, alors cela n'a pas de sens, puisqu'il est impossible de diviser par zéro. Autrement dit, l'expression doit avoir des valeurs qui conviennent dans tous les cas et donneront une réponse. En d’autres termes, ils ont du sens avec les variables existantes.

Définition 1

S'il existe une expression avec des variables, cela n'a de sens que si la valeur peut être calculée en les remplaçant.

Définition 2

S'il existe une expression avec des variables, cela n'a aucun sens lorsque, lors de leur substitution, la valeur ne peut pas être calculée.

Autrement dit, cela implique une définition complète

Définition 3

Les variables admissibles existantes sont les valeurs pour lesquelles l'expression a un sens. Et si cela n’a pas de sens, alors ils sont considérés comme inacceptables.

Pour clarifier ce qui précède : s’il y a plus d’une variable, alors il peut y avoir une paire de valeurs appropriées.

Exemple 1

Par exemple, considérons une expression de la forme 1 x - y + z, où il y a trois variables. Sinon, vous pouvez l'écrire sous la forme x = 0, y = 1, z = 2, tandis qu'une autre entrée a la forme (0, 1, 2). Ces valeurs sont dites valides, ce qui signifie que la valeur de l'expression peut être trouvée. Nous obtenons que 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. De là, nous voyons que (1, 1, 2) sont inacceptables. La substitution entraîne une division par zéro, c'est-à-dire 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Qu’est-ce qu’ODZ ?

Plage de valeurs acceptables – élément important lors de l’évaluation d’expressions algébriques. Par conséquent, il convient d’y prêter attention lors des calculs.

Définition 4

Zone ODZ est l'ensemble des valeurs autorisées pour une expression donnée.

Regardons un exemple d'expression.

Exemple 2

Si nous avons une expression de la forme 5 z - 3, alors l'ODZ a la forme (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Il s'agit de la plage de valeurs valides qui satisfait la variable z pour une expression donnée.

S'il existe des expressions de la forme z x - y, alors il est clair que x ≠ y, z prend n'importe quelle valeur. C'est ce qu'on appelle les expressions ODZ. Il faut en tenir compte pour ne pas obtenir une division par zéro lors d'une substitution.

La plage de valeurs admissibles et la plage de définition ont la même signification. Seul le second d'entre eux est utilisé pour les expressions, et le premier est utilisé pour les équations ou les inégalités. Avec l'aide de DL, l'expression de l'inégalité prend tout son sens. Le domaine de définition de la fonction coïncide avec la plage de valeurs admissibles de la variable x pour l'expression f (x).

Comment trouver ODZ ? Exemples, solutions

Trouver l'ODZ signifie trouver toutes les valeurs valides qui correspondent à une fonction ou une inégalité donnée. Le non-respect de ces conditions peut entraîner des résultats incorrects. Pour trouver l'ODZ, il est souvent nécessaire de passer par des transformations dans une expression donnée.

Il existe des expressions où leur calcul est impossible :

• s'il y a division par zéro ;
• prendre la racine d'un nombre négatif ;
• la présence d’un indicateur entier négatif – uniquement pour les nombres positifs ;
• calculer le logarithme d'un nombre négatif ;
• domaine de définition de la tangente π 2 + π · k, k ∈ Z et de la cotangente π · k, k ∈ Z ;
• trouver la valeur de l'arc sinus et de l'arc cosinus d'un nombre pour une valeur n'appartenant pas à [ - 1 ; 1 ] .

Tout cela montre à quel point il est important d’avoir ODZ.

Exemple 3

Trouver l'expression ODZ x 3 + 2 x y − 4 .

Solution

N'importe quel nombre peut être cubique. Cette expression n'a pas de fraction, donc les valeurs de x et y peuvent être quelconques. Autrement dit, ODZ est n'importe quel nombre.

Répondre: x et y – toutes les valeurs.

Exemple 4

Trouvez l'ODZ de l'expression 1 3 - x + 1 0.

Solution

On peut voir qu’il existe une fraction dont le dénominateur est zéro. Cela signifie que pour toute valeur de x, nous obtiendrons une division par zéro. Cela signifie que nous pouvons conclure que cette expression est considérée comme indéfinie, c'est-à-dire qu'elle n'a aucune responsabilité supplémentaire.

Répondre: ∅ .

Exemple 5

Trouvez l'ODZ de l'expression donnée x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Solution

La présence d'une racine carrée signifie que cette expression doit être supérieure ou égale à zéro. Si c’est négatif, cela n’a aucun sens. Cela signifie qu'il faut écrire une inégalité de la forme x + 2 · y + 3 ≥ 0. Autrement dit, il s'agit de la plage souhaitée de valeurs acceptables.

Répondre: ensemble de x et y, où x + 2 y + 3 ≥ 0.

Exemple 6

Déterminez l'expression ODZ de la forme 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Solution

Par condition, nous avons une fraction, donc son dénominateur ne doit pas être égal à zéro. On obtient que x + 1 - 1 ≠ 0. L'expression radicale a toujours un sens lorsqu'elle est supérieure ou égale à zéro, c'est-à-dire x + 1 ≥ 0. Puisqu'il a un logarithme, son expression doit être strictement positive, c'est-à-dire x 2 + 3 > 0. La base du logarithme doit également avoir une valeur positive et différente de 1, alors on ajoute les conditions x + 8 > 0 et x + 8 ≠ 1. Il s'ensuit que l'ODZ souhaité prendra la forme :

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

En d’autres termes, on parle d’un système d’inégalités à une variable. La solution conduira à la notation ODZ suivante [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Répondre: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Pourquoi est-il important de prendre en compte DPD lors de la conduite du changement ?

Lors des transformations identitaires, il est important de retrouver l’ODZ. Il existe des cas où l'existence d'ODZ ne se produit pas. Pour comprendre si une expression donnée a une solution, vous devez comparer la VA des variables de l'expression d'origine et la VA de celle résultante.

Transformations identitaires :

• peut ne pas affecter DL ;
• peut conduire à l’expansion ou à l’ajout de DZ ;
• peut réduire la DZ.

Regardons un exemple.

Exemple 7

Si nous avons une expression de la forme x 2 + x + 3 · x, alors son ODZ est définie sur tout le domaine de définition. Même en apportant des termes similaires et en simplifiant l'expression, l'ODZ ne change pas.

Exemple 8

Si on prend l’exemple de l’expression x + 3 x − 3 x, alors les choses sont différentes. Nous avons une expression fractionnaire. Et nous savons que la division par zéro est inacceptable. Alors l'ODZ a la forme (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . On voit que zéro n’est pas une solution, on l’ajoute donc avec une parenthèse.

Prenons un exemple avec la présence d'une expression radicale.

Exemple 9

S'il existe x - 1 · x - 3, alors vous devez faire attention à l'ODZ, car il doit s'écrire sous la forme de l'inégalité (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Il est possible de résoudre par la méthode des intervalles, alors on constate que l'ODZ prendra la forme (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Après avoir transformé x - 1 · x - 3 et appliqué la propriété des racines, nous avons que l'ODZ peut être complété et tout peut s'écrire sous la forme d'un système d'inégalités de la forme x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. En le résolvant, nous trouvons que [ 3 , + ∞) . Cela signifie que l'ODZ s'écrit complètement comme suit : (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Les transformations qui réduisent la DZ doivent être évitées.

Exemple 10

Considérons un exemple de l'expression x - 1 · x - 3, lorsque x = - 1. Lors de la substitution, nous obtenons que - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Si nous transformons cette expression et la mettons sous la forme x - 1 · x - 3, alors lors du calcul, nous constatons que 2 - 1 · 2 - 3 l'expression n'a aucun sens, puisque l'expression radicale ne doit pas être négative.

Il faut adhérer à des transformations identiques que l'ODZ ne changera pas.

S'il existe des exemples qui le développent, alors il doit être ajouté au DL.

Exemple 11

Regardons l'exemple d'une fraction de la forme x x 3 + x. Si nous annulons par x, alors nous obtenons cela 1 x 2 + 1. Ensuite l'ODZ se développe et devient (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . De plus, lors du calcul, nous travaillons déjà avec la deuxième fraction simplifiée.

En présence de logarithmes, la situation est légèrement différente.

Exemple 12

S'il existe une expression de la forme ln x + ln (x + 3), elle est remplacée par ln (x · (x + 3)), basée sur la propriété du logarithme. De cela, nous pouvons voir que l'ODZ de (0 , + ∞) à (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Par conséquent, pour déterminer l'ODZ ln (x · (x + 3)), il est nécessaire d'effectuer des calculs sur l'ODZ, c'est-à-dire l'ensemble (0, + ∞).

Lors de la résolution, il faut toujours faire attention à la structure et au type d’expression donnée par la condition. Si la zone de définition est trouvée correctement, le résultat sera positif.

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En mathématiques, il existe un assez petit nombre fonctions élémentaires, dont la portée est limitée. Toutes les autres fonctions « complexes » ne sont que des combinaisons et des combinaisons de celles-ci.

1. Fonction fractionnaire - restriction sur le dénominateur.

2. Racine de degré pair - restriction de l'expression radicale.

3. Logarithmes - restrictions sur la base du logarithme et de l'expression sous-logarithmique.

3. Trigonométriques tg(x) et ctg(x) - restriction sur l'argument.

Pour la tangente :

4. Fonctions trigonométriques inverses.

arc sinus	arc cosinus	Arctangente, Arctangente

Ensuite, les exemples suivants sont résolus sur le thème « Domaine de définition des fonctions ».

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Exemple 5

Exemple 6

Exemple 7

Exemple 8

Exemple 9

Exemple 10

Exemple 11

Exemple 12

Exemple 13

Exemple 14

Exemple 15

Exemple 16

Un exemple de recherche du domaine de définition de la fonction n°1

Trouver le domaine de définition de toute fonction linéaire, c'est-à-dire fonctions du premier degré :

y = 2x + 3 - l'équation définit une ligne droite sur un plan.

Examinons attentivement la fonction et réfléchissons aux valeurs numériques que nous pouvons substituer dans l'équation à la place de la variable x ?

Essayons de remplacer la valeur x=0

Puisque y = 2 0 + 3 = 3 - a reçu une valeur numérique, donc la fonction existe pour la valeur donnée de la variable x=0.

Essayons de remplacer la valeur x=10

puisque y = 2·10 + 3 = 23 - la fonction existe pour la valeur donnée de la variable x=10.

Essayons de remplacer la valeur x=-10

puisque y = 2·(-10) + 3 = -17 - la fonction existe pour la valeur donnée de la variable x = -10.

L'équation définit une ligne droite sur un plan, et une ligne droite n'a ni début ni fin, elle existe donc pour toutes les valeurs de x.

Notez que quelles que soient les valeurs numériques que nous substituons dans une fonction donnée au lieu de x, nous obtiendrons toujours la valeur numérique de la variable y.

Par conséquent, la fonction existe pour toute valeur x ∈ R, ou on l'écrit comme ceci : D(f) = R

Formes d'écriture de la réponse : D(f)=R ou D(f)=(-∞:+∞)ou x∈R ou x∈(-∞:+∞)

Concluons :

Pour toute fonction de la forme y = ax + b, le domaine de définition est l'ensemble des nombres réels.

Un exemple de recherche du domaine de définition de la fonction n°2

Une fonction de la forme :

y = 10/(x + 5) - équation d'hyperbole

Lorsque vous traitez une fonction fractionnaire, n’oubliez pas que vous ne pouvez pas diviser par zéro. Donc la fonction existera pour toutes les valeurs de x qui ne le sont pas

mettre le dénominateur à zéro. Essayons de remplacer quelques valeurs arbitraires de x.

À x = 0 nous avons y = 10/(0 + 5) = 2 - la fonction existe.

Pour x = 10 on a y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- la fonction existe.

À x = -5 nous avons y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - la fonction n'existe pas à ce stade.

Ceux. Si fonction donnée fractionnaire, alors il est nécessaire d'assimiler le dénominateur à zéro et de trouver un point auquel la fonction n'existe pas.

Dans notre cas:

x + 5 = 0 → x = -5 - à ce stade, la fonction donnée n'existe pas.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Pour plus de clarté, représentons-le graphiquement :

Sur le graphique on voit également que l'hyperbole se rapproche le plus possible de la droite x = -5, mais n'atteint pas elle-même la valeur -5.

On voit que la fonction donnée existe en tous les points de l'axe réel, à l'exception du point x = -5

Formulaires d'enregistrement des réponses : ré(f)=R\(-5) ou ré(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) ou X ∈ R\(-5) ou X ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Si la fonction donnée est fractionnaire, alors la présence d'un dénominateur impose la condition que le dénominateur n'est pas égal à zéro.

Un exemple de recherche du domaine de définition de la fonction n°3

Considérons un exemple de recherche du domaine de définition d'une fonction avec une racine de degré pair :

Puisque nous ne pouvons extraire la racine carrée que d’un nombre non négatif, la fonction sous la racine est non négative.

2x - 8 ≥ 0

Résolvons une inégalité simple :

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

La fonction spécifiée n'existe que pour les valeurs trouvées de x ≥ 4 ou ré(f)= . Il reste à trouver l'intersection des ensembles de valeurs x tels que x∈D(f 2) et f 2 (x)∈D(f 1) :

Pour arcsinx>0, rappelez-vous les propriétés de la fonction arcsinus. L'arc sinus augmente dans tout le domaine de définition [−1, 1] et va vers zéro à x=0, donc arcsinx>0 pour tout x de l'intervalle (0, 1] .

Revenons au système :

Ainsi, le domaine requis pour la définition de la fonction est le demi-intervalle (0, 1].

Répondre:

(0, 1] .

Passons maintenant aux fonctions complexes de la forme générale y=f 1 (f 2 (...f n (x)))). Le domaine de définition de la fonction f dans ce cas se trouve comme .

Exemple.

Trouver le domaine d'une fonction .

Solution.

Donné fonction complexe peut s'écrire y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), où f 1 – sin, f 2 – fonction racine du quatrième degré, f 3 – log.

On sait que D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=)