Un nombre r est appelé rang de la matrice A si :
1) dans la matrice A il y a un mineur d'ordre r, différent de zéro ;
2) tous les mineurs d'ordre (r+1) et supérieurs, s'ils existent, sont égaux à zéro.
Sinon, le rang d'une matrice est l'ordre mineur le plus élevé autre que zéro.
Désignations : rangA, r A ou r.
De la définition, il résulte que r est un entier positif. Pour une matrice nulle, le rang est considéré comme nul.

Objet de la prestation. Le calculateur en ligne est conçu pour trouver rang matriciel. Dans ce cas, la solution est enregistrée au format Word et Excel. voir exemple de solution.

Instructions. Sélectionnez la dimension de la matrice, cliquez sur Suivant.

Sélectionnez la dimension de la matrice 3 4 5 6 7 × 3 4 5 6 7

Définition . Soit une matrice de rang r. Tout mineur d'une matrice différent de zéro et d'ordre r est appelé basique, et les lignes et colonnes de ses composants sont appelées lignes et colonnes de base.
Selon cette définition, une matrice A peut avoir plusieurs bases mineures.

Le rang de la matrice identité E est n (le nombre de lignes).

Exemple 1. Étant donné deux matrices, et leurs mineurs , . Lequel d’entre eux peut être considéré comme celui de base ?
Solution. Mineur M 1 =0, il ne peut donc servir de base à aucune des matrices. Mineur M 2 =-9≠0 et est d'ordre 2, ce qui signifie qu'il peut être pris comme base des matrices A ou / et B, à condition qu'elles aient des rangs égaux à 2. Puisque detB=0 (en tant que déterminant à deux colonnes proportionnelles), alors rangB=2 et M 2 peuvent être pris comme base mineure de la matrice B. Le rang de la matrice A est 3, du fait que detA=-27≠ 0 et, par conséquent, l'ordre de la base mineure de cette matrice doit être égal à 3, c'est-à-dire que M 2 n'est pas une base pour la matrice A. Notez que la matrice A a une seule base mineure, égale au déterminant de la matrice A.

Théorème (sur la base mineure). Toute ligne (colonne) d'une matrice est une combinaison linéaire de ses lignes (colonnes) de base.
Corollaires du théorème.

1. Chaque (r+1) matrice colonne (ligne) de rang r est linéairement dépendante.
2. Si le rang d'une matrice est inférieur au nombre de ses lignes (colonnes), alors ses lignes (colonnes) sont linéairement dépendantes. Si rangA est égal au nombre de ses lignes (colonnes), alors les lignes (colonnes) sont linéairement indépendantes.
3. Le déterminant d'une matrice A est égal à zéro si et seulement si ses lignes (colonnes) sont linéairement dépendantes.
4. Si vous ajoutez une autre ligne (colonne) à une ligne (colonne) d'une matrice, multipliée par un nombre autre que zéro, alors le rang de la matrice ne changera pas.
5. Si vous rayez une ligne (colonne) dans une matrice, qui est une combinaison linéaire d’autres lignes (colonnes), le rang de la matrice ne changera pas.
6. Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de ses lignes (colonnes) linéairement indépendantes.
7. Le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes est le même que le nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes.

Exemple 2. Trouver le rang d'une matrice .
Solution. A partir de la définition du rang matriciel, nous rechercherons un mineur d'ordre le plus élevé, différent de zéro. Tout d’abord, transformons la matrice en une forme plus simple. Pour ce faire, multipliez la première ligne de la matrice par (-2) et ajoutez-la à la seconde, puis multipliez-la par (-1) et ajoutez-la à la troisième.

Donnons une matrice :

.

Sélectionnons dans cette matrice chaînes arbitraires et colonnes arbitraires
. Alors le déterminant ème ordre, composé d'éléments matriciels
, situé à l'intersection des lignes et des colonnes sélectionnées, est appelé un mineur matrice d'ordre
.

Définition 1.13. Rang matriciel
est le plus grand ordre du mineur non nul de cette matrice.

Pour calculer le rang d'une matrice, il faut considérer tous ses mineurs d'ordre le plus bas et, si au moins l'un d'eux est différent de zéro, procéder à la considération des mineurs d'ordre le plus élevé. Cette approche pour déterminer le rang d'une matrice est appelée la méthode limitrophe (ou méthode des mineurs limitrophes).

Problème 1.4. En utilisant la méthode des mineurs limitrophes, déterminer le rang de la matrice
.

.

Considérons par exemple les bordures de premier ordre :
. Nous passons ensuite à l’examen de certaines bordures de second ordre.

Par exemple,
.

Enfin, analysons les bordures de troisième ordre.

.

Donc l’ordre le plus élevé d’un mineur non nul est 2, donc
.

Lors de la résolution du problème 1.4, vous pouvez remarquer qu’un certain nombre de mineurs limitrophes du second ordre sont non nuls. À cet égard, le concept suivant s’applique.

Définition 1.14. Une base mineure d'une matrice est tout mineur non nul dont l'ordre est égal au rang de la matrice.

Théorème 1.2.(Théorème mineur de base). Les lignes de base (colonnes de base) sont linéairement indépendantes.

Notez que les lignes (colonnes) d’une matrice sont linéairement dépendantes si et seulement si au moins l’une d’entre elles peut être représentée comme une combinaison linéaire des autres.

Théorème 1.3. Le nombre de lignes de la matrice linéairement indépendantes est égal au nombre de colonnes de la matrice linéairement indépendantes et est égal au rang de la matrice.

Théorème 1.4.(Condition nécessaire et suffisante pour que le déterminant soit égal à zéro). Pour que le déterminant -ième commande était égal à zéro, il est nécessaire et suffisant que ses lignes (colonnes) soient linéairement dépendantes.

Calculer le rang d’une matrice en fonction de sa définition est trop fastidieux. Cela devient particulièrement important pour les matrices d’ordres élevés. A cet égard, en pratique, le rang d'une matrice est calculé sur la base de l'application des théorèmes 10.2 à 10.4, ainsi que de l'utilisation des notions d'équivalence matricielle et de transformations élémentaires.

Définition 1.15. Deux matrices
Et sont dits équivalents si leurs rangs sont égaux, c'est-à-dire
.

Si les matrices
Et sont équivalents, alors notez
 .

Théorème 1.5. Le rang de la matrice ne change pas du fait des transformations élémentaires.

Nous appellerons transformations matricielles élémentaires
l'une des opérations suivantes sur une matrice :

Remplacer les lignes par des colonnes et les colonnes par les lignes correspondantes ;

Réorganiser les lignes de la matrice ;

Rayer une ligne dont les éléments sont tous nuls ;

Multiplier une chaîne par un nombre autre que zéro ;

Ajouter aux éléments d'une ligne les éléments correspondants d'une autre ligne multipliés par le même nombre
.

Corollaire du théorème 1.5. Si matrice
obtenu à partir de la matrice en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires, alors la matrice
Et sont équivalents.

Lors du calcul du rang d'une matrice, il convient de la réduire à une forme trapézoïdale en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires.

Définition 1.16. Nous appellerons trapézoïdale une forme de représentation matricielle lorsque, dans le mineur limitrophe de l'ordre le plus élevé non nul, tous les éléments situés en dessous des diagonaux disparaissent. Par exemple:

.

Ici
, éléments matriciels
aller à zéro. Alors la forme de représentation d'une telle matrice sera trapézoïdale.

En règle générale, les matrices sont réduites à une forme trapézoïdale à l'aide de l'algorithme gaussien. L'idée de l'algorithme de Gauss est qu'en multipliant les éléments de la première ligne de la matrice par les facteurs correspondants, on obtient que tous les éléments de la première colonne situés en dessous de l'élément
, deviendrait nul. Ensuite, en multipliant les éléments de la deuxième colonne par les facteurs correspondants, on s'assure que tous les éléments de la deuxième colonne situés en dessous de l'élément
, deviendrait nul. Procédez ensuite de la même manière.

Problème 1.5. Déterminez le rang d’une matrice en la réduisant à une forme trapézoïdale.

.

Pour faciliter l'utilisation de l'algorithme gaussien, vous pouvez intervertir la première et la troisième ligne.








.

C'est évident qu'ici
. Cependant, pour donner au résultat une forme plus élégante, vous pouvez continuer à transformer les colonnes.










.

>>Rang matriciel

Rang matriciel

Déterminer le rang d'une matrice

Considérons une matrice rectangulaire. Si dans cette matrice on sélectionne arbitrairement k lignes et k colonnes, alors les éléments à l’intersection des lignes et colonnes sélectionnées forment une matrice carrée du kème ordre. Le déterminant de cette matrice s'appelle mineur du ème ordre matrice A. Évidemment, la matrice A a des mineurs de tout ordre allant de 1 au plus petit des nombres m et n. Parmi tous les mineurs non nuls de la matrice A, il existe au moins un mineur dont l'ordre est le plus grand. Le plus grand des ordres mineurs non nuls d'une matrice donnée est appelé rang matrices. Si le rang de la matrice A est r, cela signifie que la matrice A a un mineur d'ordre non nul r, mais tout mineur d'ordre supérieur à r, est égal à zéro. Le rang de la matrice A est noté r(A). Évidemment, la relation est vraie

Calculer le rang d'une matrice à l'aide de mineurs

Le rang de la matrice se trouve soit par la méthode des mineurs limitrophes, soit par la méthode des transformations élémentaires. Lors du calcul du rang d'une matrice à l'aide de la première méthode, vous devez passer des mineurs d'ordre inférieur aux mineurs d'ordre supérieur. Si un mineur D du kième ordre de la matrice A, différent de zéro, a déjà été trouvé, alors seuls les mineurs d'ordre (k+1) bordant le mineur D nécessitent un calcul, c'est-à-dire le contenant comme mineur. S'ils sont tous égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à k.

Exemple 1.Trouver le rang de la matrice en utilisant la méthode des mineurs limitrophes

.

Solution.Nous commençons par les mineurs de 1er ordre, c'est-à-dire parmi les éléments de la matrice A. Choisissons par exemple un mineur (élément) M 1 = 1, situé dans la première ligne et la première colonne. En limitant à l'aide de la deuxième ligne et de la troisième colonne, on obtient un mineur M 2 = différent de zéro. Passons-nous maintenant aux mineurs de 3ème ordre limitrophes de M2. Il n'y en a que deux (vous pouvez ajouter une deuxième ou une quatrième colonne). Calculons-les : = 0. Ainsi, tous les mineurs limitrophes du troisième ordre se sont révélés égaux à zéro. Le rang de la matrice A est deux.

Calculer le rang d'une matrice à l'aide de transformations élémentaires

ÉlémentaireLes transformations matricielles suivantes sont appelées :

1) permutation de deux lignes (ou colonnes),

2) multiplier une ligne (ou une colonne) par un nombre non nul,

3) ajouter à une ligne (ou colonne) une autre ligne (ou colonne), multipliée par un certain nombre.

Les deux matrices sont appelées équivalent, si l'un d'eux est obtenu à partir de l'autre en utilisant un ensemble fini de transformations élémentaires.

Les matrices équivalentes ne sont pas, en général, égales, mais leurs rangs sont égaux. Si les matrices A et B sont équivalentes, alors cela s'écrit : A~B.

CanoniqueUne matrice est une matrice dans laquelle au début de la diagonale principale il y en a plusieurs d'affilée (dont le nombre peut être nul), et tous les autres éléments sont égaux à zéro, par exemple,

.

Grâce à des transformations élémentaires de lignes et de colonnes, n'importe quelle matrice peut être réduite à canonique. Le rang d'une matrice canonique est égal au nombre de un sur sa diagonale principale.

Exemple 2Trouver le rang d'une matrice

UNE =

et lui donner une forme canonique.

Solution. De la deuxième ligne, soustrayez la première et réorganisez ces lignes :

.

Maintenant, des deuxième et troisième lignes, nous soustrayons la première, multipliée respectivement par 2 et 5 :

;

soustrayez la première de la troisième ligne ; on obtient une matrice

B = ,

qui est équivalente à la matrice A, puisqu'elle en est obtenue à l'aide d'un ensemble fini de transformations élémentaires. Évidemment, le rang de la matrice B est 2, et donc r(A)=2. La matrice B peut facilement être réduite à canonique. En soustrayant la première colonne, multipliée par les nombres appropriés, de toutes les colonnes suivantes, nous remettons à zéro tous les éléments de la première ligne, à l'exception du premier, et les éléments des lignes restantes ne changent pas. Ensuite, en soustrayant la deuxième colonne, multipliée par les nombres appropriés, de tous les suivants, nous remettons à zéro tous les éléments de la deuxième ligne, à l'exception de la seconde, et obtenons la matrice canonique :

.

Le rang d'une matrice est une caractéristique numérique importante. Le problème le plus typique nécessitant de trouver le rang d'une matrice consiste à vérifier la cohérence d'un système d'équations algébriques linéaires. Dans cet article, nous donnerons le concept de rang matriciel et examinerons les méthodes pour le trouver. Pour mieux comprendre la matière, nous analyserons en détail les solutions à plusieurs exemples.

Navigation dans les pages.

Détermination du rang d'une matrice et des concepts complémentaires nécessaires.

Avant d'énoncer la définition du rang d'une matrice, il faut avoir une bonne compréhension de la notion de mineur, et trouver les mineurs d'une matrice implique la capacité de calculer le déterminant. Ainsi, si nécessaire, nous vous recommandons de rappeler la théorie de l'article, les méthodes pour trouver le déterminant d'une matrice et les propriétés du déterminant.

Prenons une matrice A d'ordre . Soit k un nombre naturel n'excédant pas le plus petit des nombres m et n, c'est-à-dire .

Définition.

Ordre mineur du kème la matrice A est le déterminant d'une matrice carrée d'ordre, composée d'éléments de la matrice A, qui sont situés dans k lignes et k colonnes présélectionnées, et la disposition des éléments de la matrice A est conservée.

En d'autres termes, si dans la matrice A nous supprimons (p – k) lignes et (n – k) colonnes, et à partir des éléments restants nous créons une matrice, en préservant la disposition des éléments de la matrice A, alors le déterminant de la matrice résultante est une mineure d'ordre k de la matrice A.

Regardons la définition d'une matrice mineure à l'aide d'un exemple.

Considérons la matrice .

Écrivons plusieurs mineurs du premier ordre de cette matrice. Par exemple, si nous choisissons la troisième ligne et la deuxième colonne de la matrice A, alors notre choix correspond à un mineur du premier ordre . Autrement dit, pour obtenir ce mineur, nous avons barré les première et deuxième lignes, ainsi que les première, troisième et quatrième colonnes de la matrice A, et constitué un déterminant à partir de l'élément restant. Si nous choisissons la première ligne et la troisième colonne de la matrice A, alors nous obtenons un mineur .

Illustrons la procédure d'obtention des mineurs de premier ordre considérés
Et .

Ainsi, les mineurs du premier ordre d’une matrice sont les éléments de la matrice eux-mêmes.

Montrons plusieurs mineurs de second ordre. Sélectionnez deux lignes et deux colonnes. Par exemple, prenons les première et deuxième lignes et les troisième et quatrième colonnes. Avec ce choix nous avons un mineur de second ordre . Cette mineure pourrait également être composée en supprimant la troisième ligne, la première et la deuxième colonne de la matrice A.

Un autre mineur du second ordre de la matrice A est .

Illustrons la construction de ces mineurs de second ordre
Et .

De même, des mineurs du troisième ordre de la matrice A peuvent être trouvés. Puisqu’il n’y a que trois lignes dans la matrice A, nous les sélectionnons toutes. Si nous sélectionnons les trois premières colonnes de ces lignes, nous obtenons un mineur de troisième ordre

Il peut également être construit en barrant la dernière colonne de la matrice A.

Un autre mineur de troisième ordre est

obtenu en supprimant la troisième colonne de la matrice A.

Voici une photo montrant la construction de ces mineurs du troisième ordre
Et .

Pour une matrice A donnée, il n'y a pas de mineurs d'ordre supérieur au tiers, puisque .

Combien y a-t-il de mineurs d'ordre k dans une matrice A d'ordre ?

Le nombre de mineurs d'ordre k peut être calculé comme suit : , où Et - le nombre de combinaisons de p à k et de n à k, respectivement.

Comment construire tous les mineurs d’ordre k de la matrice A d’ordre p par n ?

Nous aurons besoin de nombreux numéros de lignes de matrice et de nombreux numéros de colonnes. Nous écrivons tout combinaisons de p éléments par k(elles correspondront aux lignes sélectionnées de la matrice A lors de la construction d'un mineur d'ordre k). À chaque combinaison de numéros de ligne, nous ajoutons séquentiellement toutes les combinaisons de n éléments de k numéros de colonne. Ces ensembles de combinaisons de numéros de lignes et de numéros de colonnes de la matrice A aideront à composer tous les mineurs d'ordre k.

Regardons cela avec un exemple.

Exemple.

Trouver tous les mineurs du second ordre de la matrice.

Solution.

Puisque l'ordre de la matrice originale est de 3 sur 3, le total des mineurs du deuxième ordre sera .

Écrivons toutes les combinaisons de 3 à 2 numéros de ligne de la matrice A : 1, 2 ; 1, 3 et 2, 3. Toutes les combinaisons de 3 à 2 numéros de colonne sont 1, 2 ; 1, 3 et 2, 3.

Prenons les première et deuxième lignes de la matrice A. En sélectionnant la première et la deuxième colonnes, les première et troisième colonnes, les deuxième et troisième colonnes pour ces lignes, on obtient respectivement les mineurs

Pour les première et troisième lignes, avec un choix de colonnes similaire, nous avons

Il reste à ajouter les première et deuxième, première et troisième, deuxième et troisième colonnes aux deuxième et troisième lignes :

Ainsi, les neuf mineurs du second ordre de la matrice A ont été trouvés.

Nous pouvons maintenant procéder à la détermination du rang de la matrice.

Définition.

Rang matriciel est l'ordre le plus élevé du mineur non nul de la matrice.

Le rang de la matrice A est noté Rank(A) . Vous pouvez également retrouver les désignations Rg(A) ou Rang(A) .

À partir des définitions du rang matriciel et de la matrice mineure, nous pouvons conclure que le rang d'une matrice nulle est égal à zéro et que le rang d'une matrice non nulle n'est pas inférieur à un.

Trouver le rang d'une matrice par définition.

Ainsi, la première méthode pour trouver le rang d’une matrice est méthode de dénombrement des mineurs. Cette méthode est basée sur la détermination du rang de la matrice.

Il nous faut trouver le rang d'une matrice A d'ordre .

Décrivons brièvement algorithme résoudre ce problème en recensant les mineurs.

S'il y a au moins un élément de la matrice qui est différent de zéro, alors le rang de la matrice est au moins égal à un (puisqu'il existe un mineur du premier ordre qui n'est pas égal à zéro).

Nous examinons ensuite les mineurs du deuxième ordre. Si tous les mineurs du second ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à un. S'il existe au moins un mineur non nul du deuxième ordre, alors on procède à l'énumération des mineurs du troisième ordre, et le rang de la matrice est au moins égal à deux.

De même, si tous les mineurs du troisième ordre sont nuls, alors le rang de la matrice est deux. S'il existe au moins un mineur de troisième ordre autre que zéro, alors le rang de la matrice est d'au moins trois, et on passe à l'énumération des mineurs de quatrième ordre.

Notez que le rang de la matrice ne peut pas dépasser le plus petit des nombres p et n.

Exemple.

Trouver le rang de la matrice .

Solution.

Puisque la matrice est non nulle, son rang n'est pas inférieur à un.

Mineur du deuxième ordre est différent de zéro, donc le rang de la matrice A est au moins deux. Passons au dénombrement des mineurs du troisième ordre. Total d'entre eux des choses.

Tous les mineurs du troisième ordre sont égaux à zéro. Le rang de la matrice est donc deux.

Répondre:

Rang(A) = 2 .

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes.

Il existe d'autres méthodes pour trouver le rang d'une matrice qui vous permettent d'obtenir le résultat avec moins de travail de calcul.

Une de ces méthodes est méthode mineure de bord.

Traitons concept de bord mineur.

On dit qu'un mineur M ok du (k+1)ième ordre de la matrice A borde un mineur M d'ordre k de la matrice A si la matrice correspondant au mineur M ok « contient » la matrice correspondant au mineur M.

Autrement dit, la matrice correspondant au mineur limitrophe M est obtenue à partir de la matrice correspondant au mineur limitrophe M ok en supprimant les éléments d'une ligne et d'une colonne.

Par exemple, considérons la matrice et prendre une mineure de deuxième ordre. Notons tous les mineurs limitrophes :

La méthode des mineurs limitrophes est justifiée par le théorème suivant (nous présentons sa formulation sans démonstration).

Théorème.

Si tous les mineurs bordant le mineur d'ordre k d'une matrice A d'ordre p par n sont égaux à zéro, alors tous les mineurs d'ordre (k+1) de la matrice A sont égaux à zéro.

Ainsi, pour trouver le rang d’une matrice il n’est pas nécessaire de parcourir tous les mineurs suffisamment limitrophes. Le nombre de mineurs bordant le mineur du kème ordre d'une matrice A d'ordre , se trouve par la formule . Notez qu'il n'y a pas plus de mineurs bordant le k-ème mineur d'ordre de la matrice A qu'il n'y a de (k + 1) mineurs d'ordre de la matrice A. Par conséquent, dans la plupart des cas, il est plus rentable d’utiliser la méthode du bornage des mineurs que de simplement recenser tous les mineurs.

Passons à la recherche du rang de la matrice en utilisant la méthode des mineurs limitrophes. Décrivons brièvement algorithme cette méthode.

Si la matrice A est différente de zéro, alors comme mineur du premier ordre nous prenons tout élément de la matrice A qui est différent de zéro. Regardons ses mineurs limitrophes. S'ils sont tous égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à un. S'il existe au moins un mineur limitrophe non nul (son ordre est deux), alors nous considérons ses mineurs limitrophes. S'ils sont tous nuls, alors Rank(A) = 2. Si au moins un mineur limitrophe est non nul (son ordre est trois), alors on considère ses mineurs limitrophes. Et ainsi de suite. En conséquence, Rank(A) = k si tous les mineurs limitrophes du (k + 1)ème ordre de la matrice A sont égaux à zéro, ou Rank(A) = min(p, n) s'il existe un non- zéro mineur bordant un mineur d'ordre (min( p, n) – 1) .

Regardons la méthode de limitrophe des mineurs pour trouver le rang d'une matrice à l'aide d'un exemple.

Exemple.

Trouver le rang de la matrice par la méthode des mineurs limitrophes.

Solution.

Puisque l’élément a 1 1 de la matrice A est non nul, nous le considérons comme mineur du premier ordre. Commençons par rechercher un mineur limite différent de zéro :

On trouve un bord mineur du deuxième ordre, différent de zéro. Regardons ses mineurs limitrophes (leurs des choses):

Tous les mineurs bordant le mineur du second ordre sont égaux à zéro, donc le rang de la matrice A est égal à deux.

Répondre:

Rang(A) = 2 .

Exemple.

Trouver le rang de la matrice en utilisant des mineurs limitrophes.

Solution.

Comme mineur non nul du premier ordre, on prend l'élément a 1 1 = 1 de la matrice A. Le mineur environnant du deuxième ordre pas égal à zéro. Ce mineur est bordé par un mineur du troisième ordre
. Puisqu’il n’est pas égal à zéro et qu’il n’y a pas un seul mineur limitrophe, le rang de la matrice A est égal à trois.

Répondre:

Rang(A) = 3 .

Trouver le rang à l'aide de transformations matricielles élémentaires (méthode de Gauss).

Considérons une autre façon de trouver le rang d'une matrice.

Les transformations matricielles suivantes sont dites élémentaires :

• réorganiser les lignes (ou colonnes) d'une matrice ;
• multiplier tous les éléments de n'importe quelle ligne (colonne) d'une matrice par un nombre arbitraire k, différent de zéro ;
• ajouter aux éléments d'une ligne (colonne) les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne) de la matrice, multipliés par un nombre arbitraire k.

La matrice B est dite équivalente à la matrice A, si B est obtenu à partir de A en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires. L'équivalence des matrices est désignée par le symbole « ~ », c'est-à-dire écrit A ~ B.

Trouver le rang d'une matrice à l'aide de transformations matricielles élémentaires est basé sur l'énoncé : si la matrice B est obtenue à partir de la matrice A en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires, alors Rank(A) = Rank(B) .

La validité de cette affirmation découle des propriétés du déterminant de la matrice :

• Lors de la réorganisation des lignes (ou colonnes) d'une matrice, son déterminant change de signe. S'il est égal à zéro, alors lorsque les lignes (colonnes) sont réorganisées, il reste égal à zéro.
• Lors de la multiplication de tous les éléments de n'importe quelle ligne (colonne) d'une matrice par un nombre arbitraire k autre que zéro, le déterminant de la matrice résultante est égal au déterminant de la matrice d'origine multiplié par k. Si le déterminant de la matrice d'origine est égal à zéro, alors après avoir multiplié tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne par le nombre k, le déterminant de la matrice résultante sera également égal à zéro.
• Ajouter aux éléments d'une certaine ligne (colonne) d'une matrice les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne) de la matrice, multipliés par un certain nombre k, ne change pas son déterminant.

L'essence de la méthode des transformations élémentaires consiste à réduire la matrice dont on cherche le rang à une matrice trapézoïdale (dans un cas particulier, à une matrice triangulaire supérieure) à l'aide de transformations élémentaires.

Pourquoi cela est-il fait ? Le rang des matrices de ce type est très facile à trouver. Il est égal au nombre de lignes contenant au moins un élément non nul. Et comme le rang de la matrice ne change pas lors des transformations élémentaires, la valeur résultante sera le rang de la matrice d'origine.

Nous donnons des illustrations de matrices dont l'une doit être obtenue après transformations. Leur apparition dépend de l'ordre de la matrice.

Ces illustrations sont des modèles vers lesquels nous transformerons la matrice A.

Décrivons algorithme de méthode.

Il nous faut trouver le rang d'une matrice A non nulle d'ordre (p peut être égal à n).

Donc, . Multiplions tous les éléments de la première ligne de la matrice A par . Dans ce cas, on obtient une matrice équivalente, la notant A (1) :

Aux éléments de la deuxième ligne de la matrice résultante A (1) on ajoute les éléments correspondants de la première ligne, multipliés par . Aux éléments de la troisième ligne on ajoute les éléments correspondants de la première ligne, multipliés par . Et ainsi de suite jusqu'à la p-ème ligne. Obtenons une matrice équivalente, notons-la A (2) :

Si tous les éléments de la matrice résultante situés dans les lignes de la seconde à la p-ième sont égaux à zéro, alors le rang de cette matrice est égal à un et, par conséquent, le rang de la matrice d'origine est égal à à une.

Si dans les lignes du deuxième au p-ième il y a au moins un élément non nul, alors nous continuons à effectuer des transformations. D'ailleurs, on agit exactement de la même manière, mais uniquement avec la partie de matrice A (2) repérée sur la figure.

Si , alors nous réorganisons les lignes et (ou) les colonnes de la matrice A (2) pour que le « nouvel » élément devienne non nul.

« Si vous voulez apprendre à nager, entrez hardiment dans l'eau, et si vous voulez apprendre Résoudre des problèmes, Que résolvez-les.»
D. Polya (1887-1985)

(Mathématicien. A apporté une grande contribution à la vulgarisation des mathématiques. A écrit plusieurs livres sur la façon de résoudre des problèmes et sur la manière d'enseigner la résolution de problèmes.)

Considérons la matrice

Soulignons-y k-rangées Et k-colonnes (k≤(min(m,n))). A partir des éléments situés à l'intersection des lignes et colonnes sélectionnées, nous composerons un déterminant kième commande. Tous ces déterminants sont appelés mineurs de cette matrice.

Considérons tous les mineurs possibles de la matrice UN, différent de zéro.

Rang matriciel UN est le plus grand ordre du mineur non nul de cette matrice.

Si tous les éléments d'une matrice sont égaux à zéro, alors le rang de cette matrice est pris égal à zéro.

Un mineur dont l'ordre détermine le rang de la matrice est appelé basique.

Une matrice peut avoir plusieurs bases mineures.

Rang matriciel UN désigné par r(UNE). Si r(UNE)=r(B), alors les matrices UN Et DANS sont appelés équivalent. Ils écrivent A̴∼B.

Propriétés du classement matriciel :

1. Lorsqu’une matrice est transposée, son rang ne change pas.
2. Si vous supprimez la ligne (colonne) zéro de la matrice, le rang de la matrice ne changera pas.
3. Le rang de la matrice ne change pas lors des transformations matricielles élémentaires.

Par transformations élémentaires on entend :

• Réorganiser les lignes de la matrice ;
• Multiplier une chaîne par un nombre autre que zéro ;
• Ajouter aux éléments d'une ligne les éléments correspondants d'une autre ligne, multipliés par un nombre arbitraire.

Lors du calcul du rang d'une matrice, des transformations élémentaires, la méthode de réduction de la matrice sous une forme pas à pas et la méthode des mineurs limitrophes peuvent être utilisées.

Méthode de réduction d'une matrice en pas à pas L'idée est qu'à l'aide de transformations élémentaires cette matrice est réduite à une matrice en escalier.

La matrice s'appelle fait un pas , si dans chacune de ses lignes le premier élément non nul est à droite que dans le précédent (c'est-à-dire que des marches sont obtenues, la hauteur de chaque marche doit être égale à un).

Exemples de matrices d'étapes :

Exemples de matrices non échelonnées :

EXEMPLE: Trouvez le rang de la matrice :

SOLUTION:

Réduisons cette matrice à une matrice à étapes en utilisant des transformations élémentaires.

1. Échangez les première et troisième lignes.

2. Nous obtenons des zéros sous un dans la première colonne.

En ajoutant la première ligne multipliée par (-3) à la deuxième ligne, la première ligne multipliée par (-5) à la troisième ligne et la première ligne multipliée par (-3) à la quatrième ligne, on obtient

Pour indiquer plus clairement où vous devez obtenir des zéros, dessinons des étapes dans la matrice. (La matrice sera échelonnée s'il y a des zéros partout sous les échelons)

3. En ajoutant la deuxième ligne multipliée par (-1) à la troisième ligne et la deuxième ligne multipliée par (-1) à la quatrième ligne, nous obtenons des zéros sous les étapes de la deuxième colonne.

Si nous dessinons à nouveau les marches, nous verrons que la matrice est échelonnée.

Son rang est r=3(le nombre de lignes de la matrice d'étapes, dans chacune desquelles au moins un élément est différent de zéro). Par conséquent, le rang de cette matrice r=3.

La solution peut s'écrire ainsi :

(Les chiffres romains indiquent les numéros de ligne)

Réponse : r=3.

Commande mineure k+1, contenant un mineur d'ordre k appelé à la limite du mineur.

Méthode mineure limite est basé sur le fait que le rang d'une matrice donnée est égal à l'ordre d'un mineur de cette matrice qui est non nul, et tous les mineurs qui la bordent sont égaux à zéro.