Déterminez le rang de la matrice. Rang matriciel. Transformations élémentaires des lignes de la matrice

Soit A une matrice de tailles m\times n et k un nombre naturel n'excédant pas m et n : k\leqslant\min\(m;n\). Ordre mineur du kème la matrice A est le déterminant d'une matrice d'ordre k formée par les éléments à l'intersection de k lignes et k colonnes arbitrairement choisies de la matrice A. Lors de la désignation des mineurs, nous indiquerons les numéros des lignes sélectionnées comme indices supérieurs et les numéros des colonnes sélectionnées comme indices inférieurs, en les classant par ordre croissant.

Exemple 3.4.Écrire des mineurs de différents ordres de la matrice

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Solution. La matrice A a des dimensions 3\times4 . Il compte : 12 mineurs du 1er ordre, par exemple mineur M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 mineurs de 2ème ordre, par exemple, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 mineurs de 3ème ordre, par exemple,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Dans une matrice A de dimensions m\times n, le mineur d'ordre r est appelé basique, s'il est non nul et que tous les mineurs d'ordre (r+1)-ro sont égaux à zéro ou n'existent pas du tout.

Rang matriciel est appelé l'ordre de la base mineure. Il n’y a pas de base mineure dans une matrice nulle. Par conséquent, le rang d’une matrice nulle est, par définition, égal à zéro. Le rang de la matrice A est noté \nom de l'opérateur(rg)A.

Exemple 3.5. Trouver tous les mineurs de base et le rang matriciel

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Solution. Tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque ces déterminants ont une troisième ligne nulle. Par conséquent, seul un mineur du second ordre situé dans les deux premières lignes de la matrice peut être basique. En parcourant 6 mineurs possibles, on sélectionne non nul

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Chacun de ces cinq mineurs est un mineur de base. Le rang de la matrice est donc 2.

Remarques 3.2

1. Si tous les mineurs d’ordre k dans une matrice sont égaux à zéro, alors les mineurs d’ordre supérieur sont également égaux à zéro. En effet, en développant le mineur d'ordre (k+1)-ro sur n'importe quelle ligne, on obtient la somme des produits des éléments de cette ligne par les mineurs d'ordre k, et ils sont égaux à zéro.

2. Le rang d'une matrice est égal à l'ordre le plus élevé du mineur non nul de cette matrice.

3. Si une matrice carrée est non singulière, alors son rang est égal à son ordre. Si une matrice carrée est singulière, alors son rang est inférieur à son ordre.

4. Les désignations sont également utilisées pour le rang \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Rang de la matrice de blocs est défini comme le rang d'une matrice régulière (numérique), c'est-à-dire quelle que soit sa structure de bloc. Dans ce cas, le rang d'une matrice de blocs n'est pas inférieur aux rangs de ses blocs : \nom de l'opérateur(rg)(A\mid B)\geqslant\nom de l'opérateur(rg)A Et \nom de l'opérateur(rg)(A\mid B)\geqslant\nom de l'opérateur(rg)B, puisque tous les mineurs de la matrice A (ou B ) sont également des mineurs de la matrice bloc (A\mid B) .

Théorèmes sur la base mineure et le rang de la matrice

Considérons les principaux théorèmes exprimant les propriétés de dépendance linéaire et d'indépendance linéaire des colonnes (lignes) d'une matrice.

Théorème 3.1 sur la base mineure. Dans une matrice arbitraire A, chaque colonne (ligne) est une combinaison linéaire des colonnes (lignes) dans lesquelles se trouve la base mineure.

En effet, sans perte de généralité, nous supposons que dans une matrice A de taille m\times n la base mineure est située dans les r premières lignes et les r premières colonnes. Considérez le déterminant

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

qui est obtenu en affectant les éléments correspondants de la ième ligne et de la kième colonne à la base mineure de la matrice A. Notez que pour tout 1\leqslant s\leqslant m et ce déterminant est égal à zéro. Si s\leqslant r ou k\leqslant r , alors le déterminant D contient deux lignes identiques ou deux colonnes identiques. Si s>r et k>r, alors le déterminant D est égal à zéro, puisqu'il est mineur d'ordre (r+l)-ro. En développant le déterminant le long de la dernière ligne, on obtient

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

où D_(r+1\,j) sont les compléments algébriques des éléments de la dernière ligne. Notez que D_(r+1\,r+1)\ne0 puisqu'il s'agit d'une base mineure. C'est pourquoi

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Où \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

En écrivant la dernière égalité pour s=1,2,\ldots,m, on obtient

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

ceux. kième colonne (pour tout 1\leqslant k\leqslant n) est une combinaison linéaire des colonnes de la base mineure, ce que nous devions prouver.

Le théorème mineur de base sert à prouver les théorèmes importants suivants.

Condition pour que le déterminant soit nul

Théorème 3.2 (condition nécessaire et suffisante pour que le déterminant soit nul). Pour qu'un déterminant soit égal à zéro, il faut et suffisant qu'une de ses colonnes (une de ses lignes) soit une combinaison linéaire des colonnes (lignes) restantes.

En effet, la nécessité découle du théorème mineur de base. Si le déterminant d'une matrice carrée d'ordre n est égal à zéro, alors son rang est inférieur à n, c'est-à-dire au moins une colonne n'est pas incluse dans la base mineure. Alors cette colonne choisie, par le Théorème 3.1, est une combinaison linéaire des colonnes dans lesquelles se situe la base mineure. En ajoutant, si nécessaire, à cette combinaison d'autres colonnes à coefficients nuls, on obtient que la colonne sélectionnée est une combinaison linéaire des colonnes restantes de la matrice. La suffisance découle des propriétés du déterminant. Si par exemple la dernière colonne A_n du déterminant \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) exprimé linéairement à travers le reste

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

puis ajouter à A_n la colonne A_1 multipliée par (-\lambda_1), puis la colonne A_2 multipliée par (-\lambda_2), etc. colonne A_(n-1) multiplié par (-\lambda_(n-1)) on obtient le déterminant \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) avec une colonne nulle égale à zéro (propriété 2 du déterminant).

Invariance du rang matriciel sous transformations élémentaires

Théorème 3.3 (sur l'invariance du rang sous transformations élémentaires). Lors des transformations élémentaires des colonnes (lignes) d'une matrice, son rang ne change pas.

En effet, qu’il en soit ainsi. Supposons qu'à la suite d'une transformation élémentaire des colonnes de la matrice A nous obtenions la matrice A". Si une transformation de type I a été effectuée (permutation de deux colonnes), alors tout mineur (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A" est soit égal au mineur (r+l )-ro correspondant de l'ordre de la matrice A, soit en diffère en signe (propriété 3 du déterminant). Si une transformation de type II a été effectuée (en multipliant la colonne par le nombre \lambda\ne0 ), alors tout mineur (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A" est soit égal au mineur correspondant (r+l) -ro de l'ordre de la matrice A ou différent de celle-ci facteur \lambda\ne0 (propriété 6 du déterminant). Si une transformation de type III a été effectuée (en ajoutant à une colonne une autre colonne multipliée par le nombre \Lambda), alors tout mineur du (r+1)ième ordre de la matrice A" est soit égal au mineur (r+1)ième ordre correspondant de la matrice A (propriété 9 du déterminant), soit est égal à la somme de deux mineurs (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A (propriété 8 du déterminant). Donc, sous une transformation élémentaire de tout type, tous les mineurs (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A" sont égaux à zéro, puisque tous les mineurs (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A sont égal à zéro. Ainsi, il a été prouvé que sous les transformations élémentaires des colonnes, la matrice de rang ne peut pas augmenter. Puisque les transformations inverses aux transformations élémentaires sont élémentaires, le rang de la matrice ne peut pas diminuer sous les transformations élémentaires des colonnes, c'est-à-dire ne change pas. De même, il est prouvé que le rang de la matrice ne change pas sous les transformations élémentaires des lignes.

Corollaire 1. Si une ligne (colonne) d'une matrice est une combinaison linéaire de ses autres lignes (colonnes), alors cette ligne (colonne) peut être supprimée de la matrice sans changer son rang.

En effet, une telle chaîne peut être rendue nulle à l'aide de transformations élémentaires, et une chaîne nulle ne peut pas être incluse dans la base mineure.

Corollaire 2. Si la matrice se réduit à la forme la plus simple (1.7), alors

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

En effet, la matrice de la forme la plus simple (1.7) a une base mineure du rème ordre.

Corollaire 3. Toute matrice carrée non singulière est élémentaire, autrement dit, toute matrice carrée non singulière est équivalente à une matrice identité du même ordre.

En effet, si A est une matrice carrée non singulière d’ordre n, alors \nom de l'opérateur(rg)A=n(voir paragraphe 3 des commentaires 3.2). Ainsi, en ramenant la matrice A à la forme la plus simple (1.7) par transformations élémentaires, on obtient la matrice identité \Lambda=E_n , puisque \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(voir Corollaire 2). Par conséquent, la matrice A est équivalente à la matrice identité E_n et peut en être obtenue grâce à un nombre fini de transformations élémentaires. Cela signifie que la matrice A est élémentaire.

Théorème 3.4 (sur le rang de la matrice). Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de lignes linéairement indépendantes de cette matrice.

En fait, laissez \nom de l'opérateur(rg)A=r. Alors la matrice A a r lignes linéairement indépendantes. Ce sont les vers dans lesquels se situe la base mineure. S'ils étaient linéairement dépendants, alors ce mineur serait égal à zéro d'après le théorème 3.2, et le rang de la matrice A ne serait pas égal à r. Montrons que r est le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes, c'est-à-dire toutes les lignes p dépendent linéairement pour p>r. En effet, on forme la matrice B à partir de ces p lignes. Puisque la matrice B fait partie de la matrice A, alors \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Cela signifie qu'au moins une ligne de la matrice B n'est pas incluse dans la base mineure de cette matrice. Ensuite, d'après le théorème de la base mineure, il est égal à une combinaison linéaire des lignes dans lesquelles se trouve la base mineure. Par conséquent, les lignes de la matrice B sont linéairement dépendantes. Ainsi, la matrice A comporte au plus r lignes linéairement indépendantes.

Corollaire 1. Le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes dans une matrice est égal au nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes :

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Cet énoncé découle du théorème 3.4 si on l'applique aux lignes d'une matrice transposée et en tenant compte du fait que les mineurs ne changent pas lors de la transposition (propriété 1 du déterminant).

Corollaire 2. Lors des transformations élémentaires des lignes d'une matrice, la dépendance linéaire (ou indépendance linéaire) de tout système de colonnes de cette matrice est préservée.

En fait, choisissons k colonnes quelconques d’une matrice A donnée et composons à partir d’elles la matrice B. Supposons que la matrice A" soit obtenue à la suite de transformations élémentaires des lignes de la matrice A, et que la matrice B" soit obtenue à la suite des mêmes transformations des lignes de la matrice B. Par le théorème 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Par conséquent, si les colonnes de la matrice B étaient linéairement indépendantes, c'est-à-dire k=\nom de l'opérateur(rg)B(voir Corollaire 1), alors les colonnes de la matrice B" sont également linéairement indépendantes, puisque k=\nom de l'opérateur(rg)B". Si les colonnes de la matrice B étaient linéairement dépendantes (k>\nom de l'opérateur(rg)B), alors les colonnes de la matrice B" dépendent également linéairement (k>\nom de l'opérateur(rg)B"). Par conséquent, pour toutes les colonnes de la matrice A, la dépendance linéaire ou l'indépendance linéaire est préservée sous les transformations de lignes élémentaires.

Remarques 3.3

1. En vertu du corollaire 1 du théorème 3.4, la propriété des colonnes indiquée dans le corollaire 2 est également vraie pour tout système de lignes matricielles si les transformations élémentaires sont effectuées uniquement sur ses colonnes.

2. Le corollaire 3 du théorème 3.3 peut être affiné comme suit : toute matrice carrée non singulière, utilisant des transformations élémentaires uniquement de ses lignes (ou uniquement de ses colonnes), peut être réduite à une matrice identité du même ordre.

En fait, en utilisant uniquement des transformations élémentaires de lignes, toute matrice A peut être réduite à la forme simplifiée \Lambda (Fig. 1.5) (voir Théorème 1.1). Puisque la matrice A est non singulière (\det(A)\ne0), ses colonnes sont linéairement indépendantes. Cela signifie que les colonnes de la matrice \Lambda sont également linéairement indépendantes (Corollaire 2 du Théorème 3.4). Par conséquent, la forme simplifiée \Lambda d’une matrice non singulière A coïncide avec sa forme la plus simple (Fig. 1.6) et est la matrice identité \Lambda=E (voir corollaire 3 du théorème 3.3). Ainsi, en transformant uniquement les lignes d’une matrice non singulière, celle-ci peut être réduite à la matrice identité. Un raisonnement similaire est valable pour les transformations élémentaires des colonnes d'une matrice non singulière.

Rang du produit et somme des matrices

Théorème 3.5 (sur le rang du produit des matrices). Le rang du produit des matrices ne dépasse pas le rang des facteurs :

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

En effet, laissez les matrices A et B avoir des tailles m\times p et p\times n . Affectons à la matrice A la matrice C=AB\colon\,(A\mid C). Bien sûr que \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), puisque C fait partie de la matrice (A\mid C) (voir paragraphe 5 des remarques 3.2). A noter que chaque colonne C_j, selon l'opération de multiplication matricielle, est une combinaison linéaire de colonnes A_1,A_2,\ldots,A_p matrices A=(A_1~\cdots~A_p) :

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Une telle colonne peut être supprimée de la matrice (A\mid C) sans changer son rang (Corollaire 1 du Théorème 3.3). En barrant toutes les colonnes de la matrice C, on obtient : \nom de l'opérateur(rg)(A\mid C)=\nom de l'opérateur(rg)A. D'ici, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. De même, on peut prouver que la condition est simultanément satisfaite \nom de l'opérateur(rg)C\leqslant\nom de l'opérateur(rg)B, et tirer une conclusion sur la validité du théorème.

Conséquence. Si A est une matrice carrée non singulière, alors \nom de l'opérateur(rg)(AB)= \nom de l'opérateur(rg)B Et \nom de l'opérateur(rg)(CA)=\nom de l'opérateur(rg)C, c'est à dire. le rang d'une matrice ne change pas lorsqu'elle est multipliée à gauche ou à droite par une matrice carrée non singulière.

Théorème 3.6 sur le rang des sommes des matrices. Le rang de la somme des matrices ne dépasse pas la somme des rangs des termes :

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

En effet, créons une matrice (A+B\milieu A\milieu B). Notez que chaque colonne de la matrice A+B est une combinaison linéaire de colonnes des matrices A et B. C'est pourquoi \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Considérant que le nombre de colonnes linéairement indépendantes dans la matrice (A\mid B) ne dépasse pas \nom de l'opérateur(rg)A+\nom de l'opérateur(rg)B, un \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(voir section 5 des Remarques 3.2), on obtient l'inégalité en cours de démonstration.

Nous examinerons également une application pratique importante du sujet : étude d'un système d'équations linéaires pour la cohérence.

Quel est le rang d'une matrice ?

L'épigraphe humoristique de l'article contient une grande part de vérité. Nous associons généralement le mot « rang » à une sorte de hiérarchie, le plus souvent à une échelle de carrière. Plus une personne possède de connaissances, d'expérience, de capacités, de relations, etc. – plus sa position et son éventail d’opportunités sont élevés. En termes de jeunesse, le rang fait référence au degré général de « raideur ».

Et nos frères mathématiques vivent selon les mêmes principes. Prenons-en quelques-uns au hasard pour une promenade matrices nulles:

Pensons-y, si dans la matrice tous les zéros, alors de quel rang peut-on parler ? Tout le monde connaît l’expression informelle « zéro total ». Dans la société des matrices, tout est exactement pareil :

Rang de la matrice zéron'importe quelle taille est égale à zéro.

Note : La matrice zéro est désignée par la lettre grecque "thêta"

Afin de mieux comprendre le rang de la matrice, j'utiliserai ci-après du matériel pour aider géométrie analytique. Considérez zéro vecteur notre espace tridimensionnel, qui ne fixe pas de direction précise et est inutile pour construire base affine. D'un point de vue algébrique, les coordonnées de ce vecteur s'écrivent sous la forme matrice"un par trois" et logique (au sens géométrique indiqué) supposons que le rang de cette matrice est nul.

Voyons maintenant quelques-uns non nul vecteurs de colonne Et vecteurs de rangée:

Chaque instance possède au moins un élément non nul, et c'est quelque chose !

Le rang de tout vecteur ligne non nul (vecteur colonne) est égal à un

Et d'une manière générale - si dans la matrice tailles arbitraires il y a au moins un élément non nul, alors son rang pas moins unités.

Les vecteurs lignes algébriques et les vecteurs colonnes sont dans une certaine mesure abstraits, revenons donc à l'association géométrique. Non nul vecteur définit une direction très définie dans l'espace et convient à la construction base, donc le rang de la matrice sera considéré comme égal à un.

Informations théoriques : en algèbre linéaire, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel (défini à travers 8 axiomes), qui peut notamment représenter une ligne (ou colonne) ordonnée de nombres réels avec les opérations d'addition et de multiplication par un nombre réel défini pour eux. Des informations plus détaillées sur les vecteurs peuvent être trouvées dans l'article Transformations linéaires.

linéairement dépendant(exprimés les uns par les autres). D'un point de vue géométrique, la deuxième ligne contient les coordonnées du vecteur colinéaire , ce qui n'a pas du tout fait avancer les choses dans la construction base tridimensionnelle, étant en ce sens superflu. Ainsi, le rang de cette matrice est également égal à un.

Réécrivons les coordonnées des vecteurs en colonnes ( transposer la matrice):

Qu'est-ce qui a changé en termes de classement ? Rien. Les colonnes sont proportionnelles, ce qui signifie que le rang est égal à un. À propos, notez que les trois lignes sont également proportionnelles. Ils peuvent être identifiés grâce aux coordonnées trois vecteurs colinéaires du plan, dont seulement un utile pour construire une base "plate". Et cela est tout à fait cohérent avec notre sens géométrique du rang.

Une déclaration importante découle de l’exemple ci-dessus :

Le rang de la matrice en lignes est égal au rang de la matrice en colonnes. J'en ai déjà parlé un peu dans la leçon sur l'efficacité méthodes de calcul du déterminant.

Note : la dépendance linéaire des lignes implique une dépendance linéaire des colonnes (et vice versa). Mais pour gagner du temps, et par habitude, je parlerai presque toujours de dépendance linéaire des chaînes.

Continuons à entraîner notre animal de compagnie bien-aimé. Ajoutons les coordonnées d'un autre vecteur colinéaire à la matrice de la troisième ligne :

Nous a-t-il aidé à construire une base tridimensionnelle ? Bien sûr que non. Les trois vecteurs vont et viennent le long du même chemin et le rang de la matrice est égal à un. Vous pouvez prendre autant de vecteurs colinéaires que vous le souhaitez, disons 100, mettre leurs coordonnées dans une matrice « cent par trois », et le rang d'un tel gratte-ciel restera toujours un.

Faisons connaissance avec la matrice dont les lignes linéairement indépendant. Une paire de vecteurs non colinéaires convient pour construire une base tridimensionnelle. Le rang de cette matrice est de deux.

Quel est le rang de la matrice ? Les lignes ne semblent pas proportionnelles... donc, en théorie, elles sont au nombre de trois. Cependant, le rang de cette matrice est également de deux. J'ai ajouté les deux premières lignes et écrit le résultat en bas, c'est-à-dire exprimé linéairement de la troisième ligne aux deux premières. Géométriquement, les lignes de la matrice correspondent aux coordonnées de trois vecteurs coplanaires, et parmi ces trois il y a une paire de camarades non colinéaires.

Comme vous pouvez le voir, dépendance linéaire dans la matrice considérée n'est pas évident, et nous allons aujourd'hui apprendre à la faire ressortir au grand jour.

Je pense que beaucoup de gens peuvent deviner quel est le rang d'une matrice !

Considérons une matrice dont les lignes linéairement indépendant. Forme de vecteurs base affine, et le rang de cette matrice est trois.

Comme vous le savez, tout quatrième, cinquième ou dixième vecteur d'un espace tridimensionnel sera exprimé linéairement en termes de vecteurs de base. Par conséquent, si vous ajoutez un nombre quelconque de lignes à une matrice, alors son rang sera toujours égal à trois.

Un raisonnement similaire peut être effectué pour des matrices de plus grandes tailles (bien sûr, sans aucune signification géométrique).

Définition : Le rang d'une matrice est le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes. Ou: Le rang d'une matrice est le nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes. Oui, leur numéro est toujours le même.

De ce qui précède découle également une directive pratique importante : le rang de la matrice ne dépasse pas sa dimension minimale. Par exemple, dans la matrice quatre lignes et cinq colonnes. La dimension minimale est quatre, donc le rang de cette matrice ne dépassera certainement pas 4.

Désignations: dans la théorie et la pratique du monde, il n'existe pas de norme généralement acceptée pour désigner le rang d'une matrice ; le plus souvent on trouve : - comme on dit, un Anglais écrit une chose, un Allemand une autre. Par conséquent, sur la base de la célèbre blague sur l’enfer américain et russe, désignons le rang de la matrice par un mot natif. Par exemple: . Et si la matrice est « sans nom », comme il y en a beaucoup, alors vous pouvez simplement écrire .

Comment trouver le rang d’une matrice à l’aide des mineurs ?

Si ma grand-mère avait une cinquième colonne dans sa matrice, alors elle devrait calculer une autre mineure du 4ème ordre (« bleu », « framboise » + 5ème colonne).

Conclusion: l'ordre maximum d'un mineur non nul est de trois, ce qui signifie .

Peut-être que tout le monde n'a pas bien compris cette phrase : un mineur du 4ème ordre est égal à zéro, mais parmi les mineurs du 3ème ordre il y en avait un non nul - donc l'ordre maximum non nul mineur et est égal à trois.

La question se pose, pourquoi ne pas calculer immédiatement le déterminant ? Eh bien, premièrement, dans la plupart des tâches, la matrice n'est pas carrée, et deuxièmement, même si vous obtenez une valeur non nulle, la tâche sera très probablement rejetée, car elle implique généralement une solution standard « ascendante ». Et dans l'exemple considéré, le déterminant zéro du 4ème ordre permet d'affirmer que le rang de la matrice n'est que inférieur à quatre.

Je dois l'avouer, j'ai posé le problème que j'ai analysé moi-même afin de mieux expliquer la méthode de limitrophe des mineurs. En pratique, tout est plus simple :

Exemple 2

Trouver le rang d'une matrice en utilisant la méthode des mineurs de bord

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Quand l’algorithme fonctionne-t-il le plus rapidement ? Revenons à la même matrice quatre par quatre. . Évidemment, la solution sera la plus courte en cas de « bon » mineurs de coin:

Et si, alors, sinon – .

La réflexion n'est pas du tout hypothétique - il existe de nombreux exemples où toute l'affaire se limite uniquement aux mineurs anguleux.

Cependant, dans certains cas, une autre méthode est plus efficace et préférable :

Comment trouver le rang d’une matrice par la méthode gaussienne ?

Ce paragraphe est destiné aux lecteurs qui connaissent déjà Méthode gaussienne et ont plus ou moins mis la main sur lui.

D'un point de vue technique, la méthode n'est pas nouvelle :

1) à l'aide de transformations élémentaires, on réduit la matrice à une forme pas à pas ;

2) le rang de la matrice est égal au nombre de lignes.

Il est absolument clair que l'utilisation de la méthode gaussienne ne change pas le rang de la matrice, et l'essence ici est extrêmement simple : selon l'algorithme, lors des transformations élémentaires, toutes les lignes proportionnelles inutiles (linéairement dépendantes) sont identifiées et supprimées, ce qui donne un « résidu sec » - le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes.

Transformons l'ancienne matrice familière avec les coordonnées de trois vecteurs colinéaires :

(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne.

(2) Les lignes zéro sont supprimées.

Il reste donc une ligne, donc . Inutile de dire que c'est beaucoup plus rapide que de calculer neuf mineurs zéro du 2ème ordre et de tirer ensuite une conclusion.

Je te rappelle qu'en soi matrice algébrique rien ne peut être changé, et les transformations sont effectuées uniquement dans le but de déterminer le rang ! Au fait, revenons encore une fois à la question, pourquoi pas ? Matrice source contient des informations fondamentalement différentes des informations de la matrice et de la ligne. Dans certains modèles mathématiques (sans exagération), la différence entre un nombre peut être une question de vie ou de mort. ...Je me souviens des professeurs de mathématiques des écoles primaires et secondaires qui réduisaient sans pitié les notes de 1 à 2 points à la moindre inexactitude ou écart par rapport à l'algorithme. Et ce fut terriblement décevant quand, au lieu d'un « A » apparemment garanti, cela s'est avéré « bon », voire pire. La compréhension est venue beaucoup plus tard : comment confier autrement des satellites, des ogives nucléaires et des centrales électriques à une personne ? Mais ne vous inquiétez pas, je ne travaille pas dans ces domaines =)

Passons à des tâches plus significatives, où, entre autres, nous nous familiariserons avec d'importantes techniques de calcul Méthode Gauss:

Exemple 3

Trouver le rang d'une matrice à l'aide de transformations élémentaires

Solution: une matrice « quatre par cinq » est donnée, ce qui signifie que son rang n'est certainement pas supérieur à 4.

Dans la première colonne, il n'y a pas de 1 ou de –1, des actions supplémentaires sont donc nécessaires pour obtenir au moins une unité. Tout au long de l'existence du site, la question m'a été posée à plusieurs reprises : « Est-il possible de réorganiser les colonnes lors de transformations élémentaires ? Ici, nous avons réorganisé la première et la deuxième colonnes, et tout va bien ! Dans la plupart des tâches où il est utilisé Méthode gaussienne, les colonnes peuvent en effet être réorganisées. MAIS PAS NÉCESSAIRE. Et le problème n'est même pas une éventuelle confusion avec les variables, le fait est que dans le cours classique des mathématiques supérieures, cette action n'est traditionnellement pas prise en compte, donc un tel clin d'œil sera considéré TRÈS de travers (ou même obligé de tout refaire).

Le deuxième point concerne les chiffres. Lorsque vous prenez votre décision, il est utile d’utiliser la règle empirique suivante : les transformations élémentaires doivent, si possible, réduire les nombres matriciels. Après tout, il est beaucoup plus facile de travailler avec un, deux, trois que, par exemple, avec 23, 45 et 97. Et la première action vise non seulement à obtenir un dans la première colonne, mais aussi à éliminer les nombres. 7 et 11.

D'abord la solution complète, puis les commentaires :

(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –3. Et au tas : la 1ère ligne a été ajoutée à la 4ème ligne, multipliée par –1.

(2) Les trois dernières lignes sont proportionnelles. Les 3ème et 4ème lignes ont été supprimées, la deuxième ligne a été déplacée à la première place.

(3) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –3.

La matrice réduite sous forme échelonnée comporte deux lignes.

Répondre:

C'est maintenant à votre tour de torturer la matrice quatre par quatre :

Exemple 4

Trouver le rang d'une matrice en utilisant la méthode gaussienne

je te rappelle que Méthode gaussienne n'implique pas une rigidité sans ambiguïté, et votre décision sera très probablement différente de la mienne. Un bref exemple de tâche à la fin de la leçon.

Quelle méthode dois-je utiliser pour trouver le rang d’une matrice ?

Dans la pratique, il n’est souvent pas indiqué quelle méthode doit être utilisée pour trouver le rang. Dans une telle situation, la condition doit être analysée - pour certaines matrices, il est plus rationnel de résoudre par mineurs, tandis que pour d'autres, il est beaucoup plus rentable d'appliquer des transformations élémentaires :

Exemple 5

Trouver le rang d'une matrice

Solution: la première méthode disparaît immédiatement =)

Un peu plus haut, j'ai conseillé de ne pas toucher aux colonnes de la matrice, mais quand il y a une colonne nulle, ou des colonnes proportionnelles/coïncidantes, alors ça vaut quand même la peine d'amputer :

(1) La cinquième colonne est nulle, supprimez-la de la matrice. Ainsi, le rang de la matrice n'est pas supérieur à quatre. La première ligne a été multipliée par –1. C'est une autre signature de la méthode Gauss, qui transforme l'action suivante en une promenade agréable :

(2) À toutes les lignes, à partir de la seconde, la première ligne a été ajoutée.

(3) La première ligne a été multipliée par –1, la troisième ligne a été divisée par 2, la quatrième ligne a été divisée par 3. La deuxième ligne a été ajoutée à la cinquième ligne, multipliée par –1.

(4) La troisième ligne a été ajoutée à la cinquième ligne, multipliée par –2.

(5) Les deux dernières lignes sont proportionnelles, la cinquième est supprimée.

Le résultat est 4 lignes.

Répondre:

Bâtiment standard de cinq étages pour étude indépendante :

Exemple 6

Trouver le rang d'une matrice

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon.

Il convient de noter que l'expression « rang matriciel » n'est pas si courante dans la pratique et que dans la plupart des problèmes, vous pouvez vous en passer complètement. Mais il y a une tâche où le concept en question est le personnage principal, et nous conclurons l'article avec cette application pratique :

Comment étudier la cohérence d'un système d'équations linéaires ?

Souvent, en plus de la solution systèmes d'équations linéaires selon la condition, il faut d'abord en examiner la compatibilité, c'est-à-dire prouver qu'une solution existe. Un rôle clé dans cette vérification est joué par Théorème de Kronecker-Capelli, que je formulerai sous la forme nécessaire :

Si rang matrices systèmeégal au rang système matriciel étendu, alors le système est cohérent, et si ce nombre coïncide avec le nombre d'inconnues, alors la solution est unique.

Ainsi, pour étudier la compatibilité du système, il est nécessaire de vérifier l'égalité , Où - matrice du système(rappelez-vous la terminologie de la leçon Méthode Gauss), UN - matrice du système étendu(soit une matrice avec des coefficients de variables + une colonne de termes libres).

Définition. Rang matriciel est le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes considérées comme vecteurs.

Théorème 1 sur le rang de la matrice. Rang matriciel est appelé l'ordre maximum d'un mineur non nul d'une matrice.

Nous avons déjà évoqué la notion de mineur dans la leçon sur les déterminants, et nous allons maintenant la généraliser. Prenons un certain nombre de lignes et un certain nombre de colonnes dans la matrice, et ce « combien » doit être inférieur au nombre de lignes et de colonnes de la matrice, et pour les lignes et les colonnes ce « combien » doit être le même nombre. Ensuite, à l’intersection du nombre de lignes et du nombre de colonnes, il y aura une matrice d’ordre inférieur à notre matrice d’origine. Le déterminant est une matrice et sera un mineur du kième ordre si le « certains » mentionné (le nombre de lignes et de colonnes) est noté k.

Définition. Mineure ( r+1)ème ordre dans lequel se situe le mineur choisi r-ème ordre est dit limitrophe pour un mineur donné.

Les deux méthodes les plus couramment utilisées sont trouver le rang de la matrice. Ce manière de border les mineurs Et méthode de transformations élémentaires(Méthode Gauss).

Lors de l'utilisation de la méthode des mineurs limitrophes, le théorème suivant est utilisé.

Théorème 2 sur le rang de la matrice. Si une mineure peut être composée d'éléments matriciels rème ordre, non égal à zéro, alors le rang de la matrice est égal à r.

Lors de l'utilisation de la méthode de transformation élémentaire, la propriété suivante est utilisée :

Si, par transformations élémentaires, on obtient une matrice trapézoïdale équivalente à celle d'origine, alors rang de cette matrice est le nombre de lignes autres que les lignes composées entièrement de zéros.

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes

Un mineur englobant est un mineur d'ordre supérieur par rapport à celui donné si ce mineur d'ordre supérieur contient le mineur donné.

Par exemple, étant donné la matrice

Prenons un mineur

Les mineurs limitrophes seront :

Algorithme pour trouver le rang d'une matrice suivant.

1. Trouver les mineurs du second ordre qui ne sont pas égaux à zéro. Si tous les mineurs du second ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice sera égal à un ( r =1 ).

2. S'il y a au moins un mineur du deuxième ordre qui n'est pas égal à zéro, alors on compose les mineurs limitrophes du troisième ordre. Si tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à deux ( r =2 ).

3. Si au moins un des mineurs limitrophes du troisième ordre n'est pas égal à zéro, alors on compose les mineurs limitrophes. Si tous les mineurs limitrophes du quatrième ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à trois ( r =2 ).

4. Continuez ainsi tant que la taille de la matrice le permet.

Exemple 1. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Mineur du deuxième ordre .

Bordons-le. Il y aura quatre mineurs limitrophes :

Ainsi, tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, donc le rang de cette matrice est égal à deux ( r =2 ).

Exemple 2. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Le rang de cette matrice est égal à 1, puisque tous les mineurs du second ordre de cette matrice sont égaux à zéro (en cela, comme dans le cas des mineurs limitrophes dans les deux exemples suivants, chers étudiants sont invités à vérifier pour eux-mêmes, peut-être en utilisant les règles de calcul des déterminants), et parmi les mineurs du premier ordre, c'est-à-dire parmi les éléments de la matrice, il y en a des non nuls.

Exemple 3. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Le mineur du deuxième ordre de cette matrice est , et tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro. Le rang de cette matrice est donc deux.

Exemple 4. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Le rang de cette matrice est 3, puisque le seul mineur du troisième ordre de cette matrice est 3.

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des transformations élémentaires (méthode de Gauss)

Déjà dans l'exemple 1, il est clair que la tâche de détermination du rang d'une matrice à l'aide de la méthode des mineurs limitrophes nécessite le calcul d'un grand nombre de déterminants. Il existe cependant un moyen de réduire au minimum la quantité de calcul. Cette méthode est basée sur l'utilisation de transformations matricielles élémentaires et est également appelée méthode de Gauss.

Les opérations suivantes sont considérées comme des transformations matricielles élémentaires :

1) multiplier n'importe quelle ligne ou colonne d'une matrice par un nombre autre que zéro ;

2) ajouter aux éléments d'une ligne ou d'une colonne de la matrice les éléments correspondants d'une autre ligne ou colonne, multipliés par le même nombre ;

3) échanger deux lignes ou colonnes de la matrice ;

4) supprimer les lignes « nulles », c'est-à-dire celles dont les éléments sont tous égaux à zéro ;

5) supprimer toutes les lignes proportionnelles sauf une.

Théorème. Lors d'une transformation élémentaire, le rang de la matrice ne change pas. Autrement dit, si l’on utilise les transformations élémentaires de la matrice UN je suis allé à la matrice B, Que .

Un nombre r est appelé rang de la matrice A si :
1) dans la matrice A il y a un mineur d'ordre r, différent de zéro ;
2) tous les mineurs d'ordre (r+1) et supérieurs, s'ils existent, sont égaux à zéro.
Sinon, le rang d'une matrice est l'ordre mineur le plus élevé autre que zéro.
Désignations : rangA, r A ou r.
De la définition, il résulte que r est un entier positif. Pour une matrice nulle, le rang est considéré comme nul.

Objet de la prestation. Le calculateur en ligne est conçu pour trouver rang matriciel. Dans ce cas, la solution est enregistrée au format Word et Excel. voir exemple de solution.

Instructions. Sélectionnez la dimension de la matrice, cliquez sur Suivant.

Définition . Soit une matrice de rang r. Tout mineur d'une matrice différent de zéro et d'ordre r est appelé basique, et les lignes et colonnes de ses composants sont appelées lignes et colonnes de base.
Selon cette définition, une matrice A peut avoir plusieurs bases mineures.

Le rang de la matrice identité E est n (le nombre de lignes).

Exemple 1. Étant donné deux matrices, et leurs mineurs , . Lequel d’entre eux peut être considéré comme celui de base ?
Solution. Mineur M 1 =0, il ne peut donc servir de base à aucune des matrices. Mineur M 2 =-9≠0 et est d'ordre 2, ce qui signifie qu'il peut être pris comme base des matrices A ou / et B, à condition qu'elles aient des rangs égaux à 2. Puisque detB=0 (en tant que déterminant à deux colonnes proportionnelles), alors rangB=2 et M 2 peuvent être pris comme base mineure de la matrice B. Le rang de la matrice A est 3, du fait que detA=-27≠ 0 et, par conséquent, l'ordre de la base mineure de cette matrice doit être égal à 3, c'est-à-dire que M 2 n'est pas une base pour la matrice A. Notez que la matrice A a une seule base mineure, égale au déterminant de la matrice A.

Théorème (sur la base mineure). Toute ligne (colonne) d'une matrice est une combinaison linéaire de ses lignes (colonnes) de base.
Corollaires du théorème.

Chaque (r+1) matrice colonne (ligne) de rang r est linéairement dépendante.
Si le rang d'une matrice est inférieur au nombre de ses lignes (colonnes), alors ses lignes (colonnes) sont linéairement dépendantes. Si rangA est égal au nombre de ses lignes (colonnes), alors les lignes (colonnes) sont linéairement indépendantes.
Le déterminant d'une matrice A est égal à zéro si et seulement si ses lignes (colonnes) sont linéairement dépendantes.
Si vous ajoutez une autre ligne (colonne) à une ligne (colonne) d'une matrice, multipliée par un nombre autre que zéro, alors le rang de la matrice ne changera pas.
Si vous rayez une ligne (colonne) dans une matrice, qui est une combinaison linéaire d’autres lignes (colonnes), le rang de la matrice ne changera pas.
Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de ses lignes (colonnes) linéairement indépendantes.
Le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes est le même que le nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes.

Exemple 2. Trouver le rang d'une matrice .
Solution. A partir de la définition du rang matriciel, nous rechercherons un mineur d'ordre le plus élevé, différent de zéro. Tout d’abord, transformons la matrice en une forme plus simple. Pour ce faire, multipliez la première ligne de la matrice par (-2) et ajoutez-la à la seconde, puis multipliez-la par (-1) et ajoutez-la à la troisième.

Élémentaire Les transformations matricielles suivantes sont appelées :

1) permutation de deux lignes (ou colonnes),

2) multiplier une ligne (ou une colonne) par un nombre non nul,

3) ajouter à une ligne (ou colonne) une autre ligne (ou colonne), multipliée par un certain nombre.

Les deux matrices sont appelées équivalent, si l'un d'eux est obtenu à partir de l'autre en utilisant un ensemble fini de transformations élémentaires.

Les matrices équivalentes ne sont pas, en général, égales, mais leurs rangs sont égaux. Si les matrices A et B sont équivalentes, alors cela s'écrit comme suit : A ~ B.

Canonique Une matrice est une matrice dans laquelle au début de la diagonale principale il y en a plusieurs d'affilée (dont le nombre peut être nul), et tous les autres éléments sont égaux à zéro, par exemple,

Grâce à des transformations élémentaires de lignes et de colonnes, n'importe quelle matrice peut être réduite à canonique. Le rang d'une matrice canonique est égal au nombre de un sur sa diagonale principale.

Exemple 2 Trouver le rang d'une matrice

UNE=

et lui donner une forme canonique.

Solution. De la deuxième ligne, soustrayez la première et réorganisez ces lignes :

Maintenant, des deuxième et troisième lignes, nous soustrayons la première, multipliée respectivement par 2 et 5 :

;

soustrayez la première de la troisième ligne ; on obtient une matrice

B = ,

qui est équivalente à la matrice A, puisqu'elle en est obtenue à l'aide d'un ensemble fini de transformations élémentaires. Évidemment, le rang de la matrice B est 2, et donc r(A)=2. La matrice B peut facilement être réduite à canonique. En soustrayant la première colonne, multipliée par les nombres appropriés, de toutes les colonnes suivantes, nous remettons à zéro tous les éléments de la première ligne, à l'exception du premier, et les éléments des lignes restantes ne changent pas. Ensuite, en soustrayant la deuxième colonne, multipliée par les nombres appropriés, de tous les suivants, nous remettons à zéro tous les éléments de la deuxième ligne, à l'exception de la seconde, et obtenons la matrice canonique :

Théorème de Kronecker-Capelli- critère de compatibilité pour un système d'équations algébriques linéaires :

Pour qu'un système linéaire soit cohérent, il faut et il suffit que le rang de la matrice étendue de ce système soit égal au rang de sa matrice principale.

Preuve (conditions de compatibilité du système)

Nécessité

Laisser système articulation Ensuite, il y a des nombres tels que . La colonne est donc une combinaison linéaire des colonnes de la matrice. Du fait que le rang d'une matrice ne changera pas si une ligne (colonne) est supprimée ou ajoutée du système de ses lignes (colonnes), qui est une combinaison linéaire d'autres lignes (colonnes), il s'ensuit que .

Adéquation

Laisser . Prenons quelques mineures de base dans la matrice. Puisque, alors ce sera aussi la base mineure de la matrice. Alors, d'après le théorème de base mineure, la dernière colonne de la matrice sera une combinaison linéaire des colonnes de base, c'est-à-dire les colonnes de la matrice. La colonne des termes libres du système est donc une combinaison linéaire des colonnes de la matrice.

Conséquences

Nombre de variables principales systèmeségal au rang du système.

Articulation système sera défini (sa solution est unique) si le rang du système est égal au nombre de toutes ses variables.

Système d'équations homogène

Offre15 . 2 Système d'équations homogène

est toujours conjoint.

Preuve. Pour ce système, l’ensemble des nombres , , , est une solution.

Dans cette section nous utiliserons la notation matricielle du système : .

Offre15 . 3 La somme des solutions d'un système homogène d'équations linéaires est une solution de ce système. Une solution multipliée par un nombre est aussi une solution.

Preuve. Laissez-les servir de solutions au système. Puis et. Laisser . Alors

Depuis, c'est la solution.

Soit un nombre arbitraire, . Alors