DÉFINITION

Condensateur, dans le cas le plus simple, est constitué de deux conducteurs métalliques (plaques) séparés par une couche diélectrique. Chacune des plaques du condensateur possède sa propre borne et peut être connectée à un circuit électrique.

Un condensateur est caractérisé à l'aide d'un certain nombre de paramètres (capacité, tension de fonctionnement, etc.), l'une de ces caractéristiques étant la résistance. Le condensateur ne laisse pratiquement pas passer le courant électrique continu. Autrement dit, la résistance du condensateur est infiniment grande pour le courant continu, mais c'est le cas idéal. Un très petit courant peut traverser un véritable diélectrique. Ce courant est appelé courant de fuite. Le courant de fuite est un indicateur de la qualité du diélectrique utilisé dans la fabrication du condensateur. Avec les condensateurs modernes, le courant de fuite est de plusieurs fractions de microampère. La résistance du condensateur dans ce cas peut être calculée à l'aide de la loi d'Ohm pour une section du circuit, connaissant la tension à laquelle le condensateur est chargé et le courant de fuite. Mais généralement, lors de la résolution de problèmes éducatifs, la résistance d'un condensateur au courant continu est considérée comme infiniment grande.

Résistance du condensateur à la tension alternative

Lorsqu'un condensateur est connecté à un circuit à courant alternatif, le courant circule librement à travers le condensateur. Cela peut s'expliquer très simplement : un processus de charge et de décharge constante du condensateur se produit. Dans ce cas, ils disent que le circuit contient une réactance capacitive du condensateur, en plus de la résistance active.

Et donc le condensateur inclus dans le circuit courant alternatif, se comporte comme une résistance, c’est-à-dire qu’il affecte le courant circulant dans le circuit. On note la valeur de la capacité par , sa valeur est liée à la fréquence du courant et est déterminée par la formule :

où est la fréquence du courant alternatif ; - fréquence angulaire du courant ; C est la capacité du condensateur.

Si un condensateur est connecté à un circuit à courant alternatif, aucune énergie n'y est dépensée, car la phase du courant est décalée par rapport à la tension. Si l'on considère une période d'oscillation de courant dans le circuit (T), alors ce qui suit se produit : lorsque le condensateur est chargé (cela équivaut à ), de l'énergie est stockée dans le champ du condensateur ; dans la période de temps suivante (), le condensateur se décharge et libère de l'énergie dans le circuit. Par conséquent, la réactance capacitive est appelée réactive (sans watt).

Il convient de noter que dans chaque condensateur réel, la puissance réelle (puissance de perte) est toujours dépensée lorsqu'un courant alternatif le traverse. Ceci est dû aux changements survenant dans l’état du diélectrique du condensateur. De plus, il y a des fuites dans l'isolation des plaques du condensateur, de sorte qu'une petite résistance active apparaît, qui est pour ainsi dire connectée en parallèle avec le condensateur.

Exemples de résolution de problèmes

EXEMPLE 1

Exercice	Circuit oscillatoire possède une résistance (R), une inductance (L) et un condensateur C (Fig. 1). Une tension externe y est connectée dont l'amplitude est égale à , et la fréquence est . Quelle est l'amplitude du courant dans le circuit ?
Solution	La résistance du circuit sur la figure 1 comprend la résistance active R, la capacité du condensateur et la résistance de l'inductance. Impédance une chaîne (Z) qui contient les éléments ci-dessus se trouve sous la forme : La loi d'Ohm pour notre section du circuit peut s'écrire : Exprimons l'amplitude de courant souhaitée à partir de (1.2), substituons à la place de Z côté droit formules (1.1), on a :
Répondre

L'expérience montre que si vous connectez un condensateur en série avec une ampoule et que vous les connectez à un générateur de tension constante, l'ampoule ne s'allume pas. Cela est compréhensible puisque les plaques du condensateur sont séparées par un diélectrique et que le circuit est ouvert. Lorsqu'un condensateur est connecté à une source CC, une impulsion de courant à court terme se produit, qui chargera le condensateur à la tension de la source, puis le courant s'arrêtera. Mais si ce circuit est connecté à une source Tension alternative, puis la lumière s'allume. Le courant alternatif représente un courant forcé vibrations électromagnétiques, se produisant sous l'influence de la variable Champ électromagnétique Générateur Lorsqu'un condensateur est connecté à un circuit à courant alternatif, son processus de charge dure un quart de période. Après avoir atteint la valeur d'amplitude, la tension entre les plaques du condensateur diminue et le condensateur se décharge dans un quart de la période. Au cours du quart suivant de la période, le condensateur est à nouveau chargé, mais le signe de la charge sur ses plaques change à l'opposé, etc. Grâce au diélectrique séparant les plaques du condensateur, comme dans un circuit DC, charges électriques ne passe pas. Mais à travers les fils reliant les plaques du condensateur à la source de tension, un courant alternatif circule pour décharger et charger le condensateur. Par conséquent, une ampoule connectée en série avec un condensateur brûlera en continu. Si vous débranchez maintenant le condensateur, l'ampoule brille plus fort. Par conséquent, le condensateur fournit une résistance au courant alternatif, appelée capacitance.

Considérons un circuit (Fig. 1) constitué d'un condensateur et de fils conducteurs dont la résistance est négligeable, et d'un générateur de tension alternative.

Laissez la tension sur le condensateur changer selon la loi \(~U = U_0\sin wt.\) Comme on le sait, la charge sur les plaques du condensateur peut être déterminée par la formule \(~q = CU = CU_0\ sin wt.\) Intensité du courant \(~I = q".\) Par conséquent,

\(~I = -wCU_0\cos wt = wCU_0\sin(wt+\frac (\pi)2).\)

D'où \(~I=I_0\sin (wt +\frac (\pi)2),\)

où \(~I_0=wCU_o\) est la valeur d'amplitude du courant :

\(~I_0=\frac (U_0)(\frac 1(wC)); I_0 =\frac (U_0)(X_C),\)

où \(~X_C = \frac 1(wC).\)

En exprimant les valeurs d'amplitude en termes d'effectif \(~I_0 = \sqrt2 I \) et \(~U_0 = \sqrt2 U,\) nous obtenons \(~I= \frac U(X_C), \) c'est-à-dire la valeur efficace du courant est liée à la valeur efficace de la tension sur le condensateur de la même manière que le courant et la tension dans la section du circuit CC sont liés selon la loi d'Ohm. Cela nous permet de considérer la valeur X c comme résistance du condensateur au courant alternatif :

\(~X_C = \frac 1(wC)\) - capacité.

L'unité SI de capacité est l'ohm (Ω).

Comme le montre la formule obtenue ci-dessus, si seule une réactance capacitive est incluse dans le circuit, les fluctuations de courant dans ce circuit sont en avance sur la phase des fluctuations de tension sur le condensateur de \(~\frac (\pi)2,\) qui est représenté dans le graphique et dans le diagramme vectoriel (Fig. 2).

Puissance instantanée

\(~P=IU = I_0\sin (wt +\frac (\pi)2)U_0\sin wt = I_0U_0\sin wt \cos wt =\frac (I_0U_0)2 \sin 2wt,\)

ceux. la puissance change périodiquement avec une double fréquence, et la valeur moyenne de la puissance - pour la période \(\mathcal h P \mathcal i =0.\) puisque \(~\mathcal h \sin 2wt \mathcal i = 0.\) Le le premier et le troisième quart de la période pendant laquelle le condensateur est en charge, il reçoit de l'énergie du générateur, et les deuxième et quatrième quarts de la période, lorsque le condensateur est en décharge, il donne de l'énergie au générateur.

Ainsi, tout comme la résistance active, la réactance capacitive limite le courant dans le circuit, mais contrairement à la résistance active, la réactance capacitive Énergie électrique ne se convertit pas de manière irréversible en d’autres types d’énergie.

Littérature

Aksenovich L. A. Physique au lycée : Théorie. Tâches. Tests : Manuel. allocation pour les établissements dispensant un enseignement général. environnement, éducation / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino ; Éd. KS Farino. - Mn. : Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - P. 402-404.

Définition 1

Supposons qu'une source de courant alternatif soit connectée à un circuit dans lequel l'inductance et la capacité peuvent être négligées. Le courant alternatif varie selon la loi :

Image 1.

Ensuite, si l’on applique la loi d’Ohm à la section de la chaîne ($a R en $) (Fig. 1), on obtient :

où $U$ est la tension aux extrémités de la section. La différence de phase entre le courant et la tension est nulle. La valeur d'amplitude de la tension ($U_m$) est égale à :

où le coefficient $R$ est appelé résistance active . La présence d’une résistance active dans un circuit entraîne toujours une génération de chaleur.

Capacitance

Supposons qu'un condensateur de capacité $C$ soit inclus dans une section du circuit, et $R=0$ et $L=0$. Nous considérerons l’intensité du courant ($I$) comme positive si elle a la direction indiquée sur la figure. 2. Soit la charge du condensateur égale à $q$.

Figure 2.

On peut utiliser les relations suivantes :

Si $I(t)$ est défini par l'équation (1), alors la charge est exprimée comme suit :

où $q_0$ est une charge constante arbitraire du condensateur, qui n'est pas associée aux fluctuations de courant, on peut donc supposer que $q_0=0.$ On obtient la tension égale à :

La formule (6) montre que les fluctuations de tension sur un condensateur sont en retard par rapport aux fluctuations de courant en phase de $\frac(\pi )(2).$ L'amplitude de tension aux bornes du condensateur est égale à :

La quantité $X_C=\frac(1)(\omega C)$ est appelée capacité réactive(capacité, résistance apparente de la capacité). Si le courant est constant, alors $X_C=\infty $. Cela signifie qu’aucun courant continu ne traverse le condensateur. De la définition de la capacité, il ressort clairement que lorsque hautes fréquences oscillations, les petites capacités sont de petites résistances au courant alternatif.

Réactance inductive

Supposons qu'une section du circuit n'ait qu'une inductance (Fig. 3). Nous supposerons $I>0$ si le courant est dirigé de $a$ vers $b$.

Figure 3.

Si un courant circule dans la bobine, alors une force électromotrice auto-inductive apparaît dans l'inductance, par conséquent, la loi d'Ohm prendra la forme :

Par condition $R=0. \mathcal E$ d'auto-induction peut être exprimé comme suit :

Des expressions (8), (9) il résulte que :

L'amplitude de tension dans ce cas est égale à :

où $X_L-\$ réactance inductive(résistance inductive apparente).

Loi d'Ohm pour les circuits à courant alternatif

Définition 2

Expression comme :

appelé résistance électrique totale, ou impédance, appelé quelques fois Loi d'Ohm pour le courant alternatif. Cependant, il faut rappeler que la formule (12) fait référence aux amplitudes du courant et de la tension, et non à leurs valeurs instantanées.

Exemple 1

Exercice: Quelle est la valeur efficace du courant dans le circuit ? Un circuit à courant alternatif se compose d'un condensateur connecté en série avec une capacité $C$, une inductance $L$ et une résistance active $R$. La tension est appliquée aux bornes du circuit tension efficace$U$ dont la fréquence est $\nu$.

Solution:

Puisque tous les éléments du circuit sont connectés en série, l’intensité du courant dans tous les éléments est la même.

La valeur d'amplitude du courant est exprimée "La loi d'Ohm pour le courant alternatif":

elle est liée à la valeur actuelle effective comme suit :

Dans les conditions du problème, on a la valeur efficace de la tension $U$ ; dans la formule (1.1), on a besoin de l'amplitude de la tension en utilisant la formule :

En remplaçant les formules (1.1) et (1.3) dans la formule (1.2), on obtient :

où $\omega =2\pi \nu .$

Répondre:$I=\frac(U)(\sqrt(R^2+(\left(2\pi \nu L-\frac(1)(2\pi \nu C)\right))^2)).$

Exemple 2

Exercice: En utilisant les conditions du problème du premier exemple, trouvez valeurs efficaces tensions sur l'inductance ($U_L$), la résistance ($U_R$), le condensateur ($U_C$).

Solution:

La tension aux bornes de la résistance active ($U_R$) est égale à :

La tension aux bornes du condensateur ($U_C$) est définie comme :

Répondre:$U_L=2\pi \nu L\frac(U)(\sqrt(R^2+(\left(2\pi \nu L-\frac(1)(2\pi \nu C)\right)) ^2)),\ U_R=\frac(UR)(\sqrt(R^2+(\left(2\pi \nu L-\frac(1)(2\pi \nu C)\right))^ 2)),U_C=\frac(1)(C2\pi \nu )\frac(U)(\sqrt(R^2+(\left(2\pi \nu L-\frac(1)(2\ pi \nu C)\right))^2)).$

La capacité fait référence à la nature particulière de la résistance au courant alternatif observée dans les circuits avec capacité électrique. Dans ce cas, la capacité du condensateur dépend non seulement des éléments inclus dans le circuit, mais également des paramètres du courant qui y circule (voir la figure ci-dessous).

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Dépendance de la capacité sur la fréquence

On note également que le condensateur appartient à la catégorie des éléments réactifs, dont la perte d'énergie ne se produit pas dans le circuit à courant alternatif.

Formule de capacité

Afin de déterminer la capacité dans un circuit particulier, vous devrez identifier les paramètres suivants :

• Fréquence du courant alternatif circulant dans le circuit ;
• Valeur nominale de la capacité du condensateur ;
• La présence d'autres éléments radio dans le circuit.

Une fois tous les facteurs ci-dessus pris en compte, il sera possible de déterminer la capacité du condensateur à l'aide de la formule suivante :

Cette formule indique la dépendance inversement proportionnelle de la résistance sur la valeur de la capacité et de la fréquence de la tension d'alimentation.

En raison de cette nature de changement, les condensateurs peuvent fonctionner dans les circuits dépendants de la fréquence suivants :

• Dispositifs intégraux et différentiels ;
• Circuits résonants de différentes classes ;
• Éléments filtrants spéciaux.

Ajoutons à cela la possibilité d'utiliser des condensateurs comme éléments amortisseurs dans un circuit à courant alternatif chargé sur des unités (de puissance) puissantes.

Représentation vectorielle de la capacité

Pour avoir une idée plus claire de ce qu'est la capacité, vous pouvez utiliser la représentation vectorielle des processus se produisant dans le condensateur.

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Représentation vectorielle

Après avoir étudié le schéma, vous remarquerez que le courant dans le circuit du condensateur change de phase avant la tension de 90 degrés. De la nature de l’interaction des grandeurs électriques de base, on conclut que le condensateur résiste aux changements de tension à ses bornes.

Plus la capacité est grande, plus elle se recharge lentement à pleine tension (et plus la capacité est faible de cet élément). Cette conclusion coïncide complètement avec la formule donnée précédemment.

Informations Complémentaires. Lors de l'examen des inductances connectées aux circuits à courant alternatif, le schéma inverse est découvert lorsque le courant, au contraire, est en retard en phase avec les changements de tension.

A noter que dans les deux cas les différences observées dans les paramètres de phase indiquent le caractère réactif de la résistance de ces éléments.

Capacitance

Unités

Le condensateur, en tant que propriétaire de capacité électrique, ressemble dans ses performances batterie de voiture. Mais contrairement à une batterie, la charge capacitive de celle-ci ne dure pas longtemps, ce qui s'explique par la présence de fuites dans le diélectrique et de décharges partielles dans l'environnement.

Dans ce cas, la capacité (comme celle d’une batterie) détermine les propriétés de stockage du condensateur ou sa capacité à retenir l’énergie entre les plaques.

Note! Dans le système SI, cet indicateur est mesuré en Farads, qui sont une très grande unité de mesure.

En pratique, des unités de mesure de capacité plus petites sont le plus souvent utilisées, à savoir:

• Picofarads, correspondant à 10-12 Farads (F) ;
• Nanofarads égaux à 10-9F ;
• Microfarads (µF), qui correspondent à 10-6 Farad.

Toutes ces unités de multiplicité sont respectivement notées « pF », « nF » et « mF ».

Exemple de calcul de capacité

Parfois, des condensateurs sont installés dans les circuits de suppression de tension afin d'obtenir des valeurs de tension inférieures (au lieu de transformateurs abaisseurs).

Mais si vous manipulez un tel convertisseur avec précaution, il sera tout à fait possible de l'assembler vous-même. Lors du calcul de la capacité requise, il est généralement basé sur les considérations suivantes :

• Un condensateur connecté en série avec une charge est caractérisé par une impédance, un analogue de la résistance pour une capacité ;
• Cet indicateur correspond à un bras distinct dans le diviseur de tension dont le deuxième élément est la résistance de charge ;
• Le rapport des résistances des deux bras est choisi de manière à ce que la tension requise reste sur la charge (12 Volts, par exemple) et que tout le reste de 220 Volts soit dissipé sur le condensateur lui-même.

Informations Complémentaires. Pour améliorer les caractéristiques transitoires de la chaîne de division, une autre résistance, appelée résistance de décharge, est parfois connectée en parallèle avec le condensateur.

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Circuit de calcul de capacité

Dans notre cas, les données suivantes sont sélectionnées :

• Uin=220 Volts ;
• Uout=12 Volts ;
• Iload = 0,1 Ampère (le courant dans la charge est sélectionné en fonction de son passeport).

Sur cette base, vous pouvez déterminer la valeur de la résistance de charge :

Rн=220/0,1=2200 Ohm ou 2,2 Kom.

Pour calculer la valeur de la capacité à laquelle les 208 Volts restants devraient « tomber », les indicateurs suivants sont utilisés :

• Uс=208 Volts ;
• Iс=0,1Amp ;
• Fréseau=50 Hz.

Après cela, vous pouvez calculer la résistance ohmique du condensateur, suffisante pour qu'il ait 208 Volts :

Xc=Uс/Iс=208/0,1=2080.

La capacité du condensateur est obtenue à partir de la relation discutée précédemment :

Sur cette base, nous obtenons :

C = 1/Xc2 π Fréseau = 1/2080x6, 28x50 = 0,0000015311 Farads ou 1,5 µF.

La résistance Rtime est sélectionnée pour être d'environ 10 Kom ou plus.

Propriétés des conteneurs

Lorsque plusieurs condensateurs sont connectés en parallèle, leurs capacités s’additionnent. Dans ce cas, la capacité totale (selon les formules évoquées ci-dessus) diminue. Si tous les éléments du condensateur sont connectés dans une chaîne en série, leur capacité totale est calculée comme les valeurs inverses de chaque composant.

Dans ce cas, la capacité des éléments connectés en série augmente au contraire. En conclusion, notons que cette nature du changement de capacité et d'impédance s'explique par les propriétés du condensateur, qui est capable d'accumuler des charges sur ses plaques.

Vidéo

Considérons circuit électrique, contenant une résistance à résistance active R. et condensateur condensateur C, connecté à la source d'EMF alternative (Fig. 653).

riz. 653
Un condensateur connecté à une source de FEM constante empêche complètement le passage du courant - pendant un certain temps, le condensateur est chargé, la tension entre ses plaques devient égale Source CEM, après quoi le courant dans le circuit s'arrête. Si le condensateur est connecté à un circuit à courant alternatif, le courant dans le circuit ne s'arrête pas - en fait, le condensateur est périodiquement rechargé, les charges sur ses plaques changent périodiquement en amplitude et en signe. Bien entendu, aucune charge ne circule entre les plaques, courant électrique dans une définition stricte, il n'y a aucune différence entre eux. Mais, souvent sans entrer dans les détails et pas trop correctement, ils parlent du courant traversant un condensateur, c'est-à-dire du courant dans le circuit auquel le condensateur est connecté. Nous utiliserons la même terminologie.
Comme précédemment, pour les valeurs instantanées, la loi d’Ohm est valable pour chaîne complète: La force électromotrice de la source est égale à la somme des tensions dans toutes les sections du circuit. L'application de cette loi au circuit considéré conduit à l'équation

Ici U R = IR− tension aux bornes de la résistance, U C = q/C− tension sur le condensateur, q− charge électrique sur ses plaques. L'équation (1) contient trois quantités variant dans le temps (EMF connue et intensité de courant et charge du condensateur actuellement inconnues), en tenant compte du fait que l'intensité du courant est égale à la dérivée temporelle de la charge du condensateur. je = q /, cette équation peut être résolue exactement. Étant donné que la force électromotrice de la source change selon une loi harmonique, la tension sur le condensateur et le courant dans le circuit changeront également selon des lois harmoniques avec la même fréquence - cette affirmation découle directement de l'équation (1).
Tout d'abord, établissons la relation entre le courant dans le circuit et la tension sur le condensateur. Représentons la dépendance de la tension en fonction du temps sous la forme

Nous soulignons que dans ce cas, la tension sur le condensateur diffère de la FEM source ; comme le montrera la discussion ultérieure, il existe également une différence de phase entre ces fonctions. Par conséquent, lors de l'écriture de l'expression (2), nous choisissons une phase initiale arbitraire de zéro ; avec cette détermination, la phase de la FEM, la tension aux bornes de la résistance et le courant sont mesurés par rapport à la phase des oscillations de tension aux bornes de la résistance.
En utilisant la relation entre la tension et la charge du condensateur, nous écrivons une expression pour la dépendance de cette dernière au temps

ce qui permet de trouver la dépendance temporelle du courant 1

Lors de la dernière étape, une formule de réduction trigonométrique est utilisée afin de mettre explicitement en évidence le déphasage entre courant et tension.
Nous avons donc compris que la valeur d'amplitude du courant traversant le condensateur est liée à la tension aux bornes de celui-ci par la relation

et aussi entre les fluctuations de courant et de tension, il existe une différence de phase égale à Δφ = π/2. Ces résultats sont résumés dans la Fig. 654, qui montre également un diagramme vectoriel des fluctuations de courant et de tension.

riz. 654
Afin de conserver la forme de la loi d'Ohm pour une section de circuit, le concept est introduit capacitance, qui est déterminé par la formule

Dans ce cas, la relation (5) devient traditionnelle pour la loi d’Ohm

En étudiant la loi d'Ohm pour les circuits à courant continu, nous avons souligné que le champ électrique force les particules chargées à l'intérieur du conducteur à se déplacer de manière ordonnée, c'est-à-dire qu'il crée un courant électrique. En d’autres termes, « la tension provoque la production de courant ». Dans ce cas, la situation est inverse - en raison du courant électrique, des charges électriques apparaissent sur les plaques, créant un champ électrique, on peut donc dire que dans ce cas « l'intensité du courant est la cause de l'apparition d'une tension ». .» Cependant, ces arguments doivent être traités avec quelque scepticisme, car le mouvement des charges (courant électrique) et le champ électrique « s’ajustent » l’un à l’autre jusqu’à ce qu’un certain rapport s’établisse entre eux, correspondant à l’état stationnaire. Donc quand CC la condition de stationnarité est la condition de courant constant. Dans un circuit à courant alternatif en régime permanent, non seulement les valeurs d'amplitude des courants et des tensions sont cohérentes, mais également la différence de phase entre elles. En d’autres termes, la question de cause à effet abordée ici est similaire à la question « qui est venu en premier, la poule ou l’œuf ? »
Puisqu'il existe un déphasage entre le courant et la tension égal à Δφ = π/2, alors la puissance moyenne du courant traversant le condensateur est nulle. Vraiment,

En d’autres termes, il n’y a en moyenne aucune perte d’énergie lorsque le courant traverse un condensateur. Bien entendu, le condensateur affecte la circulation du courant dans le circuit. Lors de la charge du condensateur, l'énergie du courant électrique est convertie en énergie du champ électrostatique entre les plaques du condensateur, et lors de la décharge, le condensateur libère l'énergie accumulée dans le circuit, tandis que l'énergie moyenne consommée par le condensateur reste égal à zéro. La capacité est donc dite réactive.
Des graphiques de la dépendance du courant, de la tension et de la puissance instantanée dans le circuit considéré sont présentés sur la Fig. 655.


riz. 655
Le remplissage indique les intervalles de temps pendant lesquels le condensateur accumule de l'énergie. Dans ces intervalles, le courant et la tension ont le même signe.
La diminution de la capacité avec l'augmentation de la fréquence est évidente - plus la fréquence du courant est élevée, moins la charge sur le condensateur parvient à s'accumuler sur les plaques du condensateur pendant la moitié de la période (tandis que le courant circule dans un sens), plus la tension sur moins il empêche le passage du courant dans le circuit. Un raisonnement similaire est valable pour expliquer la dépendance de cette résistance à la capacité du condensateur.
Revenons à l'examen du circuit représenté sur la Fig. 653, qui est décrit par l'équation (1). Négliger résistance interne source, nous écrivons une expression explicite pour la tension créée par la source

Ici Uo− valeur de tension d'amplitude égale à la valeur d'amplitude de la force électromotrice de la source. De plus, nous considérons maintenant que la phase initiale de la FEM de la source est nulle (auparavant, nous considérions que la phase des oscillations de tension aux bornes de la résistance était nulle).
En utilisant cette équation et la relation entre l'intensité du courant et la charge du condensateur, nous trouverons une expression explicite de la dépendance de l'intensité du courant dans le circuit en fonction du temps. Représentons cette dépendance sous la forme

Où je o Et φ − la valeur de l'amplitude de l'intensité du courant et la différence de phase entre les fluctuations du courant et de la tension de la source à déterminer. Il est facile de voir que dans ce cas la charge du condensateur change selon la loi

Pour vérifier cette relation, il suffit de calculer la dérivée de la fonction donnée et de s'assurer qu'elle coïncide avec la fonction (9).
Remplaçons ces expressions dans l'équation (8)

et transformer la somme trigonométrique


où à travers φ 1 la quantité qui satisfait à la condition est indiquée

Or il est clair que pour que la fonction (9) soit une solution de l’équation (8), il faut que ses paramètres prennent les valeurs suivantes :
Amplitude

la différence de phase requise est associée au paramètre apparu φ 1 rapport φ + φ 1 = 0, c'est

Ainsi, une nette dépendance de l’intensité du courant au temps a été trouvée.
En principe, en utilisant cette méthode, vous pouvez calculer n'importe quel circuit à courant alternatif. Mais cette approche nécessite de lourdes transformations trigonométriques et algébriques. Les mêmes résultats peuvent être obtenus beaucoup plus facilement en utilisant le formalisme des diagrammes vectoriels. Nous montrerons comment la méthode du diagramme vectoriel est appliquée au circuit considéré. La chose la plus importante lors de l'utilisation de cette méthode est la construction d'un diagramme vectoriel illustrant les fluctuations des courants et des tensions dans différentes sections du circuit.
Étant donné que le condensateur et la résistance sont connectés en série, les courants qui les traversent sont les mêmes à tout moment. Représentons l'intensité du courant sous la forme d'un vecteur arbitrairement dirigé (par exemple, horizontalement 2, comme sur la Fig. 656).

riz. 656
Ensuite, nous décrirons les vecteurs de fluctuations de tension aux bornes de la résistance U R, qui est parallèle au vecteur des oscillations du courant (puisque le déphasage entre ces oscillations est nul) et de la tension aux bornes du condensateur UC, qui est perpendiculaire au vecteur d'oscillation actuel (puisque le déphasage entre eux est égal à π/2− voir fig. 657).

riz. 657
La somme de ces tensions est égale à la tension source, donc le vecteur de la somme des vecteurs représentant les oscillations U R Et UC, représente les fluctuations de la tension source Utah).
Si vous insistez sur le fait que la phase de la tension totale est nulle (c'est-à-dire le vecteur représentant U doit être situé horizontalement), puis faites pivoter le schéma construit (Fig. 657). Nous ne nous lancerons plus dans un tel dogmatisme !
Du diagramme construit, il s'ensuit que les valeurs d'amplitude des tensions considérées sont liées par la relation (d'après le théorème de Pythagore)

Exprimer les amplitudes de tension en termes d'amplitudes de courant à l'aide de relations connues

Et

on obtient une équation élémentaire pour déterminer l'amplitude du courant

à partir de laquelle on retrouve l'amplitude du courant dans le circuit

ce qui, naturellement, coïncide avec l'expression (11), obtenue plus tôt par la lourdeur méthode algébrique. Le diagramme de phaseur facilite également la détermination du déphasage entre les fluctuations du courant et de la tension de la source.

ce qui coïncide également avec ce qui a été obtenu plus tôt.
Comme vous pouvez le constater, la méthode du diagramme vectoriel vous permet de calculer complètement les caractéristiques des circuits à courant alternatif, beaucoup plus facilement que la méthode de résolution analytique de l'équation correspondante évoquée ci-dessus.
Il convient de souligner que l'essence physique des deux méthodes est la même, elle est exprimée par l'équation (10), la seule différence réside dans le langage mathématique dans lequel cette équation est résolue.
Calculons la puissance moyenne développée par la source. La valeur instantanée de cette puissance est égale au produit de la force électromotrice et de l'intensité du courant P = AE. Remplacement valeurs explicites pour ces grandeurs et en effectuant une moyenne, on obtient


A noter que l'expression résultante de la puissance moyenne est générale pour le courant alternatif : la puissance moyenne du courant alternatif est égale à la moitié du produit des amplitudes du courant, de la tension et du cosinus de la différence de phase entre elles. Si nous utilisons non pas l'amplitude, mais les valeurs efficaces du courant et de la tension, alors la formule (16) prend la forme

la puissance moyenne du courant électrique alternatif est égale au produit des valeurs efficaces du courant, de la tension et du cosinus de la différence de phase entre elles. Souvent, le cosinus du déphasage entre le courant et la tension est appelé facteur de puissance.
Dans les cas où il est nécessaire de transmettre une puissance maximale le long d'une ligne électrique, il faut s'efforcer de garantir que le déphasage entre le courant et la tension soit minimal (de manière optimale nul), car dans ce cas la puissance transmise sera maximale.
Appliquons la formule résultante pour calculer la puissance actuelle dans le circuit considéré, pour laquelle nous exprimons le cosinus du déphasage de l'expression (12) et le substituons dans la formule (17), ce qui nous permet d'obtenir


Lors de la dérivation de cette relation, la formule (14) a été utilisée pour l'amplitude du courant dans le circuit. Le résultat obtenu est évident : la puissance moyenne développée par la source est égale à la puissance thermique moyenne générée par la résistance. Cette conclusion confirme une fois de plus qu'il n'y a pas de perte d'énergie électrique sur le condensateur.
La puissance actuelle peut également être calculée à l'aide du diagramme vectoriel construit, d'où il résulte que le produit de l'amplitude de la tension de la source et du cosinus du déphasage est égal à l'amplitude de la tension aux bornes de la résistance.

d'où découle immédiatement la formule (18).
Étant donné que l'amplitude et les valeurs efficaces des courants et des tensions sont proportionnelles les unes aux autres, les longueurs des vecteurs des diagrammes vectoriels peuvent être considérées comme proportionnelles aux valeurs efficaces (et non d'amplitude). Avec cette définition, le produit moyen de deux fonctions harmoniques est égal au produit scalaire des vecteurs représentant ces fonctions.

1 Nous utilisons ici l'opération mathématique de calcul de la dérivée d'une fonction. Si cela vous fait toujours peur, utilisez l'analogie avec les oscillations harmoniques mécaniques : l'analogue de la charge est la coordonnée, alors l'analogue de l'intensité du courant est la vitesse instantanée.
2 Nous soulignons constamment que la phase initiale d'une oscillation individuelle n'est significative dans aucun processus, elle peut être modifiée transfert simple le début du compte à rebours. Signification physique avoir des différences de phase entre différentes quantités, changeant selon les lois harmoniques. Ici, pour ainsi dire, nous modifions à nouveau le "point de rapport" de la phase - avec une position horizontale du vecteur d'oscillation actuel, nous acceptons implicitement la phase initiale des oscillations actuelles comme égale à zéro.