La calculatrice vous permet de convertir des nombres entiers et fractionnaires d'un système numérique à un autre. La base du système numérique ne peut pas être inférieure à 2 et supérieure à 36 (10 chiffres et 26 lettres latines après tout). La longueur des chiffres ne doit pas dépasser 30 caractères. Pour saisir des nombres fractionnaires, utilisez le symbole. ou, . Pour convertir un numéro d'un système à un autre, entrez le numéro d'origine dans le premier champ, radix système d'origine numéro dans le deuxième et la base du système numérique dans lequel vous souhaitez convertir le numéro dans le troisième champ, puis cliquez sur le bouton « Obtenir l'enregistrement ».
Numéro d'origine écrit en 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ième système de numérotation.
Je veux qu'un numéro soit écrit 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ième système de numérotation.
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Systèmes numériques
Les systèmes numériques sont divisés en deux types : positionnel Et pas de position. Nous utilisons le système arabe, il est positionnel, mais il existe aussi le système romain – il n’est pas positionnel. Dans les systèmes positionnels, la position d'un chiffre dans un nombre détermine de manière unique la valeur de ce nombre. Ceci est facile à comprendre en regardant un nombre à titre d’exemple.
Exemple 1. Prenons le nombre 5921 dans le système numérique décimal. Numérotons le nombre de droite à gauche en partant de zéro :
Le nombre 5921 peut s'écrire sous la forme suivante : 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Le nombre 10 est une caractéristique qui définit le système numérique. Les valeurs de la position d'un nombre donné sont prises comme puissances.
Exemple 2. Considérons le nombre décimal réel 1234,567. Numérotons-le en partant de la position zéro du nombre à partir de la virgule décimale vers la gauche et la droite :
Le nombre 1234,567 peut s'écrire sous la forme suivante : 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .
Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
La plupart d'une manière simple convertir un nombre d'un système numérique à un autre consiste à convertir d'abord le nombre en un système numérique décimal, puis le résultat obtenu dans le système numérique requis.
Conversion de nombres de n'importe quel système numérique vers le système numérique décimal
Pour convertir un nombre de n'importe quel système numérique en décimal, il suffit de numéroter ses chiffres, en commençant par zéro (le chiffre à gauche de la virgule décimale) de la même manière que dans les exemples 1 ou 2. Trouvons la somme des produits des chiffres du nombre par la base du système numérique à la puissance de la position de ce chiffre :
1.
Convertissez le nombre 1001101.1101 2 au système numérique décimal.
Solution: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Répondre: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Convertissez le nombre E8F.2D 16 au système numérique décimal.
Solution: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Répondre: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Conversion de nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique
Pour convertir des nombres de système décimal Lors du comptage dans un autre système numérique, les parties entières et fractionnaires d'un nombre doivent être converties séparément.
Conversion d'une partie entière d'un nombre d'un système numérique décimal vers un autre système numérique
Une partie entière est convertie d'un système numérique décimal en un autre système numérique en divisant séquentiellement la partie entière d'un nombre par la base du système numérique jusqu'à obtenir un reste entier inférieur à la base du système numérique. Le résultat de la traduction sera un enregistrement du reste, en commençant par le dernier.
3.
Convertissez le nombre 273 10 en système numérique octal.
Solution: 273/8 = 34 et reste 1. 34/8 = 4 et reste 2. 4 est inférieur à 8, le calcul est donc terminé. L'enregistrement des soldes ressemblera à ceci : 421
Examen: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, le résultat est le même. Cela signifie que la traduction a été effectuée correctement.
Répondre: 273 10 = 421 8
Considérons la traduction des fractions décimales appropriées en divers systèmes Compte.
Conversion de la partie fractionnaire d'un nombre du système numérique décimal vers un autre système numérique
Rappelez-vous qu'une fraction décimale propre s'appelle nombre réel avec une partie entière nulle. Pour convertir un tel nombre en un système numérique de base N, vous devez multiplier séquentiellement le nombre par N jusqu'à ce que la partie fractionnaire atteigne zéro ou que le nombre de chiffres requis soit obtenu. Si, lors de la multiplication, un nombre avec une partie entière autre que zéro est obtenu, alors la partie entière n'est plus prise en compte, puisqu'elle est inscrite séquentiellement dans le résultat.
4.
Convertissez le nombre 0,125 10 en système de nombres binaires.
Solution: 0,125·2 = 0,25 (0 est la partie entière qui deviendra le premier chiffre du résultat), 0,25·2 = 0,5 (0 est le deuxième chiffre du résultat), 0,5·2 = 1,0 (1 est le troisième chiffre du résultat, et puisque la partie fractionnaire est nulle, alors la traduction est terminée).
Répondre: 0.125 10 = 0.001 2
1. Comptage ordinal dans divers systèmes numériques.
DANS Vie moderne nous utilisons des systèmes de numérotation positionnelle, c'est-à-dire des systèmes dans lesquels le nombre indiqué par un chiffre dépend de la position du chiffre dans la notation du nombre. Par conséquent, à l'avenir, nous ne parlerons que d'eux, en omettant le terme « positionnel ».
Afin d'apprendre à convertir des nombres d'un système à un autre, nous comprendrons comment se produit l'enregistrement séquentiel des nombres en utilisant l'exemple du système décimal.
Puisque nous avons un système de nombres décimaux, nous disposons de 10 symboles (chiffres) pour construire des nombres. On commence à compter : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Les chiffres sont terminés. Nous augmentons la profondeur de bits du nombre et réinitialisons le chiffre de poids faible : 10. Ensuite, nous augmentons à nouveau le chiffre de poids faible jusqu'à ce que tous les chiffres disparaissent : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Nous augmentons le chiffre de poids fort de 1 et réinitialisons le chiffre de poids faible : 20. Lorsque nous utilisons tous les chiffres pour les deux chiffres (nous obtenons le nombre 99), nous augmentons à nouveau la capacité numérique du nombre et réinitialisons le chiffres existants : 100. Et ainsi de suite.
Essayons de faire de même dans les 2ème, 3ème et 5ème systèmes (on introduit la notation pour le 2ème système, pour le 3ème, etc.) :
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Si le système numérique a une base supérieure à 10, nous devrons alors saisir caractères supplémentaires, il est d'usage de saisir des lettres de l'alphabet latin. Par exemple, pour le système décimal, en plus des dix chiffres, nous avons besoin de deux lettres ( et ) :
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Conversion du système de nombres décimaux vers un autre.
Pour convertir un nombre décimal entier positif en un système numérique avec une base différente, vous devez diviser ce nombre par la base. Divisez à nouveau le quotient obtenu par la base, et plus loin jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à la base. En conséquence, notez sur une ligne le dernier quotient et tous les restes, en commençant par le dernier.
Exemple 1. Convertissons le nombre décimal 46 en système de nombres binaires.
Exemple 2. Convertissons le nombre décimal 672 en système numérique octal.
Exemple 3. Convertissons le nombre décimal 934 en système numérique hexadécimal.
3. Conversion de n'importe quel système numérique en décimal.
Afin d'apprendre à convertir des nombres de n'importe quel autre système en décimal, analysons la notation habituelle pour un nombre décimal.
Par exemple, le nombre décimal 325 est égal à 5 unités, 2 dizaines et 3 centaines, soit
La situation est exactement la même dans d'autres systèmes numériques, sauf que nous multiplierons non pas par 10, 100, etc., mais par les puissances de la base du système numérique. Par exemple, prenons le nombre 1201 dans le système numérique ternaire. Numérotons les chiffres de droite à gauche en partant de zéro et imaginons notre nombre comme la somme des produits d'un chiffre et de trois à la puissance du chiffre du nombre :
C'est ce que c'est notation décimale notre numéro, c'est-à-dire
Exemple 4. Convertissons le nombre octal 511 en système numérique décimal.
Exemple 5. Convertissons le nombre hexadécimal 1151 en système numérique décimal.
4. Transfert de système binaire dans un système avec une base « puissance de deux » (4, 8, 16, etc.).
Pour convertir un nombre binaire en un nombre de base « puissance de deux », il faut diviser la séquence binaire en groupes selon le nombre de chiffres égal à la puissance de droite à gauche et remplacer chaque groupe par le chiffre correspondant. nouveau système Compte.
Par exemple, convertissons le nombre binaire 1100001111010110 en système octal. Pour ce faire, nous allons le diviser en groupes de 3 caractères en partant de la droite (depuis ), puis utiliser la table de correspondance et remplacer chaque groupe par un nouveau numéro :
Nous avons appris à créer une table de correspondance à l'étape 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Ceux.
Exemple 6. Convertissons le nombre binaire 1100001111010110 en hexadécimal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | UN |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Conversion d'un système avec la base « puissance de deux » (4, 8, 16, etc.) en binaire.
Cette traduction est similaire à la précédente, réalisée en verso: Nous remplaçons chaque chiffre par un groupe de chiffres binaires de la table de recherche.
Exemple 7. Convertissons le nombre hexadécimal C3A6 en système de nombres binaires.
Pour cela, remplacez chaque chiffre du numéro par un groupe de 4 chiffres (depuis ) de la table de correspondance, en complétant le groupe par des zéros au début si nécessaire :
La conversion de nombres d’un système numérique à un autre est une partie importante de l’arithmétique automatique. Considérons les règles de base de la traduction.
1. Pour convertir un nombre binaire en nombre décimal, il faut l'écrire sous la forme d'un polynôme, constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante de 2, et le calculer selon les règles de arithmétique décimale :
Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser la table des puissances de deux :
Tableau 4. Pouvoirs du numéro 2
| n (degré) | |||||||||||
2. Pour convertir un nombre octal en nombre décimal, il est nécessaire de l'écrire sous la forme d'un polynôme constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante du nombre 8, et de le calculer selon les règles du nombre décimal. arithmétique:
Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser le tableau des puissances de huit :
Tableau 5. Pouvoirs du nombre 8
| n (degré) | |||||||
Exemple. Convertissez le nombre au système de nombres décimaux.
3. Pour convertir un nombre hexadécimal en nombre décimal, il faut l'écrire sous la forme d'un polynôme, constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante du nombre 16, et le calculer selon le règles de l'arithmétique décimale :
Lors de la traduction, il convient d'utiliser le tableau des puissances du nombre 16 :
Tableau 6. Pouvoirs du nombre 16
| n (degré) | |||||||
Exemple. Convertissez le nombre au système de nombres décimaux.
4. Pour convertir un nombre décimal au système binaire, il doit être divisé séquentiellement par 2 jusqu'à ce qu'il reste un reste inférieur ou égal à 1. Un nombre dans le système binaire est écrit comme une séquence du résultat de la dernière division et des restes de la division dans l’ordre inverse.
Exemple. Convertissez le nombre en système de nombres binaires.
5. Pour convertir un nombre décimal en système octal, il doit être divisé séquentiellement par 8 jusqu'à ce qu'il reste un reste inférieur ou égal à 7. Un nombre dans le système octal est écrit sous la forme d'une séquence de chiffres du résultat de la dernière division et du reste de la division dans l’ordre inverse.
6. Pour convertir un nombre décimal au système hexadécimal, il faut le diviser successivement par 16 jusqu'à ce qu'il reste un reste inférieur ou égal à 15. Le nombre en système hexadécimal s'écrit sous la forme d'une séquence de chiffres du résultat de la dernière division et des restes de la division dans l'ordre inverse.
Exemple. Convertissez le nombre en système numérique hexadécimal.
7. Pour convertir un nombre du système binaire en octal, il doit être divisé en triades (triples de chiffres), en commençant par le chiffre le moins significatif, si nécessaire, en ajoutant des zéros à la triade principale, et chaque triade doit être remplacée par le chiffre octal correspondant (tableau 3).
Exemple. Convertissez le nombre en système de nombres octaux.
8. Pour convertir un nombre du système binaire en hexadécimal, il faut le diviser en tétrades (quatre chiffres), en commençant par le chiffre le moins significatif, si nécessaire, en ajoutant des zéros à la tétrade la plus significative, et remplacer chaque tétrade par l'octal correspondant. chiffre (tableau 3).
Lorsque vous configurez des réseaux diverses échelles et chaque jour on tombe sur des calculs - il n'est pas nécessaire de créer ce genre d'aide-mémoire, tout est déjà fait sur un réflexe inconditionnel. Mais lorsque vous fouillez très rarement dans les réseaux, vous ne vous souvenez pas toujours quel est le masque sous forme décimale pour le préfixe 21 ou quelle est l'adresse réseau pour le même préfixe. À cet égard, j'ai décidé d'écrire plusieurs petits articles-aide-mémoire sur la conversion des nombres en divers systèmes numériques, adresses réseau, masques, etc. Dans cette partie, nous parlerons de la conversion des nombres en différents systèmes numériques.
1. Systèmes numériques
Lorsque vous faites quelque chose en rapport avec réseaux informatiques et informatique, vous rencontrerez de toute façon ce concept. Et en tant qu'informaticien intelligent, vous devez comprendre cela au moins un peu, même si dans la pratique vous l'utiliserez très rarement.
Regardons la traduction de chaque chiffre d'une adresse IP 98.251.16.138
dans les systèmes numériques suivants :
- Binaire
- Octal
- Décimal
- Hexadécimal
1.1 Décimal
Puisque les nombres sont écrits en décimal, nous ignorerons la conversion de décimal en décimal :)
1.1.1 Décimal → Binaire
Comme nous le savons, le système de nombres binaires est utilisé dans presque tous les pays. ordinateurs modernes et de nombreux autres appareils informatiques. Le système est très simple : nous n’avons que 0 et 1.
Pour convertir un nombre avec une dîme sous forme binaire, vous devez utiliser la division modulo 2 (c'est-à-dire une division entière par 2), ce qui fait que nous aurons toujours un reste de 1 ou de 0. Dans ce cas, le résultat est écrit de droite à gauche. Un exemple remettra tout à sa place :
Figure 1.1 – Conversion de nombres du système décimal au système binaire
Figure 1.2 – Conversion de nombres du système décimal au système binaire
Je vais décrire la division du nombre 98. Nous divisons 98 par 2, nous avons donc 49 et le reste est 0. Ensuite, nous continuons la division et divisons 49 par 2, nous avons donc 24 avec un reste de 1. Et de la même manière on arrive à 1 ou 0 en divisible. Ensuite, nous écrivons le résultat de droite à gauche.
1.1.2 Décimal → Octal
Le système octal est un système de nombres entiers en base 8. C'est-à-dire tous les nombres qu'il contient sont représentés dans la plage de 0 à 7 et pour convertir à partir du système décimal, vous devez utiliser la division modulo 8.
Figure 1.3 – Conversion de nombres du système décimal au système octal
La division est similaire au système en 2 points.
1.1.3 Décimal → Hexadécimal
Le système hexadécimal a presque complètement remplacé le système octal. Il a une base de 16, mais utilise des chiffres décimaux de 0 à 9 + des lettres latines de A (chiffre 10) à F (chiffre 15). Vous le rencontrez à chaque fois que vous vérifiez vos paramètres. Adaptateur de réseau- c'est l'adresse MAC. Idem lorsque IPv6 est utilisé.
Figure 1.4 – Conversion de nombres décimaux en hexadécimaux
1.2 Binaire
Dans l'exemple précédent, nous avons tout traduit Nombres décimaux dans d’autres systèmes numériques, dont l’un est binaire. Convertissons maintenant chaque nombre sous forme binaire.
1.2.1 Binaire → Décimal
Pour convertir des nombres binaires en décimaux, vous devez connaître deux nuances. La première est que chaque zéro et un ont un multiplicateur de 2 en nième degré, dans lequel n augmente de droite à gauche d'exactement un. La seconde est qu'après avoir multiplié, tous les nombres doivent être additionnés et nous obtenons le nombre sous forme décimale. En conséquence, nous aurons une formule comme celle-ci :
D = (un n × p n-1) + (un n-1 × p n-2) + (un n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)
Où,
D est le nombre décimal que nous recherchons ;
n– le nombre de caractères dans un nombre binaire ;
a – nombre sous forme binaire sur nième position(c'est-à-dire premier caractère, deuxième, etc.) ;
p – coefficient égal à 2,8 ou 16 à la puissance n(selon le système de numérotation)
Par exemple, prenons le nombre 110102. On regarde la formule et on écrit :
- Le numéro est composé de 5 caractères ( n=5)
- p = 2 (puisque nous convertissons du binaire en décimal)
un 5 = 1, un 4 = 1, un 3 = 0, un 2 = 1, un 1 = 0
En conséquence nous avons :
D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10
Pour ceux qui ont l'habitude d'écrire de droite à gauche, le formulaire ressemblera à ceci :
D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10
Mais comme nous le savons, réorganiser les termes ne change pas la somme. Convertissons maintenant nos nombres sous forme décimale.
Figure 1.5 – Conversion de nombres du système binaire au système décimal
1.2.2 Binaire → Octal
Lors de la traduction, nous devons diviser le nombre binaire en groupes de trois caractères de droite à gauche. Si le dernier groupe n'est pas composé de trois caractères, alors on remplace simplement les bits manquants par des zéros. Par exemple:
10101001 = 0 10 101 001
1011100 = 00 1 011 100
Chaque groupe de bits est l'un des nombres octaux. Pour savoir lequel, vous devez utiliser la formule 1.2.1 écrite ci-dessus pour chaque groupe de bits. En conséquence, nous obtenons.
Figure 1.6 – Conversion de nombres du système binaire au système octal
1.2.3 Binaire → Hexadécimal
Ici, nous devons diviser le nombre binaire en groupes de quatre caractères de droite à gauche, puis ajouter des zéros aux bits manquants du groupe, comme décrit ci-dessus. Si le dernier groupe est constitué de zéros, ils doivent alors être ignorés.
110101011 = 000 1 1010 1011
1011100 = 0 101 1100
001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000
Chaque groupe de bits est l'un des nombres hexadécimaux. Nous utilisons la formule 1.2.1 pour chaque groupe de bits.
Figure 1.7 – Conversion de nombres binaires en hexadécimaux
1.3 Octal
Dans ce système, nous pouvons avoir des difficultés uniquement lors de la conversion en hexadécimal, puisque le reste de la traduction se déroule sans problème.
1.3.1 Octal → Binaire
Chaque nombre du système octal est un groupe de trois bits dans le système binaire, comme décrit ci-dessus. Pour traduire, nous devons utiliser un aide-mémoire :
Figure 1.8 – Spur pour convertir les nombres du système octal
À l'aide de cette tablette, nous convertirons nos nombres au système binaire.
Figure 1.9 – Conversion de nombres octaux en binaires
Je vais décrire un peu la conclusion. Notre premier nombre est 142, ce qui signifie qu'il y aura trois groupes de trois bits chacun. Nous utilisons l'éperon et voyons que le numéro 1 est 001, le numéro 4 est 100 et le numéro 2 est 010. En conséquence, nous avons le numéro 001100010.
1.3.2 Octal → Décimal
Ici, nous utilisons la formule 1.2.1 uniquement avec un coefficient de 8 (c'est-à-dire p=8). En conséquence nous avons
Figure 1.10 – Conversion de nombres du système octal au système décimal
- Le numéro est composé de 3 caractères ( n=3)
- p = 8 (puisque nous convertissons d'octal en décimal)
un 3 = 1, un 2 = 4, un 1 = 2
En conséquence nous avons :
D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10
1.3.3 Octal → Hexadécimal
Comme cela a été écrit précédemment, pour traduire, il faut d'abord convertir les nombres en système binaire, puis du binaire en hexadécimal, en les divisant en groupes de 4 bits. Vous pouvez utiliser l'éperon suivant.
Figure 1.11 – Outil pour convertir les nombres du système hexadécimal
Ce tableau vous aidera à convertir du binaire en hexadécimal. Maintenant, convertissons nos nombres.
Figure 1.12 – Conversion de nombres octaux en hexadécimaux
1.4 Hexadécimal
Ce système a le même problème lors de la conversion en octal. Mais plus là-dessus plus tard.
1.4.1 Hex → Binaire
Chaque nombre en hexadécimal est un groupe de quatre bits en binaire, comme décrit ci-dessus. Pour traduire, on peut utiliser l’aide-mémoire situé ci-dessus. Par conséquent:
Figure 1.13 – Conversion de nombres hexadécimaux en binaires
Prenons le premier nombre - 62. En utilisant le tableau (Fig. 1.11), nous voyons que 6 est 0110, 2 est 0010, nous avons donc le nombre 01100010.
1.4.2 Hex → Décimal
Nous utilisons ici la formule 1.2.1 uniquement avec un coefficient de 16 (soit p=16). En conséquence nous avons
Figure 1.14 – Conversion de nombres hexadécimaux en décimaux
Prenons le premier chiffre. Basé sur la formule 1.2.1 :
- Le numéro est composé de 2 caractères ( n=2)
- p = 16 (puisque nous convertissons de l'hexadécimal en décimal)
un 2 = 6, un 1 = 2
En conséquence, nous avons.
D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10
1.4.3 Hex → Octal
Pour convertir en système octal, vous devez d'abord convertir en binaire, puis le diviser en groupes de 3 bits et utiliser le tableau (Fig. 1.8). Par conséquent:
Figure 1.15 – Conversion de nombres hexadécimaux en octaux
Nous parlerons d'adresses IP, de masques et de réseaux.
Mots clés: Système numérique, traduction du système numérique, systèmes numériques associés
Changer la base des systèmes de numérotation positionnelle
DANS système de position en base q, un nombre peut être représenté comme un polynôme
… + une 2 ∙q 2 + une 1 q 1 + une 0 ∙q 0 + une -1 ∙q -1 + une -2 ∙q -2 + …
où les coefficients a i sont les chiffres du système numérique de base q.
Par exemple, dans le système de nombres décimaux
124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3
Le nombre de chiffres dans un système numérique de base q est égal à q et le chiffre maximum est q - 1. Un chiffre ne peut pas devenir égal à q, car dans ce cas, l'unité sera transférée à un nouveau chiffre.
Par exemple, vous devez trouver la base minimale du système numérique dans lequel est écrit le nombre 7832. Puisque le chiffre maximum est 8, alors valeur minimum q = 8 + 1 = 9.
La base d'un système numérique peut, en principe, être n'importe quel nombre : entier, négatif, rationnel, irrationnel, complexe, etc. Nous ne considérerons que les bases entières positives.
La base 2 et les bases qui sont des puissances de deux - 8 et 16 nous intéresseront particulièrement.
Au cas où la base avec. Avec. plus de dix, de nouveaux nombres sont alors extraits dans l'ordre de l'alphabet. Par exemple, pour le système hexadécimal, ce seront les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Conversion de toute la partie du système de nombres décimaux
La première façon de passer du système numérique décimal au système numérique n-aire consiste à diviser séquentiellement le nombre par une nouvelle base.
123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10=A)
On collecte dans l'ordre inverse, d'abord la dernière valeur (c'est 0), puis de haut en bas tous les restes. On obtient 0A3 = A3
4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)
En remontant, nous obtenons 10723
3349 10 → X16
3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)
En résumé : 0D15 = D15
545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)
Nous collectons 01000100001 = 1000100001
La traduction sur papier se fait généralement en divisant en colonne. Jusqu'à ce que la division aboutisse à zéro, chaque réponse suivante est divisée par la base c. Avec. A la fin, la réponse est récupérée à partir des restes de la division.
Il est également souvent possible de convertir un nombre en un autre s. Avec. , si nous l'imaginons mentalement comme la somme des puissances de la base correspondante dans laquelle nous voulons convertir le nombre.
Par exemple, 129 est évident 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2
80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3
Conversion d'une partie entière au système de nombres décimaux
La traduction est effectuée à l'aide de la représentation du nombre dans le système de numérotation positionnelle. Soit il faut traduire A3 12 → X 10 On sait que A3 est 3∙q 0 + A∙q 1 , soit 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123
10723 8 → X10
1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1∙4096 + 7∙64 + 2∙8 + 3 = 4563
D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349
1000100001 2 → X10
2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.
La traduction sur papier s'effectue généralement comme suit. Le numéro du diplôme est écrit dans l'ordre au-dessus de chaque numéro. Ensuite, tous les termes sont écrits. 
Conversion de la partie fractionnaire du système décimal
Lors de la conversion d'une partie fractionnaire, une situation se produit souvent lorsqu'une fraction décimale finie se transforme en une fraction infinie. Par conséquent, généralement lors de la traduction, la précision avec laquelle il est nécessaire de traduire est indiquée. La traduction est effectuée en multipliant séquentiellement la partie fractionnaire par la base du système numérique. La partie entière est repliée et devient partie de la fraction.
0,625 10 → X2
0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)
0 – une multiplication ultérieure ne produira que des zéros
En collectant de haut en bas, nous obtenons 0,101
0,310 → X2 0,3 * 2 = 0,6 (0) 0,6 * 2 = 1,2 (1) 0,2 * 2 = 0,4 (0) 0,4 * 2 = 0,8 (0) 0,8 * 2 = 1,6 (1) 0,6 * 2 = 1,2 (1 )
0,2 ... on obtient une fraction périodique
On collecte, on obtient 0,0100110011001... = 0,0(1001)
0,64510 → x5 0,645 * 5 = 3,225 (3) 0,255 * 5 = 1,275 (1) 0,275 * 5 = 1,375 (1) 0,375 * 5 = 1,875 (1) 0,875 * 5 = 4,375 (4) 0,375 * 5 = 1,87 5 ( 1 ) ...
0.3111414… = 0.311(14)
Conversion de la partie fractionnaire en système décimal
Elle s'effectue de la même manière que la traduction d'une partie entière, en multipliant le chiffre du chiffre par la base à un degré égal à la position du chiffre dans le nombre.
0,101 2 → X10
1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625
0,134 5 → X 10
1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352
Transfert d'un système numérique arbitraire à un système arbitraire
Traduction de système arbitraire notation dans un s arbitraire. Avec. effectué en utilisant des décimales s. Avec.
X N → X M ≡ X N → X 10 → X M
Par exemple
1221201 3 → X7
1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10
1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)
1221201 3 → 4060 7
Systèmes de numérotation associés
Les systèmes numériques sont dits liés lorsque leurs bases sont des puissances du même nombre. Par exemple, 2, 4, 8, 16. La traduction entre les systèmes numériques associés peut être effectuée à l'aide du tableau
| 10 | 2 | 4 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 000 | 00 | 0 |
| 1 | 0001 | 001 | 01 | 1 |
| 2 | 0010 | 002 | 02 | 2 |
| 3 | 0011 | 003 | 03 | 3 |
| 4 | 0100 | 010 | 04 | 4 |
| 5 | 0101 | 011 | 05 | 5 |
| 6 | 0110 | 012 | 06 | 6 |
| 7 | 0111 | 013 | 07 | 7 |
| 8 | 1000 | 020 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 021 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 022 | 12 | UN |
| 11 | 1011 | 023 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 030 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 031 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 032 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 033 | 17 | F |
Pour passer d'un système numérique associé à un autre, vous devez d'abord convertir le nombre en système binaire. Pour convertir au système de nombres binaires, chaque chiffre d'un nombre est remplacé par les deux correspondants (pour quaternaire), trois (pour octal) ou quatre (pour hexadécimal).
Pour 123 4, on remplace un par 01, deux par 10, trois par 11, on obtient 11011 2
Pour 5721 8 respectivement 101, 111, 010, 001, total 101111010001 2
Pour E12 16 on obtient 111000010010 2
Pour convertir à partir du système binaire, vous devez diviser le nombre en deux (4ème), triples (8ème) ou quatre de nombres (16ème), puis les remplacer par les valeurs correspondantes.