Formes d'enregistrement de la série de Fourier. Le signal s'appelle périodique, si sa forme se répète cycliquement dans le temps Signal périodique Utah) en général, cela s'écrit ainsi :

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Voici la période T du signal. Les signaux périodiques peuvent être simples ou complexes.

Pour la représentation mathématique de signaux périodiques avec une période T la série (2.2) est souvent utilisée, dans laquelle des oscillations harmoniques (sinusoïdales et cosinusoïdales) de plusieurs fréquences sont choisies comme fonctions de base

y 0 (t) = 1 ; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; ..., (2.3)

où w 1 =2p/T est la pulsation principale de la séquence

les fonctions. Pour les fonctions de base harmonique, à partir de la série (2.2) on obtient la série de Fourier (Jean Fourier - mathématicien et physicien français du 19ème siècle).

Les fonctions harmoniques de la forme (2.3) dans la série de Fourier présentent les avantages suivants : 1) description mathématique simple ; 2) invariance aux transformations linéaires, c'est-à-dire s'il y a une oscillation harmonique à l'entrée d'un circuit linéaire, alors à sa sortie il y aura également une oscillation harmonique, ne différant de l'entrée qu'en amplitude et en phase initiale ; 3) comme un signal, les fonctions harmoniques sont périodiques et ont une durée infinie ; 4) la technique de génération de fonctions harmoniques est assez simple.

Il ressort d'un cours de mathématiques que pour développer un signal périodique en une série de fonctions harmoniques (2.3), les conditions de Dirichlet doivent être remplies. Mais tous les signaux périodiques réels satisfont à ces conditions et peuvent être représentés sous la forme d'une série de Fourier, qui peut s'écrire sous l'une des formes suivantes :

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

où sont les coefficients

Un mn »= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

Un min = (2.7)

ou sous forme complexe

u(t)= (2.8)

Cn= (2.9)

De (2.4) - (2.9) il résulte que dans le cas général, le signal périodique u(t) contient une composante constante A 0 /2 et un ensemble d'oscillations harmoniques de la fréquence fondamentale w 1 =2pf 1 et ses harmoniques avec fréquences w n =nw 1, n=2 ,3,4,… Chacune des harmoniques

Les oscillations de la série de Fourier sont caractérisées par l'amplitude et la phase initiale y n .nn

Diagramme spectral et spectre d'un signal périodique. Si un signal est présenté comme une somme d’oscillations harmoniques de fréquences différentes, alors on dit que décomposition spectrale signal.

Diagramme spectral Le signal est généralement appelé une représentation graphique des coefficients de la série de Fourier de ce signal. Il existe des diagrammes d'amplitude et de phase. En figue. 2.6, à une certaine échelle, les valeurs des fréquences harmoniques sont tracées le long de l'axe horizontal, et leurs amplitudes A mn et phases y n sont tracées le long de l'axe vertical. De plus, les amplitudes harmoniques ne peuvent prendre que des valeurs positives, les phases peuvent prendre aussi bien des valeurs positives que négatives dans l'intervalle -p£y n £p

Spectre de signaux- il s'agit d'un ensemble de composantes harmoniques avec des valeurs spécifiques de fréquences, d'amplitudes et de phases initiales, qui forment ensemble un signal. Dans les applications techniques, en pratique, les diagrammes spectraux sont appelés plus brièvement - spectre d'amplitude, spectre de phase. Le plus souvent, les gens s'intéressent au diagramme spectral d'amplitude. Il peut être utilisé pour estimer le pourcentage d’harmoniques dans le spectre.

Exemple 2.3. Développez une séquence périodique d'impulsions vidéo rectangulaires en une série de Fourier Avec paramètres connus (U m , T, t z), voire "Par rapport au point t=0. Construire un diagramme spectral des amplitudes et des phases à U m =2B, T=20ms, S=T/t et =2 et 8.

Un signal périodique donné sur un intervalle d'une période peut s'écrire

Pour représenter ce signal, nous utiliserons la forme de série de Fourier V formulaire (2.4). Puisque le signal est pair, seules les composantes cosinusoïdales resteront dans l’expansion.

Riz. 2.6. Diagrammes spectraux d'un signal périodique :

une - amplitude; b- phase

L'intégrale d'une fonction impaire sur une période est égale à zéro. A l'aide des formules (2.5) on trouve les coefficients

nous permettant d'écrire la série de Fourier :

Pour construire des diagrammes spectraux pour des données numériques spécifiques, nous définissons i=0, 1, 2, 3, ... et calculons les coefficients harmoniques. Les résultats du calcul des huit premières composantes du spectre sont résumés dans le tableau. 2.1. D'affilée (2.4) A" mn =0 et d'après (2.7) A mn =|A' mn |, la fréquence principale f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314 rad/s . Le spectre d'amplitude de la Fig.

2.7 est conçu pour ceux-ci n, auquel Et bien plus de 5% de la valeur maximale.

De l'exemple 2.3 donné, il s'ensuit qu'avec l'augmentation du rapport cyclique, le nombre de composantes spectrales augmente et leurs amplitudes diminuent. Un tel signal est dit avoir un spectre riche. Il convient de noter que pour de nombreux signaux utilisés dans la pratique, il n'est pas nécessaire de calculer les amplitudes et les phases des harmoniques à l'aide des formules données précédemment.

Tableau 2.1. Amplitudes des composantes de la série de Fourier d'une séquence périodique d'impulsions rectangulaires

Riz. 2.7. Diagrammes spectraux d'une séquence d'impulsions périodiques : UN- avec cycle de service S-2 ; - b-avec rapport cyclique S=8

Dans les ouvrages de référence mathématiques, il existe des tableaux d'expansions de signaux dans une série de Fourier. L'un de ces tableaux est donné en annexe (tableau A.2).

La question se pose souvent : combien de composantes spectrales (harmoniques) faut-il prendre pour représenter un signal réel dans une série de Fourier ? Après tout, la série est à proprement parler interminable. Une réponse définitive ne peut être donnée ici. Tout dépend de la forme du signal et de la précision de sa représentation par la série de Fourier. Changement de signal plus fluide - moins d'harmoniques nécessaires. Si le signal présente des sauts (discontinuités), alors il est nécessaire d'additionner un plus grand nombre d'harmoniques pour obtenir la même erreur. Cependant, dans de nombreux cas, par exemple en télégraphie, on estime que trois harmoniques suffisent pour transmettre des impulsions rectangulaires à fronts raides.

Filtres numériques (Conférence)

En fonction du type de réponse impulsionnelle, les filtres numériques sont divisés en deux grandes classes :

· Filtres à réponse impulsionnelle finie (FIR - filtres, filtres transversaux, filtres non récursifs). Le dénominateur de la fonction de transfert de tels filtres est une certaine constante.

Les filtres FIR sont caractérisés par l'expression :

· Les filtres à réponse impulsionnelle infinie (filtres IIR, filtres récursifs) utilisent une ou plusieurs de leurs sorties comme entrée, c'est-à-dire qu'ils forment un feedback. La principale propriété de tels filtres est que leur réponse impulsionnelle a une longueur infinie dans le domaine temporel et que la fonction de transfert a une forme fractionnaire-rationnelle.

Les filtres IIR sont caractérisés par l'expression :

La différence entre les filtres FIR et les filtres IIR réside dans le fait que pour les filtres FIR, la réponse de sortie dépend des signaux d'entrée, et pour les filtres IIR, la réponse de sortie dépend de la valeur actuelle.

Réponse impulsive est la réponse du circuit à un seul signal.

Esignal unique

Ainsi, un seul signal en un seul point est égal à un - au point d'origine.

Détenu esignal unique est défini comme suit :

Ainsi, le signal unique retardé est retardé de k périodes d'échantillonnage.

Signaux et spectres

Dualité (dualité) de la représentation du signal.

Tous les signaux peuvent être représentés dans le plan temporel ou fréquentiel.

De plus, il existe plusieurs plans de fréquences.

Plan temporel.

Transformations.

Plan de fréquence.

Il existe un dispositif pour visualiser le signal dans le plan temporel :

Imaginons qu'il y ait un signal sinusoïdal assez long (en 1 seconde la sinusoïde est répétée 1000 fois) :

Prenons un signal avec une fréquence deux fois plus grande :

Additionnons ces signaux. Nous n'obtenons pas une onde sinusoïdale, mais un signal déformé :

Les transformations du plan temporel vers le plan fréquentiel sont effectuées à l'aide de transformées de Fourier.

Il existe un dispositif pour visualiser le signal dans le plan fréquentiel :

Fréquence cyclique ou circulaire ( F).

Le plan des fréquences affichera une encoche :

L'amplitude de l'encoche est proportionnelle à l'amplitude de la sinusoïde et à la fréquence :

Pour le deuxième signal, le domaine fréquentiel affichera une encoche différente :

Dans le domaine temporel du signal total, 2 encoches apparaîtront :

Les deux représentations de signaux sont équivalentes et la première ou l’autre représentation est utilisée, selon celle qui convient le mieux.

Les conversions du plan temporel vers le plan fréquentiel peuvent être effectuées de différentes manières. Par exemple : utiliser des transformées de Laplace ou utiliser des transformées de Fourier.

Trois formes d'enregistrement des séries de Fourier.

Il existe trois formes d'écriture des séries de Fourier :

· Forme sinus - cosinus.

· Forme réelle.

· Forme complexe.

1.) Sous forme sinus-cosinus La série de Fourier a la forme :

Multiples de fréquence inclus dans la formule kω 1 sont appelés harmoniques; les harmoniques sont numérotées selon l'index k; fréquence ωk =kω 1 s'appelle kème harmonique du signal.

Cette expression dit ce qui suit : que toute fonction périodique peut être représentée comme une somme d'harmoniques, où :

T– période de répétition de cette fonction ;

ω - fréquence circulaire.

, Où

t- heure actuelle;

T- période.

Dans le développement de Fourier, la chose la plus importante est la périodicité. Grâce à cela, un échantillonnage de fréquence se produit et un certain nombre d'harmoniques commencent.

Afin d'établir la possibilité d'un développement trigonométrique pour une fonction périodique donnée, il faut partir d'un certain ensemble de coefficients. La méthode pour les déterminer a été inventée par Euler dans la seconde moitié du XVIIIe siècle et, indépendamment de lui, au début du XIXe siècle par Fourier.

Trois formules d'Euler pour déterminer les coefficients :

; ;

Les formules d'Euler n'ont besoin d'aucune preuve. Ces formules sont précises pour un nombre infini d'harmoniques. La série de Fourier est une série tronquée puisqu’il n’existe pas un nombre infini d’harmoniques. Le coefficient d'une série tronquée est calculé selon les mêmes formules que pour la série complète. Dans ce cas, l’erreur quadratique moyenne est minime.

La puissance des harmoniques diminue à mesure que leur nombre augmente. Si vous ajoutez/supprimez certaines composantes harmoniques, le recalcul des termes restants (autres harmoniques) n'est pas nécessaire.

Presque toutes les fonctions sont paires ou impaires :

FONCTION MÊME

FONCTION IMPAIRE

Caractérisé par l'équation :

Par exemple, la fonction Parce que:

pour lequel : t = −t

Une fonction paire est symétrique par rapport à

axes des ordonnées

Si la fonction est paire, alors tous les coefficients sinusoïdaux BK cosinus termes.

Caractérisé par l'équation :

Par exemple, la fonction Péché:

Une fonction impaire est symétrique par rapport au centre.

Si la fonction est impaire, alors tous les coefficients cosinus eak sera égal à zéro et dans la formule de la série de Fourier ne sera présent que sinus termes.

2.) Forme réelle Enregistrements de la série de Fourier.

Un inconvénient de la forme sinus-cosinus de la série de Fourier est que pour chaque valeur de l'indice de sommation k(c'est-à-dire pour chaque harmonique de fréquence kω 1) la formule contient deux termes – sinus et cosinus. À l'aide des formules de transformations trigonométriques, la somme de ces deux termes peut être transformée en un cosinus de même fréquence avec une amplitude différente et une certaine phase initiale :

, Où

;

Si S(t) est une fonction paire, phases φ ne peut prendre que les valeurs 0 et π , et si S(t) - la fonction est impaire, alors les valeurs possibles pour la phase φ égal + π /2.

Si BK= 0, alors tg φ = 0 et angle φ = 0

Si eak= 0, alors tg φ – l'angle est infini φ =

Il peut y avoir un moins dans cette formule (selon la direction prise).

3.) Forme complexe Enregistrements de la série de Fourier.

Cette forme de représentation de la série de Fourier est peut-être la plus couramment utilisée en ingénierie radio. Elle est obtenue à partir de la forme réelle en représentant le cosinus comme une demi-somme d’exponentielles complexes (cette représentation découle de la formule d’Euler ejθ = Cosθ + jSinθ):

En appliquant cette transformation à la forme réelle de la série de Fourier, on obtient les sommes d'exponentielles complexes à exposants positifs et négatifs :

Nous allons maintenant traiter les exposants avec un signe moins dans l'indicateur comme membres d'une série de nombres négatifs. Dans la même approche générale, le terme constant un 0/2 deviendra membre de la série portant le numéro zéro. Le résultat est une forme complexe d’écriture de la série de Fourier :

Formule de calcul des cotes Ck Série de Fourier :

Si S(t) est même fonction, coefficients de série Ck sera propre réel, et si S(t) - fonction impair, les coefficients de la série seront purement imaginaire.

L'ensemble des amplitudes harmoniques de la série de Fourier est souvent appelé spectre d'amplitude, et la totalité de leurs phases est spectre de phase.

Le spectre d'amplitude est la partie réelle des coefficients Ck Série de Fourier :

Concernant( Ck) – spectre d’amplitude.

Spectre de signaux rectangulaires.

Considérons un signal sous la forme d'une séquence d'impulsions rectangulaires d'amplitude UN, durée τ et période de répétition T. Prenons la référence temporelle située au milieu de l'impulsion.

Ce signal est une fonction paire, donc pour le représenter, il est plus pratique d'utiliser la forme sinus-cosinus de la série de Fourier - elle ne contiendra que des termes cosinus eak, égal:

Il ressort clairement de la formule que la durée des impulsions et la période de leur répétition n'y sont pas incluses séparément, mais exclusivement sous forme de rapport. Ce paramètre - le rapport entre la période et la durée de l'impulsion - est appelé cycle de service séquences d'impulsions et sont désignés par la lettre : g : g = T/τ. Introduisons ce paramètre dans la formule résultante pour les coefficients de la série de Fourier, puis réduisons la formule à la forme Sin(x)/x :

Note: Dans la littérature étrangère, au lieu du rapport cyclique, on utilise la valeur inverse, appelée rapport cyclique et égale à τ / T.

Avec cette forme de notation, il devient clairement visible à quoi est égale la valeur du terme constant de la série : depuis quand X→ 0 Péché( X)/X→1, alors

Nous pouvons maintenant écrire la représentation de la séquence d'impulsions rectangulaires sous la forme d'une série de Fourier :

Les amplitudes des termes harmoniques de la série dépendent du numéro harmonique selon la loi Sin( X)/X.

Graphique de la fonction Sin( X)/X a un caractère de pétale. Parlant de la largeur de ces lobes, il convient de souligner que pour les graphiques de spectres discrets de signaux périodiques, deux options pour calibrer l'axe horizontal sont possibles - en nombres harmoniques et en fréquences.

Sur la figure, la graduation des axes correspond aux nombres harmoniques et les paramètres de fréquence du spectre sont tracés sur le graphique à l'aide de lignes de dimension.

Ainsi, la largeur des lobes, mesurée en nombre d'harmoniques, est égale au rapport cyclique de la séquence (à k = ng nous avons Péché (π k/g) = 0 si n≠ 0). Cela implique une propriété importante du spectre d'une séquence d'impulsions rectangulaires : il ne contient pas (d'amplitude nulle) d'harmoniques dont les nombres sont des multiples du rapport cyclique.

La distance de fréquence entre les harmoniques adjacentes est égale à la fréquence de répétition des impulsions - 2 π /T. La largeur des lobes du spectre, mesurée en unités de fréquence, est de 2 π /τ , c'est-à-dire inversement proportionnel à la durée de l'impulsion. Il s'agit d'une manifestation de la loi générale : plus le signal est court, plus son spectre est large.

Conclusion : pour tout signal, ses développements en série de Fourier sont connus. Connaissance τ Et T nous pouvons calculer combien d'harmoniques sont nécessaires pour transmettre la puissance.

Méthodes d'analyse de systèmes linéaires à coefficients constants.

Problème comme indiqué :

Il existe un système linéaire (ne dépend pas de l'amplitude du signal) :

COEFFS : DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD ÉQUIPEMENT : FFC0 ; nous déterminons les ports d'entrée.

PORT_VIVOD ÉQUIPE : FFC1 ; nous déterminons les ports de sortie.

ORG P : 0 ; organisation de la mémoire P.

RÉINITIALISATION : DÉMARRAGE JMP ; transition inconditionnelle vers l'étiquette START.

P:100 ; le programme démarrera à partir de la centième cellule.

DÉBUT : DÉPLACER BUF_X, R0 ; Nous entrons l'adresse de départ X dans R0.

DÉPLACER# ORDFIL─1, M0 ;déplacer au mod. arith. (numéro d'enregistrement pour 1 homme., que l'ordre de ce tampon)

DEPLACER# COEFFS, R4 ; cycle d’organisation. tampon pour les coefficients dans la mémoire Y.

DÉPLACEMENT# M0, M4 ; puisque la longueur doit correspondre, alors res. de M0 à M4.

CLRA ; réinitialiser la batterie.

REP#ORDFIL ; répéter l'opération de la chaîne.

DÉPLACER A, X : (R4) + ; utilisé auto-incrémentation et toutes les cellules sont tampons. réinitialiser.

BOUCLE : MOVEP Y : PORT_VVOD, X─ (R0) ;octet. transmission des lectures (dernière smart. à b0).

REP#ORDFIL─1 ; représentant. fonctionnement en chaîne (39 fois intelligent sans arrondi)

MAC X0,Y0,A X:(R0)+, X0 Y:(R4)+, Y0 ;intelligent. X0naY0, rés. en ak; préparation sl. opéra.

MOVEP A, Y : PORT_VIVOD ; transfert de contenu octet par octet. batterie

BOUCLE JMP ; saut inconditionnel vers l'étiquette LOOP.

Procédure de conception des filtres numériques.

La procédure de conception des filtres numériques est principalement liée au type de filtre le long de la ligne de réponse en fréquence. L'un des problèmes fréquemment rencontrés dans la pratique est la création de filtres qui transmettent des signaux dans une certaine bande de fréquences et bloquent d'autres fréquences. Il en existe quatre types :

1.) Filtres passe-bas (LPF; terme anglais - filtre passe-bas), transmettant des fréquences inférieures à une certaine fréquence de coupure ω 0.

2.) Filtres passe-haut (HPF; terme anglais - filtre passe-haut), transmettant des fréquences supérieures à une certaine fréquence de coupure ω 0.

3.) Filtres passe-bande (PF; terme anglais - filtre passe-bande), passant des fréquences dans une certaine plage ω 1…. ω 2 (ils peuvent aussi être caractérisés par une fréquence moyenne ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Filtres coupe-bande (d'autres noms possibles sont filtre d'arrêt, filtre bouchon, filtre coupe-bande ; terme anglais - filtre coupe-bande), transmettant vers la sortie Tous fréquences, sauf se situant dans une certaine plage ω 1…. ω 2 (ils peuvent aussi être caractérisés par une fréquence moyenne ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 et bande passante Δ ω = ω 2 – ω 1).

La forme idéale de la réponse en fréquence de ces quatre types de filtres est :

Cependant, une telle forme idéale (rectangulaire) de la réponse en fréquence ne peut pas être physiquement réalisée. Par conséquent, dans la théorie des filtres analogiques, un certain nombre de méthodes ont été développées. approximations réponse en fréquence rectangulaire.

De plus, après avoir calculé le filtre passe-bas, vous pouvez utiliser des transformations simples pour modifier sa fréquence de coupure, le transformer en filtre passe-haut, passe-bande ou filtre coupe-bande avec des paramètres spécifiés. Par conséquent, le calcul d'un filtre analogique commence par le calcul de ce que l'on appelle filtre prototype, qui est un filtre passe-bas avec une fréquence de coupure de 1 rad/s.

1.) Filtre Butterworth :

La fonction de transfert du prototype de filtre Butterworth n'a pas de zéros et ses pôles sont uniformément espacés sur s-plan dans la moitié gauche d'un cercle de rayon unité.

Pour le filtre Butterworth, la fréquence de coupure est déterminée par le niveau 1/. Le filtre Butterworth fournit aussi plat que possible pic dans la bande passante.

2.) Filtre Chebyshev du premier type :

La fonction de transfert du filtre Chebyshev du premier type (filtre Chebyshev type I) n'a pas non plus de zéros et ses pôles sont situés dans la moitié gauche de l'ellipse sur s-avion. Pour un filtre Chebyshev du premier type, la fréquence de coupure est déterminée par le niveau d'ondulation dans la bande passante.

Comparé à un filtre Butterworth du même ordre, le filtre Chebyshev fournit une baisse plus prononcée de la réponse en fréquence dans la région de transition de la bande passante à la bande d'arrêt.

3.) Filtre Chebyshev du deuxième type :

La fonction de transfert d'un filtre Chebyshev de type II, contrairement aux cas précédents, comporte à la fois des zéros et des pôles. Les filtres Chebyshev du deuxième type sont également appelés filtres Chebyshev inverses. La fréquence de coupure d'un filtre Chebyshev du deuxième type n'est pas la fin de la bande passante, mais début de la voie d'arrêt. Le coefficient de transmission du filtre à fréquence nulle est de 1, à la fréquence de coupure - jusqu'au niveau d'ondulation spécifié dans la bande d'arrêt. À ω → ∞ le coefficient de transmission est nul pour un ordre de filtre impair et le niveau d'ondulation pour un ordre pair. À ω = 0 La réponse en fréquence d'un filtre Chebyshev du deuxième type est aussi plate que possible.

4.) Filtres elliptiques :

Les filtres elliptiques (filtres Cauer ; termes anglais - filtre elliptique, filtre Cauer) combinent en un sens les propriétés des filtres Chebyshev du premier et du deuxième type, puisque la réponse en fréquence d'un filtre elliptique présente des ondulations d'une ampleur donnée, à la fois dans la bande passante et dans la bande d'arrêt. De ce fait, il est possible de garantir la pente maximale possible (avec un ordre de filtrage fixe) de la pente de réponse en fréquence, c'est-à-dire la zone de transition entre la bande passante et la bande d'arrêt.

La fonction de transfert du filtre elliptique comporte à la fois des pôles et des zéros. Les zéros, comme dans le cas du filtre Chebyshev du deuxième type, sont purement imaginaires et forment des paires conjuguées complexes. Le nombre de zéros de la fonction de transfert est égal au nombre pair maximum n'excédant pas l'ordre du filtre.

Les fonctions MATLAB de calcul de Butterworth, les filtres Chebyshev du premier et du deuxième type, ainsi que les filtres elliptiques, vous permettent de calculer à la fois des filtres analogiques et discrets. Les fonctions de calcul de filtre nécessitent que l'ordre du filtre et sa fréquence de coupure soient spécifiés comme paramètres d'entrée.

L'ordre du filtre dépend de :

sur l'irrégularité admissible dans la bande passante sur la taille de la zone d'incertitude. (Plus la zone d'incertitude est petite, plus la baisse de la réponse en fréquence est prononcée).

Pour les filtres FIR, l'ordre est de plusieurs dizaines ou centaines, et pour les filtres IIR, l'ordre ne dépasse pas plusieurs unités.

Des pictogrammes permettent de visualiser toutes les cotes. La conception du filtre est effectuée sur une seule fenêtre.

Le signal s'appelle périodique, si sa forme se répète cycliquement dans le temps. Un signal périodique sous forme générale s'écrit comme suit :

Voici la période du signal. Les signaux périodiques peuvent être simples ou complexes.

Pour la représentation mathématique de signaux périodiques avec une période, cette série est souvent utilisée, dans laquelle des oscillations harmoniques (sinus et cosinus) de plusieurs fréquences sont sélectionnées comme fonctions de base :

Où . - la pulsation principale de la séquence de fonctions. Pour les fonctions de base harmonique, à partir de cette série on obtient une série de Fourier, qui dans le cas le plus simple peut s'écrire sous la forme suivante :

où sont les coefficients

La série de Fourier montre clairement que dans le cas général, un signal périodique contient une composante constante et un ensemble d'oscillations harmoniques de la fréquence fondamentale et de ses harmoniques avec les fréquences. Chaque oscillation harmonique de la série de Fourier est caractérisée par une amplitude et une phase initiale.

Diagramme spectral et spectre d'un signal périodique.

Si un signal est présenté comme une somme d’oscillations harmoniques de fréquences différentes, cela signifie que décomposition spectrale signal.

Diagramme spectral Le signal est une représentation graphique des coefficients de la série de Fourier de ce signal. Il existe des diagrammes d'amplitude et de phase. Pour construire ces diagrammes, les valeurs des fréquences harmoniques sont tracées sur une certaine échelle le long de l'axe horizontal, et leurs amplitudes et phases sont tracées le long de l'axe vertical. De plus, les amplitudes des harmoniques ne peuvent prendre que des valeurs positives, les phases peuvent prendre à la fois des valeurs positives et négatives dans l'intervalle.

Diagrammes spectraux d'un signal périodique :

a) - amplitude ; b) - phase.

Spectre de signaux- il s'agit d'un ensemble de composantes harmoniques avec des valeurs spécifiques de fréquences, d'amplitudes et de phases initiales, qui forment ensemble un signal. En pratique, les diagrammes spectraux sont appelés plus brièvement - spectre d'amplitude, spectre de phase. Le plus grand intérêt est montré dans le diagramme spectral d’amplitude. Il peut être utilisé pour estimer le pourcentage d’harmoniques dans le spectre.

Les caractéristiques spectrales jouent un rôle important dans la technologie des télécommunications. Connaissant le spectre du signal, vous pouvez calculer et régler correctement la bande passante des amplificateurs, filtres, câbles et autres nœuds de canaux de communication. La connaissance des spectres de signaux est nécessaire pour construire des systèmes multicanaux avec division de fréquence. Sans connaissance du spectre des interférences, il est difficile de prendre des mesures pour les supprimer.

Nous pouvons en conclure que le spectre doit être connu afin d'effectuer une transmission de signal sans distorsion sur le canal de communication, afin d'assurer la séparation des signaux et de réduire les interférences.

Pour observer le spectre des signaux, il existe des appareils appelés analyseurs de spectre. Ils vous permettent d'observer et de mesurer les paramètres des composantes individuelles du spectre d'un signal périodique, ainsi que de mesurer la densité spectrale d'un signal continu.

Dans de nombreux cas, la tâche consistant à obtenir (calculer) le spectre d'un signal ressemble à ceci. Il existe un CAN qui, avec une fréquence d'échantillonnage Fd, convertit un signal continu arrivant à son entrée pendant le temps T en échantillons numériques - N morceaux. Ensuite, le tableau d'échantillons est introduit dans un certain programme qui produit N/2 de certaines valeurs numériques (le programmeur qui volé sur Internet a écrit un programme, assure qu'il fait la transformée de Fourier).

Pour vérifier si le programme fonctionne correctement, nous formerons un tableau d'échantillons comme la somme de deux sinusoïdes sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) et le glisserons dans le programme. . Le programme a dessiné les éléments suivants :

Fig.1 Graphique de la fonction temps du signal

Fig.2 Graphique du spectre du signal

Sur le graphique du spectre il y a deux bâtons (harmoniques) 5 Hz avec une amplitude de 0,5 V et 10 Hz avec une amplitude de 1 V, tout est comme dans la formule du signal d'origine. Tout va bien, bravo programmeur ! Le programme fonctionne correctement.

Cela signifie que si nous appliquons un signal réel provenant d'un mélange de deux sinusoïdes à l'entrée du CAN, nous obtiendrons un spectre similaire composé de deux harmoniques.

Au total, notre réel signal mesuré dure 5 secondes, numérisé par l'ADC, c'est-à-dire représenté discret compte, a discret non périodique gamme.

D’un point de vue mathématique, combien d’erreurs y a-t-il dans cette phrase ?

Maintenant que les autorités ont décidé, nous avons décidé que 5 secondes, c'est trop long, mesurons le signal en 0,5 seconde.



Fig.3 Graphique de la fonction sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pour une période de mesure de 0,5 sec

Fig.4 Spectre de fonctions

Quelque chose ne semble pas normal ! L'harmonique de 10 Hz est dessinée normalement, mais à la place du bâton de 5 Hz, plusieurs harmoniques étranges apparaissent. Nous regardons sur Internet ce qui se passe...

Eh bien, ils disent que vous devez ajouter des zéros à la fin de l'échantillon et le spectre sera dessiné normalement.

Fig.5 Ajout de zéros jusqu'à 5 secondes

Fig.6 Spectre reçu

Ce n'est toujours pas la même chose qu'à 5 secondes. Nous devrons traiter de la théorie. Allons à Wikipédia- source de connaissances.

2. Fonction continue et sa représentation en série de Fourier

Mathématiquement, notre signal d'une durée de T secondes est une certaine fonction f(x) spécifiée sur l'intervalle (0, T) (X dans ce cas est le temps). Une telle fonction peut toujours être représentée comme une somme de fonctions harmoniques (sinus ou cosinus) de la forme :

(1), où :

K - numéro de fonction trigonométrique (numéro de composant harmonique, numéro harmonique)
T - segment où la fonction est définie (durée du signal)
Ak est l'amplitude de la k-ième composante harmonique,
θk- phase initiale de la k-ème composante harmonique

Que signifie « représenter une fonction comme la somme d’une série » ? Cela signifie qu'en additionnant les valeurs des composantes harmoniques de la série de Fourier en chaque point, nous obtenons la valeur de notre fonction en ce point.

(Plus strictement, l'écart quadratique moyen de la série par rapport à la fonction f(x) tendra vers zéro, mais malgré la convergence quadratique moyenne, la série de Fourier d'une fonction, d'une manière générale, n'est pas obligée de y convergent ponctuellement. Voir https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

Cette série peut également s’écrire :

(2),
où , k-ème amplitude complexe.

La relation entre les coefficients (1) et (3) est exprimée par les formules suivantes :

Notez que ces trois représentations de la série de Fourier sont complètement équivalentes. Parfois, lorsque l'on travaille avec des séries de Fourier, il est plus pratique d'utiliser les exposants de l'argument imaginaire au lieu des sinus et des cosinus, c'est-à-dire d'utiliser la transformée de Fourier sous une forme complexe. Mais il nous convient d'utiliser la formule (1), où la série de Fourier est présentée comme une somme de cosinus avec les amplitudes et phases correspondantes. Quoi qu’il en soit, il est inexact de dire que la transformée de Fourier d’un signal réel aboutira à des amplitudes harmoniques complexes. Comme Wiki l'indique à juste titre, « La transformée de Fourier (ℱ) est une opération qui associe une fonction d'une variable réelle à une autre fonction, également une variable réelle. »

Total:
La base mathématique de l'analyse spectrale des signaux est la transformée de Fourier.

La transformée de Fourier permet de représenter une fonction continue f(x) (signal), définie sur le segment (0, T) comme la somme d'un nombre infini (série infinie) de fonctions trigonométriques (sinus et/ou cosinus) avec certaines amplitudes et phases, également considérées sur le segment (0, T). Une telle série est appelée série de Fourier.

Notons encore quelques points dont la compréhension est nécessaire à l'application correcte de la transformée de Fourier à l'analyse du signal. Si l'on considère la série de Fourier (la somme des sinusoïdes) sur tout l'axe X, on voit qu'en dehors du segment (0, T) la fonction représentée par la série de Fourier répétera périodiquement notre fonction.

Par exemple, dans le graphique de la figure 7, la fonction d'origine est définie sur le segment (-T\2, +T\2), et la série de Fourier représente une fonction périodique définie sur tout l'axe des x.

Cela se produit parce que les sinusoïdes elles-mêmes sont des fonctions périodiques et que, par conséquent, leur somme sera une fonction périodique.

Fig.7 Représentation d'une fonction originale non périodique par une série de Fourier

Ainsi:

Notre fonction originale est continue, non périodique, définie sur un certain segment de longueur T.
Le spectre de cette fonction est discret, c'est-à-dire qu'il se présente sous la forme d'une série infinie de composantes harmoniques - la série de Fourier.
En fait, la série de Fourier définit une certaine fonction périodique qui coïncide avec la nôtre sur le segment (0, T), mais pour nous cette périodicité n'est pas significative.

Les périodes des composantes harmoniques sont des multiples de la valeur du segment (0, T) sur lequel la fonction originale f(x) est définie. Autrement dit, les périodes harmoniques sont des multiples de la durée de la mesure du signal. Par exemple, la période de la première harmonique de la série de Fourier est égale à l'intervalle T sur lequel est définie la fonction f(x). La période de la deuxième harmonique de la série de Fourier est égale à l'intervalle T/2. Et ainsi de suite (voir Fig. 8).

Fig.8 Périodes (fréquences) des composantes harmoniques de la série de Fourier (ici T = 2π)

En conséquence, les fréquences des composantes harmoniques sont des multiples de 1/T. Autrement dit, les fréquences des composantes harmoniques Fk sont égales à Fk= k\T, où k va de 0 à ∞, par exemple k=0 F0=0 ; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (à fréquence nulle - composante constante).

Soit notre fonction originale un signal enregistré pendant T=1 sec. Alors la période de la première harmonique sera égale à la durée de notre signal T1=T=1 sec et la fréquence harmonique sera de 1 Hz. La période de la deuxième harmonique sera égale à la durée du signal divisée par 2 (T2=T/2=0,5 sec) et la fréquence sera de 2 Hz. Pour la troisième harmonique T3=T/3 sec et la fréquence est de 3 Hz. Et ainsi de suite.

Le pas entre les harmoniques dans ce cas est de 1 Hz.

Ainsi, un signal d'une durée de 1 seconde peut être décomposé en composantes harmoniques (obtention d'un spectre) avec une résolution fréquentielle de 1 Hz.
Pour augmenter la résolution de 2 fois à 0,5 Hz, vous devez augmenter la durée de mesure de 2 fois - jusqu'à 2 secondes. Un signal d'une durée de 10 secondes peut être décomposé en composantes harmoniques (pour obtenir un spectre) avec une résolution en fréquence de 0,1 Hz. Il n’existe aucun autre moyen d’augmenter la résolution en fréquence.

Il existe un moyen d'augmenter artificiellement la durée d'un signal en ajoutant des zéros au tableau d'échantillons. Mais cela n’augmente pas la résolution en fréquence réelle.

3. Signaux discrets et transformée de Fourier discrète

Avec le développement de la technologie numérique, les méthodes de stockage des données de mesure (signaux) ont également changé. Si auparavant un signal pouvait être enregistré sur un magnétophone et stocké sur bande sous forme analogique, les signaux sont désormais numérisés et stockés dans des fichiers dans la mémoire de l'ordinateur sous la forme d'un ensemble de nombres (échantillons).

Le schéma habituel pour mesurer et numériser un signal est le suivant.

Fig.9 Schéma du canal de mesure

Le signal du transducteur de mesure arrive à l'ADC pendant un temps T. Les échantillons de signal (échantillonnage) obtenus pendant le temps T sont transmis à l'ordinateur et stockés en mémoire.

Fig. 10 Signal numérisé - N échantillons reçus pendant le temps T

Quelles sont les exigences relatives aux paramètres de numérisation du signal ? Un appareil qui convertit un signal analogique d'entrée en un code discret (signal numérique) est appelé convertisseur analogique-numérique (ADC) (Wiki).

L'un des principaux paramètres de l'ADC est la fréquence d'échantillonnage maximale (ou taux d'échantillonnage, taux d'échantillonnage anglais) - le taux d'échantillonnage d'un signal continu dans le temps lors de son échantillonnage. Elle se mesure en Hertz. ((Wiki))

Selon le théorème de Kotelnikov, si un signal continu a un spectre limité par la fréquence Fmax, alors il peut être complètement et sans ambiguïté reconstruit à partir de ses échantillons discrets prélevés à intervalles de temps. , c'est à dire. avec une fréquence Fd ≥ 2*Fmax, où Fd est la fréquence d'échantillonnage ; Fmax - fréquence maximale du spectre du signal. Autrement dit, la fréquence de numérisation du signal (fréquence d'échantillonnage ADC) doit être au moins 2 fois supérieure à la fréquence maximale du signal que l'on souhaite mesurer.

Que se passera-t-il si nous prélevons des échantillons avec une fréquence inférieure à celle requise par le théorème de Kotelnikov ?

Dans ce cas, il se produit l'effet « aliasing » (également connu sous le nom d'effet stroboscopique, effet moiré), dans lequel un signal haute fréquence, après numérisation, se transforme en un signal basse fréquence, qui n'existe pas en réalité. En figue. L'onde sinusoïdale haute fréquence 11 rouge est un signal réel. Une sinusoïde bleue d'une fréquence inférieure est un signal fictif qui apparaît du fait que pendant la période d'échantillonnage, plus d'une demi-période du signal haute fréquence a le temps de passer.

Riz. 11. L'apparition d'un faux signal basse fréquence à un taux d'échantillonnage insuffisamment élevé

Pour éviter l'effet de crénelage, un filtre anti-crénelage spécial est placé devant l'ADC - un filtre passe-bas (LPF), qui laisse passer les fréquences inférieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage de l'ADC et coupe les fréquences plus élevées.

Afin de calculer le spectre d'un signal à partir de ses échantillons discrets, la transformée de Fourier discrète (TFD) est utilisée. Notons encore une fois que le spectre d'un signal discret « par définition » est limité par la fréquence Fmax, qui est inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage Fd. Par conséquent, le spectre d'un signal discret peut être représenté par la somme d'un nombre fini d'harmoniques, contrairement à la somme infinie pour la série de Fourier d'un signal continu, dont le spectre peut être illimité. Selon le théorème de Kotelnikov, la fréquence maximale d'une harmonique doit être telle qu'elle représente au moins deux échantillons, donc le nombre d'harmoniques est égal à la moitié du nombre d'échantillons d'un signal discret. Autrement dit, s’il y a N échantillons dans l’échantillon, alors le nombre d’harmoniques dans le spectre sera égal à N/2.

Considérons maintenant la transformée de Fourier discrète (TFD).

Comparaison avec la série de Fourier

Nous voyons qu'ils coïncident, sauf que le temps dans la DFT est de nature discrète et que le nombre d'harmoniques est limité par N/2 - la moitié du nombre d'échantillons.

Les formules DFT sont écrites en variables entières sans dimension k, s, où k sont le nombre d'échantillons de signal, s est le nombre de composantes spectrales.
La valeur s indique le nombre d'oscillations harmoniques complètes sur la période T (durée de mesure du signal). La transformée de Fourier discrète est utilisée pour trouver les amplitudes et les phases des harmoniques à l'aide d'une méthode numérique, c'est-à-dire "sur l'ordinateur"

Revenons aux résultats obtenus au début. Comme mentionné ci-dessus, lors de l'expansion d'une fonction non périodique (notre signal) en une série de Fourier, la série de Fourier résultante correspond en fait à une fonction périodique de période T (Fig. 12).

Fig. 12 Fonction périodique f(x) avec période T0, avec période de mesure T>T0

Comme on peut le voir sur la figure 12, la fonction f(x) est périodique de période T0. Cependant, du fait que la durée de l'échantillon de mesure T ne coïncide pas avec la période de la fonction T0, la fonction obtenue sous forme de série de Fourier présente une discontinuité au point T. De ce fait, le spectre de cette fonction contiendra un grand nombre d'harmoniques haute fréquence. Si la durée de l'échantillon de mesure T coïncidait avec la période de la fonction T0, alors le spectre obtenu après transformée de Fourier ne contiendrait que la première harmonique (sinusoïde de période égale à la durée d'échantillonnage), puisque la fonction f(x) est une sinusoïde.

En d'autres termes, le programme DFT "ne sait pas" que notre signal est un "morceau de sinusoïde", mais essaie de représenter une fonction périodique sous la forme d'une série, qui présente une discontinuité due à l'incohérence des morceaux individuels de la sinusoïde.

De ce fait, des harmoniques apparaissent dans le spectre, qui doivent résumer la forme de la fonction, y compris cette discontinuité.

Ainsi, afin d'obtenir le spectre « correct » d'un signal, qui est la somme de plusieurs sinusoïdes de périodes différentes, il est nécessaire qu'un nombre entier de périodes de chaque sinusoïde rentre dans la période de mesure du signal. En pratique, cette condition peut être remplie pour une durée de mesure du signal suffisamment longue.

Fig. 13 Exemple de fonction et de spectre du signal d'erreur cinématique de la boîte de vitesses

Avec une durée plus courte, l'image sera « pire » :

Fig. 14 Exemple de fonction et de spectre d'un signal de vibration du rotor

En pratique, il peut être difficile de comprendre où sont les « composantes réelles » et où sont les « artefacts » provoqués par les périodes non multiples des composantes et la durée de l'échantillonnage du signal ou les « sauts et ruptures » dans la forme du signal. . Bien sûr, les mots « composants réels » et « artefacts » sont mis entre guillemets pour une raison. La présence de nombreuses harmoniques sur le graphique du spectre ne signifie pas que notre signal en est réellement « constitué ». Cela revient à penser que le nombre 7 « se compose » des nombres 3 et 4. Le nombre 7 peut être représenté comme la somme des nombres 3 et 4 – c’est exact.

Donc notre signal... ou plutôt même pas « notre signal », mais une fonction périodique composée de la répétition de notre signal (échantillonnage) peut être représentée comme une somme d'harmoniques (ondes sinusoïdales) avec certaines amplitudes et phases. Mais dans de nombreux cas importants pour la pratique (voir les figures ci-dessus), il est en effet possible d'associer les harmoniques obtenues dans le spectre à des processus réels, de nature cyclique et apportant une contribution significative à la forme du signal.

Quelques résultats

1. Un signal réel mesuré d'une durée de T secondes, numérisé par un CAN, c'est-à-dire représenté par un ensemble d'échantillons discrets (N pièces), possède un spectre discret non périodique, représenté par un ensemble d'harmoniques (N/ 2 pièces).

2. Le signal est représenté par un ensemble de valeurs réelles et son spectre est représenté par un ensemble de valeurs réelles. Les fréquences harmoniques sont positives. Le fait qu’il soit plus pratique pour les mathématiciens de représenter le spectre sous une forme complexe en utilisant des fréquences négatives ne signifie pas que « c’est correct » et que « cela devrait toujours être fait ».

3. Un signal mesuré sur un intervalle de temps T est déterminé uniquement sur un intervalle de temps T. Ce qui s'est passé avant que nous commencions à mesurer le signal, et ce qui se passera après cela, est inconnu de la science. Et dans notre cas, ce n’est pas intéressant. La TFD d'un signal limité dans le temps donne son « vrai » spectre, dans le sens où, sous certaines conditions, elle permet de calculer l'amplitude et la fréquence de ses composantes.

Matériaux utilisés et autres matériaux utiles.

Au siècle dernier, Ivan Bernoulli, Léonard Euler, puis Jean-Baptiste Fourier furent les premiers à utiliser la représentation des fonctions périodiques par séries trigonométriques. Cette représentation est étudiée de manière suffisamment détaillée dans d'autres cours, nous n'en rappelons donc que les relations et définitions de base.

Comme indiqué ci-dessus, toute fonction périodique Utah) , pour lequel l'égalité est vraie u(t)=u(t+T) , Où T=1/F=2p/W , peut être représenté dans une série de Fourier :

Chaque terme de cette série peut être développé à l'aide de la formule du cosinus pour la différence de deux angles et représenté comme deux termes :

,

Où: A n =C n cosφ n , B n =C n sinφ n , Donc , UN

Chances Un Et Auberge sont déterminés par les formules d'Euler :

;
.

À n=0 :

UN B0 =0.

Chances Un Et Auberge , sont les valeurs moyennes du produit de la fonction Utah) et vibration harmonique avec fréquence maintenant sur un intervalle de durée T . Nous savons déjà (section 2.5) qu’il s’agit de fonctions de corrélation croisée qui déterminent l’étendue de leur connexion. Par conséquent, les coefficients Un Et Bn montre-nous "combien" d'ondes sinusoïdales ou cosinusoïdales avec fréquence nW contenu dans cette fonction Utah) , extensible dans une série de Fourier.

On peut donc représenter la fonction périodique Utah) comme une somme d'oscillations harmoniques, où les nombres CN sont des amplitudes, et les nombres φn - par étapes. Généralement en littérature est appelé spectre d'amplitude, et - spectre de phases. Souvent, seul le spectre d'amplitude est pris en compte, qui est représenté par des lignes situées aux points nW sur l'axe des fréquences et ayant une hauteur correspondant au nombre CN . Cependant, il convient de rappeler que pour obtenir une correspondance biunivoque entre la fonction temps Utah) et son spectre doit utiliser à la fois le spectre d'amplitude et le spectre de phase. Cela peut être vu à partir d’un exemple aussi simple. Les signaux auront le même spectre d’amplitude, mais des types de fonctions temporelles complètement différents.

Non seulement une fonction périodique peut avoir un spectre discret. Par exemple, un signal : n'est pas périodique, mais possède un spectre discret constitué de deux raies spectrales. De plus, un signal constitué d'une séquence d'impulsions radio (impulsions avec remplissage haute fréquence), pour lesquelles la période de répétition est constante, mais la phase initiale du remplissage haute fréquence varie d'une impulsion à l'autre selon une certaine loi, ne sera pas être strictement périodique. De tels signaux sont dits presque périodiques. Comme nous le verrons plus tard, ils ont également un spectre discret. Nous étudierons la nature physique des spectres de tels signaux au même titre que ceux périodiques.