Notre objectif immédiat est de prouver que n’importe quelle matrice peut être réduite à des formes standards à l’aide de transformations élémentaires. Le langage des matrices équivalentes est utile dans cette voie.

Laisser être. Nous dirons qu'une matrice est l_équivalent (p_equivalent ou équivalent) à une matrice et désignerons (ou) si la matrice peut être obtenue à partir d'une matrice en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires de ligne (colonne ou ligne et colonne, respectivement). Il est clair que les matrices l_equivalent et n_equivalent sont équivalentes.

Tout d’abord, nous montrerons que toute matrice peut être réduite à une forme spéciale appelée réduite par des transformations de lignes uniquement.

Laisser être. Une ligne non nulle de cette matrice est dite de forme réduite si elle contient un élément égal à 1 tel que tous les éléments de la colonne autres que soient égaux à zéro, . Nous appellerons l’élément unique marqué de la ligne l’élément principal de cette ligne et l’enfermerons dans un cercle. Autrement dit, une ligne d'une matrice a la forme réduite si cette matrice contient une colonne de la forme

Par exemple, dans la matrice suivante

la ligne a la forme suivante, puisque. Faisons attention au fait que dans cet exemple, un élément prétend également être l'élément principal de la ligne. À l'avenir, si une ligne du type donné contient plusieurs éléments qui ont des propriétés principales, nous n'en sélectionnerons qu'un seul de manière arbitraire.

Une matrice est dite de forme réduite si chacune de ses lignes non nulles a une forme réduite. Par exemple, la matrice

a la forme suivante.

Proposition 1.3 Pour toute matrice il existe une matrice équivalente de forme réduite.

En effet, si la matrice a la forme (1.1) et, alors après y avoir effectué des transformations élémentaires

on obtient la matrice

dans lequel la chaîne a la forme suivante.

Deuxièmement, si la ligne de la matrice a été réduite, alors après avoir effectué les transformations élémentaires (1.20) la ligne de la matrice sera réduite. En effet, puisque donnée, il existe une colonne telle que

mais alors et, par conséquent, après avoir effectué les transformations (1.20) la colonne ne change pas, c'est-à-dire . La ligne a donc la forme suivante.

Maintenant, il est clair qu’en transformant tour à tour chaque ligne non nulle de la matrice de la manière ci-dessus, après un nombre fini d’étapes, nous obtiendrons une matrice de forme réduite. Puisque seules des transformations élémentaires de lignes ont été utilisées pour obtenir la matrice, elle est l_équivalente à une matrice. >

Exemple 7. Construire une matrice de forme réduite, l_équivalent à la matrice

Les notions d'égalité et d'équivalence des matrices sont souvent rencontrées.

Définition 1

La matrice $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ est dite égale à la matrice $B=\left(b_(ij) \right)_(k\times l ) $ si leurs dimensions $(m=k,n=l)$ coïncident et que les éléments correspondants des matrices comparées sont égaux les uns aux autres.

Pour les matrices du 2ème ordre écrites sous forme générale, l'égalité des matrices peut s'écrire comme suit :

Exemple 1

Matrices données :

1) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( tableau)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$;

2) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( tableau)(c) (-3) \\ (2) \end(array)\right)$;

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$.

Déterminez si les matrices sont égales.

1) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( tableau)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$

Les matrices A et B ont le même ordre, égal à 2$\times $2. Les éléments correspondants des matrices comparées sont égaux, donc les matrices sont égales.

2) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( tableau)(c) (-3) \\ (2) \end(array)\right)$

Les matrices A et B ont des ordres différents, égaux respectivement à 2$\times $2 et 2$\times $1.

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( tableau)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$

Les matrices A et B ont le même ordre, égal à 2$\times $2. Cependant, tous les éléments correspondants des matrices comparées ne sont pas égaux ; par conséquent, les matrices ne sont pas égales.

Définition 2

Une transformation matricielle élémentaire est une transformation qui préserve l'équivalence des matrices. Autrement dit, une transformation élémentaire ne change pas l'ensemble des solutions du système d'équations algébriques linéaires (SLAE) que représente cette matrice.

Les transformations élémentaires des lignes de la matrice comprennent :

• multiplier une ligne d'une matrice par un nombre $k$ qui n'est pas égal à zéro (le déterminant de la matrice augmente de $k$ fois) ;
• échanger deux lignes quelconques d'une matrice ;
• ajouter aux éléments d'une ligne d'une matrice les éléments d'une autre ligne.

Il en va de même pour les colonnes matricielles et est appelé transformations de colonnes élémentaires.

Définition 3

Si l'on passe de la matrice A en utilisant une transformation élémentaire à la matrice B, alors les matrices originale et résultante sont dites équivalentes. Pour désigner l'équivalence des matrices, utilisez le signe « $ \sim$ », par exemple $A\sim B$.

Exemple 2

Étant donné la matrice : $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(array)\right)$.

Effectuez des transformations élémentaires des lignes de la matrice une par une.

Intervertissons la première ligne et la deuxième ligne de la matrice A :

Multipliez la première ligne de la matrice B par le nombre 2 :

Ajoutons la première ligne avec la deuxième ligne de la matrice :

Définition 4

Une matrice d'étapes est une matrice qui satisfait aux conditions suivantes :

• s'il y a une ligne nulle dans une matrice, toutes les lignes en dessous sont également nulles ;
• Le premier élément non nul de chaque ligne non nulle doit être situé strictement à droite de l'élément de début de la ligne qui se trouve au-dessus de celui-ci.

Exemple 3

Matrices $A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ et $B=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(array)\right)$ sont des matrices échelonnées.

Commentaire

Vous pouvez réduire une matrice sous forme échelonnée en utilisant des transformations équivalentes.

Exemple 4

Étant donné la matrice : $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(array)\right)$. Réduisez la matrice sous une forme étape par étape.

Intervertissons les première et deuxième lignes de la matrice A :

Multiplions la première ligne de la matrice B par le nombre 2 et ajoutons-le à la deuxième ligne :

Multiplions la première ligne de la matrice C par le nombre -1 et ajoutons-la à la troisième ligne :

Multiplions la deuxième ligne de la matrice D par le nombre -2 et ajoutons-le à la troisième ligne :

$K=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(array)\right)$ est une matrice de type échelon.

Matrices équivalentes

Comme mentionné ci-dessus, le mineur d'une matrice d'ordre s est le déterminant d'une matrice formée d'éléments de la matrice d'origine situés à l'intersection de toutes les s lignes et s colonnes sélectionnées.

Définition. Dans une matrice d'ordre mn, un mineur d'ordre r est dit basique s'il n'est pas égal à zéro, et tous les mineurs d'ordre r+1 et supérieurs sont égaux à zéro ou n'existent pas du tout, c'est-à-dire r correspond au plus petit de m ou n.

Les colonnes et les lignes de la matrice sur lesquelles repose la base mineure sont également appelées base.

Une matrice peut avoir plusieurs bases mineures différentes qui ont le même ordre.

Définition. L'ordre de la base mineure d'une matrice est appelé rang de la matrice et est noté Rg A.

Une propriété très importante des transformations matricielles élémentaires est qu’elles ne changent pas le rang de la matrice.

Définition. Les matrices obtenues à la suite d'une transformation élémentaire sont dites équivalentes.

Il convient de noter que les matrices égales et les matrices équivalentes sont des concepts complètement différents.

Théorème. Le plus grand nombre de colonnes linéairement indépendantes dans une matrice est égal au nombre de lignes linéairement indépendantes.

Parce que les transformations élémentaires ne changent pas le rang de la matrice, le processus de recherche du rang de la matrice peut alors être considérablement simplifié.

Exemple. Déterminez le rang de la matrice.

2. Exemple : Déterminer le rang de la matrice.

Si, à l'aide de transformations élémentaires, il n'est pas possible de trouver une matrice équivalente à celle d'origine, mais de taille plus petite, alors pour trouver le rang de la matrice, il faut commencer par calculer les mineurs de l'ordre le plus élevé possible. Dans l'exemple ci-dessus, il s'agit de mineurs d'ordre 3. Si au moins l'un d'entre eux n'est pas égal à zéro, alors le rang de la matrice est égal à l'ordre de ce mineur.

Le théorème sur la base mineure.

Théorème. Dans une matrice arbitraire A, chaque colonne (ligne) est une combinaison linéaire des colonnes (lignes) dans lesquelles se trouve la base mineure.

Ainsi, le rang d'une matrice arbitraire A est égal au nombre maximum de lignes (colonnes) linéairement indépendantes dans la matrice.

Si A est une matrice carrée et det A = 0, alors au moins une des colonnes est une combinaison linéaire des colonnes restantes. Il en va de même pour les chaînes. Cette affirmation découle de la propriété de dépendance linéaire lorsque le déterminant est égal à zéro.

Résolution de systèmes arbitraires d'équations linéaires

Comme mentionné ci-dessus, la méthode matricielle et la méthode de Cramer ne sont applicables qu'aux systèmes d'équations linéaires dans lesquels le nombre d'inconnues est égal au nombre d'équations. Ensuite, nous considérons des systèmes arbitraires d'équations linéaires.

Définition. Un système de m équations à n inconnues sous forme générale s’écrit comme suit :

où aij sont des coefficients et bi sont des constantes. Les solutions du système sont n nombres qui, une fois substitués dans le système, transforment chacune de ses équations en une identité.

Définition. Si un système a au moins une solution, on l’appelle joint. Si un système n’a pas de solution unique, on dit qu’il est incohérent.

Définition. Un système est dit déterminé s’il n’a qu’une seule solution et indéfini s’il en a plusieurs.

Définition. Pour un système d'équations linéaires, la matrice

A = est appelée la matrice du système, et la matrice

A*= est appelée la matrice étendue du système

Définition. Si b1, b2, …,bm = 0, alors le système est dit homogène. un système homogène est toujours cohérent, car a toujours une solution nulle.

Transformations du système élémentaire

Les transformations élémentaires comprennent :

1) Ajouter aux deux côtés d'une équation les parties correspondantes de l'autre, multipliées par le même nombre, non égal à zéro.

2) Réorganiser les équations.

3) Supprimer du système les équations qui sont des identités pour tous x.

Théorème de Kronecker-Kapeli (condition de cohérence du système).

(Léopold Kronecker (1823-1891) mathématicien allemand)

Théorème : Un système est cohérent (a au moins une solution) si et seulement si le rang de la matrice système est égal au rang de la matrice étendue.

Évidemment, le système (1) peut être écrit sous la forme .

Transition vers une nouvelle base.

Soient (1) et (2) deux bases du même espace linéaire X à m dimensions.

Puisque (1) est une base, les vecteurs de la deuxième base peuvent en être développés :

A partir des coefficients de on crée une matrice :

(4) – matrice de transformation de coordonnées lors du passage de la base (1) à la base (2).

Soit un vecteur, alors (5) et (6).

La relation (7) signifie que

La matrice P est non dégénérée, car sinon il y aurait une relation linéaire entre ses colonnes, puis entre les vecteurs.

L'inverse est également vrai : toute matrice non singulière est une matrice de transformation de coordonnées définie par les formules (8). Parce que P est une matrice non singulière, alors son inverse existe. En multipliant les deux côtés de (8) par, on obtient : (9).

Soit 3 bases choisies dans l'espace linéaire X : (10), (11), (12).

D'où, c'est-à-dire (13).

Que. avec transformation séquentielle des coordonnées, la matrice de la transformation résultante est égale au produit des matrices des transformations composantes.

Soit un opérateur linéaire et soit une paire de bases choisies dans X : (I) et (II), et dans Y – (III) et (IV).

L'opérateur A dans une paire de bases I – III correspond à l'égalité : (14). Le même opérateur dans la paire de bases II – IV correspond à l'égalité : (15). Que. pour un opérateur A donné nous avons deux matrices et. Nous voulons établir une dépendance entre eux.

Soit P la matrice de transformation de coordonnées lors du passage de I à III.

Soit Q la matrice de transformation de coordonnées lors de la transition de II à IV.

Puis (16), (17). En substituant les expressions pour et de (16) et (17) dans (14), nous obtenons :

En comparant cette égalité avec (15), on obtient :

La relation (19) relie la matrice d'un même opérateur dans des bases différentes. Dans le cas où les espaces X et Y coïncident, le rôle de base III est joué par I, et le rôle de IV par le II, alors la relation (19) prend la forme : .

Bibliographie:

3. Kostrikin A.I. Introduction à l'algèbre. Partie II. Fondamentaux de l'algèbre : manuel pour les universités, -M. : Littérature physique et mathématique, 2000, 368 pp.

Conférence n°16 (IIe semestre)

Sujet: Condition nécessaire et suffisante pour l’équivalence matricielle.

Deux matrices A et B de même taille sont appelées équivalent, s'il existe deux matrices non singulières R et S telles que (1).

Exemple: Deux matrices correspondant au même opérateur pour des choix de bases différents dans les espaces linéaires X et Y sont équivalentes.

Il est clair que la relation définie sur l'ensemble de toutes les matrices de même taille en utilisant la définition ci-dessus est une relation d'équivalence.

Théorème 8 : Pour que deux matrices rectangulaires de même taille soient équivalentes, il faut et il suffit qu'elles soient de même rang.

Preuve:

1. Soit A et B deux matrices pour lesquelles cela a du sens. Le rang du produit (matrice C) n'est pas supérieur au rang de chacun des facteurs.

Nous voyons que la kème colonne de la matrice C est une combinaison linéaire de vecteurs de colonnes de la matrice A et cela est valable pour toutes les colonnes de la matrice C, c'est-à-dire pour tous. Que. , c'est à dire. – sous-espace de l’espace linéaire.

Puisque et puisque la dimension du sous-espace est inférieure ou égale à la dimension de l'espace, alors le rang de la matrice C est inférieur ou égal au rang de la matrice A.

Dans les égalités (2), on fixe l'indice i et on attribue à k toutes les valeurs possibles de 1 à s. On obtient alors un système d'égalités similaire au système (3) :

D'après les égalités (4), il est clair que la i-ème ligne de la matrice C est une combinaison linéaire des lignes de la matrice B pour tout i, et alors l'enveloppe linéaire engendrée par les lignes de la matrice C est contenue dans l'enveloppe linéaire engendrée par les lignes de la matrice B, et alors la dimension de cette enveloppe linéaire est inférieure ou égale à la dimension de l'enveloppe linéaire des vecteurs lignes de la matrice B, ce qui signifie que le rang de la matrice C est inférieur ou égal au rang de la matrice B.

2. Le rang du produit de la matrice A à gauche et à droite par une matrice carrée non singulière Q est égal au rang de la matrice A.(). Ceux. Le rang de la matrice C est égal au rang de la matrice A.

Preuve: D'après ce qui a été prouvé dans le cas (1). Puisque la matrice Q est non singulière, alors pour elle il existe : et conformément à ce qui a été prouvé dans l'énoncé précédent.

3. Montrons que si les matrices sont équivalentes, alors elles ont les mêmes rangs. Par définition, A et B sont équivalents s'il existe R et S tels que. Puisque multiplier A à gauche par R et à droite par S produit des matrices de même rang, comme prouvé au point (2), le rang de A est égal au rang de B.

4. Soient les matrices A et B du même rang. Montrons qu'ils sont équivalents. Considérons.

Soient X et Y deux espaces linéaires dans lesquels les bases (base X) et (base Y) sont choisies. Comme on le sait, toute matrice de la forme définit un certain opérateur linéaire agissant de X à Y.

Puisque r est le rang de la matrice A, alors parmi les vecteurs exactement r sont linéairement indépendants. Sans perte de généralité, on peut supposer que les r premiers vecteurs sont linéairement indépendants. Alors tout le reste peut s’exprimer linéairement à travers eux, et on peut écrire :

Définissons une nouvelle base dans l'espace X comme suit : . (7)

La nouvelle base dans l'espace Y est la suivante :

Les vecteurs, par condition, sont linéairement indépendants. Complétons-les avec quelques vecteurs à la base Y : (8). Donc (7) et (8) sont deux nouvelles bases X et Y. Trouvons la matrice de l'opérateur A dans ces bases :

Ainsi, dans la nouvelle paire de bases, la matrice de l’opérateur A est la matrice J. La matrice A était initialement une matrice rectangulaire arbitraire de la forme de rang r. Puisque les matrices du même opérateur dans des bases différentes sont équivalentes, cela montre que toute matrice rectangulaire de type et de rang r est équivalente à J. Puisque nous avons affaire à une relation d'équivalence, cela montre que deux matrices A et B quelconques de type et le rang r , étant équivalent à la matrice J sont équivalents les uns aux autres.

Bibliographie:

1. Voevodine V.V. Algèbre linéaire. Saint-Pétersbourg : Lan, 2008, 416 p.

2. Beklemishev D.V. Cours de géométrie analytique et d'algèbre linéaire. M. : Fizmatlit, 2006, 304 p.

3. Kostrikin A.I. Introduction à l'algèbre. Partie II. Fondamentaux de l'algèbre : manuel pour les universités, -M. : Littérature physique et mathématique, 2000, 368 p.

Conférence n°17 ​​(IIe semestre)

Sujet: Valeurs propres et vecteurs propres. Posséder des sous-espaces. Exemples.