Département des Finances et de la Gestion

PAS. Huček

Professeur agrégé, candidat en sciences techniques

NOTES DE LECTURE

par discipline

méthodes de solution optimale

Direction de formation : 080100 « Economie »

Profils de formation : « Finance et crédit », « Comptabilité, analyse et

audit", "Impôts et fiscalité", "Économie mondiale"
Forme d'enseignement à temps plein

Toula 2012

Notes de cours préparées par le professeur agrégé N.E. Huchek et discuté lors d'une réunion du Département de Finance et de Gestion de la Faculté d'Économie et de Gestion,

Les notes de cours ont été révisées et approuvées lors d'une réunion du Département de finance et de gestion de la Faculté d'économie et de gestion.

Tête Département __________________________E.A. Fedorov

1.1. Concepts de base de la théorie de la décision 4

1.2. Formalisation mathématique 7

1.3. Le stade actuel de développement de la théorie de la décision 12

Cours 2. Modélisation mathématique 15

2.1. Étapes de construction d'un modèle mathématique 15

2.2. Concepts de stabilité, d'optimisation et d'adéquation du modèle 18

2.3. Déclaration et technologie pour résoudre les problèmes de contrôle d'optimisation 21

Cours 3. Programmation linéaire 25

3.1. La programmation linéaire comme outil de modélisation mathématique de l'économie 25

3.2. Exemples de modèles programmation linéaire 29

Cours 4. Problèmes de programmation linéaire 33

4.1. Formes de problèmes de programmation linéaire et leurs transformations équivalentes 33

4.2. Interprétation géométrique du problème de programmation linéaire 37

Conférence 5. Méthode simplexe résoudre un problème de programmation linéaire 41

5.1. Méthode simplexe 41

5.2. Tableaux simplexes et algorithme pour résoudre des problèmes 42

5.3. Application de la méthode du simplexe aux problèmes économiques 44

Cours 6. Méthode de base artificielle pour résoudre un problème de programmation linéaire 48

6.1. Méthode de base artificielle 48

6.2. Application de la méthode des bases artificielles 49

Cours 7. Problèmes de programmation linéaire double 52

7.1. Double problème pour le problème standard 52

7.2. Théorèmes de base de la dualité 57

7.3. Méthode de résolution de paires simultanées double problèmes 62

Cours 1. Introduction à la théorie de la décision

Plan.

1.1. Concepts de base de la théorie de la décision.

1.2. Formalisation mathématique.

1.3. Le stade actuel de développement de la théorie de la prise de décision.

1.1. Concepts de base de la théorie de la décision

Les modèles et méthodes mathématiques sont un élément nécessaire de la théorie économique aux niveaux micro et macro. L'utilisation des mathématiques en économie permet :

premièrement, mettre en évidence et décrire formellement les connexions les plus importantes et essentielles entre les variables et les objets économiques ;

d'autre part, à partir de données initiales clairement formulées et de relations utilisant des méthodes déductives, on peut obtenir des conclusions adéquates à l'objet étudié dans la même mesure que les prémisses formulées ;

troisièmement, les méthodes mathématiques et statistiques permettent d'acquérir de manière inductive de nouvelles connaissances sur un objet : évaluer la forme et les paramètres des dépendances de ses variables, les plus cohérentes avec les observations existantes ;

quatrièmement, l'utilisation du langage mathématique permet de présenter de manière précise et compacte les dispositions de la théorie économique, de formuler ses concepts et ses conclusions.

La modélisation mathématique des phénomènes et des processus économiques afin d'aider à la prise de décision est un domaine d'activité scientifique et pratique qui a reçu un puissant élan de développement pendant et immédiatement après la Seconde Guerre mondiale. Cette direction s'est développée parallèlement au développement de la cybernétique, de la recherche opérationnelle, de l'analyse des systèmes et de l'informatique.

Lors de la construction, de l'étude et de l'application de modèles économiques et mathématiques de prise de décision, diverses méthodes économiques et mathématiques sont utilisées. Ils peuvent être divisés en plusieurs groupes :

Méthodes d'optimisation ;

Méthodes probabilistes-statistiques ;

Méthodes de construction et d'analyse de modèles de simulation ;

Méthodes d'analyse des situations conflictuelles (théorie des jeux).

Dans tous ces groupes, on peut distinguer les paramètres statiques et dynamiques. S'il existe un facteur temps, des équations différentielles et des schémas différentiels sont utilisés.

Les méthodes de décision optimale sont basées sur la théorie des décisions optimales. Considérons les concepts de base de la théorie de la décision 1.

Qui prend les décisions ? Dans la théorie de la prise de décision, il existe un terme spécial : décideur, en abrégé DM. C'est celui qui porte la responsabilité de la décision prise, celui qui signe l'ordonnance ou tout autre document dans lequel la décision est exprimée. Il s'agit généralement du directeur général ou du président du conseil d'administration, du commandant d'une unité militaire, du maire de la ville, etc. Mais parfois, il existe un décideur collectif, par exemple le conseil d'administration de la Douma d'État de la Fédération de Russie.

Le projet de décision est préparé par des spécialistes ou, comme on dit, « l’appareil du décideur ». Toutefois, la responsabilité incombe au décideur et non à ceux qui ont participé à la préparation de la décision.

DANS Travaux pratiques Il est important de séparer clairement la phase de discussion, au cours de laquelle diverses options de décision sont envisagées, de la phase de prise de décision, après laquelle la décision doit être mise en œuvre et non discutée.

La procédure de préparation d'une décision (règlement). Les réglementations définissant l’ordre des travaux sont très importantes. La décision prise dépend d’eux.

Objectifs. Chaque décision vise à atteindre un ou plusieurs objectifs. Il peut y avoir des cas où plusieurs objectifs peuvent être atteints simultanément. Mais le plus souvent, cela se passe différemment.

Par exemple, la formulation fréquemment utilisée « profit maximum à coûts minimaux » est contradictoire en interne. Le coût minimum est de 0 ; lorsqu’aucun travail n’est effectué, alors le profit est également de 0. Si le profit est élevé, alors les coûts sont élevés, car tous deux sont liés au volume de production. On peut soit maximiser le profit pour un coût donné, soit minimiser le coût pour un profit donné, mais il est impossible d'atteindre « le profit maximum au coût minimum ».

Souvent, le même objectif peut être atteint différentes façons.

Ressources. Chaque décision implique l’utilisation de certaines ressources. Lors des travaux pratiques sur un projet de solution, il est important de répondre aux questions : « Que voulons-nous réaliser ? Quelles ressources sommes-nous prêts à utiliser pour cela ?

Risques et incertitudes. De nombreuses décisions sont prises dans des conditions de risque, c'est-à-dire avec un risque possible de perte. Cela est dû aux diverses incertitudes qui nous entourent. L'incertitude est un manque d'informations sur certains facteurs. En plus des surprises négatives, il y en a des positives : bonne chance. Lorsque vous prenez des décisions, vous devez vous assurer contre les pertes et ne pas manquer le succès.

La formulation « profit maximum et risque minimum » est contradictoire en interne. Généralement, à mesure que les profits augmentent, le risque augmente également : la possibilité de perdre beaucoup ou tout. L'incertitude des valeurs des indicateurs sur la base desquels les décisions sont prises est décrite par les valeurs d'intervalle de ces indicateurs, par exemple (60  3)% ou 1000  200 roubles. Par conséquent, il est nécessaire d'étudier la stabilité des conclusions par rapport aux écarts admissibles des données initiales, ainsi que par rapport à de petits changements dans les prémisses du modèle mathématique utilisé. Toute mesure est effectuée avec une certaine erreur, et cette erreur doit être indiquée.

Critères d'évaluation de la solution. Les critères d'évaluation d'une solution peuvent être très divers. Vous pouvez partir du pire des cas ou meilleur cas(approche pessimiste et approche optimiste), bénéfice moyen (un critère intégral qui combine les approches optimistes et pessimistes), perte de profit.

Les critères peuvent entrer en conflit les uns avec les autres. Le décideur doit donc décider quel critère est le plus important pour lui. En cela, il peut être aidé par la théorie de l'utilité, qui est bien développée en économie (en particulier, l'utilité dite marginale dans la théorie du comportement du consommateur, etc.) et dispose d'un appareil mathématique développé.

MINISTÈRE DE L'AGRICULTURE DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE

Département de Statistique

et systèmes d'information

en économie

Méthodes B2.B4 de solutions optimales

Lignes directrices en matière de discipline

Direction de la formation 080100 Économie

Profils de formation

Finances et crédit

Impôts et fiscalité

Comptabilité, analyse et audit

Economie des entreprises et des organisations

Diplôme d'études supérieures (diplôme)

Célibataire

Compilé par : professeur principal E. F. Sagadeeva

Réviseur : Ph.D., professeur agrégé du Département de mathématiques Gilmanova G. Kh.

Responsable de la libération : chef. Département de statistiques et de systèmes d'information en économie, Ph.D., professeur agrégé A.M. Ableeva

Introduction
1. Interprétation géométrique des problèmes de programmation linéaire
2. Méthode simplex pour résoudre un problème de programmation linéaire
3. Concepts de base de la théorie de la dualité
4. Méthode double simplex
5. Méthode simplex avec base artificielle
6. Programmation entière. Méthode Gomori
7. Programmation linéaire fractionnaire
8. Problèmes de programmation non linéaire. Méthode du multiplicateur de Lagrange
9. Tâches pour travail indépendant
10. Tâches de test
11. Tâches pour effectuer des travaux de calcul et de graphisme et travail d'essaiétudiants par correspondance
12. Fondation questions de test
13. Billets pour l'examen
14. Bibliographie

Introduction

Les méthodes de décision optimales sont une branche des mathématiques qui étudie la théorie et les méthodes permettant de trouver les meilleures options pour planifier l'activité économique humaine, à la fois dans une entreprise spécifique et dans une certaine industrie, ou dans une région distincte, ou dans l'ensemble de l'État.

Les meilleures options sont celles qui permettent d'obtenir une productivité maximale du travail, un coût minimum, un profit maximum, une utilisation minimale des ressources, etc. D'un point de vue mathématique, il s'agit d'une classe de problèmes d'optimisation. Le principal outil pour les résoudre est modélisation mathématique. Un modèle mathématique est une description formelle du phénomène étudié et une « traduction » de toutes les informations existantes le concernant dans le langage mathématique sous forme d’équations, d’identités et d’inégalités. Si toutes ces relations sont linéaires, alors l’ensemble du problème est appelé problème de programmation linéaire (LPP). Le critère d'efficacité de ce modèle est une certaine fonction, appelée fonction cible.

Formulons un problème général de programmation linéaire.

Que le système soit donné m équations linéaires et inégalités avec n variables (système de restrictions) :

(1)

et fonction linéaire

Il est nécessaire de trouver une solution au système (1) dans lequel la fonction linéaire prend une valeur maximale (minimale).

En général, le ZLP peut avoir une infinité de solutions. Souvent, une solution satisfaisant les contraintes (1) est appelée plan. Si tous les composants (3) pour le ton solution acceptable.

La solution optimale ou plan optimal Un problème de programmation linéaire est appelé une solution qui satisfait toutes les contraintes du système (1), la condition (3) et donne en même temps le maximum (minimum) de la fonction objectif (2).

Canonique	Standard	Général
1) Restrictions
Équations	Inégalités	Équations et inégalités
2) Conditions de non-négativité
Toutes les variables	Toutes les variables	Une partie des variables
3) Fonction objectif
(maximum ou min)

Ici : – les variables du problème ; – les coefficients des variables de la fonction objectif ; – les coefficients des variables des principales contraintes du problème ; sont les côtés droits des restrictions.

Programmation linéaire- est la science des méthodes d'étude et de recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites fonction linéaire, sur les inconnues desquelles des restrictions linéaires sont imposées. Ainsi, les problèmes de programmation linéaire concernent des problèmes sur l’extremum conditionnel d’une fonction. Il semblerait que pour étudier une fonction linéaire de nombreuses variables jusqu'à un extremum conditionnel, il suffit d'utiliser des méthodes d'analyse mathématique bien développées, mais l'impossibilité de les utiliser peut être tout simplement illustrée.

En effet, le chemin doit être examiné pour l'extremum de la fonction linéaire

Z = C 1 x 1 + C 2 x 2 +... + C N x N

sous restrictions linéaires

une 11 x 1 + une 22 x 2 + ... + une 1N X N = b 1

une 21 x 1 + une 22 x 2 + ... + une 2N X N = b 2

. . . . . . . . . . . . . . .

une M 1 x 1 + une M 2 x 2 + ... + une M N X N = b M

Puisque Z est une fonction linéaire, alors Z = С j, (j = 1, 2, ..., n), alors tous les coefficients d'une fonction linéaire ne peuvent pas être égaux à zéro, donc dans la région formée par le système de restrictions, les points extrêmes n'existent pas. Ils peuvent se trouver à la limite de la région, mais il est impossible d’examiner les points limites car les dérivées partielles sont des constantes.

Pour résoudre des problèmes de programmation linéaire, il était nécessaire de créer des méthodes spéciales. La programmation linéaire est devenue particulièrement répandue en économie, puisque l'étude des dépendances entre quantités trouvées dans de nombreux problèmes économiques conduit à une fonction linéaire avec des restrictions linéaires imposées aux inconnues.

MÉTHODES DE SOLUTIONS OPTIMALES

Cours magistraux courts

Saratov 2012

MINISTÈRE DE L'AGRICULTURE

FÉDÉRATION RUSSE

BUDGET DE L'ÉTAT FÉDÉRAL

INSTITUTION D'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR

FORMATION PROFESSIONNELLE

"ÉTAT AGRAIRE DE SARATOV

UNIVERSITÉ nommée d'après N. I. VAVILOV"

_____________________________________________________

MÉTHODES DE SOLUTIONS OPTIMALES

Cours magistraux courts

Saratov 2012

CDU 517(075.8)

BBK 22.161.

Publié avec le soutien de

Programme TEMPUS JP, subvention de l'Union européenne

Commissions 159188-TEMPUSPL-TEMPUS-JPCR

Solutions optimales de Terekhov. ( de courte durée conférences): Didacticiel/comp.: , - Saratov : Maison d'édition - dans l'établissement d'enseignement budgétaire de l'État fédéral d'enseignement professionnel supérieur "Université agraire d'État de Saratov"., 201p.

Un court cours de conférences a été préparé conformément aux dispositions et aux exigences de la norme éducative de l'État pour l'enseignement professionnel supérieur et comprend les principaux questions théoriques, littérature pour étudier le cours.

Destiné aux étudiants de la direction de formation 110100.62 Agrochimie et agro-pédologie (profil Agroécologie), 280100.68 « Gestion de l'environnement et utilisation de l'eau », pour les bacheliers de la direction « Économie des entreprises et des organisations » profil « Économie des entreprises et des organisations (agro -complexe industriel a) », « Comptabilité et audit », « Industrie alimentaire », « Finance et crédit », ainsi que pour les masters, étudiants diplômés, enseignants et chercheurs.

© Établissement d'enseignement budgétaire de l'État fédéral d'enseignement professionnel supérieur SSAU du nom

ISBN, 2012

INTRODUCTION

Le cours examine les questions liées à la construction de modèles mathématiques de situations de prise de décision délibérée, étudie les propriétés de ces modèles et décrit des méthodes et des algorithmes qui permettent de trouver les valeurs optimales des paramètres responsables d'un choix rationnel. Une attention particulière est accordée aux situations dans lesquelles les intérêts des différentes parties doivent être pris en compte lors de l'élaboration d'une solution optimale.

Le cours court a une orientation appliquée : le matériel théorique est illustré d'exemples et de problèmes assez accessibles, qui, en règle générale, sont de nature économique et sociale. Le matériel de ce cours trouvera son application spécifique dans les disciplines professionnelles générales et spéciales de la Faculté d'économie consacrées à la micro et macroéconomie, à l'administration publique et à l'économie du secteur public, à la gestion boursière et financière, à l'économie institutionnelle et à un certain nombre d'autres domaines scientifiques. . C'est pourquoi ce cours Les cours magistraux constituent un élément important du système de formation fondamentale d'un économiste moderne et lui assurent également une mobilité professionnelle.

CONFÉRENCE 1

Recherche opérationnelle. Modèles économiques et mathématiques.

La gestion des systèmes organisationnels (systèmes organisationnels) est un problème complexe. Un trait caractéristique de tels systèmes est l'inclusion en eux, ainsi que d'éléments matériels, monétaires, énergétiques et ressources d'informations, ainsi que des groupes de personnes interagissant à la fois entre elles et avec les ressources spécifiées. Des exemples de systèmes organisationnels sont les entreprises, les départements, les ministères, les universités et leurs succursales, les villes, etc.

Systèmes organisationnels font l’objet d’étude de la théorie de la recherche opérationnelle.

Sous opération comprendre un ensemble d'actions visant à atteindre un objectif.

Recherche opérationnelle - une discipline scientifique qui s'occupe du développement et application pratique méthodes de gestion de divers systèmes organisationnels.

Son objectif est une justification quantitative des décisions de gestion et des plans de développement prévisionnels.

La recherche opérationnelle est réalisée sur des modèles mathématiques des objets étudiés.

Le terme « modèle » est utilisé dans divers domaines de l’activité humaine et revêt de nombreuses significations. Dans notre cours magistral, nous définirons modèle en tant qu'objet matériel ou imaginé mentalement, qui, dans le processus de recherche, remplace l'objet original afin que son étude directe fournisse de nouvelles connaissances sur l'objet original.

Le modèle est donc un outil de connaissance scientifique. Il est construit par le sujet de recherche de manière à afficher les caractéristiques de l'objet d'origine (propriétés, relations, paramètres structurels et fonctionnels, etc.) essentielles aux objectifs de la recherche. Dès lors, la question de l’adéquation du modèle à l’objet original ne peut être légitimement tranchée qu’en relation avec une finalité précise.

Le processus de construction, d'étude et d'application de modèles est appelé la modélisation. Son essence est schématiquement présentée sur la Fig. 1.

https://pandia.ru/text/78/095/images/image004_15.gif" width="529" height="371">

Modélisation en économie – il s’agit de la reproduction d’objets et de processus économiques sous des formes expérimentales limitées, petites, dans des conditions créées artificiellement.

En économie, il est principalement utilisé modélisation mathématique en décrivant des processus économiques avec des dépendances mathématiques. Lors de l'étude des processus économiques, les modèles mathématiques sont considérés en relation étroite avec les systèmes cibles et représentent des structures intégrales appelées modèles économiques et mathématiques (euh). Ainsi, les EMM sont des modèles qui incluent un ensemble de dépendances mathématiques, constructions logiques, diagrammes, graphiques, etc., liés à certains système unifié cela a du sens sur le plan économique.

Donnons le général suivant Classement EMM.

Par objectif prévu Les EMM sont divisés en théoriques-analytiques et appliqués. Les EMM théoriques et analytiques sont conçus pour étudier les propriétés générales et les modèles des processus économiques. Les EMM appliqués sont utilisés pour résoudre des problèmes économiques spécifiques.

Par la nature du reflet des relations de cause à effet faire la distinction entre les EMM strictement déterministes et les EMM qui prennent en compte le caractère aléatoire et l’incertitude.

Par façons de refléter le facteur temps EMM divisé en statique et dynamique. Dans les EMM statiques, toutes les dépendances font référence à un moment ou à une période de temps. L'EMM dynamique caractérise les changements dans les processus économiques au fil du temps.

Par processus économiques à l'étude Il existe des EMM macroéconomiques et microéconomiques. Les modèles macroéconomiques sont construits au niveau de l'économie nationale et les modèles microéconomiques - au niveau des organisations, de leurs associations et des régions individuelles.

Il existe d'autres signes de classification EMM. De plus, avec le développement de la recherche économique et mathématique, la classification des EMM étudiés s'élargit.

Notons également que selon la nature de l'appareil mathématique utilisé dans la construction des EMM, on distingue les méthodes des mathématiques classiques et appliquées.

Les méthodes des mathématiques classiques comprennent l'analyse mathématique, l'algèbre linéaire, la théorie des probabilités, etc.

Les méthodes de mathématiques appliquées comprennent la programmation linéaire, non linéaire, dynamique, entière et autre, statistiques mathématiques, combinatoire, théorie des jeux, gestion des stocks, théorie des files d'attente, expertises, etc.

L'un des signes de la qualité de fonctionnement du système organisationnel est critère d'optimalité son fonctionnement. Dans le domaine de la prise de décision économique, le critère d'optimalité est un indicateur exprimant la mesure maximale de l'effet économique de la décision de gestion prise à des fins d'évaluation comparative solutions possibles et choisir le meilleur.

Le critère d'optimalité est, en règle générale, de nature quantitative. Par exemple, son rôle peut être un profit maximum ou un coût minimum.

La forme mathématique du critère d'optimalité dans EMM est ce qu'on appelle la fonction objectif, dont la valeur extrême caractérise l'efficacité maximale admissible de l'objet d'origine modélisé.

En pratique, le succès d'une opération s'apprécie souvent non pas par un, mais par plusieurs critères à la fois. Dans ce cas, deux approches sont utilisées pour sélectionner la solution optimale.

La première approche consiste à établir la priorité des critères dans la fonction objectif en introduisant des coefficients spéciaux (pondérations).

La deuxième approche consiste à écarter évidemment mauvaises décisions, inférieur aux autres dans tous les critères. À la suite de cette procédure, il reste des solutions efficaces ou dites « Pareto », dont l'ensemble est nettement plus petit que celui d'origine.

Compromis solution - en règle générale, une solution optimale selon tous les critères n'existe pas. Et c'est pourquoi choix final acceptable selon ces critères, la décision appartient au décideur.

CONFÉRENCE 2

Modèles de bilan. Modèle Léontief d’une économie diversifiée.

Modèles productifs.

Dans l'économie, il existe un équilibre entre les différents secteurs. Considérons une version simple du modèle entrées-sorties - le modèle entrées-sorties.

Qu'il y ait n diverses industries, dont chacune fabrique son propre produit et a besoin des produits d'autres industries (consommation productive). Introduisons la notation suivante :

xi‑ production totale de l'industrie je pour l'année de planification - ce qu'on appelle production brute industrie je;

xij‑ volume de production de l'industrie je, consommé par l'industrie j dans le processus de production ;

ouais- volume de produits de l'industrie je, destiné à la consommation dans la sphère non productive - volume consommation finale. Il comprend les réserves créées à la ferme, la consommation personnelle des citoyens, la satisfaction des besoins publics (éducation, science, santé, développement des infrastructures, etc.), les fournitures destinées à l'exportation.

Nous résumons ces valeurs dans un tableau.

Production consommation	Final Consommation

Le caractère d'équilibre de ce tableau s'exprime dans le fait que pour tout

ce qui signifie que la production brute xi dépensés en consommation de production égale à https://pandia.ru/text/78/095/images/image011_6.gif" width="64" height="57">restent constants sur plusieurs années, ce qui s'explique par la constance approximative de la technologie utilisée production.

Faisons l'hypothèse suivante : pour une sortie de n'importe quel volume xj produits de l'industrie j il faut dépenser les produits de l'industrie je en quantité, c'est-à-dire les coûts des matières sont proportionnels au volume de produits fabriqués :

https://pandia.ru/text/78/095/images/image014_8.gif" width="23" height="28 src="> appelé coefficients de coûts matériels directs ou coefficients de consommation de matière . Ils montrent de combien d’unités de production une industrie a besoin je produire une unité de production industrielle j si l'on ne prend en compte que les coûts directs.

https://pandia.ru/text/78/095/images/image016_7.gif" width="85" height="24 src=">, (3)

https://pandia.ru/text/78/095/images/image018_6.gif" width="15" height="17"> est appelé vecteur de production brute, vecteur - vecteur de consommation finale, et la matrice UN -matrice des coûts directs. La relation (3) est appelée équation linéaireéquilibre intersectoriel. Avec l'interprétation déclarée de la matrice UN et vecteurs https://pandia.ru/text/78/095/images/image019_9.gif" width="16" height="23 src="> ce rapport est aussi appelé le modèle Léontiev.

Les équations du bilan d'entrée peuvent être utilisées pour les calculs planifiés :

Paramètre pour chaque industrie je la production brute peut être déterminée par le volume de consommation finale de chaque industrie https://pandia.ru/text/78/095/images/image023_7.gif" width="101" height="25 src=">,

Où E- matrice d'identité;

Définition des valeurs de consommation finale pour chaque industrie https://pandia.ru/text/78/095/images/image021_7.gif" width="19" height="25"> :

,

où est la matrice inverse de la matrice https://pandia.ru/text/78/095/images/image020_9.gif" width="15" height="19"> et sont non négatifs (cela découle de l'économie signification UN, https://pandia.ru/text/78/095/images/image019_9.gif" width="16" height="23 src="> ). Par souci de concision, nous l'écrirons ainsi : .

Ainsi, les calculs planifiés utilisant le modèle Leontief peuvent être effectués sous réserve des conditions de productivité suivantes :

matrice appelé productif, si pour un vecteur il existe une solution à l'équation(3).

Dans ce cas, le modèle de Léontief, défini par la matrice UN, est également appelé productif.

Formulons les critères de productivité de la matrice https://pandia.ru/text/78/095/images/image028_5.gif" width="45" height="20 src="> est productive si et seulement si la matrice existe et est non négative.

CritèreII. Matrice https://pandia.ru/text/78/095/images/image025_6.gif" width="72" height="28 src="> dans la ligne de la matrice

Dans la relation (4) matrices sont appelés matrices de coefficients de coûts indirects 2ème, 3ème, etc. commandes. Leur somme forme matrice des coefficients de coûts indirects

Expliquons l'essence des coûts indirects en utilisant l'exemple de la production de moteurs. Pour leur production, l'acier, la fonte, etc. sont consommés comme coûts directs. Mais pour la production de l'acier, la fonte est également nécessaire. Par conséquent, la production de moteurs inclut à la fois les coûts directs et indirects de la fonte.

Ainsi, à partir des relations (4) et (5) on a

c'est-à-dire que la matrice des coefficients des coûts totaux des matériaux comprend des matrices de coefficients des coûts directs et indirects.

Regardons des exemples.

Exemple 1. Examiner la matrice de productivité

https://pandia.ru/text/78/095/images/image037_4.gif" width="48 height=19" height="19"> :

https://pandia.ru/text/78/095/images/image039_4.gif" width="577" height="143 src=">

ajouts algébriques aux éléments de la matrice

https://pandia.ru/text/78/095/images/image041_4.gif" width="189 height=55" height="55">;

https://pandia.ru/text/78/095/images/image043_3.gif" width="220 height=55" height="55">;

https://pandia.ru/text/78/095/images/image045_3.gif" width="221 height=55" height="55">;

https://pandia.ru/text/78/095/images/image047_5.gif" width="209" height="55 src=">;

https://pandia.ru/text/78/095/images/image049_3.gif" width="468" height="84 src=">

La matrice résultante est non négative et, selon le critère I, la matrice d'origine UN productif.

Exemple 2. Pour la matrice A des coefficients de coûts directs de l'exemple 1 et le vecteur de consommation finale

https://pandia.ru/text/78/095/images/image051_3.gif" width="80" height="84 src=">

a) Calculons le vecteur de la production brute à l'aide de la formule

https://pandia.ru/text/78/095/images/image053_3.gif" width="483" height="84 src=">

b) Matrice des coûts indirects DANS on trouve à partir de la relation (2.6) :

https://pandia.ru/text/78/095/images/image055_3.gif" width="409" height="84 src=">

Ainsi, avec une augmentation du vecteur de consommation finale de https://pandia.ru/text/78/095/images/image056_3.gif" width="88" height="84">.

CONFÉRENCE 3,4,5

Problèmes de programmation mathématique et linéaire.

Modèles de programmation linéaire.

Souvent, les problèmes économiques ont plusieurs solutions et il est nécessaire de choisir la meilleure, la meilleure. La modélisation de tels problèmes se résume à des problèmes de programmation mathématique (MPP).

Programmation mathématique– un domaine des mathématiques qui étudie les processus d'optimisation en recherchant l'extremum d'une fonction sous des restrictions données.

Formulons le ZMP sous forme générale :

https://pandia.ru/text/78/095/images/image058_3.gif" width="296" height="79"> (8)

https://pandia.ru/text/78/095/images/image060_3.gif" width="123" height="25"> – fonction objectif, conditions (8) – restrictions spéciales, conditions (9) – restrictions générales ZMP.

Arrêt complet , dont les coordonnées satisfont aux contraintes (8) et (9), sont appelés solution acceptable ZMP.

L'ensemble de toutes les solutions admissibles du ZMP s'appelle ensemble admissible.

Solution valide , satisfaisant la relation (7), est appelé solution optimale ZMP.

Si dans le ZMP la fonction objectif et les fonctions , sont linéaires, alors nous avons un problème général de programmation linéaire (BPL) :

https://pandia.ru/text/78/095/images/image065_3.gif" width="356" height="79 src="> (11)

https://pandia.ru/text/78/095/images/image066_3.gif" width="336" height="25 src=">;

- standard ZLP, incluant comme restrictions (11) uniquement les inégalités, c'est-à-dire

https://pandia.ru/text/78/095/images/image068_3.gif" width="20" height="25">, et, à partir duquel vous pouvez configurer la production de deux types de biens : https : //pandia.ru /text/78/095/images/image072_2.gif" width="20" height="25 src=">. Les stocks de matières premières, le taux de leur consommation pour la production d'une unité de bien, ainsi que le bénéfice de la vente d'une unité de chaque produit sont présentés dans le tableau 1 (chiffres conditionnels).

Tableau 1

Ces jours-ci dans programme éducatif les spécialités liées à l'économie, à la finance et à la gestion comprennent une discipline appelée « Méthodes de décisions optimales ». Au sein de cette discipline, les étudiants étudient l'aspect mathématique de l'optimisation, de la recherche opérationnelle, de la prise de décision et de la modélisation. caractéristique principale Cette discipline est déterminée par l'étude conjointe des méthodes mathématiques avec leur application à la résolution de problèmes économiques.

Tâches d'optimisation : informations générales

Si l'on considère le cas général, alors le sens du problème d'optimisation est de trouver la solution dite optimale qui maximise (minimise) la fonction objectif sous certaines conditions de contraintes.

Selon les propriétés des fonctions, les problèmes d'optimisation peuvent être divisés en deux types :

• problème de programmation linéaire (toutes les fonctions sont linéaires) ;
• problème de programmation non linéaire (au moins une des fonctions n'est pas linéaire).

Les cas particuliers de problèmes d'optimisation sont les problèmes de programmation fractionnaire-linéaire, dynamique et stochastique.

Les problèmes d'optimisation les plus étudiés sont les problèmes de programmation linéaire (LPP), dont les solutions ne prennent que des valeurs entières.

PPP : formulation, classification

Le problème de programmation linéaire dans le cas général consiste à trouver le minimum (maximum) d'une fonction linéaire sous certaines contraintes linéaires.

Un ZLP général est un problème de la forme

sous restrictions

où sont les variables, sont les nombres réels donnés, sont la fonction objectif, sont le plan du problème, (*) - (***) sont les contraintes.

Une caractéristique importante du ZLP est que l’extremum de la fonction objectif est atteint à la limite de la région des solutions réalisables.

Les applications économiques pratiques des méthodes de solution optimale se trouvent dans la résolution de problèmes des types suivants :

• problèmes liés aux mélanges (c'est-à-dire planifier la composition des produits) ;
• problèmes d'allocation optimale des ressources dans la planification de la production ;

PAP : exemples

Problème de mélange

La solution au problème des mélanges consiste à trouver l'ensemble le moins cher, composé de certaines matières premières qui confèrent au mélange les propriétés souhaitées.

Problème d'allocation des ressources

L'entreprise produit n divers produits dont la production nécessite m divers types ressources. Les réserves de ressources utilisées sont limitées et s'élèvent respectivement à b1, b2,…, bm c.u. De plus, les coefficients technologiques sont connus un ij, qui montre combien d'unités je-la ressource est nécessaire pour produire une unité de produit j-ème type (). Le bénéfice qu'une entreprise reçoit lors de la vente d'un produit j-ième type, équivaut à c j unités monétaires Il est nécessaire d'élaborer un plan pour la production de produits dont le profit de l'entreprise lors de la mise en œuvre sera le plus grand.

Les problèmes impliquant des mélanges et l’allocation de ressources sont souvent rédigés sous forme de tableau.

Ressources	Besoins			Réserves
	B1	…	Bn
Un 1				b1
…				…
Suis				bm
Profit	c1	…	c n

Les problèmes de mixité et d’allocation des ressources peuvent être résolus de plusieurs manières :

• méthode graphique (dans le cas d'un petit nombre de variables dans le modèle mathématique) ;
• méthode simplex (si le nombre de variables dans un modèle mathématique est supérieur à deux).

Le problème du transport fait référence à une classe de tâches qui ont une certaine structure spécifique. Le problème de transport le plus simple est celui du transport d'un produit vers des destinations à partir de points de départ à coûts minimaux pour le transport de tous les produits.

Pour plus de clarté et de facilité de perception, l'état du problème de transport est généralement écrit dans le tableau suivant :

De manière générale, la résolution d'un problème de transport s'effectue en plusieurs étapes :

• Étape I : construction du plan de référence initial ;
• Étape II : vérification de l'optimalité du plan de référence ;
• Etape III : clarification du plan de référence s'il n'est pas optimal.

Il existe plusieurs méthodes pour obtenir le plan de référence initial, par exemple la méthode du coin nord-ouest, la méthode Vogel et la méthode du coût minimum.

L'optimalité du plan est vérifiée à l'aide de la méthode du potentiel :

- pour les cellules occupées,
- pour les cellules inoccupées.

Si le plan n’est pas optimal, alors un cycle est construit et les transports sont redistribués.

Conclusion

Dans le cadre d'un seul article, il n'est pas possible de couvrir l'ensemble de la théorie et de la pratique des méthodes de décision optimales, c'est pourquoi seuls quelques points sont considérés qui nous permettent de donner idée générale sur cette discipline, les tâches et les méthodes pour les résoudre.

De plus, il est bon de noter que pour vérifier les solutions obtenues aux problèmes d'optimisation, vous pouvez utiliser très efficacement le complément « Solution Search » du package MS Excel. Mais c’est en fait une autre histoire, tout comme un examen détaillé des méthodes permettant de résoudre les problèmes d’optimisation.

Voici plusieurs manuels pour étudier les méthodes de solution optimale :

1. Bandi B. Fondamentaux de la programmation linéaire : Trans. de l'anglais – M. : Radio et Communications, 1989. – 176 p.
2. Kremer N.Sh. Recherche opérationnelle en économie : Proc. manuel pour les universités / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman ; Éd. prof. N.Sh. Krémer. – M. : UNITÉ, 2005. – 407 p.

Solution de méthodes d'optimisation personnalisées

Nous pouvons vous aider à résoudre tous les problèmes en utilisant des méthodes de solution optimales. Vous pouvez commander des solutions aux problèmes sur notre site Web. Il vous suffit d'indiquer la date limite et de joindre le fichier à la tâche. votre commande est gratuite.

MÉTHODES DE SOLUTIONS OPTIMALES

Didacticiel

CDU 51-77.330.4

MÉTHODES DE SOLUTIONS OPTIMALES

Compilons un bilan économique modèle mathématique Tâches. Notons xj la quantité de matériau source (tôles d'acier) qui doit être découpée selon l'une des méthodes j. Les contraintes du problème doivent correspondre à la production prévue de différents types de pièces. La fonction objectif se résume à trouver le minimum de déchets lors de la découpe

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Exemple 2. Le matériau d'un échantillon en quantité d'unités est reçu pour la découpe (découpe, traitement). Il est nécessaire d'en fabriquer l différents composants en quantités proportionnelles aux nombres b1, b2,…,bl (condition d'exhaustivité). Chaque unité de matériau peut être découpée de n manières différentes, et en utilisant la ième méthode (i = 1, 2,…,n), on obtient aik unités du k-ième produit (k = 1, 2,…,l) . Il est nécessaire de trouver un plan de découpe prévoyant le nombre maximum d'ensembles.

Créons un modèle économique et mathématique du problème.

Notons xi le nombre d'unités de matériau découpées selon la i-ième méthode, et x le nombre d'ensembles de produits fabriqués. Alors la fonction objectif se réduit à trouver

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1.4. Problème d'utilisation des capacités

L'entreprise dispose d'un plan de production basé sur le temps et la gamme de produits. Il est nécessaire de produire n1, n2,…,nk unités de production p1, p2,…,pk pendant le temps t. Les produits sont fabriqués sur des machines s1, s2,…,sm. Pour chaque machine, on connaît la productivité aij, c'est-à-dire le nombre d'unités de produit pj pouvant être produites sur la machine si et les coûts bij de production des produits pj sur la machine si par unité de temps. Il est nécessaire d'élaborer un plan de fonctionnement des machines afin que les coûts de production de tous les produits soient minimes.

Notons xij - le temps pendant lequel la machine sera occupée à fabriquer des produits pj (i = 1, 2,...,m ; j = 1, 2,...,k) Puis les coûts de production de tous les produits sera exprimé par la fonction

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selon la nomenclature et la non-négativité des variables

Actifs illiquides" href="/text/category/nelikvidi/" rel="bookmark">actifs illiquides de la banque, puisqu'en cas de besoin inattendu de liquidités, il est impossible de convertir des prêts en argent sans pertes importantes. Titres , en particulier les titres d'État, sont une autre affaire. Ils peuvent être vendus à tout moment, en réalisant un bénéfice ou, en tout cas, sans perte importante. Il existe donc une règle selon laquelle les banques commerciales doivent acheter des actifs liquides - des titres - en une certaine proportion, afin de compenser la non-liquidité des prêts. Dans notre exemple, la limitation de liquidité est la suivante : les titres doivent représenter au moins 50% des fonds placés en prêts et titres. Créons un modèle mathématique de le problème. Notons x1 - fonds en millions d'unités placés dans des prêts, x2 - fonds investis dans des titres. L'objectif de la banque est d'obtenir un profit maximum des prêts et des titres

https://pandia.ru/text/78/539/images/image026_24.gif" width="39" height="20 src="> Compte tenu des restrictions de bilan, de crédit et de liquidité, on obtient un système d'inégalité restrictions

https://pandia.ru/text/78/539/images/image028_27.gif" width="65" height="40">, (11)

sous conditions

(12)

La fonction (11) est appelée fonction cible du PLP et les conditions (12) sont appelées contraintes du PLP.

Définition..gif" width="108" height="25">, auquel la fonction objectif prend la valeur maximale ou minimale.

Définition. Le ZLP principal (ou canonique) est un problème qui consiste à déterminer la valeur optimale de la fonction objectif, à condition que le système de contraintes se présente sous la forme d'un système d'équations

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Définition. Un ZLP standard (ou symétrique) est un problème qui consiste à déterminer la valeur optimale de la fonction objectif, à condition que le système de contraintes se présente sous la forme d'un système d'inégalités.

https://pandia.ru/text/78/539/images/image034_27.gif" width="157" height="63">

3. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES PROBLÈMES
PROGRAMMATION LINÉAIRE

Considérons un PLP avec deux variables :

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Chaque inégalité du système de contraintes du problème définit respectivement géométriquement un demi-plan avec des lignes de démarcation ai1x1 + ai2x2 = bi, (i = 1,2,…,m). La condition de non-négativité est déterminée par des demi-plans avec des droites limites x1 = 0, x2 = 0. Si le système d'inégalités est cohérent, alors le domaine de ses solutions est l'ensemble des points appartenant à tous les demi-plans indiqués. Nous appellerons l'ensemble de ces points polygone solutions ou le domaine des solutions acceptables (ADA) du PPP. Les côtés de ce polygone reposent sur des droites dont les équations sont obtenues à partir de système d'origine restrictions en remplaçant les signes d’inégalité par des signes d’égalité (lignes de démarcation).

L’éventail des solutions admissibles au système d’inégalités peut être :

– polygone convexe ;

– zone illimitée polygonale convexe ;

– zone vide ;

- segment de ligne;

- le seul point.

La fonction objectif L définit sur le plan une famille de droites parallèles dont chacune correspond à une certaine valeur de L. La fonction objectif sans terme libre c1x1 + c2x2 = 0 passe par l'origine et est appelée la droite principale. Le vecteur perpendiculaire à cette ligne indique la direction de l'augmentation la plus rapide de L, et le vecteur opposé indique la direction de la diminution de L.

Ainsi, l'interprétation géométrique du ZLP consiste à trouver (construire) un polygone de solutions dont chaque point est admissible décision du PPP. Parmi cet ensemble de solutions, il faut trouver un point dans le polygone de solution dont les coordonnées transforment la fonction objectif en min ou max.

Théorème. Si le PAP a plan optimal, alors la fonction objective du problème prend sa valeur optimaleà l'un des sommets du polygone de solution.

Pour déterminer ce sommet, L = 0 est construit, passant par l'origine et perpendiculaire au vecteur, et déplacé dans la direction de ce vecteur jusqu'à ce qu'il touche le dernier point extrême du polygone de solution. Les coordonnées du point résultant déterminent la valeur maximale de la fonction objectif L et le plan maximum pour ce problème.

Découverte valeur minimum L diffère de la recherche de sa valeur maximale uniquement en ce que L = 0 ne se déplace pas dans la direction du vecteur, mais dans la direction opposée.

Si le polygone solution est illimité dans la direction du vecteur, alors .

3.2. Méthode graphique pour résoudre des problèmes
programmation linéaire

Méthode graphique est basé sur l'interprétation géométrique du ZLP et comprend les étapes suivantes :

– construire des lignes droites limites dont les équations sont obtenues en remplaçant les signes d'inégalité dans le système de restrictions ZLP par des signes d'égalité exacte ;

– trouver les demi-plans définis par chacune des restrictions des inégalités ZLP ;

– trouver un polygone de solutions (zone de solutions réalisables) ;

– construire la droite principale с1x1 + c2x2 = 0, passant par l'origine des coordonnées et perpendiculaire au vecteur ;

– déplacez la droite L = 0 dans la direction du vecteur https://pandia.ru/text/78/539/images/image039_22.gif" width="60" height="20">. trouver le(s) point(s) auquel(s) la fonction objectif prend la décision optimale, ou établir le caractère illimité de la fonction sur un ensemble de plans.