Problèmes de synthèse. Les tâches de la synthèse ACS consistent à déterminer le dispositif de contrôle sous la forme de sa description mathématique. Dans ce cas, on suppose que l'objet de contrôle est spécifié, les exigences de précision et de qualité du contrôle sont connues, les conditions de fonctionnement sont connues, y compris les caractéristiques des influences externes, les exigences de fiabilité, de poids, de dimensions, etc. connu. La synthèse- création d'un dispositif de contrôle dans une condition connue. La tâche de synthèse est tâche optimale. Un grand nombre d'exigences et leur diversité permettent de former un critère unique d'optimalité et de solution du problème de synthèse, en tant que problème de fiabilité de cet extremum. Par conséquent, la synthèse est divisée en un certain nombre d’étapes et à chaque étape, une partie des problèmes de synthèse est résolue (un aspect distinct).

Méthode fréquentielle de synthèse de dispositifs de correction. La méthode fréquentielle de synthèse des dispositifs de correction utilisant LFC est la plus courante. Elle est réalisée comme suit : Le LFC souhaité est construit sur la base des exigences de précision et de qualité du processus transitoire. Cette caractéristique recherchée est comparée à celle du système sans correction. La comparaison permet de déterminer la fonction de transfert du dispositif de correction. Ensuite, la réponse de phase est construite et, avec son aide, les marges de stabilité résultantes en amplitude et en phase sont déterminées.

Formation du LF du LFC souhaité. Les exigences de précision peuvent être formulées de différentes manières.

1. Donnons la fréquence et l'amplitude de fonctionnement ( p et a p) et ajoutons l'erreur tolérée A  =.

Pour la région des basses fréquences, oùW(j) >1

peut s'écrire : Ф  (j p)=1/1+W(j p)1/W(j p)

UNE  =aW(j)= a/1+W(j p)a/W(j p)

 W(j p)a p / ajouter

3. Pour les systèmes astatiques, le taux de changement du signal d'entrée est défini

Si l'impact est spécifié comme un changement à taux constant, alors les coefficients suivants sont utilisés :

k - coefficient de transmission à la fréquence de fonctionnement

Dans ce cas, la réponse en fréquence doit dépasser le point 20lgk

Formation du milieu de gamme du LFC souhaité.

La partie médiane est constituée en fonction des exigences de qualité des processus de transfert.

Soit l'admissibilité du dépassement  et le temps de processus tп. Pour déterminer la fréquence de coupure à partir de ces données, nous utilisons le graphique :

P. ri=20% 

après cela, ils sont jumelés.

La partie haute fréquence du LFC ne joue pas de rôle notable sur la qualité, donc

nous le prenons de même que celui de la partie immuable.

Il existe une synthèse de dispositifs correcteurs série et parallèle

Ils sont interchangeables, nous ne considérerons donc que les séquentiels.

Nous pensons que la réponse en fréquence donnée diffère de celle souhaitée, il est nécessaire de prédéterminer le coefficient de transmission et avant la fonction KU, qui fournirait les propriétés souhaitées du système.

Soit k >k 0

Distance entre W/o et W o – 20 lgk k – coefficient de gain

pour trouver W k ​​combinez la réponse en fréquence pour W w et pour W / o sur un graphique

La procédure générale pour la synthèse étape par étape d'un système de contrôle automatique linéaire.

Étape 1. Détermination de l'ordre d'astatisme et du coefficient de transmission du système.Ces paramètres sont déterminés en fonction des exigences de précision dans le mode établi sous influence déterministe. Si le coefficient de transmission du système, qui est déterminé par l'ampleur de l'astatisme, s'avère très important, ce qui rend difficile la stabilisation du système, il est conseillé d'augmenter l'ordre d'astatisme et ainsi de réduire l'erreur statique à zéro. , quel que soit le coefficient de transmission du système. Si l'astatisme est introduit, dans ce cas, le coefficient de transmission du système est sélectionné uniquement sur la base de considérations de détail et de qualité des processus transitoires. Dans le même temps, la question de l'application des actions à la perturbation principale est résolue. L'introduction d'une correction de perturbation est conseillée s'il est possible de modifier cette perturbation, et l'introduction d'une correction de perturbation permet de simplifier la structure de la boucle fermée.

Étape 2. Définition du principal, c'est-à-dire partie non variable du système. Lors de la conception d’un système, certaines parties du système sont généralement spécifiées ou déterminées. Cela inclut un objet de contrôle et de suivi avec un objet appareil (actionneur, élément de détection, etc.).

Ces liens doivent néanmoins répondre à des exigences de précision et de rapidité. Souvent lors de la conception, d'autres maillons sont spécifiés : convertisseurs, amplificateurs, dispositifs informatiques. Un ensemble d'éléments connus constitue l'épine dorsale du schéma structurel du système (sinon on l'appelle la partie principale ou non variable du système)

Étape 3. Sélection d'une correction et rédaction de la partie structurelle du circuit ACS. Si les exigences de qualité des processus transitoires et de précision ne sont pas élevées, alors le choix des liens correctifs et des paramètres variables est effectué en fonction de la condition d'assurer la stabilité du système et en même temps ils s'efforcent d'obtenir le plus grand possible. marges de stabilité. Après avoir sélectionné le dispositif de correction, la valeur des paramètres variables est sélectionnée en fonction des exigences de précision et de qualité des processus transitoires. Si les exigences de qualité des processus transitoires et de précision sont assez élevées, les dispositifs de correction sont sélectionnés en fonction des exigences de qualité des processus transitoires et de précision. Les dispositifs correctifs sont sélectionnés de manière à garantir en priorité les exigences de qualité de contrôle les plus strictes.

Une fois la correction sélectionnée, les autres exigences du système sont remplies et la correction est spécifiée. Si nous appliquons une correction séquentielle, alors la réponse en fréquence trouvée sera la réponse en fréquence du dispositif correcteur. Il permet de déterminer la fonction de transfert du dispositif correcteur. S'il est prévu d'appliquer un retour correctif, alors sa fonction de transfert est issue de la fonction de transfert du dispositif correcteur séquentiel. Si la correction série et parallèle est utilisée simultanément, alors la fonction de transfert du dispositif de correction série est d'abord extraite de la fonction de transfert de la partie variable, puis la partie restante est corrigée en tant que dispositif de correction parallèle.

Étape 4. Construction du processus de transition. Ils s'efforcent de prendre en compte toutes les simplifications apportées aux étapes précédentes.

La tâche de la correction est d'augmenter la précision des systèmes à la fois en régime permanent et en régime transitoire. Cela survient lorsque la volonté de réduire les erreurs de contrôle dans les modes standard conduit à la nécessité d'utiliser de telles valeurs de gain d'un système de contrôle automatique en boucle ouverte auxquelles, sans prendre de mesures particulières (installation de liaisons supplémentaires - dispositifs correcteurs), le système s'avère instable.

Types d'appareils de correction

Il existe trois types de dispositifs correcteurs principaux (Fig. 6.1) : série (W k1 (p)), sous forme de retour local (W k2 (p)) et parallèle (W k3 (p)).

Figure 6.1. Schémas fonctionnels des dispositifs correcteurs.

La méthode de correction utilisant des dispositifs correcteurs séquentiels est simple dans les calculs et facilement mise en œuvre techniquement. Par conséquent, il a trouvé une large application, notamment dans la correction de systèmes utilisant des circuits électriques avec un signal non modulé. Des dispositifs correctifs séquentiels sont recommandés pour une utilisation dans les systèmes dans lesquels il n'y a pas de dérive des paramètres de liaison. Sinon, un ajustement des paramètres de correction est nécessaire.
La correction des systèmes de contrôle à l'aide d'un dispositif de correction parallèle est efficace lorsqu'un shuntage haute fréquence des liaisons inertielles est nécessaire. Dans ce cas, des lois de commande assez complexes sont formées avec l'introduction de dérivées et d'intégrales du signal d'erreur avec tous les inconvénients qui en résultent.
La correction par retour d'information local (local) est le plus souvent utilisée dans les systèmes de contrôle automatique. L'avantage de la correction sous forme de retour local est d'affaiblir considérablement l'influence des non-linéarités dans les caractéristiques des liaisons incluses dans le circuit local, ainsi que de réduire la dépendance des réglages du contrôleur à la dérive des paramètres de l'appareil.
L'utilisation de l'un ou l'autre type de dispositif correcteur, c'est-à-dire les liens série, les liens parallèles ou les liens de rétroaction, sont déterminés par la commodité de la mise en œuvre technique. Dans ce cas, la fonction de transfert du système en boucle ouverte doit être la même avec différentes inclusions des liens correctifs :

La formule donnée (6.1) permet de convertir un type de correction en un autre afin de sélectionner la plus simple et la plus facilement mise en œuvre.

Département de Distance et de Correspondance

Synthèse de canons automoteurs

La synthèse du système est un calcul dirigé dont le but est : de construire une structure rationnelle du système ; trouver les valeurs optimales des paramètres des liens individuels. Face aux nombreuses solutions possibles, il est nécessaire dans un premier temps de formuler les exigences techniques du système. Et sous réserve de certaines restrictions imposées à l'ACS, il est nécessaire de sélectionner un critère d'optimisation - précision statique et dynamique, vitesse, fiabilité, consommation d'énergie, prix, etc.
Lors de la synthèse technique, les tâches suivantes sont définies : atteindre la précision requise ; assurer une certaine nature des processus de transition. Dans ce cas, la synthèse revient à déterminer le type et les paramètres des moyens correctifs qui doivent être ajoutés à la partie immuable du système afin de garantir des indicateurs de qualité pas pires que ceux spécifiés.
La méthode la plus répandue dans la pratique de l'ingénierie est la méthode de synthèse de fréquence utilisant des caractéristiques de fréquence logarithmiques.
Le processus de synthèse du système de contrôle comprend les opérations suivantes :
- construction d'un LFC L 0 (ω) disponible du système d'origine W 0 (ω), constitué d'un objet contrôlé sans régulateur et sans dispositif de correction ;
- construction de la partie basse fréquence du LFC souhaité en fonction des exigences de précision (astatisme) ;
- construction de la section moyenne fréquence du LFC souhaité, fournissant le temps de dépassement et de contrôle spécifié t p de l'ACS ;
- coordination des basses fréquences avec la section moyennes fréquences du l.a.h souhaité. sous réserve d’obtenir le dispositif de correction le plus simple ;
- clarification de la partie haute fréquence du L.A.H souhaité. sur la base des exigences visant à garantir la marge de stabilité nécessaire ;
- détermination du type et des paramètres du dispositif de correction séquentielle L ku (ω) = L f (ω) - L 0 (ω), car W f (p) = W ku (p)*W 0 (p);
- mise en œuvre technique des dispositifs correctifs. Si nécessaire, un recalcul est effectué vers une liaison parallèle ou un OS équivalent ;
- calcul de vérification et construction du processus de transition.
Construction du L.A.H. souhaité produit en plusieurs parties.
Partie basse fréquence du l.a.h. est formé à partir de la condition d'assurer la précision requise de fonctionnement du système de contrôle en régime permanent, c'est-à-dire de la condition que l'erreur en régime permanent du système Δ() ne doit pas dépasser la valeur spécifiée Δ()≤Δ s .
Formation de la région basse fréquence interdite pour le L.A.H. peut-être de différentes manières. Par exemple, lors de l'application d'un signal sinusoïdal à l'entrée, les indicateurs acceptables suivants doivent être garantis : Δ m - amplitude d'erreur maximale ; v m - vitesse de suivi maximale ; ε m - accélération de suivi maximale. Il a été montré précédemment que l'amplitude de l'erreur lors de la reproduction d'un signal harmonique est Δ m = g m / W(jω k), c'est-à-dire est déterminé par le module de la fonction de transfert de l'ACS ouvert et l'amplitude de l'influence d'entrée g m. Pour que l'erreur ACS ne dépasse pas Δ s, le l.a.h. ne doit pas passer plus bas que le point de contrôle A k de coordonnées : ω=ω k, L(ω k)= 20lg|W(jω k)| =20log g m /Δ m .
Relations connues :
g(t) = g m péché(ω k t); g"(t) = g m (ω k t); g""(t) = -g m ω k 2 sin(ω k t);
v m = g m k ; ε m = g m ω k 2 ; g m = v m 2 /ε m ; ω k = ε m / v m . (6.2)
La région interdite correspondant à un système avec un astatisme de 1er ordre et garantissant un fonctionnement avec l'erreur requise en termes d'amplitude de suivi, de vitesse et d'accélération de suivi est représentée sur la Fig. 6.2.

Figure 6.2. Zone interdite de l.a.h.

Facteur de qualité pour la vitesse K ν =v m / Δ m , facteur de qualité pour l'accélération K ε =ε m /Δ m . Dans le cas où il est nécessaire de garantir uniquement une erreur de contrôle statique lorsqu'un signal g(t)=g 0 =const est appliqué à l'entrée, alors la section basse fréquence du l.a.h. doit avoir une pente de 0 dB/dec et passer à un niveau de 20lgK tr, où K tr (le gain requis du système de contrôle automatique en boucle ouverte) est calculé par la formule

Δ з ()=ε st =g 0 /(1+ K tr), d'où K tr ≥ -1.

S'il est nécessaire d'assurer un suivi avec une précision donnée à partir de l'influence de référence g(t)=νt à ν=const, alors l'erreur de vitesse en régime permanent ε sk () =ν/K tr. À partir de là, nous trouvons K tr = ν/ε ck et dessinons la partie basse fréquence du LAC souhaité avec une pente de -20 dB/dec à travers le facteur de qualité de vitesse K ν = K tr = ν/ε ck ou un point avec coordonnées : ω=1 s -1, L( 1)=20lgk tr dB.
Comme cela a été montré précédemment, la section moyenne fréquence du L.A.H. fournit les principaux indicateurs de la qualité du processus transitoire - dépassement σ et temps de régulation t p. La section moyenne fréquence du l.a.h souhaité. doit avoir une pente de -20 dB/déc et couper l’axe des fréquences à la fréquence de coupure ω moy, qui est déterminée selon les nomogrammes de V.V. Solodovnikov (Fig. 6.3). Il est recommandé de prendre en compte l'ordre d'astatisme du système conçu et de sélectionner ω moy selon le nomogramme approprié.

Figure 6.3. Nomogrammes de qualité Solodovnikov :
a - pour les canons automoteurs astatiques du 1er ordre ; b - pour les canons automoteurs statiques

Par exemple, pour σ m = 35 % et t p = 0,6 s, en utilisant le nomogramme (Fig. 6.3,a) pour un système astatique du 1er ordre, nous obtenons t p = 4,33 π/ω moy ou ω moy = 21,7 s -1 .
Pour ω av =21,7 s -1, il est nécessaire de tracer une ligne droite avec une pente de -20 dB/dec, et la largeur de la section moyenne fréquence est déterminée à partir de la condition d'assurer la marge de stabilité requise en module et en phase. . Il existe différentes approches pour établir des marges de stabilité. Il ne faut pas oublier que plus la fréquence de coupure dans le système est élevée, plus il est probable que les calculs soient affectés par l'erreur des petites constantes de temps des dispositifs ACS individuels non pris en compte. Par conséquent, il est recommandé d’augmenter artificiellement les marges de stabilité en phase et en module avec l’augmentation de ω moy. Ainsi, pour deux types de canons automoteurs, il est recommandé d'utiliser le tableau indiqué dans le tableau. Lorsqu'il existe des exigences élevées en matière de qualité des processus transitoires, par exemple,

20%<σ m <24%; ,

25%<σ m <45%; ,

Les indicateurs de stabilité moyens suivants sont recommandés : φ zap =30°, H m =12 dB, -H m =10 dB.
La figure 6.4 montre la vue de la section moyenne fréquence du L.A.H. souhaité, dont la largeur offre les marges de stabilité requises.

Figure 6.4. La partie moyenne fréquence du l.a.h.

Ensuite, des sections de moyennes et basses fréquences sont associées à des segments droits avec des pentes de -40 ou -60 dB/dec afin d'obtenir le dispositif de correction le plus simple.
La pente de la section haute fréquence du L.A.H. Il est recommandé de le laisser égal à la pente de la section haute fréquence du L.A.H. Dans ce cas, le dispositif de correction sera plus résistant au bruit. Coordination des sections moyennes et hautes fréquences du L.A.H. souhaité. est également réalisée en tenant compte de la réception d'un dispositif de correction simple et, en outre, en garantissant les marges de stabilité nécessaires.
La fonction de transfert du système en boucle ouverte W w (p) souhaité est trouvée par le type de l.a.h. L f (ω). Ensuite, la réponse en fréquence de phase de l'ACS en boucle ouverte souhaité et la réponse transitoire du système en boucle fermée souhaité sont construites et les indicateurs de qualité réels du système conçu sont évalués. S'ils satisfont aux valeurs requises, alors la construction du L.A.H. est considéré comme terminé, sinon les LFC souhaités construits doivent être ajustés. Pour réduire le dépassement, élargissez la section moyenne fréquence du l.a.h souhaité. (augmenter la valeur ±H m). Pour améliorer les performances du système, il est nécessaire d’augmenter la fréquence de coupure.
Pour déterminer les paramètres d'un dispositif de correction séquentielle il faut :
a) soustraire du l.a.h souhaité. L disponible l.a.h. L 0, c'est-à-dire trouver l.a.h. dispositif de correction de phase minimale L ku ;
b) par type de l.a.h. dispositif de correction séquentielle L ku écrire sa fonction de transfert et, à l'aide de la littérature de référence, sélectionner un circuit et une implémentation spécifiques.
La figure 6.5 montre un exemple de détermination de la fonction de transfert d'un dispositif de correction séquentielle.

Figure 6.5. LAX de L 0 disponible, L f souhaité système en boucle ouverte
et dispositif de correction séquentielle L ku

Après soustraction graphique on obtient la fonction de transfert suivante du dispositif correcteur

Un dispositif de correction parallèle ou un dispositif de correction sous forme de rétroaction locale peut être obtenu par recalcul à l'aide de la formule (6.1).
A partir de la fonction de transfert obtenue W ku (p), il est nécessaire de concevoir un véritable dispositif de correction, qui peut être implémenté matériellement ou logiciellement. Dans le cas d'une mise en œuvre matérielle, il est nécessaire de sélectionner le circuit et les paramètres de la liaison correctrice. Dans la littérature, il existe des tableaux de dispositifs correcteurs typiques, passifs et actifs, à courant continu et alternatif. Dans le cas où il est utilisé pour contrôler un système de contrôle automatique d'un ordinateur, alors la mise en œuvre d'un logiciel est préférable.

© V.N. Bakaev, Vologda 2004. Développement de la version électronique : M.A. Gladyshev, I.A. Tchouranov.
Université technique d'État de Vologda.
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Actuellement, les systèmes construits sur le principe de régulation subordonnée, expliqué dans la figure 6.6, se sont répandus. Le système fournit n boucles de contrôle avec leurs propres contrôleurs W pi (p), et le signal de sortie du contrôleur de boucle externe est la valeur prescrite pour la boucle interne, c'est-à-dire le travail de chaque circuit interne est subordonné au circuit externe.

Figure 6.6. Schéma fonctionnel de l'ACS de la régulation subordonnée

Deux avantages principaux déterminent le fonctionnement des systèmes de contrôle subordonnés.
1. Facile à calculer et à configurer. Le réglage pendant le processus de mise en service s'effectue à partir du circuit interne. Chaque circuit comprend un régulateur dont les paramètres et la structure produisent des caractéristiques standard. De plus, dans chaque circuit, la plus grande constante de temps est compensée.
2. Commodité de limiter les valeurs limites des coordonnées intermédiaires du système. Ceci est réalisé en limitant le signal de sortie du contrôleur de boucle externe à une certaine valeur.
Dans le même temps, du principe de construction d'un système de contrôle esclave, il est évident que la vitesse de chaque boucle externe sera inférieure à la vitesse de la boucle interne correspondante. En effet, si dans le circuit primaire la fréquence de coupure du l.a.h. sera 1/2T μ, où 2T μ est la somme de petites constantes de temps non compensées, alors même en l'absence d'autres liaisons avec de petites constantes de temps dans le circuit externe, la fréquence de coupure de son l.a.h. sera 1/4T μ, etc. Par conséquent, les systèmes de contrôle esclaves sont rarement construits avec plus de trois circuits.
Prenons un circuit typique de la figure 6.7 et ajustons-le aux optimaux modulaires (MO) et symétriques (SO).

Figure 6.7. Schéma de circuit typique

Le diagramme de la Fig. 6.7 indique : T μ - la somme des petites constantes de temps ;
T o - grande constante de temps soumise à compensation ; K ε et K O sont respectivement les coefficients de gain des blocs avec de petites constantes de temps et de l'objet de contrôle. Il est à noter que le type de contrôleur W p (p) dépend du type de liaison dont il faut compenser la constante de temps. Il peut s'agir de P, I, PI et PID. Prenons comme exemple un régulateur PI :

.

Pour un optimal modulaire, nous sélectionnons les paramètres suivants :

Alors la fonction de transfert en boucle ouverte aura la forme :

Les caractéristiques de fréquence logarithmiques correspondant à la fonction de transfert W(p) sont représentées sur la Fig. 6.8, a.

Figure 6.8. LFC et h(t) avec configuration modulaire

Avec une action de contrôle par étapes, la valeur de sortie atteint pour la première fois une valeur stable après un temps de 4,7 Tμ, le dépassement est de 4,3 % et la marge de phase est de 63° (Fig. 6.8, b). La fonction de transfert d'un système de contrôle automatique en boucle fermée a la forme

Si l'on représente l'équation caractéristique d'un système de contrôle automatique en boucle fermée sous la forme T 2 r 2 +2ξTr+1=0, alors le coefficient d'amortissement à l'optimum modulaire a la valeur . Dans le même temps, il est clair que le temps de contrôle ne dépend pas de la grande constante de temps T o. Le système présente un astatisme de premier ordre. Lors du réglage du système sur un optimal symétrique, sélectionnez les paramètres du contrôleur PI comme suit :

Alors la fonction de transfert en boucle ouverte a la forme

Les caractéristiques de fréquence logarithmiques correspondantes et le graphique du processus transitoire sont présentés sur la Fig. 6.9.

Figure 6.9. LFC et h(t) lors du réglage sur un optimal symétrique

Le moment où la valeur de sortie atteint pour la première fois une valeur stable est de 3,1 T μ, le dépassement maximum atteint 43 %, la marge de phase est de -37°. Le canon automoteur acquiert un astatisme de second ordre. Il est à noter que si le lien avec la plus grande constante de temps est apériodique du 1er ordre, alors avec un contrôleur PI à T o = 4T μ les processus transitoires correspondent aux processus lors du réglage sur MO. Si à<4Т μ , то настройка регулятора на τ=Т μ теряет смысл. Необходимо выбрать другой тип регулятора.
TAU connaît également d'autres types de réglages optimaux du régulateur, par exemple :
- binomiale, lorsque l'équation caractéristique de l'ACS se présente sous la forme (p+ω 0) n - où ω 0 est le module de la racine n fois ;
- Butterworth, lorsque les équations caractéristiques des ACS d'ordres divers ont la forme


Il est conseillé d'utiliser ces paramètres lorsque le système utilise le contrôle modal pour chaque coordonnée.

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Construction du processus de transition

Il existe trois groupes de méthodes pour construire des processus transitoires : analytique ; graphique, utilisant les caractéristiques fréquentielles et transitoires ; construction de processus transitoires à l'aide d'un ordinateur. Dans les cas les plus complexes, on utilise des ordinateurs qui permettent, en plus de modéliser les canons automoteurs, de connecter des parties individuelles du système réel à la machine, c'est-à-dire proche de la méthode expérimentale. Les deux premiers groupes sont utilisés principalement dans le cas de systèmes simples, ainsi qu'au stade de recherches préliminaires lorsque le système est considérablement simplifié.
Les méthodes analytiques sont basées sur la résolution d'équations différentielles du système ou sur la détermination de la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert du système.
Le calcul des processus transitoires basés sur les caractéristiques de fréquence est utilisé lorsque l'analyse de l'ACS est effectuée dès le début à l'aide de méthodes de fréquence. Dans la pratique de l'ingénierie, la méthode des caractéristiques de fréquence trapézoïdales, développée par V.V. Solodovnikov, s'est répandue pour évaluer les indicateurs de qualité et construire des processus transitoires dans les systèmes de contrôle automatique.
Il a été établi que si une seule influence de commande agit sur le système, c'est-à-dire g(t)=1(t), et les conditions initiales sont nulles, alors la réponse du système, qui est une caractéristique de transition, peut dans ce cas être définie comme

(6.3)
(6.4)

où P(ω) est la réponse en fréquence réelle du système en boucle fermée ; Q(ω) est la réponse en fréquence imaginaire d'un système en boucle fermée, c'est-à-dire Ф g (jω)=P(ω)+jQ(ω).
La méthode de construction consiste à diviser la caractéristique réelle P(ω) en un certain nombre de trapèzes, en remplaçant les lignes approximativement courbes par des segments droits, de sorte qu'en additionnant toutes les ordonnées des trapèzes, la caractéristique originale de la figure 6.10 soit obtenue.

Figure 6.10. Caractéristiques réelles d'un système fermé

où : ω рi et ω срi sont respectivement la fréquence de transmission uniforme et la fréquence de coupure de chaque trapèze.
Ensuite, pour chaque trapèze, le coefficient de pente ω рi /ω срi est déterminé et les processus transitoires de chaque trapèze hi sont construits à l'aide du tableau des fonctions h. Le tableau des fonctions h donne le temps sans dimension τ. Pour obtenir le temps réel t i il faut diviser τ par la fréquence de coupure d'un trapèze donné. Le processus de transition pour chaque trapèze doit être augmenté de P i (0) fois, car Le tableau des fonctions h donne les processus transitoires à partir des trapèzes unitaires. Le processus de transition de l'ACS est obtenu par sommation algébrique des processus h i construits à partir de tous les trapèzes.

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Questions sur le sujet n°6

1. Qu’entend-on par améliorer la qualité du processus de gestion et comment y parvient-on ?
2. Nommez la loi de commande standard linéaire.
3. Parlez-nous des lois de contrôle et des régulateurs typiques.
4. A quoi servent les appareils de correction ? Indiquez comment ils sont inclus et leurs fonctionnalités.
5. Expliquer la formulation du problème de la synthèse des systèmes.
6. Énumérez les étapes de la synthèse du système.
7. Expliquer la construction du LAC souhaité du système conçu.
8. Comment se forme la fonction de transfert d'un système conçu en boucle ouverte ?
9. Comment sont déterminées les fonctions de transfert des appareils correcteurs ?
10. Quels sont les avantages et les inconvénients des dispositifs de correction parallèle et séquentielle ?
11. Comment les nomogrammes de « clôture » sont-ils utilisés ?
12. Énumérez les méthodes de construction de processus transitoires.
13. Comment déterminer la valeur en régime permanent d'un processus transitoire à l'aide d'une caractéristique réelle ?
14.Comment modifier le L.A.H. augmenter les réserves de stabilité ?

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Thème n°7 : Canons automoteurs non linéaires

Introduction

La plupart des caractéristiques des appareils réels sont généralement non linéaires et certaines d'entre elles ne peuvent pas être linéarisées, car ont des discontinuités du deuxième type et l'approximation linéaire par morceaux ne leur est pas applicable. Le fonctionnement de liens réels (appareils) peut s'accompagner de phénomènes tels que saturation, hystérésis, jeu, présence d'une zone morte, etc. Les non-linéarités peuvent être naturelles ou artificielles (introduites intentionnellement). Les non-linéarités naturelles sont inhérentes aux systèmes en raison de la manifestation non linéaire des processus physiques et des propriétés des dispositifs individuels. Par exemple, les caractéristiques mécaniques d'un moteur asynchrone. Des non-linéarités artificielles sont introduites par les développeurs dans les systèmes pour assurer la qualité de travail requise : pour les systèmes optimaux en termes de performances, ils utilisent le contrôle par relais, la présence de lois non linéaires dans les systèmes extrêmes de recherche et de non-recherche, les systèmes à structure variable , etc.
Système non linéaire est un système qui comprend au moins un élément dont la linéarisation est impossible sans perdre les propriétés essentielles du système de contrôle dans son ensemble. Les signes essentiels de non-linéarité sont : si certaines coordonnées ou leurs dérivées temporelles entrent dans l'équation sous forme de produits ou de puissances différents des premiers ; si les coefficients de l'équation sont des fonctions de certaines coordonnées ou de leurs dérivées. Lorsque vous composez des équations différentielles pour des systèmes non linéaires, construisez d’abord des équations différentielles pour chaque appareil du système. Dans ce cas, les caractéristiques des dispositifs permettant la linéarisation sont linéarisées. Les éléments qui ne permettent pas la linéarisation sont appelés significativement non linéaire. Le résultat est un système d’équations différentielles dans lequel une ou plusieurs équations sont non linéaires. Les appareils qui peuvent être linéarisés forment la partie linéaire du système et les appareils qui ne peuvent pas être linéarisés forment la partie non linéaire. Dans le cas le plus simple, le schéma fonctionnel d'un ACS d'un système non linéaire est une connexion en série d'un élément non linéaire sans inertie et d'une partie linéaire, couverte par un retour (Fig. 7.1). Étant donné que le principe de superposition n'est pas applicable aux systèmes non linéaires, lors de la réalisation de transformations structurelles de systèmes non linéaires, la seule limitation par rapport aux transformations structurelles de systèmes linéaires est qu'il est impossible de transférer des éléments non linéaires à travers des éléments linéaires et vice versa.

Riz. 7.1. Schéma fonctionnel d'un système non linéaire :
NE - élément non linéaire ; LC - partie linéaire ; Z(t) et X(t)
respectivement, la sortie et l'entrée de l'élément non linéaire.

La classification des liens non linéaires est possible selon différents critères. La classification la plus répandue est basée sur des caractéristiques statiques et dynamiques. Les premiers sont présentés sous forme de caractéristiques statiques non linéaires, et les seconds sous forme d'équations différentielles non linéaires. Des exemples de telles caractéristiques sont donnés dans. Sur la figure 7.2. des exemples de caractéristiques non linéaires à valeur unique (sans mémoire) et à valeurs multiples (avec mémoire) sont donnés. Dans ce cas, la direction (signe) de la vitesse du signal d'entrée est prise en compte.

Figure 7.2. Caractéristiques statiques des éléments non linéaires

Le comportement des systèmes non linéaires en présence de non-linéarités importantes présente un certain nombre de caractéristiques qui diffèrent du comportement des systèmes de contrôle automatique linéaires :
1. la valeur de sortie d'un système non linéaire est disproportionnée par rapport à l'effet d'entrée, c'est-à-dire les paramètres des liens non linéaires dépendent de l'ampleur de l'influence d'entrée ;
2. Les processus transitoires dans les systèmes non linéaires dépendent des conditions initiales (écarts). À cet égard, pour les systèmes non linéaires, les concepts de stabilité « dans le petit », « dans le grand » et « en général » ont été introduits. Un système est stable « dans le petit » s’il est stable pour de petits écarts initiaux (infinitésimaux). Un système est stable « en grand » s’il est stable pour des écarts initiaux importants (de magnitude finie). Un système est stable « dans son ensemble » s’il est stable pour tout écart initial important (d’ampleur illimitée). La figure 7.3 montre les trajectoires de phase des systèmes : stables « en général » (a) et systèmes stables « dans le grand » et instables « dans le petit » (b) ;

Figure 7.3. Trajectoires de phase des systèmes non linéaires

3. les systèmes non linéaires sont caractérisés par un mode d'oscillations périodiques non amorties avec une amplitude et une fréquence constantes (auto-oscillations), qui se produisent dans les systèmes en l'absence d'influences externes périodiques ;
4. avec des oscillations amorties du processus transitoire dans des systèmes non linéaires, une modification de la période d'oscillation est possible.
Ces caractéristiques ont déterminé le manque d'approches générales dans l'analyse et la synthèse de systèmes non linéaires. Les méthodes développées permettent de résoudre uniquement des problèmes non linéaires locaux. Toutes les méthodes d'ingénierie pour étudier les systèmes non linéaires sont divisées en deux groupes principaux : exactes et approximatives. Les méthodes exactes incluent la méthode A.M. Lyapunov, la méthode du plan de phase, la méthode de transformation de points et la méthode de fréquence V.M. Popov. Les méthodes approximatives sont basées sur la linéarisation d'équations de systèmes non linéaires par linéarisation harmonique ou statistique. Les limites d'applicabilité de telle ou telle méthode seront discutées ci-dessous. Il convient de noter que dans un avenir proche, il sera nécessaire de développer davantage la théorie et la pratique des systèmes non linéaires.
Une méthode puissante et efficace pour étudier les systèmes non linéaires est la modélisation, dont la boîte à outils est un ordinateur. Actuellement, de nombreuses questions théoriques et pratiques difficiles à résoudre analytiquement peuvent être résolues relativement facilement à l'aide de la technologie informatique.
Les principaux paramètres caractérisant le fonctionnement des systèmes de contrôle automatique non linéaire sont :
1. La présence ou l'absence d'auto-oscillations. Si des auto-oscillations existent, il est alors nécessaire de déterminer leur amplitude et leur fréquence.
2. Temps nécessaire au paramètre contrôlé pour passer en mode stabilisation (réponse).
3. La présence ou l'absence d'un mode coulissant.
4. Détermination de points particuliers et de trajectoires particulières de mouvement.
Il ne s'agit pas d'une liste complète des indicateurs étudiés qui accompagnent le fonctionnement des systèmes non linéaires. Les systèmes extrêmes et auto-ajustables avec des paramètres variables nécessitent une évaluation et des propriétés supplémentaires.

© V.N. Bakaev, Vologda 2004. Développement de la version électronique : M.A. Gladyshev, I.A. Tchouranov.
Université technique d'État de Vologda.
Département d'enseignement à distance et par correspondance.

L'idée de la méthode de linéarisation harmonique appartient à N.M. Krylov et N.N. Bogolyubov et repose sur le remplacement d'un élément non linéaire du système par un lien linéaire dont les paramètres sont déterminés sous une action d'entrée harmonique à partir de la condition d'égalité des amplitudes des premières harmoniques à la sortie de l'élément non linéaire et le lien linéaire équivalent. La méthode est approximative et ne peut être utilisée que dans le cas où la partie linéaire du système est un filtre passe-bas, c'est-à-dire filtre toutes les composantes harmoniques apparaissant à la sortie d’un élément non linéaire, à l’exception de la première harmonique. Dans ce cas, la partie linéaire peut être décrite par une équation différentielle de n'importe quel ordre, et l'élément non linéaire peut être à valeur unique ou à valeurs multiples.
La méthode de linéarisation harmonique (équilibre harmonique) repose sur l'hypothèse qu'une influence harmonique de fréquence ω et d'amplitude A est appliquée à l'entrée de l'élément non linéaire, c'est-à-dire x = А sinωt. En supposant que la partie linéaire est un filtre passe-bas, le spectre du signal de sortie de la partie linéaire n'est limité que par la première harmonique déterminée par la série de Fourier (c'est l'approximation de la méthode, puisque les harmoniques supérieures sont exclues de la considération ). Ensuite, la connexion entre la première harmonique du signal de sortie et l'influence harmonique d'entrée de l'élément non linéaire est représentée comme une fonction de transfert :

(7.1)

L'équation (7.1) est appelée équation de linéarisation harmonique, et les coefficients q et q" sont les coefficients de linéarisation harmonique, en fonction de l'amplitude A et de la fréquence ω de l'action d'entrée. Pour différents types de caractéristiques non linéaires, les coefficients de linéarisation harmonique sont résumés dans le tableau. Il convient de noter que pour les coefficients statiques à valeur unique, q"(A)=0. En soumettant l'équation (7.1) à la transformation de Laplace dans des conditions initiales nulles, puis en remplaçant l'opérateur p par jω (p = jω), on obtient le coefficient de transfert complexe équivalent de l'élément non linéaire

W ne (jω,A) = q + jq". (7.2)

Après avoir effectué la linéarisation harmonique, pour l'analyse et la synthèse des systèmes de contrôle automatique non linéaires, il est possible d'utiliser toutes les méthodes utilisées pour étudier les systèmes linéaires, y compris l'utilisation de divers critères de stabilité. Lors de l'étude de systèmes non linéaires basés sur la méthode de linéarisation harmonique, la question de l'existence et de la stabilité des modes périodiques (auto-oscillants) est d'abord résolue. Si le mode périodique est stable, alors le système contient des auto-oscillations de fréquence ω 0 et d'amplitude A 0 . Considérons un système non linéaire qui comprend une partie linéaire avec une fonction de transfert

(7.3)

et un élément non linéaire avec un coefficient de transfert complexe équivalent (7.2). Le schéma fonctionnel calculé du système non linéaire prend la forme de la Fig. 7.5.

Figure 7.5. Schéma fonctionnel d'un système de contrôle automoteur non linéaire

Pour évaluer la possibilité d'auto-oscillations dans un système non linéaire à l'aide de la méthode de linéarisation harmonique, il est nécessaire de trouver les conditions de la limite de stabilité, comme cela a été fait lors de l'analyse de la stabilité des systèmes linéaires. Si la partie linéaire est décrite par la fonction de transfert (7.3), et l'élément non linéaire (7.2), alors l'équation caractéristique du système fermé aura la forme

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = 0 (7.4)

Sur la base du critère de stabilité de Mikhailov, la limite de stabilité sera le passage de l'hodographe de Mikhailov par l'origine. A partir des expressions (7.4), on peut trouver la dépendance de l'amplitude et de la fréquence des auto-oscillations sur les paramètres du système, par exemple sur le coefficient de transmission k de la partie linéaire du système. Pour ce faire, il faut considérer le coefficient de transmission k comme une valeur variable dans les équations (7.4), c'est-à-dire écrivez cette équation sous la forme :

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = Re(ω 0 ,A 0 ,K) +Jm(ω 0 ,A 0 ,k) = 0 (7.5)

où ω o et A o sont la fréquence et l'amplitude possibles des auto-oscillations.
Ensuite, en égalisant à zéro les parties réelle et imaginaire de l'équation (7.5)

(7.6)

La méthode des caractéristiques de fréquence logarithmiques est utilisée pour déterminer les fonctions de transfert de fréquence des dispositifs correcteurs qui rapprochent les performances dynamiques de celles souhaitées. Cette méthode est utilisée le plus efficacement pour la synthèse de systèmes avec des dispositifs de correction linéaires ou numériques, car dans de tels systèmes, les caractéristiques fréquentielles des liaisons ne dépendent pas de l'amplitude des signaux d'entrée. La synthèse de l'ACS à l'aide de la méthode des caractéristiques de fréquence logarithmiques comprend les opérations suivantes :

Dans un premier temps, en utilisant la fonction de transfert connue de la partie immuable de l'ACS, sa réponse en fréquence logarithmique est construite. Dans la plupart des cas, il suffit d’utiliser des caractéristiques fréquentielles asymptotiques.

Lors de la deuxième étape, la réponse en fréquence logarithmique souhaitée de l'ACS est construite, ce qui satisferait aux exigences. Le type de LFC souhaité est déterminé en fonction de l'objectif du système, de la durée du processus de transition, des taux de dépassement et d'erreur. Dans ce cas, les caractéristiques de fréquence typiques sont souvent utilisées pour des systèmes présentant différents ordres d'astatisme. Lors de la construction du LFC souhaité, vous devez vous assurer que le type de réponse en amplitude détermine entièrement la nature des processus transitoires, et il n'est pas nécessaire d'introduire la réponse en fréquence de phase. Ceci est vrai dans le cas des systèmes à phases minimales, caractérisés par l'absence de zéros et de pôles situés dans le demi-plan droit. Lors du choix des caractéristiques logarithmiques d'amplitude et de phase souhaitées, il est important que ces dernières fournissent la marge de stabilité requise à la fréquence de coupure du système. À cette fin, des nomogrammes spéciaux sont utilisés, dont l'apparence est illustrée à la Fig. 1.

Figure 16‑1 Courbes de sélection de la marge de stabilité en amplitude (a) et en phase (b) en fonction de l'ampleur du dépassement

Des indicateurs de qualité satisfaisants de l'ACS en modes dynamiques sont obtenus lorsque la caractéristique d'amplitude de l'axe des abscisses croise une pente de –20 dB/déc.

Figure 16‑2 Détermination des caractéristiques de la PCU

Lors de la dernière étape, à partir d'une comparaison des caractéristiques fréquentielles du système non corrigé et des caractéristiques fréquentielles souhaitées, les propriétés fréquentielles du dispositif correcteur sont déterminées. Lors de l'utilisation de moyens de correction linéaire, la réponse en fréquence logarithmique d'un dispositif de correction séquentielle (SCD) peut être trouvée en soustrayant le LFC du système non corrigé du LFC souhaité de l'ACS, c'est-à-dire

Ainsi

Il convient de noter qu'à partir de la fonction de transfert d'un dispositif de correction séquentielle, il est facile de déterminer les fonctions de transfert des liaisons dans le circuit direct ou de retour, à l'aide desquelles les performances dynamiques du système de contrôle automatique sont corrigées.

L'étape suivante consiste à déterminer la méthode de mise en œuvre, le circuit et les paramètres du dispositif correcteur.

La dernière étape de synthèse du dispositif de correction est le calcul de vérification de l'ACS, qui consiste à construire des graphiques de processus transitoires pour le système avec le dispositif de correction sélectionné. A ce stade, il est conseillé d'utiliser la technologie informatique et les logiciels de modélisation VinSim, WorkBench, CircuitMaker, MathCAD.

La synthèse de dispositifs correcteurs par la méthode LFC est basée sur la connaissance du LFC souhaité de l'ACS conçu à l'état ouvert. Le LPFC n'est pas pris en compte dans ce cas, car le système est supposé être à phase minimale et avec un LPFC connu, la caractéristique de phase est donnée.

Le LFC souhaité est le LFC correspondant à un système avec les indicateurs de qualité requis (temps de contrôle t p, dépassement s%, erreur en régime permanent e bouche). La tâche de la synthèse d'un dispositif correcteur est de sélectionner sa structure et ses paramètres de manière à rapprocher le plus possible le LFC du système corrigé de celui souhaité.

Les caractéristiques dites optimales, qui sont les meilleures dans un certain sens, sont souvent choisies comme étant souhaitables. Les systèmes présentant de telles caractéristiques sont appelés optimaux.

Fonction de transfert et réponse en fréquence du système optimal.

Lors de la construction du LFC souhaité d'un système en boucle ouverte, le concept de système optimal est utilisé. Pour chaque ACS, vous pouvez choisir vos propres conditions d'optimalité. Ici, nous appellerons optimal le processus de contrôle avec une action de référence pas à pas s'il est monotone et que le temps de contrôle t r est minimal avec une dérivée seconde limitée de la valeur d'entrée x(t).

Notons .

Nous désignons le temps de transition du système optimal par t min.

Le processus de contrôle sera optimal si l'accélération g a une valeur maximale g m et change de signe en , c'est-à-dire

Puis à (127)

à (128)

x 0 (t) – valeur contrôlée dans le processus optimal.

Quand et alors pour peut être écrit sous la forme

En combinant (1)-(3) à l’aide de fonctions pas unitaires, nous obtenons

De la dépendance (130) on peut obtenir

En fonction de l'ampleur de l'influence d'entrée, nous modifierons

Laisser .

c'est le temps minimum pour traiter un signal de pas g 0 avec une accélération de la grandeur commandée ne dépassant pas g m .

Trouvons la fonction de transfert d'un système optimal fermé

En tenant compte de (130), (131), on obtient

Déterminons la fonction de transfert du système en boucle ouverte. Nous avons

et puis à partir de (132) et (133) on trouve

La fonction de transfert résultante est la fonction transcendantale de p. Cela signifie que la forme acceptée du processus de contrôle optimal, défini par l'expression (130), ne peut pas être mise en œuvre avec précision par un système de contrôle automatique stationnaire linéaire. Cependant, il détermine la limite à laquelle les processus dans un système linéaire à paramètres constants doivent être approchés.

La dépendance (134) nous permet de déterminer le LFC de l'ACS optimal.

La synthèse s'entend comme la construction, la création, la conception, la configuration d'un système optimal par rapport à ses paramètres. La synthèse est donc réalisée par les concepteurs et créateurs d’ACS. Lors de l'exploitation de systèmes déjà créés, par exemple ceux produits dans le commerce, nous ne pouvons parler d'ajustement des paramètres que lorsque le système quitte les modes requis pour une raison ou une autre.

Méthodes de synthèse

1. Lors de la création d'un système de contrôle automatique aux fins requises, on veille tout d'abord à ce qu'il remplisse ses fonctions de contrôle et de régulation avec une précision donnée et qu'il présente une composition optimale de la base d'éléments en termes techniques et économiques. indicateurs (amplificateurs, régulateurs, convertisseurs, moteurs, capteurs, etc. ) pour qu'il fournisse la puissance, la vitesse, les moments de mouvement nécessaires, soit simple, fiable, facile à utiliser et économique.

A ce stade, les problématiques de dynamique ne peuvent être prises en compte que de manière grossière, par exemple ne pas sélectionner d'éléments manifestement instables, à grandes constantes de temps, résonnants, etc.

2. Les problèmes liés à la garantie des caractéristiques statiques, de la précision du traitement des commandes données et des indicateurs techniques et économiques élevés sont au cœur des processus technologiques et économiques et les plus difficiles à résoudre. Par conséquent, malgré le fait que sans modes dynamiques de bonne qualité, l'ACS ne sera pas mis en service, la synthèse de sa structure pour assurer les modes requis est effectuée dans la deuxième étape, lorsque le schéma fonctionnel, la composition des éléments et les paramètres du système sont préétablis. Il n’est pas possible de combiner efficacement les deux étapes.

D'une manière générale, l'ACS conçu au premier étage est généralement une structure multicircuit avec une fonction de transfert complexe, dont l'analyse donne des résultats insatisfaisants en termes de qualité des processus transitoires. Par conséquent, il doit être simplifié selon les caractéristiques souhaitées et ajusté.

Synthèse de systèmes de contrôle automatique de la qualité requise

La synthèse du système doit être effectuée en modifiant la structure pour répondre aux exigences nécessaires. Les caractéristiques du système qui répondent aux exigences sont appelées caractéristiques souhaitées, par opposition à celles disponibles que possède le système sous-optimal d'origine.

La base pour construire les caractéristiques souhaitées sont les indicateurs requis du système : stabilité, vitesse, précision, etc. Les caractéristiques de fréquence logarithmiques étant les plus répandues, nous envisagerons la synthèse d'un système de contrôle automatique basé sur les LFC et LPFC souhaités.

1. La construction des caractéristiques souhaitées commence par la section moyenne fréquence, qui caractérise la stabilité, la vitesse et la forme du processus transitoire du système. Sa position est déterminée par la fréquence de coupure du fluide. (Fig. 1.8.1).

La fréquence de coupure est déterminée par le temps de transition requis tpp et le dépassement autorisé :

Fig.2.

• 2. Par le point c, tracez l'asymptote moyenne fréquence des caractéristiques souhaitées avec une pente de 20 dB/déc (Fig. 1.8.1.).
• 3. Trouvez la composante basse fréquence avec 2.

Le facteur de qualité du système est généralement défini par la vitesse Dск et l'accélération Dск.

Trouver la fréquence

L'intersection de cette asymptote avec celle des fréquences moyennes la limite à gauche à la fréquence conjuguée.

4. La fréquence de couplage 3 est choisie de telle sorte que 3/ 2 = 0,75 ou lg 3-lg 2 = 0,7 déc, garantissant des conditions de stabilité.

Cette condition prend en compte les ratios suivants :

qui peut également être utilisé pour limiter l’asymptote des moyennes fréquences.

S'il n'y a pas de restrictions explicites, sélectionnez 2 et 3 parmi les conditions (Fig. 1.8.1, b)

L2=(616)dbLc(c) =-(616)db(1.8.4)

Augmenter la zone 3 - 2 n'est pas pratique.

5. Trouvez la composante basse fréquence avec 1. En fonction du facteur de qualité de la vitesse, nous déterminons le gain

Dsk=Ksk.(1.8.5)

Nous traçons Ksk sur l'axe des fréquences, traçons une asymptote avec une pente de 20 dB/dec passant par ce point et terminons à l'intersection avec la deuxième asymptote. Le point d'intersection est la composante basse fréquence c 1.

6. Vérifiez la marge de stabilité de phase

la phase à la fréquence de coupure c ne doit pas dépasser - avec une garantie de 45.

7. Nous vérifions que les conditions pour que le LFC souhaité ne tombe pas dans la zone restreinte sont remplies (Fig. 1.8.1, a).

et LK=20lgKsk, (1.8.7)

où Ksk= est le gain du système en boucle ouverte ou le facteur de qualité de vitesse.