Sur cette page vous trouverez :

1. En fait, le tableau des primitives - il peut être téléchargé depuis Format PDF et imprimer ;

2. Vidéo sur la façon d'utiliser ce tableau ;

3. Un tas d'exemples de calcul de la primitive à partir de divers manuels et tests.

Dans la vidéo elle-même, nous analyserons de nombreux problèmes où il faut calculer des primitives de fonctions, souvent assez complexes, mais surtout, ce ne sont pas des fonctions puissances. Toutes les fonctions résumées dans le tableau proposé ci-dessus doivent être connues par cœur, comme les dérivées. Sans eux, une étude plus approfondie des intégrales et leur application pour résoudre des problèmes pratiques est impossible.

Aujourd'hui, nous continuons à étudier les primitives et passons à un sujet légèrement plus complexe. Si la dernière fois nous avons examiné uniquement les primitives de fonctions puissance et de constructions légèrement plus complexes, nous examinerons aujourd'hui la trigonométrie et bien plus encore.

Comme je l’ai dit dans la leçon précédente, les primitives, contrairement aux dérivées, ne sont jamais résolues « immédiatement » à l’aide de règles standard. De plus, la mauvaise nouvelle est que, contrairement à la dérivée, la primitive peut ne pas être prise en compte du tout. Si on écrit absolument fonction aléatoire et nous essayons de trouver sa dérivée, alors avec une très forte probabilité nous réussirons, mais la primitive ne sera presque jamais calculée dans ce cas. Mais il y a une bonne nouvelle : il existe une classe assez large de fonctions appelées fonctions élémentaires, dont les primitives sont très faciles à calculer. Et toutes les autres structures plus complexes qui sont données dans toutes sortes de tests, tests et examens indépendants, sont en fait constituées de ces fonctions élémentaires par addition, soustraction et autres actions simples. Les prototypes de telles fonctions sont calculés depuis longtemps et compilés dans des tableaux spéciaux. Ce sont ces fonctions et tables avec lesquelles nous allons travailler aujourd'hui.

Mais commençons, comme toujours, par une répétition : rappelons ce qu’est une primitive, pourquoi il y en a une infinité, et comment déterminer leur apparence générale. Pour ce faire, j'ai identifié deux problèmes simples.

Résoudre des exemples faciles

Exemple 1

Notons tout de suite que $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ et en général la présence de $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ nous laisse immédiatement entendre que la primitive requise de la fonction est liée à la trigonométrie. Et, en effet, si nous regardons le tableau, nous constaterons que $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ n'est rien de plus que $\text(arctg)x$. Alors écrivons-le :

Pour trouver, vous devez écrire ce qui suit :

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Exemple n°2

Ici, nous parlons également de fonctions trigonométriques. Si nous regardons le tableau, voici en effet ce qui se passe :

Il faut trouver parmi l'ensemble des primitives celle qui passe par le point indiqué :

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Écrivons-le enfin :

C'est si simple. Le seul problème est que pour compter les primitives fonctions simples, vous devez apprendre le tableau des primitives. Cependant, après avoir étudié pour vous la table des dérivées, je pense que cela ne posera pas de problème.

Résoudre des problèmes contenant une fonction exponentielle

Pour commencer, écrivons les formules suivantes :

\[((e)^(x))\à ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Voyons comment tout cela fonctionne en pratique.

Exemple 1

Si nous regardons le contenu des parenthèses, nous remarquerons que dans le tableau des primitives, il n'existe pas d'expression pour que $((e)^(x))$ soit dans un carré, ce carré doit donc être développé. Pour ce faire, nous utilisons les formules de multiplication abrégées :

Trouvons la primitive pour chacun des termes :

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Rassemblons maintenant tous les termes en une seule expression et obtenons la primitive générale :

Exemple n°2

Cette fois, le degré est plus grand, donc la formule de multiplication abrégée sera assez complexe. Ouvrons donc les parenthèses :

Essayons maintenant de prendre la primitive de notre formule à partir de cette construction :

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué ou de surnaturel dans les primitives de la fonction exponentielle. Tous sont calculés à l'aide de tableaux, mais les étudiants attentifs remarqueront probablement que la primitive $((e)^(2x))$ est beaucoup plus proche de simplement $((e)^(x))$ que de $((a )^(x ))$. Alors, peut-être existe-t-il une règle plus spéciale qui permet, connaissant la primitive $((e)^(x))$, de trouver $((e)^(2x))$ ? Oui, une telle règle existe. Et, de plus, cela fait partie intégrante du travail avec la table des primitives. Nous allons maintenant l'analyser en utilisant les mêmes expressions avec lesquelles nous venons de travailler comme exemple.

Règles pour travailler avec la table des primitives

Écrivons à nouveau notre fonction :

Dans le cas précédent, nous avons utilisé la formule suivante pour résoudre :

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Mais maintenant, faisons un peu différemment : rappelons sur quelle base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Comme je l'ai déjà dit, parce que la dérivée $((e)^(x))$ n'est rien de plus que $((e)^(x))$, donc sa primitive sera égale au même $((e) ^ (x))$. Mais le problème est que nous avons $((e)^(2x))$ et $((e)^(-2x))$. Essayons maintenant de trouver la dérivée de $((e)^(2x))$ :

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Réécrivons à nouveau notre construction :

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Cela signifie que lorsque nous trouvons la primitive $((e)^(2x))$, nous obtenons ce qui suit :

\[((e)^(2x))\à \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Comme vous pouvez le voir, nous avons obtenu le même résultat qu'avant, mais nous n'avons pas utilisé la formule pour trouver $((a)^(x))$. Or, cela peut paraître stupide : pourquoi compliquer les calculs quand il existe une formule standard ? Cependant, dans des expressions légèrement plus complexes, vous constaterez que cette technique est très efficace, c'est-à-dire utiliser des dérivés pour trouver des primitives.

En guise d'échauffement, trouvons la primitive de $((e)^(2x))$ de la même manière :

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Lors du calcul, notre construction s'écrira comme suit :

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Nous avons obtenu exactement le même résultat, mais avons emprunté un chemin différent. C'est cette voie, qui nous paraît aujourd'hui un peu plus compliquée, qui s'avérera à l'avenir plus efficace pour calculer des primitives plus complexes et utiliser des tableaux.

Note! C'est très point important: les primitives, comme les dérivés, peuvent être considérées comme un ensemble de diverses façons. Cependant, si tous les calculs et calculs sont égaux, la réponse sera la même. On vient de le voir avec l'exemple de $((e)^(-2x))$ - d'une part, on a calculé cette primitive « de bout en bout », en utilisant la définition et en la calculant par transformations, d'autre part, nous nous sommes souvenus que $ ((e)^(-2x))$ peut être représenté par $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ et alors seulement nous avons utilisé la primitive de la fonction $( (a)^(x))$. Cependant, après toutes les transformations, le résultat était le même que prévu.

Et maintenant que nous comprenons tout cela, il est temps de passer à quelque chose de plus significatif. Nous allons maintenant analyser deux constructions simples, mais la technique qui sera utilisée pour les résoudre est plus puissante et outil utile, plutôt que de simplement « courir » entre les primitives voisines de la table.

Résolution de problèmes : trouver la primitive d'une fonction

Exemple 1

Décomposons le montant qui figure aux numérateurs en trois fractions distinctes :

Il s'agit d'une transition assez naturelle et compréhensible - la plupart des étudiants n'y rencontrent aucun problème. Réécrivons notre expression comme suit :

Retenons maintenant cette formule :

Dans notre cas, nous obtiendrons ce qui suit :

Pour se débarrasser de toutes ces fractions à trois étages, je suggère de procéder comme suit :

Exemple n°2

Contrairement à la fraction précédente, le dénominateur n’est pas un produit mais une somme. Dans ce cas, nous ne pouvons plus diviser notre fraction en la somme de plusieurs fractions simples, mais nous devons en quelque sorte essayer de nous assurer que le numérateur contient à peu près la même expression que le dénominateur. Dans ce cas, c'est assez simple à faire :

Cette notation, qui en langage mathématique s'appelle « ajouter un zéro », permettra à nouveau de diviser la fraction en deux morceaux :

Trouvons maintenant ce que nous recherchions :

C'est tous les calculs. Malgré la complexité apparente plus grande que dans le problème précédent, la quantité de calculs s'est avérée encore plus petite.

Nuances de la solution

Et c'est là que réside la principale difficulté du travail avec les primitives tabulaires, cela est particulièrement visible dans la deuxième tâche. Le fait est que pour sélectionner certains éléments facilement calculables à travers le tableau, nous devons savoir exactement ce que nous recherchons, et c'est dans la recherche de ces éléments que consiste tout le calcul des primitives.

En d'autres termes, il ne suffit pas de mémoriser le tableau des primitives - vous devez être capable de voir quelque chose qui n'existe pas encore, mais ce que voulait dire l'auteur et le compilateur de ce problème. C'est pourquoi de nombreux mathématiciens, enseignants et professeurs argumentent constamment : « Qu'est-ce que les primitives ou l'intégration ? Est-ce juste un outil ou est-ce un véritable art ? En fait, à mon avis, l'intégration n'est pas du tout un art - elle n'a rien de sublime, c'est juste de la pratique et encore de la pratique. Et pour nous entraîner, résolvons trois exemples plus sérieux.

Nous formons à l'intégration en pratique

Tâche n°1

Écrivons les formules suivantes :

\[((x)^(n))\à \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Écrivons ce qui suit :

Problème n°2

Réécrivons-le comme suit :

La primitive totale sera égale à :

Problème n°3

La difficulté de cette tâche est que, contrairement aux fonctions précédentes ci-dessus, il n'y a aucune variable $x$, c'est-à-dire nous ne savons pas quoi ajouter ou soustraire pour obtenir au moins quelque chose de similaire à ce qui est ci-dessous. Cependant, en fait, cette expression est considérée comme encore plus simple que n'importe quelle expression des constructions précédentes, car cette fonction peut être réécrit comme suit :

Vous pouvez maintenant vous demander : pourquoi ces fonctions sont-elles égales ? Allons vérifier:

Réécrivons-le à nouveau :

Transformons un peu notre expression :

Et quand j'explique tout cela à mes étudiants, presque toujours le même problème se pose : avec la première fonction tout est plus ou moins clair, avec la seconde on peut aussi le comprendre avec de la chance ou de la pratique, mais quel genre de conscience alternative avez-vous faut-il avoir pour résoudre le troisième exemple ? En fait, n'ayez pas peur. La technique que nous avons utilisée lors du calcul de la dernière primitive est appelée "décomposition d'une fonction en sa forme la plus simple", et c'est une technique très sérieuse, et une leçon vidéo séparée lui sera consacrée.

En attendant, je propose de revenir sur ce que nous venons d'étudier, à savoir les fonctions exponentielles et de compliquer quelque peu les problèmes avec leur contenu.

Problèmes plus complexes pour résoudre des fonctions exponentielles primitives

Tâche n°1

Notons ce qui suit :

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Pour trouver la primitive de cette expression, utilisez simplement la formule standard - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Dans notre cas, la primitive sera comme ceci :

Bien sûr, comparé au modèle que nous venons de résoudre, celui-ci semble plus simple.

Problème n°2

Encore une fois, il est facile de voir que cette fonction peut facilement être divisée en deux termes distincts – deux fractions distinctes. Réécrivons :

Reste à trouver la primitive de chacun de ces termes à l'aide de la formule décrite ci-dessus :

Malgré la grande complexité apparente fonctions exponentielles Par rapport aux calculs de puissance, le volume global des calculs et des calculs s'est avéré beaucoup plus simple.

Bien entendu, pour les étudiants avertis, ce dont nous venons de discuter (surtout dans le contexte de ce dont nous avons discuté précédemment) peut sembler des expressions élémentaires. Cependant, en choisissant ces deux problèmes pour la leçon vidéo d'aujourd'hui, je ne me suis pas fixé pour objectif de vous présenter une autre technique complexe et sophistiquée - tout ce que je voulais vous montrer, c'est qu'il ne faut pas avoir peur d'utiliser des techniques d'algèbre standard pour transformer des fonctions originales. .

Utiliser une technique "secrète"

En conclusion, j'aimerais aborder une autre technique intéressante, qui, d'une part, va au-delà de ce dont nous avons principalement discuté aujourd'hui, mais, d'autre part, elle n'est, premièrement, pas du tout compliquée, c'est-à-dire même les étudiants débutants peuvent le maîtriser et, deuxièmement, on le retrouve assez souvent dans toutes sortes de tests et de tests. travail indépendant, c'est à dire. sa connaissance sera très utile en complément de la connaissance du tableau des primitives.

Tâche n°1

Évidemment, nous avons quelque chose de très similaire à une fonction puissance. Que devons-nous faire dans ce cas ? Pensons-y : $x-5$ n'est pas si différent de $x$ - ils ont juste ajouté $-5$. Écrivons-le ainsi :

\[((x)^(4))\à \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Essayons de trouver la dérivée de $((\left(x-5 \right))^(5))$ :

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Cela implique:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ à droite))^(\prime ))\]

Il n’y a pas une telle valeur dans le tableau, nous avons donc maintenant dérivé cette formule nous-mêmes en utilisant la formule primitive standard pour une fonction puissance. Écrivons la réponse comme ceci :

Problème n°2

De nombreux étudiants qui examinent la première solution peuvent penser que tout est très simple : il suffit de remplacer $x$ dans la fonction puissance par une expression linéaire et tout se mettra en place. Malheureusement, tout n'est pas si simple, et maintenant nous allons le voir.

Par analogie avec la première expression, on écrit ce qui suit :

\[((x)^(9))\à \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

En revenant à notre dérivée, nous pouvons écrire :

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Cela suit immédiatement :

Nuances de la solution

Attention : si rien n'a essentiellement changé la dernière fois, alors dans le second cas, au lieu de -10$, c'est -30$ qui sont apparus. Quelle est la différence entre -10$ et -30$ ? Évidemment, par un facteur de -3$. Question : d'où vient-il ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir qu'il a été obtenu à la suite du calcul de la dérivée d'une fonction complexe - le coefficient qui était de $x$ apparaît dans la primitive ci-dessous. C'est très règle importante, dont je n’avais initialement pas prévu de discuter du tout dans le didacticiel vidéo d’aujourd’hui, mais sans cela, la présentation des primitives tabulaires serait incomplète.

Alors recommençons. Soit notre fonction de pouvoir principale :

\[((x)^(n))\à \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Maintenant, au lieu de $x$, remplaçons l'expression $kx+b$. Que se passera-t-il alors ? Nous devons trouver les éléments suivants :

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Sur quelle base prétendons-nous cela ? Très simple. Trouvons la dérivée de la construction écrite ci-dessus :

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

C'est la même expression qui existait à l'origine. Ainsi, cette formule est également correcte, et elle peut être utilisée pour compléter le tableau des primitives, ou il vaut mieux simplement mémoriser l'intégralité du tableau.

Conclusions du « secret : technique :

• Les deux fonctions que nous venons d'examiner peuvent, en fait, être réduites aux primitives indiquées dans le tableau en élargissant les degrés, mais si nous pouvons plus ou moins gérer le quatrième degré, alors je ne ferais pas le neuvième degré à tous ont osé le révéler.
• Si nous élargissions les degrés, nous obtiendrions un tel volume de calculs qu'une tâche simple nous prendrait insuffisamment un grand nombre de temps.
• C'est pourquoi de tels problèmes, qui contiennent des expressions linéaires, n'ont pas besoin d'être résolus « à corps perdu ». Dès que vous rencontrez une primitive qui ne diffère de celle du tableau que par la présence de l'expression $kx+b$ à l'intérieur, souvenez-vous immédiatement de la formule écrite ci-dessus, remplacez-la dans la primitive de votre tableau, et tout se passera bien plus rapide et plus facile.

Naturellement, en raison de la complexité et du sérieux de cette technique, nous y reviendrons plusieurs fois dans les prochaines leçons vidéo, mais c'est tout pour aujourd'hui. J'espère que cette leçon aidera vraiment les étudiants qui souhaitent comprendre les primitives et l'intégration.

Dans un document antérieur, la question de la recherche du dérivé a été examinée et son diverses applications: calculer le coefficient angulaire d'une tangente à un graphe, résoudre des problèmes d'optimisation, étudier les fonctions de monotonie et d'extrema. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Image 1.

Le problème de trouver la vitesse instantanée $v(t)$ en utilisant la dérivée le long d'un chemin parcouru précédemment connu, exprimé par la fonction $s(t)$, a également été envisagé.

Figure 2.

Le problème inverse est également très courant, lorsqu'il faut trouver le chemin $s(t)$ parcouru par un instant $t$, connaissant la vitesse du point $v(t)$. Si l'on rappelle, la vitesse instantanée $v(t)$ se trouve comme la dérivée de la fonction chemin $s(t)$ : $v(t)=s'(t)$. Cela signifie que pour résoudre le problème inverse, c'est-à-dire calculer le chemin, vous devez trouver une fonction dont la dérivée sera égale à la fonction vitesse. Mais on sait que la dérivée du chemin est la vitesse, soit : $s'(t) = v(t)$. La vitesse est égale à l'accélération multipliée par le temps : $v=at$. Il est facile de déterminer que la fonction de chemin souhaitée aura la forme : $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Mais ce n’est pas une solution tout à fait complète. Solution complète aura la forme : $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, où $C$ est une constante. La raison pour laquelle il en est ainsi sera discutée plus loin. Pour l'instant, vérifions l'exactitude de la solution trouvée : $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =à=v( t)$.

Il convient de noter que trouver un chemin basé sur la vitesse est signification physique primitive.

La fonction résultante $s(t)$ est appelée la primitive de la fonction $v(t)$. Assez intéressant et nom inhabituel, n'est-ce pas. Dedans se trouve a beaucoup de sens, ce qui explique l'essence ce concept et conduit à sa compréhension. Vous remarquerez qu'il contient deux mots « premier » et « image ». Ils parlent pour eux-mêmes. Autrement dit, c'est la fonction qui est la fonction initiale de la dérivée que nous avons. Et en utilisant cette dérivée, nous recherchons la fonction qui était au début, était « première », « première image », c'est-à-dire primitive. On l'appelle parfois aussi fonction primitive ou primitive.

Comme nous le savons déjà, le processus de recherche de la dérivée est appelé différenciation. Et le processus de recherche de la primitive est appelé intégration. L’opération d’intégration est l’opération inverse de l’opération de différenciation. L’inverse est également vrai.

Définition. Une primitive d'une fonction $f(x)$ sur un certain intervalle est une fonction $F(x)$ dont la dérivée est égale à cette fonction $f(x)$ pour tous les $x$ de l'intervalle spécifié : $F' (x)=f (x)$.

Quelqu'un peut avoir une question : d'où viennent $F(x)$ et $f(x)$ dans la définition, si au départ on parlait de $s(t)$ et $v(t)$. Le fait est que $s(t)$ et $v(t)$ sont des cas particuliers de désignation de fonction qui ont une signification spécifique dans ce cas, c'est-à-dire qu'ils sont respectivement fonction du temps et de la vitesse. C'est la même chose avec la variable $t$ : elle indique le temps. Et $f$ et $x$ sont l'option traditionnelle désignation générale fonctions et variables respectivement. Il convient de prêter une attention particulière à la notation de la primitive $F(x)$. Tout d’abord, $F$ est le capital. Les dérivés sont désignés en majuscule. Deuxièmement, les lettres sont les mêmes : $F$ et $f$. Autrement dit, pour la fonction $g(x)$, la primitive sera notée $G(x)$, pour $z(x)$ – par $Z(x)$. Quelle que soit la notation, les règles pour trouver une fonction primitive sont toujours les mêmes.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1. Montrer que la fonction $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ est une primitive de la fonction $f(x)=\cos5x$.

Pour le prouver, nous utiliserons la définition, ou plutôt le fait que $F'(x)=f(x)$, et trouverons la dérivée de la fonction $F(x)$ : $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Cela signifie que $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ est la primitive de $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Exemple 2. Trouvez quelles fonctions correspondent aux primitives suivantes : a) $F(z)=\tg z$ ; b) $G(l) = \sin l$.

Pour trouver les fonctions recherchées, calculons leurs dérivées :
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$ ;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

Exemple 3. Quelle sera la primitive de $f(x)=0$ ?
Utilisons la définition. Pensons à quelle fonction peut avoir une dérivée égale à $0$. En rappelant le tableau des dérivées, nous constatons que toute constante aura une telle dérivée. Nous trouvons que la primitive que nous recherchons est : $F(x)= C$.

La solution résultante peut être expliquée géométriquement et physiquement. Géométriquement, cela signifie que la tangente au graphique $y=F(x)$ est horizontale en chaque point de ce graphique et coïncide donc avec l'axe $Ox$. Physiquement, cela s'explique par le fait qu'un point avec une vitesse égale à zéro reste en place, c'est-à-dire que le chemin qu'il a parcouru est inchangé. Sur cette base, nous pouvons formuler le théorème suivant.

Théorème. (Signe de constance des fonctions). Si sur un intervalle $F'(x) = 0$, alors la fonction $F(x)$ sur cet intervalle est constante.

Exemple 4. Déterminer quelles fonctions sont des primitives de a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ ; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$ ; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$ ; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, où $a$ est un nombre.
En utilisant la définition d'une primitive, nous concluons que pour résoudre ce problème, nous devons calculer les dérivées des données que nous avons dans l'original. différentes fonctions. Lors du calcul, n'oubliez pas que la dérivée d'une constante, c'est-à-dire d'un nombre quelconque, est égale à zéro.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$ ;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$ ;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$ ;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Que voit-on ? Plusieurs fonctions différentes sont des primitives d'une même fonction. Cela suggère que toute fonction a une infinité de primitives, et elles ont la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante arbitraire. Autrement dit, l’opération d’intégration est multivaluée, contrairement à l’opération de différenciation. Sur cette base, formulons un théorème qui décrit la propriété principale des primitives.

Théorème. (La propriété principale des primitives). Soit les fonctions $F_1$ et $F_2$ des primitives de la fonction $f(x)$ sur un certain intervalle. Ensuite, pour toutes les valeurs de cet intervalle, l'égalité suivante est vraie : $F_2=F_1+C$, où $C$ est une constante.

Le fait de la présence d’un nombre infini de primitives peut être interprété géométriquement. En utilisant la translation parallèle le long de l'axe $Oy$, on peut obtenir l'un de l'autre les graphiques de deux primitives quelconques pour $f(x)$. C'est la signification géométrique de la primitive.

Il est très important de faire attention au fait qu'en choisissant la constante $C$, vous pouvez vous assurer que le graphique de la primitive passe par un certain point.

Figure 3.

Exemple 5. Trouvez la primitive de la fonction $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ dont le graphique passe par le point $(3; 1)$.
Trouvons d'abord toutes les primitives de $f(x)$ : $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Ensuite, nous trouverons un nombre C pour lequel le graphe $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ passera par le point $(3; 1)$. Pour ce faire, nous substituons les coordonnées du point dans l'équation graphique et la résolvons pour $C$ :
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Nous avons obtenu un graphe $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, qui correspond à la primitive $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tableau des primitives

Un tableau de formules pour trouver des primitives peut être compilé à l'aide de formules pour trouver des dérivées.

Tableau des primitives

Les fonctions	Primitifs
$0$	$CAN$
$1$	$x+C$
$a\en R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\péché x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsinx+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Vous pouvez vérifier l'exactitude du tableau de la manière suivante : pour chaque ensemble de primitives situées dans la colonne de droite, trouvez la dérivée, ce qui donnera les fonctions correspondantes dans la colonne de gauche.

Quelques règles pour trouver des primitives

Comme on le sait, de nombreuses fonctions ont une forme plus complexe que celles indiquées dans le tableau des primitives et peuvent être n'importe quelle combinaison arbitraire de sommes et de produits de fonctions de ce tableau. Et ici la question se pose : comment calculer les primitives de telles fonctions. Par exemple, à partir du tableau, nous savons comment calculer les primitives de $x^3$, $\sin x$ et $10$. Comment, par exemple, calculer la primitive $x^3-10\sin x$ ? Pour l’avenir, il convient de noter qu’il sera égal à $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Si $F(x)$ est une primitive pour $f(x)$, $G(x)$ pour $g(x)$, alors pour $f(x)+g(x)$ la primitive sera égal à $ F(x)+G(x)$.
2. Si $F(x)$ est une primitive pour $f(x)$ et $a$ est une constante, alors pour $af(x)$ la primitive est $aF(x)$.
3. Si pour $f(x)$ la primitive est $F(x)$, $a$ et $b$ sont des constantes, alors $\frac(1)(a) F(ax+b)$ est la primitive pour $f (ax+b)$.
En utilisant les règles obtenues, nous pouvons élargir le tableau des primitives.

Les fonctions	Primitifs
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Exemple 5. Trouver des primitives pour :

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$ ;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$ ;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+$CAN ;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$ ;

c) 5 $\sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$ ;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Le cours d'algèbre scolaire comprend l'intégration et la différenciation. Pour étudier ce matériel, vous avez besoin tableaux de dérivées et d'intégrales. Afin de comprendre comment les utiliser, vous devez définir les termes de base.

Dérivé f(x) – caractéristique de l’intensité du changement dans la fonction primitive F(x) en tout point du graphique. Il exprime le rapport limite des incréments d'une fonction et de son argument, qui tend vers zéro. Si une fonction a une dérivée finie en tout point, alors elle est dérivable. Calculer la dérivée est une différenciation.

Intégral∫ est l'inverse de la dérivée, qui exprime la taille de l'aire d'une certaine partie du graphique. Le processus d'intégration consiste à trouver la fonction primitive.

Une même fonction peut avoir plusieurs primitives. Par exemple, x^2. Les principales primitives sont x^3/3 ; x^3/3+1. Le dernier chiffre est désigné par la lettre C et la formule est la suivante :

Si C représente une valeur arbitraire, l'intégrale est indéfinie, si spécifique, elle est définie.

Tableaux de fonctions dérivées et tableaux intégraux vous aidera à faire face rapidement et correctement à des tâches mathématiques complexes. Ils incluent les valeurs les plus couramment utilisées, de sorte que les étudiants n'ont pas besoin de mémoriser beaucoup de formules.

Tableau des fonctions dérivées

À matériel nécessaireétaient toujours à portée de main, vous pouvez télécharger un tableau des formules dérivées . Il contient des formules de calcul des dérivées des fonctions élémentaires de base :

• trigonométrique;
• logarithmique;
• calme;
• exponentiel.

De plus, il existe un spécial tableau des dérivées de fonctions complexes. Il contient également des formules pour le produit de fonctions, leur somme et leur quotient.

Tableau des intégrales indéfinies et définies

Pour effectuer rapidement et correctement les tâches d'intégration, vous pouvez télécharger les tableaux d'intégrales, qui contient toutes les formules les plus utilisées. Ils sont constitués de deux colonnes : la première contient formules mathématiques, la seconde est constituée d'explications écrites.

Les tableaux comprennent intégrales de base les fonctions suivantes :

• rationnel;
• exponentiel;
• logarithmique;
• irrationnel;
• trigonométrique;
• hyperbolique.

De plus, vous pouvez télécharger un tableau d'intégrales indéfinies.

Aide-mémoire avec tableaux d'intégrales et de dérivées

De nombreux enseignants demandent aux élèves de mémoriser des formules complexes. Le moyen le plus simple de mémoriser est une pratique constante, et pour vous assurer que le matériel nécessaire est à portée de main, vous devez les imprimer.

Aide-mémoire avec tables dérivées et les intégrales vous aideront à mémoriser rapidement toutes les formules nécessaires et à réussir les examens. Pour le rendre compact et facile à utiliser, vous devez choisir le format A5 - une demi-feuille ordinaire.