La méthode de détermination d'un extremum conditionnel commence par la construction d'une fonction de Lagrange auxiliaire qui, dans la région des solutions réalisables, atteint un maximum pour les mêmes valeurs de variables X 1 , X 2 , ..., X n , qui est la même que la fonction objectif z . Laissez le problème de la détermination de l'extremum conditionnel de la fonction être résolu z = f(X) sous restrictions φ je ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, je = 1, 2, ..., m , m < n

Composons une fonction

qui est appelée Fonction de Lagrange. X , - facteurs constants ( Multiplicateurs de Lagrange). A noter que les multiplicateurs de Lagrange peuvent avoir une signification économique. Si f(x 1 , X 2 , ..., X n ) - des revenus conformes au plan X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) , et la fonction φ je (X 1 , X 2 , ..., X n ) - les coûts de la ième ressource correspondant à ce plan, puis X , - prix (évaluation) de la ième ressource, caractérisant l'évolution de la valeur extrême fonction objectif en fonction de l'évolution de la taille de la ième ressource (estimation marginale). L(X) - fonction n+m variables (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . La détermination des points stationnaires de cette fonction conduit à résoudre le système d'équations

C'est facile de voir ça . Ainsi, la tâche de trouver l'extremum conditionnel de la fonction z = f(X) se réduit à trouver l’extremum local de la fonction L(X) . Si un point stationnaire est trouvé, alors la question de l'existence d'un extremum dans les cas les plus simples est résolue sur la base de conditions suffisantes pour l'extremum - étudier le signe du deuxième différentiel d 2 L(X) en un point stationnaire, à condition que la variable incrémente Δx je - reliés par des relations

obtenu en différenciant les équations de couplage.

Résoudre un système d'équations non linéaires à deux inconnues à l'aide de l'outil Solution Finder

Paramètres Trouver une solution permet de trouver une solution à un système d'équations non linéaires à deux inconnues :

Où
- fonction non linéaire des variables X Et oui ,
- constante arbitraire.

On sait que le couple ( X , oui ) est une solution du système d'équations (10) si et seulement si c'est une solution de l'équation suivante à deux inconnues :

AVEC par contre, la solution du système (10) est les points d'intersection de deux courbes : F ] (X, oui) = C Et F 2 (x, y) = C 2 en surface XOOui.

Cela conduit à une méthode permettant de trouver les racines du système. équations non linéaires :

Déterminer (au moins approximativement) l'intervalle d'existence d'une solution au système d'équations (10) ou à l'équation (11). Ici, il faut prendre en compte le type d'équations incluses dans le système, le domaine de définition de chacune de leurs équations, etc. Parfois, la sélection d'une première approximation de la solution est utilisée ;

Calculez la solution de l'équation (11) pour les variables x et y sur l'intervalle sélectionné, ou construisez des graphiques de fonctions F 1 (X, oui) = C, et F 2 (x,y) = C 2 (système (10)).

Localisez les racines supposées du système d'équations - trouvez plusieurs valeurs minimales dans le tableau répertoriant les racines de l'équation (11), ou déterminez les points d'intersection des courbes incluses dans le système (10).

4. Trouvez les racines du système d'équations (10) à l'aide du module complémentaire Trouver une solution.

MÉTHODE LAGRANGE

Méthode pour réduire une forme quadratique à une somme de carrés, indiquée en 1759 par J. Lagrange. Qu'il soit donné

à partir de variables x 0 , X 1 ,..., xp. avec des coefficients du terrain k caractéristiques Il est nécessaire d'amener cette forme à la forme canonique. esprit

en utilisant non dégénéré transformation linéaire variables. L. m. se compose des éléments suivants. On peut supposer que tous les coefficients de la forme (1) ne sont pas égaux à zéro. Deux cas sont donc possibles.

1) Pour certains g, diagonale Alors

où la forme f 1 (x) ne contient pas de variable xg. 2) Si tout Mais Que

où la forme f 2 (x) ne contient pas deux variables x g Et xh. Les formes sous les signes carrés en (4) sont linéairement indépendantes. En appliquant des transformations de la forme (3) et (4), la forme (1) après un nombre fini d'étapes est réduite à la somme de carrés de valeurs linéairement indépendantes formes linéaires. En utilisant les dérivées partielles, les formules (3) et (4) peuvent être écrites sous la forme

Allumé.: G a n t m a k h e r F. R., Théorie des matrices, 2e éd., M., 1966 ; K u r osh A. G., Cours d'algèbre supérieure, 11e éd., M., 1975 ; Alexandrov P. S., Conférences sur la géométrie analytique..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Voyez ce qu'est la « MÉTHODE LAGRANGE » dans d'autres dictionnaires :

méthode Lagrange- La méthode de Lagrange est une méthode permettant de résoudre un certain nombre de classes de problèmes de programmation mathématique en trouvant le point selle (x*, λ*) de la fonction de Lagrange, ce qui est obtenu en assimilant à zéro les dérivées partielles de cette fonction par rapport à ... ... Dictionnaire économique et mathématique

méthode Lagrange- Une méthode pour résoudre un certain nombre de classes de problèmes de programmation mathématique en trouvant le point selle (x*, ?*) de la fonction de Lagrange, ce qui est obtenu en assimilant les dérivées partielles de cette fonction par rapport à xi et ?i à zéro. . Voir Lagrangien. )