La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A si A*A -1 = E, où E est la matrice identité d'ordre n. Une matrice inverse ne peut exister que pour les matrices carrées.
Objet de la prestation. Grâce à ce service en ligne, vous pouvez trouver des compléments algébriques, une matrice transposée A T, une matrice alliée et une matrice inverse. La décision s'effectue directement sur le site Internet (en ligne) et est gratuite. Les résultats du calcul sont présentés dans un rapport au format Word et Excel (c'est-à-dire qu'il est possible de vérifier la solution). voir exemple de conception.
Instructions. Pour obtenir une solution, il faut préciser la dimension de la matrice. Ensuite, remplissez la matrice A dans la nouvelle boîte de dialogue.
Voir aussi Matrice inverse utilisant la méthode Jordano-Gauss
Algorithme pour trouver la matrice inverseExemple n°1. Écrivons la matrice sous la forme :
| A-1 = |
|
Un cas particulier: L'inverse de la matrice identité E est la matrice identité E.
En juillet 2020, la NASA lance une expédition vers Mars. Le vaisseau spatial livrera à Mars un support électronique avec les noms de tous les participants inscrits à l'expédition.
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Un autre réveillon du Nouvel An... temps glacial et flocons de neige sur les vitres... Tout cela m'a incité à écrire à nouveau sur... les fractales, et ce que Wolfram Alpha en sait. Il existe un article intéressant sur ce sujet, qui contient des exemples de structures fractales bidimensionnelles. Nous examinerons ici des exemples plus complexes de fractales tridimensionnelles.
Une fractale peut être visuellement représentée (décrite) comme une figure ou un corps géométrique (ce qui signifie que les deux sont un ensemble, dans ce cas, un ensemble de points), dont les détails ont la même forme que la figure originale elle-même. C'est-à-dire qu'il s'agit d'une structure auto-similaire, dont l'examen des détails lors d'un grossissement nous permettra de voir la même forme que sans grossissement. Alors que dans le cas d’une figure géométrique ordinaire (et non d’une fractale), lors du grossissement, nous verrons des détails qui ont une forme plus simple que la figure originale elle-même. Par exemple, avec un grossissement suffisamment élevé, une partie d’une ellipse ressemble à un segment de ligne droite. Cela ne se produit pas avec les fractales : à chaque augmentation de celles-ci, nous reverrons la même forme complexe, qui se répétera encore et encore à chaque augmentation.
Benoit Mandelbrot, le fondateur de la science des fractales, a écrit dans son article Fractals and Art in the Name of Science : « Les fractales sont des formes géométriques aussi complexes dans leurs détails que dans leur forme générale. sera agrandi à la dimension de l'ensemble, il apparaîtra comme un tout, soit exactement, soit peut-être avec une légère déformation.
Nous continuerons ici le sujet des opérations sur les matrices commencé dans la première partie et examinerons quelques exemples dans lesquels plusieurs opérations devront être appliquées à la fois.
Élever une matrice à une puissance.Soit k un entier non négatif. Pour toute matrice carrée $A_(n\times n)$ nous avons : $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; times) $$
Dans ce cas, nous supposons que $A^0=E$, où $E$ est la matrice identité de l'ordre correspondant.
Exemple n°4
Étant donné une matrice $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Trouvez les matrices $A^2$ et $A^6$.
D'après la définition, $A^2=A\cdot A$, c'est-à-dire pour trouver $A^2$ il suffit de multiplier la matrice $A$ par elle-même. L'opération de multiplication matricielle a été abordée dans la première partie du sujet, nous allons donc simplement écrire ici le processus de solution sans explications détaillées :
$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$
Pour trouver la matrice $A^6$ nous avons deux options. Première option : il est trivial de continuer à multiplier $A^2$ par la matrice $A$ :
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
Cependant, vous pouvez emprunter une voie légèrement plus simple, en utilisant la propriété d'associativité de la multiplication matricielle. Plaçons des parenthèses dans l'expression pour $A^6$ :
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$
Si la résolution de la première méthode nécessitait quatre opérations de multiplication, alors la seconde méthode n’en nécessiterait que deux. Passons donc à la deuxième voie :
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ start(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( tableau) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$
Répondre: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.
Exemple n°5
Matrices données $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (tableau) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ à droite)$. Trouvez la matrice $D=2AB-3C^T+7E$.
Nous commençons à calculer la matrice $D$ en trouvant le résultat du produit $AB$. Les matrices $A$ et $B$ peuvent être multipliées, puisque le nombre de colonnes de la matrice $A$ est égal au nombre de lignes de la matrice $B$. Notons $F=AB$. Dans ce cas, la matrice $F$ aura trois colonnes et trois lignes, soit sera carré (si cette conclusion ne semble pas évidente, voir la description de la multiplication matricielle dans la première partie de ce sujet). Trouvons la matrice $F$ en calculant tous ses éléments :
$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(array) \right)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(aligné) $$
Donc $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Allons plus loin. La matrice $C^T$ est la matrice transposée de la matrice $C$, c'est-à-dire $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Quant à la matrice $E$, c'est la matrice identité. Dans ce cas, l'ordre de cette matrice est trois, c'est-à-dire $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
En principe, on peut continuer à avancer étape par étape, mais il vaut mieux considérer l'expression restante dans son ensemble, sans se laisser distraire par des actions auxiliaires. En fait, il ne nous reste que les opérations de multiplication de matrices par un nombre, ainsi que les opérations d'addition et de soustraction.
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ droite)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$
Multiplions les matrices du côté droit de l'égalité par les nombres correspondants (c'est-à-dire par 2, 3 et 7) :
$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ commencer (tableau) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(tableau) \right) $$
Effectuons les dernières étapes : soustraction et addition :
$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (tableau) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right). $$
Problème résolu, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .
Répondre: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.
Exemple n°6
Soit $f(x)=2x^2+3x-9$ et la matrice $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Trouvez la valeur de $f(A)$.
Si $f(x)=2x^2+3x-9$, alors $f(A)$ est compris comme la matrice :
$$f(A)=2A^2+3A-9E. $$
C'est ainsi qu'est défini un polynôme à partir d'une matrice. Nous devons donc remplacer la matrice $A$ dans l'expression pour $f(A)$ et obtenir le résultat. Puisque toutes les actions ont été discutées en détail plus tôt, je vais simplement donner ici la solution. Si le processus d'exécution de l'opération $A^2=A\cdot A$ n'est pas clair pour vous, alors je vous conseille de regarder la description de la multiplication matricielle dans la première partie de cette rubrique.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$
Répondre: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.
Il est à noter que seules des matrices carrées peuvent être utilisées pour cette opération. Un nombre égal de lignes et de colonnes est une condition préalable pour élever une matrice à une puissance. Lors du calcul, la matrice sera multipliée par elle-même le nombre de fois requis.
Ce calculateur en ligne est conçu pour effectuer l'opération d'élévation d'une matrice à une puissance. Grâce à son utilisation, vous pourrez non seulement faire face rapidement à cette tâche, mais également avoir une idée claire et détaillée de l'avancement du calcul lui-même. Cela permettra de mieux consolider le matériel obtenu en théorie. Après avoir vu devant vous un algorithme de calcul détaillé, vous comprendrez mieux toutes ses subtilités et pourrez par la suite éviter les erreurs dans les calculs manuels. De plus, cela ne fait jamais de mal de revérifier vos calculs, et il est également préférable de le faire ici.
Afin d’élever une matrice à une puissance en ligne, vous aurez besoin d’un certain nombre d’étapes simples. Tout d'abord, précisez la taille de la matrice en cliquant sur les icônes « + » ou « - » à gauche de celle-ci. Entrez ensuite les nombres dans le champ matriciel. Vous devez également indiquer la puissance à laquelle la matrice est élevée. Et puis il ne vous reste plus qu'à cliquer sur le bouton « Calculer » en bas du champ. Le résultat obtenu sera fiable et précis si vous avez saisi soigneusement et correctement toutes les valeurs. Parallèlement, vous recevrez une transcription détaillée de la solution.
Quelques propriétés des opérations sur les matrices.Expressions matricielles
Et maintenant, il y aura une suite du sujet, dans laquelle nous examinerons non seulement du nouveau matériel, mais également élaborerons des actions avec des matrices.
Quelques propriétés des opérations sur les matricesIl existe de nombreuses propriétés liées aux opérations avec des matrices ; dans le même Wikipédia, vous pouvez admirer l'ordre ordonné des règles correspondantes. Cependant, dans la pratique, de nombreuses propriétés sont en un certain sens « mortes », puisque seules quelques-unes d’entre elles sont utilisées pour résoudre des problèmes réels. Mon objectif est d'examiner l'application pratique des propriétés avec des exemples spécifiques, et si vous avez besoin d'une théorie rigoureuse, veuillez utiliser une autre source d'informations.
Examinons quelques exceptions à la règle qui seront nécessaires pour accomplir des tâches pratiques.
Si une matrice carrée a une matrice inverse, alors leur multiplication est commutative : 
Une matrice identité est une matrice carrée dont diagonale principale les unités sont localisées et les éléments restants sont égaux à zéro. Par exemple : , etc.
Dans ce cas, la propriété suivante est vraie : si une matrice arbitraire est multipliée à gauche ou à droite par une matrice identité de tailles adaptées, le résultat sera la matrice d'origine :
Comme vous pouvez le voir, la commutativité de la multiplication matricielle a également lieu ici.
Prenons une matrice, enfin, disons, la matrice du problème précédent : 
.
Les personnes intéressées peuvent vérifier et s’assurer que : 
La matrice unitaire des matrices est un analogue de l'unité numérique des nombres, ce qui ressort particulièrement clairement des exemples qui viennent d'être discutés.
Commutativité d'un facteur numérique par rapport à la multiplication matriciellePour les matrices et les nombres réels, la propriété suivante est vraie : 
Autrement dit, le facteur numérique peut (et doit) être avancé afin qu'il « n'interfère pas » avec la multiplication des matrices.
Note : d'une manière générale, la formulation de la propriété est incomplète - le « lambda » peut être placé n'importe où entre les matrices, même à la fin. La règle reste valable si trois matrices ou plus sont multipliées.
Exemple 4
Calculer le produit 
Solution :
(1) Selon la propriété 
faire avancer le facteur numérique. Les matrices elles-mêmes ne peuvent pas être réorganisées !
(2) – (3) Effectuer une multiplication matricielle.
(4) Ici, vous pouvez diviser chaque nombre par 10, mais des fractions décimales apparaîtront alors parmi les éléments de la matrice, ce qui n'est pas bon. Cependant, on remarque que tous les nombres de la matrice sont divisibles par 5, on multiplie donc chaque élément par .
Répondre : 
Une petite mascarade à résoudre par vous-même :
Exemple 5
Calculer si 
La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.
Quelle technique est importante pour résoudre de tels exemples ? Trouvons les chiffres le dernier de tous .
Attachons un autre wagon à la locomotive :
Comment multiplier trois matrices ?Tout d’abord, QUEL devrait être le résultat de la multiplication de trois matrices ? Un chat ne donnera pas naissance à une souris. Si la multiplication matricielle est réalisable, alors le résultat sera également une matrice. Hmmm, eh bien, mon professeur d'algèbre ne voit pas comment j'explique la fermeture de la structure algébrique par rapport à ses éléments =)
Le produit de trois matrices peut être calculé de deux manières :
1) trouver puis multiplier par la matrice « ce » : ;
2) soit d'abord trouver , puis multiplier .
Les résultats coïncideront certainement, et en théorie cette propriété est appelée associativité de la multiplication matricielle :
Exemple 6
Multiplier les matrices de deux manières 
L'algorithme de solution est en deux étapes : on trouve le produit de deux matrices, puis à nouveau on trouve le produit de deux matrices.
1) Utilisez la formule
Première action :
Deuxième acte :
2) Utilisez la formule
Première action :
Deuxième acte :
Répondre : 
La première solution est bien sûr plus familière et standard, où « tout semble être en ordre ». Au fait, concernant la commande. Dans la tâche considérée, l'illusion surgit souvent que nous parlons d'une sorte de permutation de matrices. Ils ne sont pas là. Je vous rappelle encore que dans le cas général il est IMPOSSIBLE DE RÉRANGER LES MATRICES. Ainsi, dans le deuxième paragraphe, dans la deuxième étape, nous effectuons une multiplication, mais en aucun cas nous ne le faisons . Avec des nombres ordinaires, un tel nombre fonctionnerait, mais pas avec des matrices.
La propriété de multiplication associative est vraie non seulement pour les carrés, mais aussi pour les matrices arbitraires - tant qu'elles sont multipliées :
Exemple 7
Trouver le produit de trois matrices 
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Dans l'exemple de solution, les calculs sont effectués de deux manières : analyser quel chemin est le plus rentable et le plus court.
La propriété d'associativité de la multiplication matricielle s'applique également à un plus grand nombre de facteurs.
Il est maintenant temps de revenir aux puissances des matrices. Le carré de la matrice est considéré au tout début et la question à l'ordre du jour est :
Comment cuber une matrice et des puissances supérieures ?Ces opérations sont également définies uniquement pour les matrices carrées. Pour cuber une matrice carrée, vous devez calculer le produit :
En fait, il s'agit d'un cas particulier de multiplication de trois matrices, selon la propriété d'associativité de la multiplication matricielle : . Et une matrice multipliée par elle-même est le carré de la matrice :
Ainsi, nous obtenons la formule de travail :
C'est-à-dire que la tâche est effectuée en deux étapes : d'abord, la matrice doit être mise au carré, puis la matrice résultante doit être multipliée par la matrice.
Exemple 8
Construisez la matrice dans un cube.
C'est un petit problème à résoudre par vous-même.
L'élévation d'une matrice à la puissance quatrième s'effectue de manière naturelle : 
En utilisant l’associativité de la multiplication matricielle, nous dérivons deux formules de travail. Premièrement : – c'est le produit de trois matrices.
1) . En d'autres termes, nous trouvons d'abord , puis nous le multiplions par « être » - nous obtenons un cube, et enfin, nous effectuons à nouveau la multiplication - il y aura une quatrième puissance.
2) Mais il existe une solution plus courte : . Autrement dit, dans un premier temps, nous trouvons un carré et, en contournant le cube, effectuons une multiplication
Tâche supplémentaire pour l'exemple 8 :
Élevez la matrice à la puissance quatrième.
Comme je viens de le dire, cela peut être fait de deux manières :
1) Puisque le cube est connu, alors on effectue une multiplication.
2) Cependant, si selon les conditions du problème il faut construire une matrice seulement à la quatrième puissance, alors il est avantageux de raccourcir le chemin - trouvez le carré de la matrice et utilisez la formule.
Les deux solutions et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.
De même, la matrice est élevée aux puissances cinquième et supérieures. Par expérience pratique, je peux dire que je rencontre parfois des exemples d'élévation à la puissance 4, mais je ne me souviens de rien de la puissance cinquième. Mais juste au cas où, je donnerai l'algorithme optimal :
1) trouver ;
2) trouver ;
3) élever la matrice à la puissance cinq : .
Ce sont peut-être toutes les propriétés fondamentales des opérations matricielles qui peuvent être utiles dans des problèmes pratiques.
Dans la deuxième partie de la leçon, une foule tout aussi colorée est attendue.
Expressions matriciellesRépétons les expressions scolaires habituelles avec des chiffres. Une expression numérique se compose de nombres, de symboles mathématiques et de parenthèses, par exemple : 
. Lors du calcul, la priorité algébrique familière s'applique : d'abord, supports, puis exécuté exponentiation/enracinement, Alors multiplication/division et pour couronner le tout - addition soustraction.
Si une expression numérique a un sens, alors le résultat de son évaluation est un nombre, par exemple :
Les expressions matricielles fonctionnent presque de la même manière ! A la différence que les personnages principaux sont des matrices. Plus quelques opérations matricielles spécifiques, telles que la transposition et la recherche de l'inverse d'une matrice.
Considérons l'expression matricielle 
, où se trouvent quelques matrices. Dans cette expression matricielle, trois termes et opérations d’addition/soustraction sont effectués en dernier.
Dans le premier terme, il faut d'abord transposer la matrice « être » : , puis effectuer la multiplication et inscrire le « deux » dans la matrice résultante. Notez que l'opération de transposition a une priorité plus élevée que la multiplication. Les parenthèses, comme dans les expressions numériques, changent l'ordre des actions : - ici la multiplication est effectuée en premier, puis la matrice résultante est transposée et multipliée par 2.
Au deuxième terme, la multiplication matricielle est effectuée en premier et la matrice inverse est trouvée à partir du produit. Si vous supprimez les parenthèses : , vous devez d'abord trouver la matrice inverse, puis multiplier les matrices : . La recherche de l'inverse d'une matrice a également priorité sur la multiplication.
Avec le troisième terme, tout est évident : on élève la matrice en cube et on entre le « cinq » dans la matrice résultante.
Si une expression matricielle a un sens, alors le résultat de son évaluation est une matrice.
Toutes les tâches proviendront de tests réels, et nous commencerons par la plus simple :
Exemple 9
Matrices données 
. Trouver:
Solution : l'ordre des actions est évident, on effectue d'abord la multiplication, puis l'addition.
L'addition ne peut pas être effectuée car les matrices sont de tailles différentes.
Ne soyez pas surpris : des actions évidemment impossibles sont souvent proposées dans des tâches de ce type.
Essayons de calculer la deuxième expression :
Tout va bien ici.
Réponse : l'action ne peut pas être réalisée, 
.