Définition 1

Rappelons-nous d'abord Règles pour multiplier un monôme par un monôme :

Pour multiplier un monôme par un monôme, il faut d'abord multiplier les coefficients des monômes, puis, en utilisant la règle de multiplication des puissances de même base, multiplier les variables incluses dans les monômes.

Exemple 1

Trouver le produit des monômes $(2x)^3y^2z$ et $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Solution:

Tout d'abord, calculons le produit des coefficients

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ dans cette tâche, nous avons utilisé la règle de multiplication d'un nombre par une fraction - pour multiplier un nombre entier par une fraction, vous avez besoin multiplier le nombre par le numérateur de la fraction et le dénominateur mis sans changement

Utilisons maintenant la propriété de base d'une fraction : le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés par le même nombre, différent de $0$. Divisons le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 2$, c'est-à-dire réduisons cette fraction de 2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3 )(2)$

Le résultat obtenu s'est avéré être une fraction impropre, c'est-à-dire une fraction dans laquelle le numérateur est supérieur au dénominateur.

Transformons cette fraction en isolant la partie entière. Rappelons que pour isoler une partie entière, il faut écrire le reste de la division au numérateur de la partie fractionnaire, le diviseur au dénominateur.

Nous avons trouvé le coefficient du futur produit.

Nous allons maintenant multiplier séquentiellement les variables $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Ici, nous avons utilisé la règle de multiplication des puissances avec la même base : $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Alors le résultat de la multiplication des monômes sera :

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Puis basé sur de cette règle vous pouvez effectuer la tâche suivante :

Exemple 2

Représenter un polynôme donné comme le produit d'un polynôme et d'un monôme $(4x)^3y+8x^2$

Représentons chacun des monômes inclus dans le polynôme comme le produit de deux monômes afin d'isoler un monôme commun, qui sera un facteur à la fois dans le premier et dans le deuxième monôme.

Commençons par le premier monôme $(4x)^3y$. Factorisons son coefficient en facteurs simples : $4=2\cdot 2$. Nous ferons de même avec le coefficient du deuxième monôme $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Notez que deux facteurs $2\cdot 2$ sont inclus dans le premier et le deuxième coefficients, ce qui signifie $2\cdot 2=4$ - ce nombre sera inclus dans le monôme général en tant que coefficient

Notons maintenant que dans le premier monôme il y a $x^3$, et dans le second il y a la même variable à la puissance $2:x^2$. Cela signifie qu'il est pratique de représenter la variable $x^3$ comme ceci :

La variable $y$ n'est incluse que dans un seul terme du polynôme, ce qui signifie qu'elle ne peut pas être incluse dans le monôme général.

Imaginons le premier et le deuxième monôme inclus dans le polynôme comme un produit :

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Notez que le monôme commun, qui sera un facteur à la fois dans le premier et le deuxième monôme, est $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Maintenant, nous appliquons la loi distributive de la multiplication, l'expression résultante peut alors être représentée comme le produit de deux facteurs. L'un des multiplicateurs sera le multiplicateur total : $4x^2$ et l'autre sera la somme des multiplicateurs restants : $xy + 2$. Moyens:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Cette méthode est appelée factorisation par soustraction multiplicateur commun.

Le facteur commun dans ce cas était le monôme $4x^2$.

Algorithme

Note 1

Trouvez le plus grand diviseur commun des coefficients de tous les monômes inclus dans le polynôme - ce sera le coefficient du facteur commun-monôme, que nous mettrons entre parenthèses

Un monôme constitué du coefficient trouvé au paragraphe 2 et des variables trouvées au paragraphe 3 sera un facteur commun. qui peut être retiré des parenthèses comme facteur commun.

Exemple 3

Retirez le facteur commun $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Solution:

Trouvons le pgcd des coefficients ; pour cela nous allons décomposer les coefficients en facteurs simples

45$=3\cdot 3\cdot 5$

Et on retrouve le produit de ceux qui sont inclus dans le développement de chacun :

Identifiez les variables qui composent chaque monôme et sélectionnez la variable avec le plus petit exposant

$a^3=a^2\cdot a$

La variable $b$ n'est incluse que dans les deuxième et troisième monômes, ce qui signifie qu'elle ne sera pas incluse dans le facteur commun.

Composons un monôme constitué du coefficient trouvé à l'étape 2, des variables trouvées à l'étape 3, nous obtenons : $3a$ - ce sera le facteur commun. Alors:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Dans cet article, nous nous concentrerons sur sortir le facteur commun des parenthèses. Voyons d'abord en quoi consiste cette transformation d'expression. Ensuite, nous présenterons la règle pour placer le facteur commun entre parenthèses et examinerons en détail des exemples de son application.

Navigation dans les pages.

Par exemple, les termes de l'expression 6 x + 4 y ont un facteur commun 2, qui n'est pas écrit explicitement. On ne peut le voir qu'après avoir représenté le nombre 6 comme produit de 2,3 et 4 comme produit de 2,2. Donc, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Autre exemple : dans l'expression x 3 +x 2 +3 x les termes ont un facteur commun x, qui devient clairement visible après avoir remplacé x 3 par x x 2 (dans ce cas nous avons utilisé) et x 2 par x x. Après l'avoir retiré des parenthèses, nous obtenons x·(x 2 +x+3) .

Disons séparément de mettre le moins entre parenthèses. En fait, mettre le moins entre parenthèses revient à mettre le moins un entre parenthèses. Par exemple, supprimons le moins dans l’expression −5−12·x+4·x·y. L'expression originale peut être réécrite comme (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, d'où est clairement visible le facteur commun −1, que l'on retire des parenthèses. On arrive ainsi à l'expression (−1)·(5+12·x−4·x·y) dans laquelle le coefficient −1 est remplacé simplement par un moins avant les parenthèses, on a donc −( 5+12·x−4·x· y) . De là, on voit clairement que lorsque le moins est retiré des parenthèses, la somme initiale reste entre parenthèses, dans lesquelles les signes de tous ses termes ont été remplacés par des signes opposés.

En conclusion de cet article, notons que la mise entre parenthèses du facteur commun est très largement utilisée. Par exemple, il peut être utilisé pour calculer plus efficacement les valeurs d'expressions numériques. De plus, mettre un facteur commun entre parenthèses permet de représenter des expressions sous la forme d'un produit ; en particulier, une des méthodes de factorisation d'un polynôme repose sur la mise entre parenthèses.

Bibliographie.

• Mathématiques. 6e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [N. Ya. Vilenkin et autres]. - 22e éd., rév. - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill. ISBN978-5-346-00897-2.

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec les règles pour mettre un facteur commun entre parenthèses et apprendrons comment le trouver dans divers exemples et des expressions. Parlons de comment opération simple, placer le facteur commun hors parenthèses permet de simplifier les calculs. Nous consoliderons les connaissances et compétences acquises en examinant des exemples de complexités diverses.

Qu'est-ce qu'un facteur commun, pourquoi le rechercher et dans quel but est-il mis entre parenthèses ? Répondons à ces questions en regardant un exemple simple.

Résolvons l'équation. Le côté gauche de l’équation est un polynôme composé de termes similaires. La partie lettre est commune à ces termes, ce qui signifie qu'elle sera le facteur commun. Mettons-le entre parenthèses :

Dans ce cas, retirer le facteur commun des parenthèses nous a aidé à convertir le polynôme en monôme. Ainsi, nous avons pu simplifier le polynôme et sa transformation nous a aidé à résoudre l'équation.

Dans l'exemple considéré, le facteur commun était évident, mais serait-il si facile de le trouver dans un polynôme arbitraire ?

Trouvons le sens de l'expression : .

DANS dans cet exemple placer le facteur commun entre parenthèses a grandement simplifié le calcul.

Résolvons un autre exemple. Montrons la divisibilité en expressions.

L’expression résultante est divisible par , comme cela doit être prouvé. Encore une fois, prendre le facteur commun a permis de résoudre le problème.

Résolvons un autre exemple. Montrons que l'expression est divisible par pour tout nombre naturel : .

L'expression est le produit de deux nombres naturels adjacents. L’un des deux nombres sera certainement pair, ce qui signifie que l’expression sera divisible par .

Nous l'avons réglé différents exemples, mais ils ont utilisé la même méthode de résolution : ils ont retiré le facteur commun des parenthèses. On voit que cette opération simple simplifie grandement les calculs. Il était facile de trouver un facteur commun à ces cas particuliers, mais que faire dans le cas général, pour un polynôme arbitraire ?

Rappelons qu'un polynôme est une somme de monômes.

Considérons le polynôme . Ce polynôme est la somme de deux monômes. Un monôme est le produit d'un nombre, d'un coefficient et d'une partie de lettre. Ainsi, dans notre polynôme, chaque monôme est représenté par le produit d'un nombre et de puissances, produit de facteurs. Les facteurs peuvent être les mêmes pour tous les monômes. Ce sont ces facteurs qui doivent être déterminés et retirés du panier. Tout d’abord, nous trouvons le facteur commun des coefficients, qui sont des nombres entiers.

Il était facile de trouver le facteur commun, mais définissons le pgcd des coefficients : .

Regardons un autre exemple : .

Trouvons , ce qui nous permettra de déterminer le facteur commun à cette expression : .

Nous avons dérivé une règle pour les coefficients entiers. Vous devez trouver leur pgcd et le retirer du support. Consolidons cette règle en résolvant un autre exemple.

Nous avons examiné la règle d'attribution d'un facteur commun aux coefficients entiers, passons à la partie lettre. Tout d'abord, nous recherchons les lettres qui sont incluses dans tous les monômes, puis nous déterminons le degré le plus élevé de la lettre qui est incluse dans tous les monômes : .

Dans cet exemple, il n'y avait qu'une seule variable de lettre commune, mais il peut y en avoir plusieurs, comme dans l'exemple suivant :

Compliquons l'exemple en augmentant le nombre de monômes :

Après avoir retiré le facteur commun, nous avons converti la somme algébrique en produit.

Nous avons examiné séparément les règles de soustraction pour les coefficients entiers et les variables alphabétiques, mais le plus souvent, vous devez les appliquer ensemble pour résoudre l'exemple. Regardons un exemple :

Parfois, il peut être difficile de déterminer quelle expression est laissée entre parenthèses, regardons une astuce simple qui vous permettra de résoudre rapidement ce problème.

Le facteur commun peut aussi être la valeur souhaitée :

Le facteur commun peut être non seulement un nombre ou un monôme, mais aussi n’importe quelle expression, comme dans l’équation suivante.

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec les règles de mise entre parenthèses du facteur commun et apprendrons comment le trouver dans divers exemples et expressions. Parlons de la façon dont une opération simple, en sortant le facteur commun entre parenthèses, permet de simplifier les calculs. Nous consoliderons les connaissances et compétences acquises en examinant des exemples de complexités diverses.

Qu'est-ce qu'un facteur commun, pourquoi le rechercher et dans quel but est-il mis entre parenthèses ? Répondons à ces questions en regardant un exemple simple.

Résolvons l'équation. Le côté gauche de l’équation est un polynôme composé de termes similaires. La partie lettre est commune à ces termes, ce qui signifie qu'elle sera le facteur commun. Mettons-le entre parenthèses :

Dans ce cas, retirer le facteur commun des parenthèses nous a aidé à convertir le polynôme en monôme. Ainsi, nous avons pu simplifier le polynôme et sa transformation nous a aidé à résoudre l'équation.

Dans l'exemple considéré, le facteur commun était évident, mais serait-il si facile de le trouver dans un polynôme arbitraire ?

Trouvons le sens de l'expression : .

Dans cet exemple, mettre le facteur commun entre parenthèses a grandement simplifié le calcul.

Résolvons un autre exemple. Montrons la divisibilité en expressions.

L’expression résultante est divisible par , comme cela doit être prouvé. Encore une fois, prendre le facteur commun a permis de résoudre le problème.

Résolvons un autre exemple. Montrons que l'expression est divisible par pour tout nombre naturel : .

L'expression est le produit de deux nombres naturels adjacents. L’un des deux nombres sera certainement pair, ce qui signifie que l’expression sera divisible par .

Nous avons examiné différents exemples, mais nous avons utilisé la même méthode de résolution : nous avons retiré le facteur commun des parenthèses. On voit que cette opération simple simplifie grandement les calculs. Il était facile de trouver un facteur commun à ces cas particuliers, mais que faire dans le cas général, pour un polynôme arbitraire ?

Rappelons qu'un polynôme est une somme de monômes.

Considérons le polynôme . Ce polynôme est la somme de deux monômes. Un monôme est le produit d'un nombre, d'un coefficient et d'une partie de lettre. Ainsi, dans notre polynôme, chaque monôme est représenté par le produit d'un nombre et de puissances, produit de facteurs. Les facteurs peuvent être les mêmes pour tous les monômes. Ce sont ces facteurs qui doivent être déterminés et retirés du panier. Tout d’abord, nous trouvons le facteur commun des coefficients, qui sont des nombres entiers.

Il était facile de trouver le facteur commun, mais définissons le pgcd des coefficients : .

Regardons un autre exemple : .

Trouvons , ce qui nous permettra de déterminer le facteur commun à cette expression : .

Nous avons dérivé une règle pour les coefficients entiers. Vous devez trouver leur pgcd et le retirer du support. Consolidons cette règle en résolvant un autre exemple.

Nous avons examiné la règle d'attribution d'un facteur commun aux coefficients entiers, passons à la partie lettre. Tout d'abord, nous recherchons les lettres qui sont incluses dans tous les monômes, puis nous déterminons le degré le plus élevé de la lettre qui est incluse dans tous les monômes : .

Dans cet exemple, il n'y avait qu'une seule variable de lettre commune, mais il peut y en avoir plusieurs, comme dans l'exemple suivant :

Compliquons l'exemple en augmentant le nombre de monômes :

Après avoir retiré le facteur commun, nous avons converti la somme algébrique en produit.

Nous avons examiné séparément les règles de soustraction pour les coefficients entiers et les variables alphabétiques, mais le plus souvent, vous devez les appliquer ensemble pour résoudre l'exemple. Regardons un exemple :

Parfois, il peut être difficile de déterminer quelle expression est laissée entre parenthèses, regardons une astuce simple qui vous permettra de résoudre rapidement ce problème.

Le facteur commun peut aussi être la valeur souhaitée :

Le facteur commun peut être non seulement un nombre ou un monôme, mais aussi n’importe quelle expression, comme dans l’équation suivante.

Cours d'algèbre en 7e année.

Sujet : « Mettre le facteur commun entre parenthèses. »

Manuel Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. et etc.

Objectifs de la leçon:

Éducatif –

identifier le niveau de maîtrise par les élèves d'un ensemble de connaissances et de compétences dans l'utilisation des compétences de multiplication et de division ;

développer la capacité d'appliquer la factorisation d'un polynôme en plaçant le facteur commun entre parenthèses ;

appliquer la suppression du facteur commun des parenthèses lors de la résolution d'équations.

Du développement –

favoriser le développement de l'observation, la capacité d'analyser, de comparer et de tirer des conclusions ;

développer des compétences de maîtrise de soi lors de l’exécution de tâches.

Éducatif -

favoriser la responsabilité, l'activité, l'indépendance, l'estime de soi objective.

Type de cours : combiné.

Résultats d'apprentissage clés :

être capable de sortir le facteur commun des parenthèses ;

pouvoir postuler cette méthode lors de la résolution d'exercices.

Se déplacerleçon.

1 module (30 minutes).

1. Organisation du temps.

salutations;

préparer les étudiants au travail.

2. Examen devoirs.

Vérifier la disponibilité (en service), discuter des problèmes survenus.

3 . Actualisation des connaissances de base.

N Trouvez PGCD (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55), (16, 12).

Qu’est-ce que GCD ?

Comment s’effectue le partage des pouvoirs sur les mêmes bases ?

Comment s’effectue la multiplication de puissances avec les mêmes bases ?

Pour ces degrés (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Nommer le degré avec le plus petit exposant, les mêmes bases, les mêmes exposants

Répétons la loi distributive de la multiplication. Écrivez-le sous forme de lettre

a (b + c) = ab + ac

* - signe de multiplication

Effectuer des tâches orales sur l'application de la propriété distributive. (Préparer au tableau).

1) 2*(a + b) 4) (x – 6)*5

2) 3*(x – y) 5) -4*(y + 5)

3) une*(4 + x) 6) -2*(c – une)

Les tâches sont écrites sur un tableau fermé, les gars résolvent et écrivent le résultat au tableau. Problèmes de multiplication d'un monôme par un polynôme.

Pour commencer, je vous propose un exemple de multiplication d'un monôme par un polynôme :

2 x (x 2 +4 x y – 3) = 2x 3 + 8x 2 y – 6x Ne pas laver !

Écrivez la règle de multiplication d'un monôme par un polynôme sous la forme d'un diagramme.

Une note apparaît au tableau :

Je peux écrire cette propriété comme suit :

Sous cette forme, nous avons déjà utilisé l'enregistrement pour manière simple calculs d'expressions.

a) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

Le reste est oral, vérifiez les réponses :

e) 55*682 – 45*682 = 6820

g) 7300*3 + 730*70 = 73000

h) 500*38 – 50*80 = 15 000

Quelle loi vous a aidé à trouver un moyen simple de calculer ? (Distribution)

En effet, la loi distributive contribue à simplifier les expressions.

4 . Définir l'objectif et le sujet de la leçon. Comptage verbal. Devinez le sujet de la leçon.

Travailler en équipe de deux.

Cartes pour couples.

Il s'avère que la factorisation d'une expression est l'opération inverse de la multiplication terme par terme d'un monôme par un polynôme.

Regardons le même exemple que celui résolu par l'élève, mais dans l'ordre inverse. La factorisation consiste à retirer le facteur commun des parenthèses.

2 x 3 + 8 x 2 oui – 6 x = 2 x (x 2 + 4 xy – 3).

Aujourd'hui, dans la leçon, nous examinerons les concepts de factorisation d'un polynôme et de retrait du facteur commun entre parenthèses, et nous apprendrons à appliquer ces concepts lors des exercices.

Algorithme pour sortir le facteur commun des parenthèses

Le plus grand commun diviseur des coefficients.

Variables de même lettre.

Ajoutez le plus petit degré aux variables supprimées.

Ensuite, les monômes restants du polynôme sont écrits entre parenthèses.

Le plus grand diviseur commun a été trouvé dans les classes inférieures, la variable commune au moindre degré est immédiatement visible. Et afin de trouver rapidement le polynôme restant entre parenthèses, vous devez vous entraîner à utiliser le nombre 657.

5. Apprentissage primaire avec parler à voix haute.

N° 657 (1 colonne)

Module 2 (30 minutes).

1. Le résultat des 30 premières minutes.

A) Quelle transformation s'appelle factorisation d'un polynôme ?

B) Quelle propriété est basée sur la suppression du facteur commun entre parenthèses ?

Q) Comment le facteur commun est-il retiré des parenthèses ?

2. Consolidation primaire.

Les expressions sont écrites au tableau. Trouvez les erreurs dans ces égalités, le cas échéant, et corrigez-les.

1) 2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).

2) 2 x + 6 = 2 (x + 3).

3) 8 x + 12 ans = 4 (2 x - 3 ans).

4) un 6 – un 2 = un 2 (un 2 – 1).

5) 4 -2a = – 2 (2 – a).

3. Vérification initiale de la compréhension.

Travailler avec l'auto-test. 2 personnes par face arrière

Retirez le facteur commun entre parenthèses :

Vérifiez verbalement par multiplication.

4. Préparer les étudiants aux activités générales.

Sortons le facteur polynomial des parenthèses (explication du professeur).

Factorisez le polynôme.

Dans cette expression on voit qu’il y a un seul et même facteur, qui peut être mis entre parenthèses. On obtient donc :

Les expressions et sont opposées, donc dans certains cas vous pouvez utiliser cette égalité . On change de signe deux fois ! Factoriser le polynôme

Il y a ici des expressions opposées et, en utilisant l'identité précédente, nous obtenons l'entrée suivante : .

Et maintenant, nous voyons que le facteur commun peut être retiré des parenthèses.