Метод Гомори используют для нахождения целочисленного решения в задачах линейного программирования.
Пусть найдено решение задачи ЛП: . Решение L i будет целым числом, если т.е. . {β i } - дробная часть нецелочисленного оптимального решения x i , {d i } - дробная часть не базисных переменных. Данное соотношение определяет (см. рисунок).

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор применяется для решения задач целочисленного линейного программирования методом отсечений. В ходе решения используются симплексные таблицы. (см. пример).

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения методом Гомори). Дополнительно создается шаблон решения в формате Excel .

Количество переменных 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Количество строк (количество ограничений) 2 3 4 5 6 7 8 9 10

При этом ограничения типа x i ≥ 0 не учитывайте.

Виды алгоритма Гомори

1. Первый алгоритм Гомори решения полностью целочисленных задач.
2. Второй алгоритм Гомори для частично целочисленных задач линейного программирования .

Алгоритм Гомори для полностью целочисленных задач включает в себя следующие этапы:

1. Решается задача линейного программирования без учета целочисленности.
2. Среди дробных чисел выбирается элемент с наибольшей дробной частью и составляется дополнительное ограничение.
3. Неравенство преобразуется в уравнение путем введения дополнительной неотрицательной переменной.
4. Полученная задача решается двойственным симплекс-методом .

Если в процессе решения в симплексной таблице появится уравнение с нецелым свободным членов b i и целыми коэффициентами a ij , то данная задача не имеет целочисленного оптимального решения.

Пример . Научно-производственное объединение «Стрела» занимается изготовлением комплектующих изделий для предприятий ВПК. При изготовлении изделий типа А и типа В используются сталь и цветные металлы. Технологический процесс также включает обработку изделий на токарных и фрезерных станках. По технологическим нормам на производство одного изделия типа А и одного изделия типа В требуется определенное количество сырья и некоторый объем станко-часов для обработки на станках в цеху. Технологические данные производственного процесса приведены в таблице.
В течение месяца цеха НПО «Стрела» располагает ограниченными ресурсами по сырью и по времени работы в производственных цехах (см. таблицу). Прибыль от реализации одного изделия типа А составляет 100 руб., а от единицы изделия типа В - 250 руб.

	Сырье		Работа в цеху, станко-час		Прибыль от реализации, руб.
	Цветные металлы	Сталь	Токарные работы	Фрезерные работы
Изделие А	10	25	41	90	100
Изделие В	30	25	90	50	250
Ресурсы	4500	6250	14100	18000

Найти оптимальный план производства для НПО «Стрела» (количество изделия типа А и типа В - целые числа), дающий наибольшую прибыль.

Решение.
Экономико-математическая модель задачи.
x 1 - план производства изделий типа А, x 2 - план производства изделий типа В,
x 1, x 2 - целые числа.
Ограничения по ресурсам
10x 1 + 30x 2 ≤ 4500
25x 1 + 25x 2 ≤ 6250
41x 1 + 90x 2 ≤ 14100
90x 1 + 50x 2 ≤ 18000
Целевая функция
100x 1 + 250x 2 → max

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом . В результате получаем следующий оптимальный план:

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
x 2	1450 / 11	0	1	41 / 330	0	-1 / 33	0
x 4	17500 / 11	0	0	245 / 66	1	-50 / 33	0
x 1	600 / 11	1	0	-3 / 11	0	1 / 11	0
x 6	6500	0	0	55 / 3	0	-20 / 3	1
F(X3)	422500 / 11	0	0	125 / 33	0	50 / 33	0

x 1 = 54 6 / 11 , x 2 = 131 9 / 11
F(X) = 250 131 9 / 11 + 100 54 6 / 11 = 38409 1 / 11

Полученный оптимальный план не является целочисленным, поэтому применяем метод Гомори . Наибольшая дробная часть находится во втором уравнении у переменной x 4 (10 / 11). Составляем дополнительное ограничение:
q 2 - q 21 x 1 - q 22 x 2 - q 23 x 3 - q 24 x 4 - q 25 x 5 - q 26 x 6 ≤0
q 2 = b 2 - = 1590 10 / 11 - 1590 = 10 / 11
q 2 1 = a 2 1 - = 0 - 0 = 0
q 2 2 = a 2 2 - = 0 - 0 = 0
q 2 3 = a 2 3 - = 3 47 / 66 - 3 = 47 / 66
q 2 4 = a 2 4 - = 1 - 1 = 0
q 2 5 = a 2 5 - = -1 17 / 33 + 2 = 16 / 33
q 2 6 = a 2 6 - = 0 - 0 = 0

10 / 11 - 47 / 66 x 3 - 16 / 33 x 5 ≤ 0

10 / 11 - 47 / 66 x 3 - 16 / 33 x 5 + x 7 = 0

Поскольку двойственный симплекс-метод используется для поиска минимума целевой функции, делаем преобразование F(x) = -F(X).

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
x 2	1450 / 11	0	1	41 / 330	0	-1 / 33	0	0
x 4	17500 / 11	0	0	245 / 66	1	-50 / 33	0	0
x 1	600 / 11	1	0	-3 / 11	0	1 / 11	0	0
x 6	6500	0	0	55 / 3	0	-20 / 3	1	0
x 7	-10 / 11	0	0	-47 / 66	0	-16 / 33	0	1
F(X0)	-422500 / 11	0	0	-125 / 33	0	-50 / 33	0	0

Первая итерация Гомори. 1. Проверка критерия оптимальности. План в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной. Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольшее по модулю. Ведущей будет пятая строка, а переменную x 7 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует пятому столбцу, т.е. переменную x 5 необходимо ввести в базис. На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-16 / 33).

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
x 2	131 9 / 11	0	1	41 / 330	0	-1 / 33	0	0
x 4	1590 10 / 11	0	0	3 47 / 66	1	-1 17 / 33	0	0
x 1	54 6 / 11	1	0	-3 / 11	0	1 / 11	0	0
x 6	6500	0	0	18 1 / 3	0	-6 2 / 3	1	0
x 7	-10 / 11	0	0	-47 / 66	0	-16 / 33	0	1
F(X0)	-38409 1 / 11	0	0	-3 26 / 33	0	-1 17 / 33	0	0
θ		-	-	-3 26 / 33: (-47 / 66) = 5 15 / 47	-	-1 17 / 33: (-16 / 33) = 3 1 / 8	-	-

4. Пересчет симплекс-таблицы выполняем с помощью метода Жордано-Гаусса.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
x 2	1055 / 8	0	1	27 / 160	0	0	0	-1 / 16
x 4	6375 / 4	0	0	95 / 16	1	0	0	-25 / 8
x 1	435 / 8	1	0	-13 / 32	0	0	0	3 / 16
x 6	13025 / 2	0	0	225 / 8	0	0	1	-55 / 4
x 5	15 / 8	0	0	47 / 32	0	1	0	-33 / 16
F(X0)	-153625 / 4	0	0	-25 / 16	0	0	0	-25 / 8

В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа. По первому уравнению с переменной x 2 , получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 7 / 8 , составляем дополнительное ограничение:
q 1 - q 11 x 1 - q 12 x 2 - q 13 x 3 - q 14 x 4 - q 15 x 5 - q 16 x 6 - q 17 x 7 ≤0
q 1 = b 1 - = 131 7 / 8 - 131 = 7 / 8


q 1 3 = a 1 3 - = 27 / 160 - 0 = 27 / 160



q 1 7 = a 1 7 - = -1 / 16 + 1 = 15 / 16
Дополнительное ограничение имеет вид:
7 / 8 - 27 / 160 x 3 - 15 / 16 x 7 ≤ 0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
7 / 8 - 27 / 160 x 3 - 15 / 16 x 7 + x 8 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8
x 2	1055 / 8	0	1	27 / 160	0	0	0	-1 / 16	0
x 4	6375 / 4	0	0	95 / 16	1	0	0	-25 / 8	0
x 1	435 / 8	1	0	-13 / 32	0	0	0	3 / 16	0
x 6	13025 / 2	0	0	225 / 8	0	0	1	-55 / 4	0
x 5	15 / 8	0	0	47 / 32	0	1	0	-33 / 16	0
x 8	-7 / 8	0	0	-27 / 160	0	0	0	-15 / 16	1
F(X0)	-153625 / 4	0	0	-25 / 16	0	0	0	-25 / 8	0

Вторая итерация Гомрои. 1. Проверка критерия оптимальности. План в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной. Среди отрицательных значений базисных переменных наибольшей по модулю является переменная x 8 . Ее следует вывести из базиса.
3. Минимальное значение θ соответствует седьмому столбцу, т.е. переменную x 7 необходимо ввести в базис.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8
x 2	131 7 / 8	0	1	27 / 160	0	0	0	-1 / 16	0
x 4	1593 3 / 4	0	0	5 15 / 16	1	0	0	-3 1 / 8	0
x 1	54 3 / 8	1	0	-13 / 32	0	0	0	3 / 16	0
x 6	6512 1 / 2	0	0	28 1 / 8	0	0	1	-13 3 / 4	0
x 5	1 7 / 8	0	0	1 15 / 32	0	1	0	-2 1 / 16	0
x 8	-7 / 8	0	0	-27 / 160	0	0	0	-15 / 16	1
F(X0)	-38406 1 / 4	0	0	-1 9 / 16	0	0	0	-3 1 / 8	0
θ		-	-	-1 9 / 16: (-27 / 160) = 9 7 / 27	-	-	-	-3 1 / 8: (-15 / 16) = 3 1 / 3	-

4. Выполняем преобразование Новых отсечений Гомори.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8
x 2	1979 / 15	0	1	9 / 50	0	0	0	0	-1 / 15
x 4	4790 / 3	0	0	13 / 2	1	0	0	0	-10 / 3
x 1	271 / 5	1	0	-11 / 25	0	0	0	0	1 / 5
x 6	19576 / 3	0	0	153 / 5	0	0	1	0	-44 / 3
x 5	19 / 5	0	0	46 / 25	0	1	0	0	-11 / 5
x 7	14 / 15	0	0	9 / 50	0	0	0	1	-16 / 15
F(X0)	-115210 / 3	0	0	-1	0	0	0	0	-10 / 3

В оптимальном плане присутствуют дробные числа. Наибольшая дробная часть у переменной x 2 (14 / 15). Составляем дополнительное ограничение: q 1 - q 11 x 1 - q 12 x 2 - q 13 x 3 - q 14 x 4 - q 15 x 5 - q 16 x 6 - q 17 x 7 - q 18 x 8 ≤0
q 1 = b 1 - = 131 14 / 15 - 131 = 14 / 15
q 1 1 = a 1 1 - = 0 - 0 = 0
q 1 2 = a 1 2 - = 1 - 1 = 0
q 1 3 = a 1 3 - = 9 / 50 - 0 = 9 / 50
q 1 4 = a 1 4 - = 0 - 0 = 0
q 1 5 = a 1 5 - = 0 - 0 = 0
q 1 6 = a 1 6 - = 0 - 0 = 0
q 1 7 = a 1 7 - = 0 - 0 = 0
q 1 8 = a 1 8 - = -1 / 15 + 1 = 14 / 15
Дополнительное ограничение имеет вид:
14 / 15 - 9 / 50 x 3 - 14 / 15 x 8 ≤ 0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
14 / 15 - 9 / 50 x 3 - 14 / 15 x 8 + x 9 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8	x 9
x 2	1979 / 15	0	1	9 / 50	0	0	0	0	-1 / 15	0
x 4	4790 / 3	0	0	13 / 2	1	0	0	0	-10 / 3	0
x 1	271 / 5	1	0	-11 / 25	0	0	0	0	1 / 5	0
x 6	19576 / 3	0	0	153 / 5	0	0	1	0	-44 / 3	0
x 5	19 / 5	0	0	46 / 25	0	1	0	0	-11 / 5	0
x 7	14 / 15	0	0	9 / 50	0	0	0	1	-16 / 15	0
x 9	-14 / 15	0	0	-9 / 50	0	0	0	0	-14 / 15	1
F(X0)	-115210 / 3	0	0	-1	0	0	0	0	-10 / 3	0

Третья итерация методом Гомори. Переменную x 9 следует вывести из базиса. Минимальное значение θ соответствует восьмому столбцу, т.е. переменную x 8 необходимо ввести в базис.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8	x 9
x 2	131 14 / 15	0	1	9 / 50	0	0	0	0	-1 / 15	0
x 4	1596 2 / 3	0	0	6 1 / 2	1	0	0	0	-3 1 / 3	0
x 1	54 1 / 5	1	0	-11 / 25	0	0	0	0	1 / 5	0
x 6	6525 1 / 3	0	0	30 3 / 5	0	0	1	0	-14 2 / 3	0
x 5	3 4 / 5	0	0	1 21 / 25	0	1	0	0	-2 1 / 5	0
x 7	14 / 15	0	0	9 / 50	0	0	0	1	-1 1 / 15	0
x 9	-14 / 15	0	0	-9 / 50	0	0	0	0	-14 / 15	1
F(X0)	-38403 1 / 3	0	0	-1	0	0	0	0	-3 1 / 3	0
θ		-	-	-1: (-9 / 50) = 5 5 / 9	-	-	-	-	-3 1 / 3: (-14 / 15) = 3 4 / 7	-

4. Выполняем преобразование.

Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8	x 9
x 2	132	0	1	27 / 140	0	0	0	0	0	-1 / 14
x 4	1600	0	0	50 / 7	1	0	0	0	0	-25 / 7
x 1	54	1	0	-67 / 140	0	0	0	0	0	3 / 14
x 6	6540	0	0	234 / 7	0	0	1	0	0	-110 / 7
x 5	6	0	0	317 / 140	0	1	0	0	0	-33 / 14
x 7	2	0	0	27 / 70	0	0	0	1	0	-8 / 7
x 8	1	0	0	27 / 140	0	0	0	0	1	-15 / 14
F(X0)	-38400	0	0	-5 / 14	0	0	0	0	0	-25 / 7

Решение получилось целочисленным. Оптимальный целочисленный план можно записать так: x 1 = 54, x 2 = 132. F(X) = 38400

Введение

Большой класс прикладных задач оптимизации сводится к задачам целочисленного линейного программирования. Для решения этих задач широко применяются методы отсечения, предназначенные для решения общей целочисленной задачи, сопоставляя ей некоторую нецелочисленную задачу, по решению которой и позволяет найти решение.

Первый методов решения целочисленной задачи линейного программирования отсечением был предложен Гомори и получил название алгоритма Гомори.

1. Постановка задачи

Метод Гомори предназначен для решения целочисленных задач линейного программирования. При рассмотрении метода Гомори будем решать данную задачу в канонической форме.

1.1 Каноническая форма

Будем рассматривать каноническую задачу целочисленного программирования с n переменными и m условиями, дополненную условием целочисленности:

Где c = (c 1 , c 2 , … , c n) , x = (x 1 , x 2 , … , x n) - вектора размерности n , - их скалярное произведение (), называемое так же целевой функцией, A - матрица размерности n ´ m , b - вектор-столбец размерности m .

Условие целочисленности существенно осложняет задачу линейного программирования (1.1), (1.2). Так может случиться, что задача (1.1)-(1.3) обладает допустимыми (целочисленными) планами, целевая функция ограничена на допустимом множестве, однако ее максимум не достигается. Например в задаче:

не существует целочисленных решений, в то время как без этого условия решением служит любой вектор вида

.

В связи со сказанным, при обосновании численных алгоритмов решения задач типа (1.1)-(1.3) приходится накладывать различные дополнительные условия.. Будем считать, что множество X планов задачи (1.1), (1.2) (без условия целочисленности) ограничено, то есть является многогранником.

Из этого условия вытекает, что множество X * всех целочисленных планов задачи (1.1)-(1.3) конечно.. Будем предполагать, что все коэффициенты c j , j=1 , 2 , …, n , целевые функции - целые числа.

Из условия II вытекает, что для всякого целочисленного плана x Î X * значение <c , x > максимизируемой линейной формы - целое число. В этом случае говорят, что гарантирована целочисленность целевой функции.

Хотя условия I и II на задачу (1.1) - (1.3) довольно жесткие, ослабить их, для получения необходимых результатов, можно лишь немного.

1.2 Приведение к канонической форме

Задача целочисленного линейного программирования может формулироваться несколько иначе, нежели это было приведено выше. Так, например, вместо условия (1.2) может иметь место другая форма записи ограничений

От подобной записи к (1.2) можно перейти, прибавив к каждому уравнению по одной новой переменной, тогда ограничения примут вид

Добавленные переменные будут иметь нулевой вес в целевой функции.

Отметим, что для получения, в зависимости от вида неравенства, следует не только прибавлять, но и вычитать переменную в зависимости от знака неравенства, учитывая условие (1.3).

Если в исходной задаче не для некоторой переменной x i не выполнено условие положительности, то ее следует заменить на разность двух новых, положительных, переменных.

2. Общие идеи методов отсечения

Существует принципиальная возможность свести решение задачи (1.1) - (1.3) к нахождению оптимального плана некоторой задачи линейного программирования (без условия целочисленности переменных). Пусть X - многогранное множество, определяемое условиями (1.1), (1.2). Через X * обозначим множество всех целочисленных векторов x * , лежащих в X . Другими словами X * задается условиями (1.1)-(1.3), т.е.

По определению X * Í X . Будем обозначать через X z выпуклую оболочку множества X * . Тогда X z Í X .

Таким образом, мы сопоставили многогранному множеству X некоторое выпуклое множество X z ÍX согласно следующему правилу: X z есть минимальное выпуклое множество, содержащие все целочисленные векторы из X .

По предположению I, X является многогранником, следовательно множество X * конечно. Тогда выпуклое множество X z так же является многогранником, а следовательно, имеем, что X z можно задать конечным числом линейных неравенств.

Чтобы подчеркнуть основное отличие множества X z от множества X , дадим следующее определение.

Определение 1 . Многогранник, все крайние точки которого целочисленны (т.е. все их координаты целые числа), называются целочисленным многогранником.

Очевидно, что многогранник X z - целочисленный, по скольку его крайними точками являются лишь точки множества X * целочисленных планов.

Оправданием для изучения соответствия X ® X z является следующий простой факт.

Теорема 1 . Любой оптимальный опорный план задачи линейного программирования является решением задачи (1.1)-(1.3).

Доказательство. Пусть `x * - оптимальный опорный план задачи (2.1), x * - какое то решение исходной задаячи (1.1)-(1.3). `x * ÎX z ÍX , то

<c ,`x * > £ <c , x * >.

С другой стороны, так как x * - целочисленный план, то x * ÎX * ÍX z , и поэтому

<c ,`x * > ³ <c , x * >,

откуда

<c ,`x * > = <c , x * >.

Доказательство теоремы закончено.

Подчеркнем, что теорема 1 утверждает лишь принципиальную возможность сведения решения задачи целочисленного линейного программирования к поиску опорных планов задачи линейного программирования вида (2.1). Основная трудность в использовании этой возможности состоит в явном задании многогранника X z системой линейных неравенств с тем, что бы затем применить для решения задачи (2.1) численные методы линейного программирования. Вероятнее всего, что в вычислительном отношении эта проблема столь же сложна, как и исходная задача поиска оптимального целочисленного плана.

Несмотря на это, идея «сужения» множества X оказалась полезной и привела к созданию нескольких алгоритмов решения целочисленных задач линейного программирования, носящих название «методы отсечения».

Изложим идею методов отсечения. Допустим, что удалось построить последовательность {L r }, r = 0 , 1 , 2 , …, задач линейного программирования, каждая из которых определяется своим многогранником X r и одной для всех целевой функцией <c , x >:

при чем эта последовательность задач обладает следующими свойствами:

) X 0 =X , т.е. в качестве X 0 берется множество планов задачи (1.1),(1.2);

) X r z = X z , r=1,2, … ;

) если при решении задачи L r полученный оптимальный вектор x r * не удовлетворяет условию целочисленности, то он не является планом задачи L r+1 , т.е. x r * ÏX r+1 .

Отметим, что если на каком то шаге r вектор x r * - решение задачи L r - оказался целочисленным, то он является решением исходной задачи (1.1)-(1.3) в силу свойства 2) последовательности L r .

Интуитивно ясно, что последовательное построение задач L r , r=1,2, …, дает в некотором смысле аппроксимацию множества X z с помощью множества X r .

Способы построения последовательности {L r }, обеспечивают конечность процесса решения задачи (1.1)-(1.3), были впервые предложены Гомори.

3. Описание метода Гомори

Рассмотрим теперь алгоритм Гомори для решения целочисленных задач линейного программирования. Этот метод принадлежит к числу методов отсечения и реализует идеи, изложенный в предыдущем пункте.

3.1 Понятие правильного отсечения и простейший способ его построения

алгоритм гомора линейное программирование

Введем правильного отсечения, которое лежит в основе многих численных методов решения целочисленных задач линейного программирования.

Определение 2 . Пусть x* - оптимальный план задачи (1.1), (1.2), не являющийся целочисленным. Неравенство

где g = (g 1 , g 2 , …, g n ), называется правильным отсечением, если оно удовлетворяет требованиям:

а) для вектора x * неравенство не выполняется, т.е. x * > > g 0 (условие отсечения).

б) если x - целочисленный план задачи (1.1), (1.2) (т.е. план задачи (1.1)-(1.3)), то x - удовлетворяет (3.1) (условие правильности).

Понятно, что добавление неравенства (3.1) к условиям (1.1), (1.2) сужает допустимое множество X , сохраняя при этом все его целочисленные точки. Тем самым последовательное применение этого приема дает как бы многоэтапную аппроксимацию многогранника X z с помощью линейных ограничений.

В связи с понятием правильного отсечения возникают две проблемы. Первая из них состоит в том, что бы сформулировать общий алгоритм отсечения для произвольной целочисленной задачи линейного программирования. Вторая проблема состоит в построении правильного отсечения таким образом, что бы обеспечить решение задачи (1.1)-(1.3) за конечное число шагов, т.е. чтобы от множества X всякий раз отсекались достаточно большие участки.

Отметим, что второе требование является довольно тонким. В качестве подтверждения рассмотрим способ построения правильного отсечения, предложенный Данцигом.

Пусть x * - опорный оптимальный план задачи (1.1), (1.2), s и w - списки номеров соответственно базисных и не базисных переменных, отвечающих некоторому базису плана x * . Тогда x j * = 0 при j Îw. С учетом этого свойства нетрудно построить правильное отсечение для плана x*, если он является не целочисленным: в качестве такого может служить неравенство

В самом деле, условие отсечения тривиально выполняется, поскольку . Условие правильности так же соблюдено, так как если x = (x 1 , x 2 , …, x n ) - целочисленный план задачи (1.1), (1.2), то величина с учетом условий x j ³ 0, j Îw , может быть меньше единицы лишь в том случае, когда x j = 0 при всех j Îw . Но в таком случае план x - опорный, и в качестве его базиса можно принять базис плана x * . Опорный план однозначно определяется своим базисом, откуда получаем, что из неравенства вытекает x=x * . Последнее, однако, невозможно, так как x - целочисленный вектор, а x * таковым не является.

Указанный прием построения правильного отсечения, несмотря на его простоту, оказался малоэффективным, поскольку конечность процесса решения обеспечивается лишь для узкого класса целочисленных задач линейного программирования.

Опишем способ построения правильного отсечения, предложенный Гомори. Для произвольного числа a , через [a ] будем обозначать его целую часть, т.е. [a ] есть наибольшее целое число k непревосходящее число a .

Дробной частью {a } числа a называется число {a } = a - [a ]. Отметим очевидное свойство дробной части произвольного числа: 0£{a }<1, причем {a } = 0 в том и только в том случае, когда a - целое число.

Пусть x * - опорное решение задачи (1.1), (1.2), не являющееся целочисленным, - его базис и B - соответствующая симплекс-таблица в координатной форме.

Рассмотрим приведенную систему уравнений, отвечающую данному базису (и таблице B ) плана

x * :

Поскольку x j * = 0 при j Îw, то нецелочисленными могут быть лишь величины x 0 * = <c , x * >, x i * , i Îs.

Пусть s - такой индекс (0 £ s £ n ), что число x s * - не целое. Рассмотрим s -ю строку в симплексной таблице B (s -е уравнение в системе (3.2), (3.3)) и составим выражение

Теорема 2 . Если x ÎX * - целочисленный план задачи (1.1), (1.2), то

Доказательство. Используя соотношение

a sj = [a sj ] + {a sj }, j = 0, 1, 2, … , n , из (3.3) при i = s получаем

откуда

В левой части данного неравенства стоит целое число, следовательно, число

также целое. Из того, что x j ³ 0, j Îw, используя свойство дробной части, получаем

т.е. - z s (x ) < 1, или z s (x ) > -1. Учитывая, что z s (x ) - целое, окончательно примем z s (x ) ³ 0.

Следствие. Если x s * (= a s0 ) - нецелое число и Множество X * планов целочисленной задачи (1.1)-(1.3) непусто, то среди чисел {a sj }, j =1, 2, …, n , есть положительные.

В самом деле, все числа {a sj }, очевидно неотрицательны. Допустим, что {a sj } = 0, j = 1, 2, …, n .

Если X * непусто и x * Î X * , то z s (x * )= - {a s0 }, о том, что z s (x * ) - целое число, так как 0 < {a s0 } < 1.

Замечание. В доказательстве теоремы 2 мы воспользовали предположением II о том, что гарантирована целочисленность целевой функции. Действительно в случае s = 0 величина

является целой (при условии, что x Î X * ) лишь тогда когда число x 0 = < c , x > - целое.

Отсюда вытекает

Теорема 3. Если число x s * - нецелое, то неравенство

является правильным отсечением.

Доказательство. Проверим условие отсечения в определении 2. Так как x s * = a s0 , то из того, что x s * - нецелое, получаем неравенство {a s0 } > 0. Поскольку x j * = 0 при j Î w, то

и поэтому вектор x * не удовлетворяет неравенству (3.5). Условие правильности следует из утверждения z s (x ) ³ 0 в теореме 2.

3.3 Первый алгоритм Гомори

Перейдем к изложению первого алгоритма Гомори.

Обозначим задачу (1.1), (1.2) через L 0 . Гомори предложил на первом этапе своего алгоритма находить лексикографический максимум задачи L 0 . Будем обозначать через

x (0) = (x 0 (0), x 1 (0), …, x n (0))

(n+1)-мерный вектор такой, что (x 1 (0), x 2 (0), …, x n (0)) - решение лексикографической задачи L 0 , а x 0 (0) = - значение линейной формы. В тех случаях когда это не вызывает недоразумения, будем называть x (0) - оптимальным планом лексикографической задачи L 0 (хотя по общепринятой терминологии планом называется вектор, составленный из последних n координат вектора x (0)).

Отметим также, что x (0) будет являться опорным планом, а так же строго допустимым псевдопланом задачи L 0 .

Если x(0) - целочисленный вектор, то он, очевидно, и является решением задачи (1.1) - (1.3).

В противном случае отыскивается минимальный индекс s, 0 £ s £ n, для которого величина x s (0) не является целой. Пусть B (0) - симплексная таблица в координатной форме, соответствующая вектору x (0). С помощью коэффициентов s -й строки этой таблицы (т.е. коэффициентов приведенной системы (3.2), (3.3)) приемом, описанным выше, строится правильное отсечение.

Вводится вспомогательная переменная x n +1 и рассматривается задача L 1:

Следующий этап состоит в нахождении лексикографического максимума задачи L 1 . Важным достоинством алгоритма Гомори является тот факт, что начальный допустимый строгий псевдоплан для применения двойственного симплекс-метода к задаче L 1 находится без труда. Действительно, легко видеть, что в качестве такого псевдоплана можно взять вектор

В самом деле, очевидно, что y (1) удовлетворяет (вместе с вектоорм x (0)) ограничениям (3.6), (3.7) задачи L 1 , а из ограничений (3.8) нарушается лишь одно: x n +1 (0)= - {a s 0 } < 0. Кроме того, y (1) является опорным для системы уравнений (3.6), (3.7), поскольку, если - базис плана x (0) то система

линейно независима и служит базисом для y (1). Покажем, что y (1) - строго допустимый псевдоплан. С этой целью построим симплексную таблицу, соответствующую указанному базису вектора y (1). Для этого нужно лишь приписать снизу к таблице B (0) строку

Где w = {j 1 , j 2 , …, j n -m } - список номеров небазисных переменных, соответствующих таблице B (0) опорного плана x (0). Поскольку x (0) - строго допустимый псевдоплан, то всякий столбец b j , j Îw, таблицы B (0) лексикографически положителен: bj > 0, j Îw. Отсюда вытекает, что и в симплексной таблице в координатной форме, отвечающей опорному вектору y (1), всякий столбец (кроме первого, совпадающего с y (1)) лексикографически положителен:

Таким образом, имея в своем распоряжении решение x (0) лексикографической задачи L 0 и соответствующую симплекс таблицу в координатной форме B (0), без каких либо дополнительных вычислений находим начальный строго допустимый псевдоплан y (1) для задачи L 1 и строим соответствующую ему симплексную таблицу в координатной форме.

Может случиться, что лексикографическая задача L 1 не имеет решения. В этом случае решение целочисленной задачи (1.1) - (1.3) следует прекратить поскольку имеет место

Теорема 4. Если в задаче L 1 не существует лексикографического максимума, то множество X * целочисленных точек задачи (1.1) - (1.3) пусто.

Доказательство. Поскольку множество X векторов, удовлетворяющих условиям Ax = b , x ³ 0, согласно предположению I ограничено, то ограниченным является и множество планов задачи L 1 . Поэтому единственной причиной, по которой эта задача может не иметь лексикографического минимума, может быть только то что множество ее планов пусто. Покажем что в таком случае множество X * также пусто.

Предположим противное, т.е. что X * ¹ Æ, и пусть x * = (x 1 * , x 2 * , …, x n *) Î X*. По теореме 2 получаем, что величина

неотрицательна. Но это означает, что вектор = (x 1 * , x 2 * , …, x n * , x n +1 *) является планом задачи L 1 , в противоречие с вышесказанным. Теорема доказана.

Пусть x (1) = (x 0 (1), x 1 (1), …, x n (1), x n +1 (1)) - решение лексикографической задачи L 1 . Отправляясь от задачи L 1 и вектора x (1), аналогичным образом строятся задачи L r , r = 2, 3, …, и решения x (r ) Î Â n +1+r соответствующим им лексикографическим задач.

Заметим, что алгоритм Гомори однозначно определяет последовательность x (r ), r = 0, 1, 2, …, что следует из однозначности выбора s . Обратим так же внимание на то, что индекс s всегда не превосходит n: 0 s n. В самом деле, если все x j (r ) при j = 0, 1, 2, …, n - целые числа, то из теоремы 2 вытекает, что x n +1 (r ), x n +2 (r ), … - также целые.

Если на каком - то шаге r вектор

x (r ) = (x 0 (r ), x 1 (r ), …, x n (r ), …, x n +r (r ))

оказывается целочисленным, то вектор (x 0 (r ), x 1 (r ), …, x n (r )) является решением задачи (1.1) - (1.3). Доказательство этого утверждения очевидно.

Переход от вектора x (r ) к вектору x (r +1) с помощью описанного алгоритма Гомори называется большой итерацией, в отличие от промежуточных итераций двойственного симплекс-метода, которые называются малыми.

Основной вопрос, относящийся к первому алгоритму Гомори таков: всегда ли за конечное число больших итераций можно получить целочисленный вектор x (r ).

Докажем конечность первого Алгоритма Гомори. Будем использовать следующие обозначения:

x (0) = (x 0 (0), x 1 (0), …, x n (0));

где (x 1 (0), …, x n (0)) - решение лексикографической задачи L0, а x (0) = - соответствующее значение линейной формы (целевой функции).

y (1) = (x 0 (0), x 1 (0), …, x n (0), x n +1),

вектор y(1) служит начальным строго довпустимым псевдопланом при решении задачи L1 двойственным симплексным методом в координатной форме: `y (1) = (`y 0 (1), `y 1 (1), …, `y n (1), `y n +1 (1)) - вектор, получающийся из y (1) в результате первой (малой) итерации двойственного симплекс метода в координатной форме.

Аналогично вводятся обозначения

x (r ), y (r + 1), `y (r + 1), r = 1, 2, …

Из свойств двойственного симплекс метода в координатной форме следует

y (r ) >`y (r ) ³ x (r ).

Лемма 1. Пусть s - минимальный индекс, для которого число xs(0) - не целое. Тогда

Доказательство. Поскольку из (3.9) следует y (1) >`y (1), то возможно два случая:

В случае 1 утверждение леммы выполняется тривиально по определению лексикографического порядка.

Рассмотри случай 2. Согласно правилам двойственного симплекс-метода на первой (малой) итерации решения задачи L 1 выводу из числа базисных подлежит переменная x n +1 , поскольку в векторе y (1) x j (0) ³ 0, j Î w, x n +1 < 0. Пусть k Î w - такой индекс, что

Для любого j Î w, если -{a sj } < 0. По правилам симплексного метода в число базисных вводится переменная x k .

Случай 2 возможен лишь при условии b ik = 0, i = 0, 1, 2, …, s - 1. Поскольку x (0) - строго допустимый псевдоплан задачи L 0 , то все ее столбцы b j , j Î w, симплекс таблицы B (0) лексикографически положительны; в частности b k > 0 . Следовательно, координата b sk данного столбца должна быть неотрицательной. Заметим, что b sk = a sk (т.е. 0 £ s £ n и s Î w), по условию (3.10) число a sk - не нуль. Поэтому

a sk > 0 и a sk ³ {a sk }

По формуле преобразования симплекс-таблицы имеем

Вспоминая, что xs(0) = as0, получаем:

.

С учетом (3.11) получим оценку:

Лемма доказана.

Замечание. Если исходная задача (1.1) - (1.3) допустима, то согласно следствию из теоремы 2 индекс k, удовлетворяющий условию (3.10), существует.

Следствие. Справедливо соотношение

Действительно при r = 1 это неравенство вытекает из леммы и второго неравенства (3.9) . Что бы получить это утверждение при произвольном r , нужно воспользоваться тем, что y j (r ) = x j (r ) при 0 £ j £ n , и неравенством y (r ) ³ x (r ) в (3.9).

Теорема 5 . Если выполнены предположения I и II, то первый алгоритм Гомори требует лишь конечного числа больших итераций.

Что бы убедиться в истинности теоремы, необходимо показать, что при некотором r вектор x (r ) = (x 0 (r ), x 1 (r ), …, x n +r (r )) - целочисленный. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать целочисленность вектора (x 0 (r ), x 1 (r ), …, x n (r )), поскольку из теоремы 2 тогда вытекает, что все числа x n +1 (r ), x n +2 (r ), …, x n +r (r ) также целые. Вспомним также, что минимальный индекс s, при котором число xs(r) - нецелое, всегда не превосходит n: 0 £ s £ n. Прежде чем переходить к основному доказательству докажем следующую лемму:

Лемма 2. Для любого j , 0 £ j £ n , существует такой номер R j , что при r ³ R j все числа x j (r ) - целые и равны одному и тому же целому числу x j (R j ).

Доказательство. Пусть s , 0 £ s £ n , - минимальный индекс для которого утверждение Леммы не выполняется. Обозначим

В том случае когда s = 0, положим R = 0.

Пусть r , l - такие индексы, что R £ r £ l, и числа x s (r ), x s (l ) - нецелые. Покажем, что тогда [x s (r )] > [x s (l )]. Действительно по определению s имеем

В таком случае s - минимальный индекс, для которого число x s (r ) - нецелое. По следствию из леммы 1 имеем [x s (r )] ³ x s (l ).

Учитывая, что x s (l ) - не целое число, имеем x s (l ) > [x s (l )], откуда и получаем нужное утверждение. Поскольку множество X планов задачи (1.1) - (1.3) ограничено, то ограничена любая величина x s (r ), 0 £ s £ n , r = 1, 2, … . Поэтому бесконечной цепочки неравенств вида [x s (r )] > [x s (l )] > … существовать не может, а, следовательно, в последовательности x s (r ), r = 0, 1, …, не может быть бесконечно много нецелых чисел. Аналогично доказывается, что в этой последовательности не может быть бесконечно много различных целых чисел.

Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть

где числа R j фигурируют в формулировке леммы 2. Тогда согласно этой лемме все числа x j (R ), 0 £ j £ n , - целые. Из теоремы 2 получаем, что вектор x (R ) - целочисленный. Следовательно алгоритм Гомори требует не более R итераций.

Теорема доказана.

3.5 Замечания по практической реализации первого алгоритма Гомори

При практической реализации первого алгоритма Гомори важной проблемой является нарастание количества ограничений, что ведет к увеличению размеров симплексных таблиц. Гомори предложил способ устранения этого недостатка алгоритма, заключающийся в следующем.

) В ходе решения задачи L r двойственным симплексным методом на каждой малой итерации следует пользоваться уточненным правилом вывода из числа базисных векторов для решения задач линейного программирования симплекс-методом: если в первом столбце симплексной таблицы имеется несколько отрицательных элементов b i 0 (= x i ), i =1, 2, …, n , …, n + r , то выводить из числа базисных надо переменную с минимальным номером.

) Если в ходе очередной малой итерации при реализации задачи L r все основные переменные x 1 , x 2 , …, x n оказались неотрицательными, то дальнейшее применение двойственного симплекс-метода к задаче L r следует прекратить, несмотря на то, что ее лексикографический максимум, быть может, еще не достигнут. Если при этом все переменные x j , j = 1, 2, …, n , оказались целочисленными, то по теореме 2 все вспомогательные переменные x n +k , k = 1, 2, …, r , целочисленны и неотрицательны. Это означает, как уже известно, что вектор (x 0 , x 1 , x 2 , … , x n ) является решением исходной целочисленной задачи. В противном случае переходим к новой большой итерации.

) Строка симплексной таблицы, соответствующая вспомогательной переменной x n +r , удаляется, как только переменная x n +r объявляется небазисной. Напомним, что это происходит на первой же малой итерации решения задачи L r .

) Если в ходе решения задачи L r переменная x n +r вновь попадает в число базисных, то то соответствующая ей строка не восстанавливается.

Понятно, что при выполнении правил 3), 4) размеры симплексной таблицы в первом алгоритме Гомори не увеличиваются - в каждой таблице содержится n + 2 строк, отвечающие основным переменным x 0 , x 1 , … , x n и текущей вспомогательной переменной x n +r в момент ее введения) и n - m +1 столбцов (поскольку число n - m небазисных переменных не меняется).

) На первой малой итерации решения задачи L r +1 в качестве переменной, выводимой из базиса, выбирается именно x n +r +1 , не смотря на то, что значения остальных вспомогательных переменных в этот момент так же могут быть отрицательными.

Заметим, что правило 5) на самом деле избыточно, поскольку при выполнении правил 3) и 4) мы ничего не знаем о значении остальных переменных x n +1 , …, x n +r в момент перехода к задаче L r +1 . Данное правило выделено лишь для того, чтобы подчеркнуть отличие рассматриваемых алгоритмов.

Отметим, что при использовании правила 2) возникающая последовательность x ’ (r ) может не быть лексикографическим максимумом задачи L r , поскольку значения некоторых из вспомогательных переменных могут быть отрицательными.

Тем не менее, для последовательности x ’ (r ), r = 0, 1, 2, …, получаемой с использованием правил 1) и 2), сохраняется важное свойство: эта последовательность единственна.

Осталось лишь доказать, что при использовании правил 1) - 4) алгоритм Гомори остается конечным, поскольку его конечность и будет означать, что он приводит к цели - нахождению целочисленного решения задачи (1.1) - (1.3). В самом деле, конечность числа R больших итераций означает, что вектор x ’ (R ) целочисленный.

Отметим, во-первых, что при использовании правила 2) число малых итераций решения задачи L r конечно - не больше, чем требуется для нахождения ее лексикографического максимума.

Теорема 6. Последовательность x’(r), возникающая в процессе применения алгоритма Гомори, уточненного правила 1) - 4), конечна.

Доказательство. Заметим, что в доказательстве теоремы 5 о конечности последовательности x(r) использовались лишь два обстоятельства, регулирующие возникновение этой последовательности: способ построения правильного отсечения и тот факт, что во всякой текущей симплекс-таблице вс столбцы b j , j Îw, лексикографически положительны. Таким образом, удаление строки, соответствующей вспомогательной переменной, может повлиять лишь на последнее обстоятельство. Этого, однако, так же быть не может, как показано в следующей лемме.

Лемма 3. В любой симплекс-таблице, возникающей в ходе алгоритма Гомори, уточненного правилами 1) - 4), для любого столбца

имеет место неравенство

Доказательство. Допустим, что утверждение леммы не выполняется для некоторого k Î w. Поскольку b k , то данное предположение означает, что

По определению симплексной таблицы в координатной форме, имеем

Для любого x Î R n +1+r , если утверждение леммы нарушается в ходе решения задачи L r . Формула (3.13) с учетом (3.12) означает, что изменение значения переменной x k не влияет на значение x i , i = 0, 1, 2, …, n . Другими словами, при одном и том же наборе величин x i , 0£i £n , переменная x k может принимать произвольное значение. Отсюда следует, во-первых, что k ³ n + 1, а во-вторых, что принятое допущение (3.13) неверно, поскольку поскольку значение любой вспомогательной переменной x k , k ³ n + 1, как вытекает из (3.7), однозначно определяется значениями основных переменных.

Поскольку удаление строк, соответствующих вспомогательных переменным, не влияет на свойство столбцов b j , j Î w, быть лексикографически положительными, то эти строки вообще не нужны. Действительно, с учетом правил 1) - 2) переменная x n +r , попав в число базисных, так и остается базисной до конца вычислений, и ее строка не потребуется для определения переменной, вводимой в базис согласно правилам симплекс-метода.

Таким образом, элементы строки, соответствующие переменной x n +r , не участвуют в формулах двойственного симплекс-метода для вычисления значений всех остальных переменных.

Поскольку, как отмечалось, индекс s , регулирующий формирование правильного отсечения, не превосходит n , 0 £ s £ n , то и для этих целей вспомогательные переменные не потребуются.

4. Реализация на ЭВМ

В данном курсовом проекте программа предназначена для нахождения решения целочисленной задачи линейного программирования методом Гомори.

В программном модуле используется алгоритм описанный в теоретической части с учетом замечаний по практическому применению метода, сделанных Гомори.

Ввод данных в программном модуле производится из файла. Вывод результатов работы программы может производится в файл, на дисплей или на принтер. Формат входного файла:

…

…

…

…

где n - количество переменных, m - количество ограничений, c 1 , c 2 , … , c n - коэффициенты максимизируемой линейной формы, a ij - элементы матрицы A, b j - компоненты вектора b . A, b - характеризуют ограничения [см. (1.2)].

Пример входного файла:

2 5 0 0 0 0 0 0 0

3 1 0 0 0 0 0 0 12

2 5 0 1 0 0 0 0 0 30

3 2 0 0 1 0 0 0 0 22

2 -1 0 0 0 1 0 0 0 12

1 -3 0 0 0 0 1 0 0 0

2 5 0 0 0 0 0 -1 0 10

5 1 0 0 0 0 0 0 -1 5

Список литературы:

1. Абрамов Л.А., Капустин В.Ф. Математическое программирование. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. -328 с.

Белоусова Г.С. Линейное программирование. Учебное пособие. -Красноярск: Наука, 1975. -107 с.

Кузнецов Ю.Н. и др. Математическое программирование: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Высшая школа, 1980. -300 с.

Ашманов С.А., Линейное программирование. М.: Наука. 1969. -240 с

Габасов Р.И. Кириллова Ф.М., Методы линейного программирования. Минск: Наука. 1977. -174 с

В задачах целочисленного программирования в отличие от задач линейного программирования вводится дополнительное ограничение на переменные величины: они могут принимать лишь целые значения.

В некоторых задачах, например, транспортного типа, это условие выполняется автоматически, если исходные данные (количества отправляемых и получаемых грузов) выражены целыми числами. Но в общей задаче линейного программирования обычные методы решения целочисленности не гарантируют, независимо от того, целыми или дробными являются исходные величины.

В математической записи общая задача целочисленного программирования выглядит следующим образом:

максимизировать

при условиях

x j ≥ 0, x j – целые.

Экономические задачи линейного программирования чаще всего требует целочисленного решения. Это относится к задачам, в которых переменные величины обозначают количество единиц неделимой продукции, оборудования, работников (задачи наилучшего распределения производственных заданий между предприятиями, задачи оптимизации производственной программы отдельных предприятий, задачи оптимальной загрузки оборудования и др.). Часто такие задачи решаются обычным симплекс-методом с последующим округлением полученных значений переменных величин до целых чисел. Но в этом случае можно получить лишь некоторое приближение к действительно оптимальному целочисленному плану.

В другой группе задач линейного программирования подлежащими определению величинами являются производственные мощности, наиболее эффективно обеспечивающие заданную потребность. Поскольку «носителями» производственной мощности выступают отдельные предприятия, неделимые единицы оборудования и т. д., эти задачи также сводятся к целочисленным задачам линейного программирования.

Целочисленными являются также задачи рационального раскроя мерного материала (задачи на минимум отходов), так как переменные обозначают в них, как правило, количество исходных заготовок, раскраиваемое тем или иным способом.

Во всех упомянутых задачах решение может быть найдено обычными методами линейного программирования с последующей корректировкой и получением целочисленного плана, более или менее близкого к оптимальному. Но имеются задачи, нецелочисленное решение которых не имеет смысла. К ним относятся задачи выбора, в которых численные значения переменных служат лишь для определения альтернативы («или - или», «да – нет»).

К целочисленным моделям выбора относят некоторые задачи оперативно-календарного планирования, например, задачи об оптимальной последовательности запуска различных изделий (деталей) в производство. Допустим необходимо определить порядок запуска n деталей, каждая из которых последовательно обрабатывается на нескольких станках. Переменные х ij равняются единице, если деталь j должна запускаться за деталью i , и нулю - во всех остальных случаях. Для каждого фиксированного j , так же как и для каждого i , только одна из n переменных может равняться единице, поэтому в число ограничений задачи входят следующие:

Минимизируется общее время обработки всех деталей на станках данной группы. Нецелочисленное решение такой задачи лишено смысла.

Существует несколько методов решения задач целочисленного программирования. Наиболее известен метод Гомори , основывающийся на использовании симплексного метода.

Рассмотрим математические понятия: конгруэнтности чисел, целой и дробной части числа . Число а конгруэнтно числу b в том и только том случае, когда разность а – b является целым числом. Конгруэнтность обозначают тремя горизонтальными черточками (≡ ); таким образом, а ≡ b , если а – b есть целое число.

Например: 5 / 3 ≡ 2 / 3 , т.к. 5 / 3 - 2 / 3 = 1;

- 1 / 3 ≡ 2 / 3 , т.к.- 1 / 3 - 2 / 3 = 1.

Все целые числа конгруэнтны друг другу и конгруэнтны нулю. Нецелочисленные элементы можно представить в виде суммы целой и дробной части числа а = [a ] + {a }. Квадратные скобки означают взятие целой части числа, заключённого в них, фигурные – взятие дробной части числа.

Целой частью числа а называется наибольшее целое число [a ], не превосходящее а .

Дробная часть числа а определяется как наименьшее неотрицательное число {a }, конгруэнтное числу а . Дробная часть числа а равна разности между числом а и его целой частью: {a }= а - [a ]

Например, для а = 2 1 / 3 [a ]= 2 {a} = 1 / 3

для a = - 2 1 / 3 [a ]= -3 {a} = 2 / 3

Свойства конгруэнтности чисел:

1. Если а ≡ b , то {а } = {b }.

2. {а +b } = {а } + {b }.

3. Если n - целое число, то для любого а

nа ≡ {nа } ≡ n {а }.

При решении задач целочисленного программирования методом Гомори первый этап совпадает с обычным расчетом по симплексному алгоритму. Полученное решение в общем виде будет удовлетворять всем условиям задачи, кроме требования целочисленности (не исключено, конечно, получение целочисленного решения уже на первом этапе). Если среди значений переменных в оптимальном плане (точка А на рис.13) есть дробные, то составляется дополнительное ограничение, как бы «отсекающее» дробную часть решения (линия 1 на рис.13), но оставляющее в силе все ограничения задачи, которым должен удовлетворять оптимальный план. Дополнительное ограничение присоединяется к исходным ограничениям задачи и к расширенной системе вновь применяется симплексная процедура. Если оптимальное решение снова окажется нецелочисленным (точка В на рис.13), то добавляется еще одно дополнительное ограничение (линия 2 на рис.13) и процесс вычислений повторяется. Алгоритм позволяет за конечное число шагов прийти к оптимальному целочисленному решению (если оно существует) (точка С на рис.13).

Рис. 13. Метод отсечений Гомори

Пример решения задачи целочисленного программирования. На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 20 ден.ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 38 м 2 . Предприятие может заказать оборудование двух видов: более мощные машины типа А стоимостью 5 ден.ед, требующие производственную площадь 8 м 2 (с учетом проходов) и обеспечивающие производительность 7 тыс, единиц продукции за смену; менее мощные машины типа Б стоимостью 2 ден.ед, занимающие площадь 4 м 2 и дающие за смену 3 тыс, единиц продукции.

Обозначим через х 1 количество приобретаемых машин А и через х 2 - количество приобретаемых машин Б, получаем математические условия задачи:

максимизировать 7х 1 + 3х 2 → max

при условиях: 5х 1 + 2х 2 ≤ 20

8х 1 + 4х 2 ≤ 38

х 1 , х 2 ≥ 0 (целые).

С помощью дополнительных переменных х 3 и х 4 исходные неравенства преобразуются в уравнения (приводятся к каноническому виду):

5х 1 + 2х 2 + х 3 = 20

8х 1 + 4х 2 + х 4 = 38

Если основные переменные х 1 и х 2 - целые числа, то из уравнений непосредственно следует, что и переменные х 3 и х 4 могут принимать только целочисленные значения.

Задача решается вначале без учета требования целочисленности.

Симплексная таблица имеет следующий вид:

Базис	С	План					θ
Х 1	Х 2	Х 3	Х 4
X 1 →Х 3							20/5=4 min
Х 4							38/8=4,75
f(x) = 0	-7	-3
X 1				2/5	1/5		4:2/5=10
X 2 →X 4				4/5	-8/5		6:4/5=7,5 min
f(x) =28		-1/5	7/5
X 1						-1/2
X 2		7,5			-2	5/4
f(x) =29,5				1/4

В оптимальном плане Х 1 =1, Х 2 =7,5; максимум целевой функции составляет 29,5. Таким образом, необходимо купить один станок типа А и 7 станков типа В (на 8 станков не хватит ни денег, ни места), тогда объём выпуска продукции составит f(x) =7×1+3×7=28 тыс. единиц продукции.

Найдём целочисленное решение методом Гомори. Для переменной Х 2 , получившей нецелочисленное значение в плане, составляем следующее уравнение, непосредственно вытекающее из приведенной симплексной таблицы:

7,5 = Х 2 – 2Х 3 + 1,25Х 4 .

Х 2 = 7,5 + 2Х 3 – 1,25Х 4 .

Это уравнение, очевидно, должно быть справедливо и для допустимого целочисленного решения задачи.

Поскольку Х 2 - целое число, то целым является и выражение в правой части уравнения; следовательно, величина правой части данного уравнения конгруэнтна нулю:

7,5 + 2Х 3 – 1 ,25Х 4 ≡ 0,

–2Х 3 + 1,25Х 4 ≡ 7,5.

Учитывая приведенные выше свойства конгруэнтности, а также и то, что Х 3 и Х 4 - целые числа, это выражение можно преобразовать в следующее:

{-2}X 3 + {1,25}X 4 ≡ {7,5} ;

отсюда получаем:

0,25X 4 ≡ 0,5.

Поскольку X 4 - неотрицательное целое число, имеем:

0,25X 4 = 0,5, или 1,5, или 2,5, ...;

следовательно,

0,25X 4 ≥ 0,5.

Полученное неравенство преобразуется в уравнение и добавляется к исходной системе ограничений, которая содержит теперь следующие три уравнения:

5х 1 + 2х 2 + х 3 = 20

8х 1 + 4х 2 + х 4 = 38

0,25х 4 – x 5 = 0,5.

Повторив процесс решения симплексным методом применительно к расширенной системе ограничений, получим новый оптимальный план, в котором значения переменных, входящих в базис, равны: Х 1 = 2; Х 2 = 5; Х 4 = 2 (остаток свободной площади).

Таким образом, получено оптимальное целочисленное решение задачи: при данных ограничениях максимум производительности (29 тыс. единиц продукции) обеспечивается приобретением 2 машин типа А и 5 машин типа Б.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Этот метод можно применить для решения как полностью, так и частично целочисленных задач дискретного программирования.

Рассмотрим модель

при ограничениях

Допустим, что для каждой целочисленной переменной можно задать верхнюю и нижнюю границы, в пределах которых, безусловно, содержатся ее оптимальные значения

H j ≤ X j ≤ V j ; j=1,2,…,k,…,n.

Обычно H j = 0, но это условие не обязательно. Задача решается симплекс-методом. Если X k принимает дробные значения, то полагаем, что оптимальное решение задачи, будет удовлетворять линейному ограничению X k ≤ D k , либо линейному ограничению X k ≤ D k + 1 , где D k =[X k ] – ближайшее целое число в меньшую сторону от значения X k ; D k + 1 – ближайшее целое в большую сторону от X k . При этом H j ≤ D k ≤ V j – 1 . Тогда необходимо решить пару задач линейного программирования симплекс-методом:

А.

В.

Получаем итерационный процесс, представляемый в виде дерева, вершина которого соответствует решению исходной задачи, а две соединенные с ней ветви являются решениями пары задач линейного программирования А и В. Полученные значения целевых функций при этом могут быть меньше или равны значению целевой функции исходной задачи f(X) A ≤ f(X) ­ 0 ; f(X) B ≤ f(X) ­ 0 . Каждая из двух новых полученных вершин ветвей может иметь свои дальнейшие ветвления.

1) Итерационный процесс ветвления продолжается до тех пор, пока среди полученных планов не будет получено целочисленное решение, причем значение целевой функции должно быть большим или равным значениям функций целей других ветвящихся вершин.

2) Если на очередном шаге итерации обе задачи имеют нецелочисленные решения, то для дальнейшего ветвления выбирается вершина, соответствующая задача с большим значением функции цели. Для одной из переменных, получивших дробные значения, составляются новые ограничения для следующих задач линейного программирования.

3) Если на очередном шаге итерации одна из задач имеет целочисленное решение, а среди значений переменных во второй задаче имеются дробные, то из них выбирается задача, имеющая наибольшее значение функции цели. Если это задача, получившая целочисленное решение, то процесс заканчивается, если же эта задача с дробными значениями переменных, то для нее производится дальнейший процесс ветвления.

4) Если на очередном шаге итерации одна из задач не имеет решения, а вторая задачи среди значений переменных в получаемом решении имеет дробные величины. Тогда для первой задачи процесс ветвления прекращается, а для дальнейшего преобразования второй задачи выбирается одна из нецелочисленных переменных, для которой составляются дополнительные ограничения для новой пары задач линейного программирования.

5) Если на очередном шаге итерации одна из задач не имеет решения, а для другой получено целочисленное решение, и нет других вариантов с большим целочисленным значением функции цели и для которых можно продолжать ветвление, то процесс заканчивается, а найденное решение является оптимальным целочисленным решением исходной задачи.

Если выбранная задача приводит к обрыву (тупику) или значение функции меньшему, чем в задаче В.1 f(X) A.4 < f(X)­ В,1 ., то происходит возврат к задаче В.1 и происходит новое ветвление.

Рис.14. Блок-схема алгоритма метода ветвей и границ

Рис. 15. Метод «ветвей и границ»

Графический метод решения задач целочисленного программирования.

При наличии в задаче линейного программирования двух переменных, а в системе ограничения – неравенств, она может быть решена графическим методом без требований целочисленных переменных.

Если оптимальное решение этой задачи является целочисленным, то оно и является оптимальным для исходной задачи.

Если же полученное оптимальное решение не целочисленное, то строится дополнительное линейное ограничение. Оно обладает следующими свойствами:

1. Оно должно быть линейным;

2. Должно отсекать найденный оптимальный не целочисленный план;

3. Не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Алгоритм графического решения задачи

Целочисленного программирования.

1. Построить систему координат x 1 0х 2 и выбрать масштаб.

2. Найти область допустимых решений (ОДР) системы ограничений задачи.

3. Построить целевую функцию, являющуюся линией уровня и на ней указать направление нормали.

4. Переместить линию целевой функции по направлению нормали через ОДР, чтобы она из секущей стала касательной к ОДР и проходила через наиболее удаленную от начала координат точку. Эта точка будет являться точкой экстремума, т.е. решением задачи.

Если окажется, что линия целевой функции параллельна одной из сторон ОДР, то в этом случае экстремум достигается во всех точках соответствующей стороны, а задача линейного программирования будет иметь бесчисленное множество решений.

5. Найти координаты, точки экстремума и значение целевой функции в ней. Если полученные значения не целочисленные, то перейти к следующему шагу.

6. Выделить у этих координат область с целочисленными значениями.

7. Определить новые координаты и построить граф.

8. Найти точки с целыми значениями искомых переменных, подставить в уравнение целевой функции и найти её значение. Максимальное из полученных значений целевой функции и будет решением задачи.

Метод Гомори решения задач целочисленного программирования. Примеры решения экономических задач.

Данный метод основан на симплексном методе.

На первом этапе данная задача решается симплекс-методом, если полученное решение не целочисленное, то вводим дополнительное ограничение, которые должны быть:

Линейным;

Отсекать найденный оптимальный не целочисленный план;

Не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение обладающие этими свойствами называются правильным отсечением.

Ограничение накладывается на нецелочисленную переменную или на ту переменную, которая имеет большее дробное значение. Ограничение накладывается на не целочисленную переменную через не основные переменные. Ограничение составляется используя следующее правило: дробная часть свободного члена берётся с тем же знаком, который он имеет и в уравнении, а дробные части неосновных переменных - с противоположным знаком и выделяется положительная дробь. Например, {a}=a, {-a}={-A+a * }, где А - целая часть отрицательное число, а * -положительная дробь.

Получаем новое ограничение, вводим новую основную переменную, приведённое в формуле (1.2.3).

где x n+1 - нововведённая переменная,

x j - переменные не входящие в базис.

Новое ограничение следует вводить в последний этап симплекс метода, когда все переменные, имеющиеся в целевой функции, так же входят в базис.

Полученное базисное решение всегда не допустимое, соответствующее правильному отсечению.

Для получения допустимого базисного решения необходимо перевести в основные переменную, входящую с положительным коэффициентом в уравнение, в котором свободный член отрицательный.

При выборе какую переменные ввести в базис взамен нововведённой, следует выразить эти переменные и следую логическому рассуждения, подставить в базис ту переменную которая даёт целочисленное решение на наложенное ограничение.

Введение новых ограничений следует производить, если не получено целочисленное решение, после решения на первом этапе симплекс-методом и после введения новых ограничений.

Если в процессе решения появится выражение с нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В этом случае и данная задача не имеет целочисленного оптимального решения.

Задача. Контейнер объемом помещен на контейнеровоз грузоподъемностью 12т. Контейнер требуется заполнить грузом двух наименований. Масса единицы груза, объем единицы груза, стоимости приведены в таблице:

Вид груза	т		ден.ед.

Требуется загрузить контейнеровоз таким образом, чтобы стоимость перевозимого груза была максимальной.

Решим задачу методом Гомори.

Введем обозначения: х 1 – количество груза первого вида, х 2 – количество груза второго вида. Тогда экономико-математическая модель задачи примет вид:

Преобразуем математическую модель ЗЛП без учета целочисленности переменных к допустимому предпочтительному виду канонической формы:

По алгоритму основного симплекс-метода заполним симплексную таблицу решения ЗЛП:

*
	-10	-12*
	*	5/2			-1/2	19/2
	1/2			1/2	5/2
	-4*				-30
				2/5	-1/5	19/5
			-1/5	3/5	3/5
			8/5	26/5	-226/5

Оптимальное решение ЗЛП не удовлетворяет ограничению целочисленности, следовательно, к основным ограничениям необходимо добавить новое линейное ограничение.

Замечание 9.1. Если имеется несколько дробных , то для той у которой дробная часть больше всего составляется ограничение.

Составим сечение Гомори для первого ограничения оптимальной симплекс-таблицы решения ЗЛП (так как ):

,

.

Преобразуем полученное ограничение к канонической форме с предпочтительной переменной:

.

Продолжим решение задачи двойственным симплекс-методом, включив новое ограничение в оптимальную симплекс-таблицу решения ЗЛП:

				2/5	-1/5		19/5
			-1/5	3/5		3/5
			-2/5	-4/5		-4/5
			8/5*	26/5		-226/5
					-5/2
						-42

Оптимальное решение расширенной ЗЛП удовлетворяет ограничению целочисленности.

Метод Гомори решения задач целочисленного программирования является методом отсечения .

Суть метода заключается в построении ограничений, отсекающих нецелочисленные решения задачи линейного программирования, но не отсекающих ни одного целочисленного плана. Для этого сначала решается ослабленная задача линейного программирования без учета условия целочисленности переменных.

Если полученное решение задачи линейного программирования является целочисленным, то задача целочисленного программирования также решена и найденное решение является оптимальным и для нее. Если же в найденном решении задачи линейного программирования одна или большее число переменных не целые, то для отыскания целочисленного решения задачи добавляются новое линейное ограничение, которое отсекает нецелочисленные решения. При продолжении решения расширенной задачи двойственным симплексным методом с учетом этого ограничения получается целочисленный план.

Для нахождения целочисленного решения задачи методом Гомори используется следующий алгоритм.

Оно должно быть линейным;

Должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;

Не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Если нецелых базисных переменных несколько, то для составления ограничения выбираем компоненту оптимального плана с наибольшей дробной частью (если таких переменных несколько, то выбираем любую).

Этой переменной соответствует строка симплексной таблицы, называемая строкой, производящей отсечение (производящей строкой ).

Для изложения метода вводим следующие понятия. Пусть a – действительное число.

Под целой частью некоторого числа а понимается максимальное целое число [a ], не превосходящее данного.

Под дробной частью некоторого числа а понимается наименьшее неотрицательное число
такое, что разность между ним иа есть [a ] – целая часть числа).

Для выбранной базисной переменной с наибольшей дробной частью находим дробную часть
этой переменной и дробные части всех коэффициентов при переменныхi - й строки системы ограничений
(производящей строкой).

Обозначим
и
целые части чисел и . Величины дробных частей
и
(
) определяются следующим образом

Для этого по производящей строке симплексной таблицы выписывается уравнение, предполагая, что первые m переменных являются базисными для данного оптимального плана

или

Переносим все целые части коэффициентов в одну сторону, оставляя все дробные в другой:

Так как
<1, то заменяя в правой части
, получим строгое неравенство

Так как левая часть неравенства должна принимать целые значения, то, следовательно, необходимое условие ее целочисленности можно записать только в следующем виде:

Неравенство преобразуется в уравнение путем введения дополнительной неотрицательной переменной и включается в оптимальную симплексную таблицу.

Решаем задачу, используя двойственный симплексный метод. Если новый оптимальный план расширенной задачи будет целочисленным, то задача решена. Если же решение нецелое, то нужно повторять алгоритм метода Гомори вплоть до получения целочисленного решения.

Пример . Методом Гомори найти решение задачи целочисленного программирования, состоящей в определении максимального значения функции
при условии

Решение . Выравнивая неравенства с помощью вспомогательных переменных х 3 , х 4 , получаем задачу линейного программирования в канонической форме:

Решаем задачу линейного программирования симплексным методом, используя поэтапный переход от одного базиса к другому. Ход решения задачи и полученное оптимальное решение представлены в таблицах.

	С Б			С 2 =11
∆ j =Z j –С j

	С Б			С 2 =11
∆ j =Z j –С j

В найденном оптимальном плане значение переменной х 2 равно дробному числу. Находим его дробную часть и дробные части всех элементов строки, содержащей переменную х 2 , а именно:

Теперь составляем для найденных значений дробных частей неравенство Гомори:

.

х 5 , переносим свободный член уравнения в правую часть и получаем новое ограничение:

.

Добавляем в симплексную таблицу строку, содержащую новое ограничение, и столбец, содержащий новую переменную, и продолжаем решать задачу двойственным симплексным методом, так как теперь в таблице записан псевдоплан.

∆ j =Z j –С j

	С Б			С 2 =11
∆ j =Z j –С j

Полученное оптимальное решение расширенной задачи содержит нецелое значение переменной х 1 , поэтому находим для этой строки дробные части всех нецелых чисел, а именно:

и новое неравенство Гомори имеет вид:

Выравниваем неравенство Гомори с помощью новой вспомогательной переменной х 6 , переносим свободный член уравнения в правую часть и получаем новое ограничение:
.

Добавляем его к решаемой задаче, выравниваем с помощью вспомогательной переменной и решаем расширенную задачу

	С Б			С 2 =11
∆ j =Z j –С j

	С Б			С 2 =11
∆ j =Z j –С j

Таким образом, найдено оптимальное решение задачи целочисленного программирования: Z max =11 при
.

Замечания :

Если в процессе решения в симплексной таблице появится уравнение с нецелой компонентой и целыми коэффициентами в соответствующей строке системы ограничений
, то данная задача не имеет целочисленного решения.