Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".
Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Получить запись
Выполнено переводов: 1363703
Системы счисления
Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.
Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:
Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:
1.
Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение:
10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ:
10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение:
E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ:
E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.
Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.
3.
Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение:
273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка
: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ:
273 10 = 421 8
Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.
Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.
4.
Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение:
0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ:
0.125 10 = 0.001 2
1. Порядковый счет в различных системах счисления.
В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».
Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.
Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.
Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.
Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.
Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.
Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.
3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.
Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.
Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:
Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.
Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.
Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.
4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).
Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.
Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:
Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Т.е.
Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.
Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.
Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.
Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Таблица 4. Степени числа 2
| n (степень) | |||||||||||
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
Таблица 5. Степени числа 8
| n (степень) | |||||||
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:
Таблица 6. Степени числа 16
| n (степень) | |||||||
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).
Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.
8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).
Когда занимаешься настройками сетей различного масштаба и каждый день сталкиваешься с вычислениями – то такого рода шпаргалки заводить не обязательно, все и так делается на безусловном рефлексе. Но когда в сетях ковыряешься очень редко, то не всегда вспомнишь какая там маска в десятичной форме для префикса 21 или же какой адрес сети при этом же префиксе. В связи с этим я и решил написать несколько маленьких статей-шпаргалок по переводом чисел в различные системы счислений, сетевым адресам, маскам и т.п. В это части пойдет речь о переводи чисел в различные системы счислений.
1. Системы счислений
Когда вы занимаетесь чем-то связанным с компьютерными сетями и ИТ, вы по любому столкнетесь с этим понятием. И как толковый ИТ-шник вам нужно разбираться в этом хотя бы чу-чуть даже если на практике вы это будете применять очень редко.
Рассмотрим перевод каждой цифры из IP-адреса 98.251.16.138
в следующие системы счислений:
- Двоичная
- Восьмеричная
- Десятичная
- Шестнадцатеричная
1.1 Десятичная
Так как цифры записаны в десятичной, перевод с десятичной в десятичную пропустим 🙂
1.1.1 Десятичная → Двоичная
Как мы знаем двоичная система счисления используется практически во всех современных компьютерах и многих других вычислительных устройствах. Система очень проста – у нас есть только 0 и 1.
Для преобразования числа с десятиной в двоичную форму нужно использовать деление по модулю 2 (т.е. целочисленное деление на 2) в результате чего мы всегда будем иметь в остатке либо 1, либо 0. При этом результат записываем справа налево. Пример все поставит на свои места:
Рисунок 1.1 – Перевод чисел из десятичной в двоичную систему
Рисунок 1.2 – Перевод чисел из десятичной в двоичную систему
Опишу деление числа 98. Мы делим 98 на 2, в результате имеем 49 и остаток 0. Далее продолжаем деление и делим 49 на 2, в результате имеем 24 с остатком 1. И таким же образом добираемся до 1-ки или 0-ка в делимом. Затем результат записываем справа налево.
1.1.2 Десятичная → Восьмеричная
Восьмеричная система – это целочисленная система счисления с основанием 8. Т.е. все числа в ней представлены диапазоном 0 – 7 и для перевода с десятичной системы нужно использовать деление по модулю 8.
Рисунок 1.3 – Перевод чисел из десятичной в восьмеричную систему
Деление аналогично 2-чной системе.
1.1.3 Десятичная → Шестнадцатеричная
Шестнадцатеричная система почти полностью вытеснила восьмеричную систему. У нее основание 16, но используются десятичные цифры от 0 до 9 + латинские буквы от A(число 10) до F(число 15). С ней вы сталкиваетесь каждый раз, когда проверяете настройки сетевого адаптера — это МАС-адрес. Так же, когда используется IPv6.
Рисунок 1.4 – Перевод чисел из десятичной в шестнадцатеричную систему
1.2 Двоичная
В предыдущем примере мы перевели все десятичные числа в другие системы счислений, одна из которых двоичная. Теперь переведем каждое число с двоичной формы.
1.2.1 Двоичная → Десятичная
Для перевода чисел с двоичной формы в десятичную нужно знать два нюанса. Первый – у каждого нолика и единички есть множитель 2 в n-й степени, при котором n увеличивается справа налево ровно на единичку. Второй – после перемножения все числа нужно сложить и мы получим число в десятичной форме. В итого у нас будет формула такого вида:
D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)
Где,
D – это число в десятичной форме, которое мы ищем;
n
– количество символов в двоичном числе;
a – число в двоичной форме на n-й позиции (т.е. первый символ, второй, и т.п.);
p – коэффициент, равный 2,8 или 16 в степени n
(в зависимости от системы счисления)
К примеру возьмем число 110102. Смотрим на формулу и записываем:
- Число состоит из 5 символов (n =5)
- p = 2 (так как переводим из двоичной в десятичную)
a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0
В итоге имеем:
D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10
Кто привык записывать справа на лево, форму будет выглядеть так:
D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10
Но, как мы знаем, от перестановки слагаемых сумма не меняется. Давайте теперь переведем наши числа в десятичную форму.
Рисунок 1.5 – Перевод чисел из двоичной в десятичную систему
1.2.2 Двоичная → Восьмеричная
При переводе нам нужно двоичное число разбить на группы по три символа справа налево. Если последняя группа не состоит из трех символов, то мы просто возмещаем недостающие биты ноликами. К примеру:
10101001 = 0 10 101 001
1011100 = 00 1 011 100
Каждая группа битов – это одно из восьмеричных чисел. Чтобы узнать какое, нужно использовать написанную выше формулу 1.2.1 для каждой группы битов. В результате мы получим.
Рисунок 1.6 – Перевод чисел из двоичной в восьмеричную систему
1.2.3 Двоичная → Шестнадцатеричная
Здесь нам нужно двоичное число разбивать на группы по четыре символа справа налево с последующим дополнением недостающих битов группы ноликами, как писалось выше. Если последняя группа состоит из ноликов, то их нужно игнорировать.
110101011 = 000 1 1010 1011
1011100 = 0 101 1100
001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000
Каждая группа битов – это одно из шестнадцатеричных чисел. Используем формулу 1.2.1 для каждой группы битов.
Рисунок 1.7 – Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему
1.3 Восьмеричная
В этой системе у нас могут возникнуть сложности только при переводе в 16-ричную систему, так как остальной перевод проходит гладко.
1.3.1 Восьмеричная → Двоичная
Каждое число в восьмеричной системе – это группа из трех битов в двоичной системе, как писалось выше. Для перевода нам нужно воспользоваться табличкой-шпаргалкой:
Рисунок 1.8 – Шпора по переводу чисел из восьмеричной системы
Используя эту табличку переведем наши числа в двоичную систему.
Рисунок 1.9 – Перевод чисел из восьмеричной в двоичную систему
Немного опишу вывод. Первое число у нас 142, значит будет три группы по три бита в каждой. Юзаем шпору и видим, что цифра 1 это 001, цифра 4 это 100 и цифра 2 это 010. В результате имеем число 001100010.
1.3.2 Восьмеричная → Десятичная
Здесь мы используем формулу 1.2.1 только с коэффициентом 8 (т.е. p=8). В результате имеем
Рисунок 1.10 – Перевод чисел из восьмеричной в десятеричную систему
- Число состоит из 3 символов (n =3)
- p = 8 (так как переводим из восьмеричной в десятичную)
a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2
В результате имеем:
D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10
1.3.3 Восьмеричная → Шестнадцатеричная
Как писалось раньше, для перевода нам нужно сначала перевести числа в двоичную систему, потом с двоичной в шестнадцатеричную, поделив на группы по 4-ре бита. Можно использовать следующею шпору.
Рисунок 1.11 – Шпора по переводу чисел из шестнадцатеричной системы
Эта табличка поможет перевести из двоичной в шестнадцатеричную систему. Теперь переведем наши числа.
Рисунок 1.12 – Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему
1.4 Шестнадцатеричная
В этой системе та же проблема, при переводе в восьмеричную. Но об этом позже.
1.4.1 Шестнадцатеричная → Двоичная
Каждое число в шестнадцатеричной системе – это группа из четырех битов в двоичной системе, как писалось выше. Для перевода нам можно воспользоваться табличкой-шпаргалкой, которая находиться выше. В результате:
Рисунок 1.13 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в двоичную систему
Возьмем первое число – 62. Используя табличку (рис. 1.11) мы видим, что 6 это 0110, 2 это 0010, в результате имеем число 01100010.
1.4.2 Шестнадцатеричная → Десятичная
Здесь мы используем формулу 1.2.1 только с коэффициентом 16 (т.е. p=16). В результате имеем
Рисунок 1.14 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в десятеричную систему
Возьмем первое число. Исходя из формулы 1.2.1:
- Число состоит из 2 символов (n =2)
- p = 16 (так как переводим из шестнадцатеричной в десятичную)
a 2 = 6, a 1 = 2
В результате имеем.
D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10
1.4.3 Шестнадцатеричная → Восьмеричная
Для перевода в восьмеричную систему нужно сначала перевести в двоичную, затем разбить на группы по 3-и бита и воспользоваться табличкой (рис. 1.8). В результате:
Рисунок 1.15 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему
В пойдет речь о IP-адресах, масках и сетях.
Теги: Система счисления, перевод системы счисления, родственные системы счисления
Изменение основания для позиционных систем счисления
В позиционной системе счисления с основанием q число может быть представлено в виде полинома
… + a 2 ∙q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙q 0 + a -1 ∙q -1 + a -2 ∙q -2 + …
где коэффициенты a i – это цифры системы счисления с основанием q.
Например, в десятичной системе счисления
124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3
Число цифр в системе счисления с основанием q равно q, при этом максимальная цифра равна q - 1. Цифра не может стать равной q, потому что в этом случае произойдёт перенос единицы в новый разряд.
Например, нужно найти минимальное основание системы счисления, в которой записано число 7832. Так как максимальная цифра равна 8, то минимальное значение q = 8 + 1 = 9.
Основанием системы счисления может быть, в принципе, любой число: целое, отрицательное, рациональное, иррациональное, комплексное и т.д. Будем рассматривать только положительные целые основания.
Особый интерес для нас будут представлять основание 2 и основания, являющиеся степенью двойки – 8 и 16.
В случае, если основание с. с. больше десяти, то новые цифры берутся по порядку из алфавита. Например, для 16-ричной системы это будут цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Перевод целой части десятичной системы счисления
Первый способ перевода из десятичной системы счисления в n-ричную заключается в последовательном делении числа на новое основание.
123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10=A)
Собираем в обратном порядке, сначала последнее значение (это 0), потом сверху вниз все остатки. Получаем 0A3 = A3
4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)
Собираем обратно, получаем 10723
3349 10 → X 16
3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)
Собираем вместе: 0D15 = D15
545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)
Собираем 01000100001 = 1000100001
Перевод на бумаге обычно осуществляется делением в столбик. Пока деление не приведёт к нулю, каждый следующий ответ делится на основание с. с. В конце, из остатков от деления собирается ответ.
Также часто можно перевести число в другую с. с. , если в уме представить его как сумму степеней соответствующего основания, в которое мы хотим перевести число.
Например, 129 очевидно 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2
80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3
Перевод в десятичную систему счисления целой части
Перевод осуществляется, используя представление числа в позиционной системе счисления. Пусть необходимо перевести A3 12 → X 10 Известно, что A3 – это 3∙q 0 + A∙q 1 , то есть 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123
10723 8 → X 10
1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1∙4096 + 7∙64 + 2∙8 + 3 = 4563
D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349
1000100001 2 → X 10
2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.
Перевод на бумаге обычно осуществляется следующим образом. Над каждой цифрой по порядку пишут номер степени. Затем уже выписывают все слагаемые.
Перевод дробной части из десятичной системы
Во время перевода дробной части часто случается ситуация, когда конечная десятичная дробь превращается в бесконечную. Поэтому обычно при переводе указывается точность, с которой необходимо переводить. Перевод осуществляется путём последовательного умножения дробной части на основание системы счисления. Целая часть при этом откидывается и входит в состав дроби.
0.625 10 → X 2
0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)
0 – дальнейшее умножение будет давать только нули
Собираем сверху вниз, получаем 0.101
0.310 → X2 0.3 * 2 = 0.6 (0) 0.6 * 2 = 1.2 (1) 0.2 * 2 = 0.4 (0) 0.4 * 2 = 0.8 (0) 0.8 * 2 = 1.6 (1) 0.6 * 2 = 1.2 (1)
0.2 … получим периодическую дробь
Собираем, получаем 0.0100110011001… = 0.0(1001)
0.64510 → X5 0.645 * 5 = 3.225 (3) 0.255 * 5 = 1.275 (1) 0.275 * 5 = 1.375 (1) 0.375 * 5 = 1.875 (1) 0.875 * 5 = 4.375 (4) 0.375 * 5 = 1.875 (1) …
0.3111414… = 0.311(14)
Перевод дробной части в десятичную систему
Осуществляется аналогично переводу целой части, путём домножения цифры разряда на основание в степени, равной положению разряда в числе.
0.101 2 → X 10
1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625
0.134 5 → X 10
1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352
Перевод из произвольной системы счисления в произвольную
Перевод из произвольной системы счисления в произвольную с. с. осуществляется с помощью десятичной с. с.
X N → X M ≡ X N → X 10 → X M
Например
1221201 3 → X 7
1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10
1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)
1221201 3 → 4060 7
Родственные системы счисления
Системы счисления называют родственными, когда их основания являются степенями одного числа. Например, 2, 4, 8, 16. Перевод между родственными системами счисления можно осуществлять, воспользовавшись таблицей
| 10 | 2 | 4 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 000 | 00 | 0 |
| 1 | 0001 | 001 | 01 | 1 |
| 2 | 0010 | 002 | 02 | 2 |
| 3 | 0011 | 003 | 03 | 3 |
| 4 | 0100 | 010 | 04 | 4 |
| 5 | 0101 | 011 | 05 | 5 |
| 6 | 0110 | 012 | 06 | 6 |
| 7 | 0111 | 013 | 07 | 7 |
| 8 | 1000 | 020 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 021 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 022 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 023 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 030 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 031 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 032 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 033 | 17 | F |
Для перевода из одной родственной системы счисления в другую, сначала нужно перевести число в двоичную систему. Для перевода в двоичную систему счисления каждая цифра числа подменяется на соответствующую двойку (для четверичной), тройку (для восьмеричной) или четвёрку (для шестнадцатеричной).
Для 123 4 единица подменяется на 01, двойка на 10, тройка нa 11, получаем 11011 2
Для 5721 8 соответственно 101, 111, 010, 001, итого 101111010001 2
Для E12 16 получим 111000010010 2
Для перевода из двоичной системы следует разбить число на двойки (4-я), тройки (8-я) или четвёрки чисел (16-я), а затем подменить на соответствующие значения.