Môžete zadať celé čísla, napríklad 34, aj zlomkové, napríklad 637,333. Pri zlomkových číslach je presnosť prekladu uvedená za desatinnou čiarkou.
S touto kalkulačkou sa používajú aj nasledujúce položky:
Spôsoby reprezentácie čísel
binárne (binárne) čísla - každá číslica znamená hodnotu jedného bitu (0 alebo 1), najvýznamnejší bit sa píše vždy vľavo, za číslom je písmeno "b". Pre pohodlie môžu byť tetrády oddelené medzerami. Napríklad 1010 0101b.Hexadecimálne (hexadecimálne) čísla - každá tetráda je reprezentovaná jedným znakom 0 ... 9, A, B, ..., F. Takéto znázornenie možno označiť rôznymi spôsobmi, tu len znak "h" za poslednou šestnástkovou číslicou sa používa. Napríklad A5h. V programových textoch môže byť rovnaké číslo označené ako 0xA5, tak aj ako 0A5h, v závislosti od syntaxe programovacieho jazyka. Malá nula (0) sa pridá naľavo od najvýznamnejšej šestnástkovej číslice reprezentovanej písmenom na rozlíšenie medzi číslami a symbolickými menami.
Desatinné (desiatkové) čísla - každý bajt (slovo, dvojslovo) je reprezentované obyčajným číslom a desiatkové vyjadrenie (písmeno "d") sa zvyčajne vynecháva. Bajt z predchádzajúcich príkladov má desiatkovú hodnotu 165. Na rozdiel od binárneho a hexadecimálneho zápisu je v desiatkovej sústave ťažké mentálne určiť význam každého bitu, čo niekedy musíte urobiť.
Osmičkový (osmičkové) čísla - každá trojica bitov (delenie začína od najmenej významného) sa zapisuje ako číslica 0–7, na koniec sa dáva znamienko "o". Rovnaké číslo sa zapíše ako 245 °. Osmičková sústava je nepohodlná, pretože bajt nemožno rozdeliť rovnako.
Algoritmus na preklad čísel z jedného číselného systému do druhého
Prevod desiatkových celých čísel na akúkoľvek inú číselnú sústavu sa vykonáva delením čísla základom novej číselnej sústavy, až kým zvyšok nebude obsahovať číslo menšie ako základ novej číselnej sústavy. Nové číslo sa zapíše ako zvyšok delenia, počnúc posledným.Preklad správneho desatinného zlomku do iného PSS sa vykonáva vynásobením iba zlomkovej časti čísla základom nového číselného systému, kým všetky nuly nezostanú v zlomkovej časti alebo kým sa nedosiahne špecifikovaná presnosť prekladu. V dôsledku vykonania každej operácie násobenia sa vytvorí jedna číslica nového čísla, počnúc najstarším.
Preklad nesprávneho zlomku sa vykonáva podľa pravidiel 1 a 2. Celé a zlomkové časti sa píšu spolu, oddelené čiarkou.
Príklad #1. 
Preklad z 2 až 8 až 16 číselnej sústavy.
Tieto systémy sú násobky dvoch, preto sa preklad vykonáva pomocou tabuľky zhody (pozri nižšie).
Na prevod čísla z dvojkovej číselnej sústavy na osmičkovú (šestnástkovú) je potrebné rozdeliť dvojkové číslo z čiarky doprava a doľava do skupín po troch (štyroch - pre šestnástkovú sústavu), pričom krajné skupiny treba doplniť nuly v prípade potreby. Každá skupina je nahradená príslušnou osmičkovou alebo šestnástkovou číslicou.
Príklad č.2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
tu 001 = 1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001 = 1
Pri prestupe do hexadecimálna sústava je potrebné rozdeliť číslo na časti, každé štyri číslice, pri dodržaní rovnakých pravidiel.
Príklad č.3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
tu 0010 = 2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011 = 13
Prevod čísel z 2, 8 a 16 do desiatkovej číselnej sústavy sa vykonáva tak, že sa číslo rozdelí na samostatné čísla a vynásobí sa základňou sústavy (z ktorej sa číslo prekladá) umocnenou na mocninu zodpovedajúcu jeho ordinálnej jednotke. číslo v čísle, ktoré sa má preložiť. V tomto prípade sú čísla číslované naľavo od desatinnej čiarky (prvé číslo je číslované 0) so zvyšujúcim sa pravá strana zostupne (t.j. so záporným znamienkom). Výsledky sa sčítajú.
Príklad č.4.
Príklad prevodu z dvojkovej do desiatkovej číselnej sústavy.
1010010.101 2 = 1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 82,625 10 Príklad prevodu z osmičkovej na desiatkovú číselnú sústavu. 108,5 8 = 1 * 8 2 + 0 8 1 + 8 8 0 + 5 8 -1 = 64 + 0 + 8 + 0,625 = 72,625 10 Príklad prevodu zo šestnástkovej sústavy na desiatkovú. 108,5 16 = 1 16 2 + 0 16 1 + 8 16 0 + 5 16 -1 = 256 + 0 + 8 + 0,3125 = 264,3125 10
Ešte raz zopakujeme algoritmus na prevod čísel z jednej číselnej sústavy do inej PSS
- Od desiatková sústava zúčtovanie:
- vydeľte číslo základom číselnej sústavy, ktorá sa má preložiť;
- nájdite zvyšok delenia celej časti čísla;
- zapíšte všetky zvyšky delenia v opačnom poradí;
- Binárny číselný systém
- Ak chcete previesť na systém desiatkových čísel, musíte nájsť súčet súčinov základu 2 podľa zodpovedajúceho stupňa číslice;
- Ak chcete previesť číslo na osmičkovú, musíte číslo rozdeliť na triády.
Napríklad 1 000 110 = 1 000 110 = 106 8 - Ak chcete previesť číslo z binárneho na hexadecimálne, musíte číslo rozdeliť do skupín po 4 číslice.
Napríklad 1000110 = 100 0110 = 46 16
Tabuľka zhody číselného systému:
| Binárne SS | Hexadecimálne SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tabuľka na konverziu osmičkový systém zúčtovanie
Ak chcete rýchlo previesť čísla z desiatkových na binárne, musíte dobre poznať čísla "2 na mocninu". Napríklad 2 10 = 1024 atď. To vám umožní vyriešiť niektoré príklady na preklad doslova za pár sekúnd. Jednou z týchto úloh je úloha A1 z dema USE 2012... Deliť číslo „2“ môžete samozrejme dlho a zdĺhavo. Je však lepšie rozhodnúť sa inak, čím ušetríte drahocenný čas na skúške.
Metóda je veľmi jednoduchá. Jeho podstata je nasledovná: ak sa číslo, ktoré sa má previesť z desiatkovej sústavy, rovná číslu „2 na mocninu“, potom toto číslo v binárny systém obsahuje počet núl rovný mocnine. Pred tieto nuly pridajte „1“.
- Preložme si číslo 2 z desiatkovej sústavy. 2 = 21. Preto v dvojkovej sústave číslo obsahuje 1 nulu. Položíme "1" dopredu a dostaneme 10 2.
- Prevod 4 desiatkovej sústavy. 4 = 2 2. Preto v dvojkovej sústave číslo obsahuje 2 nuly. Položíme "1" dopredu a dostaneme 100 2.
- Prevod 8 desiatkovej sústavy. 8 = 2 3. Preto v dvojkovej sústave číslo obsahuje 3 nuly. Položíme "1" dopredu a dostaneme 1000 2.
Podobne pre ostatné čísla „2 na mocninu“.
Ak je číslo, ktoré sa má preložiť, menšie ako číslo „2 na mocninu“ o 1, potom v binárnom systéme toto číslo pozostáva iba z jednotiek, ktorých počet sa rovná mocnine.
- Prevod 3 z desiatkovej sústavy. 3 = 22-1. Preto v dvojkovej sústave číslo obsahuje 2 jednotky. Dostávame 112.
- Prevod 7 z desiatkovej sústavy. 7 = 23-1. Preto v dvojkovej sústave číslo obsahuje 3 jednotky. Dostaneme 1112.
Na obrázku štvorce označujú binárne znázornenie čísla a vľavo ružovou desatinnou čiarkou.
Preklad je podobný pre ostatné čísla „2 na mocninu-1“.
Je jasné, že preklad čísel od 0 do 8 je možné vykonať rýchlo alebo delením, alebo jednoducho poznať naspamäť ich zastúpenie v dvojkovej sústave. Uviedol som tieto príklady, aby ste pochopili princíp túto metódu a použil ho na preklad „pôsobivejších čísel“, napríklad na preklad čísel 127,128, 255, 256, 511, 512 atď.
Takéto problémy môžete nájsť, keď potrebujete preložiť číslo, ktoré sa nerovná číslu „2 na mocninu“, ale je blízko k nemu. Môže to byť viac alebo menej ako číslo "2 k výkonu". Rozdiel medzi preloženým číslom a číslom „2 na mocninu“ by mal byť malý. Napríklad do 3. Zastúpenie čísel od 0 do 3 v dvojkovej sústave stačí vedieť bez prekladu.
Ak je číslo väčšie, riešime to takto:
Najprv preložíme číslo „2 na mocninu“ v dvojkovej sústave. A potom k nemu pridáme rozdiel medzi číslom „2 na mocninu“ a číslom, ktoré sa má preložiť.
Preložme si napríklad 19 z desiatkovej sústavy. to viac čísel"2 k výkonu" o 3.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
Ak je číslo menšie ako číslo "2 na mocninu", potom je vhodnejšie použiť číslo "2 na mocninu-1". Riešime takto:
Najprv preložíme číslo „2 na mocninu-1“ v dvojkovej sústave. A potom od neho odčítajte rozdiel medzi číslom „2 na mocninu 1“ a číslom, ktoré sa má preložiť.
Preložme si napríklad 29 z desiatkovej sústavy. Je to viac ako číslo "2 na mocninu-1" o 2. 29 = 31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
Ak je rozdiel medzi preloženým číslom a číslom "2 na mocninu" väčší ako tri, potom môžete číslo rozdeliť na komponenty, preložiť každú časť do binárneho systému a pridať.
Napríklad preložte číslo 528 z desiatkovej sústavy. 528 = 512 + 16. Prekladáme samostatne 512 a 16.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
Teraz to pridajte do stĺpca:
Výsledok sa už dostavil!
Číselné sústavy
Existujú pozičné a nepozičné číselné sústavy. Arabská číselná sústava, ktorú používame Každodenný život, je pozičný, ale Roman nie. V polohové systémy pri výpočte poloha čísla jednoznačne určuje veľkosť čísla. Pozrime sa na to pomocou desatinného čísla 6372 ako príkladu. Vypočítajme toto číslo sprava doľava od nuly:
Potom môže byť číslo 6372 reprezentované takto:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Číslo 10 definuje číselný systém (v tomto prípade je to 10). Hodnoty polohy daného čísla sa berú ako stupne.
Zvážte skutočný desatinné číslo 1287,923. Očíslujme to od nulovej pozície čísla od desatinnej čiarky doľava a doprava:
Potom môže byť číslo 1287.923 reprezentované ako:
1287,923 = 1 000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 + 3 10 10 -3.
Vo všeobecnosti môže byť vzorec reprezentovaný takto:
C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
kde Ц n je celé číslo na pozícii n, Д -k - zlomkové číslo na pozícii (-k), s- číselná sústava.
Niekoľko slov o číselných sústavách Číslo v desiatkovej číselnej sústave pozostáva z mnohých číslic (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), v osmičkovej číselnej sústave - z množiny čísla (0,1, 2,3,4,5,6,7), v dvojkovej číselnej sústave - z množiny číslic (0,1), v šestnástkovej číselnej sústave - z množiny čísel (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), kde A, B, C, D, E, F zodpovedajú číslam 10,11 ,12,13,14,15.čísla v rôznych systémov zúčtovanie.
| stôl 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notový zápis | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého
Ak chcete previesť čísla z jednej číselnej sústavy do druhej, najjednoduchším spôsobom je najprv previesť číslo do desiatkovej číselnej sústavy a potom z desiatkovej číselnej sústavy preložiť do požadovanej číselnej sústavy.
Prevod čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy do desiatkovej číselnej sústavy
Pomocou vzorca (1) môžete previesť čísla z ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú číselnú sústavu.
Príklad 1. Preveďte číslo 1011101.001 z binárneho zápisu (SS) na desiatkové SS. Riešenie:
1 2 6 + 0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 20 + 0 2-1+ 0 2-2+ 1 2 – 3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125
Príklad2. Preveďte 1011101,001 z osmičkového číselného systému (SS) na desiatkové SS. Riešenie:
Príklad 3 ... Preveďte číslo AB572.CDF z hexadecimálneho základu na desiatkové SS. Riešenie:
Tu A-nahradené 10, B- o 11, C- o 12, F- do 15.
Prevod čísel z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy
Ak chcete previesť čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy, musíte oddelene preložiť celú časť čísla a zlomkovú časť čísla.
Celočíselná časť čísla sa prevedie z desiatkovej SS do inej číselnej sústavy - postupným delením celej časti čísla základom číselnej sústavy (pre binárnu SS - 2, pre 8-člennú SS - o 8, pre 16-ary - o 16, atď.) ), kým sa nezíska celý zvyšok, menší ako základ CC.
Príklad 4 ... Preveďme číslo 159 z desiatkovej SS na binárne SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Ako je vidieť z obr. 1, číslo 159 pri delení 2 dáva podiel 79 a zvyšok 1. Ďalej číslo 79 pri delení 2 dáva podiel 39 a zvyšok 1 atď. Výsledkom je, že po zostavení čísla zo zvyšku delenia (sprava doľava) dostaneme číslo v binárnom SS: 10011111 ... Preto môžeme napísať:
159 10 =10011111 2 .
Príklad 5 ... Preveďme číslo 615 z desiatkovej SS na osmičkovú SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Pri prevode čísla z desiatkovej SS na osmičkovú SS musíte číslo postupne deliť 8, kým nedosiahnete celý zvyšok menší ako 8. Výsledkom je, že zostavenie čísla zo zvyškov delenia (sprava doľava), dostaneme číslo v osmičkovej SS: 1147 (pozri obr. 2). Preto môžeme napísať:
615 10 =1147 8 .
Príklad 6 ... Preveďte číslo 19673 z desiatkovej na šestnástkovú SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Ako vidno z obrázku 3, postupným delením 19673 číslom 16 sme dostali zvyšky 4, 12, 13, 9. V šestnástkovej sústave číslo 12 zodpovedá C a číslo 13 zodpovedá D. Preto náš hexadecimálne číslo je 4CD9.
Aby sme previedli správne desatinné zlomky (reálne číslo s nulovou celočíselnou časťou) na základ s, musíme toto číslo postupne násobiť s, kým v zlomkovej časti nezískame čistú nulu, alebo nezískame požadovaný počet číslic. Ak sa počas násobenia získa číslo s celočíselnou časťou, ktorá sa líši od nuly, potom sa táto celá časť neberie do úvahy (sú postupne pripočítané k výsledku).
Zoberme si vyššie uvedené príklady.
Príklad 7 ... Preveďte číslo 0,214 z desiatkového na binárne SS.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Ako je zrejmé z obr. 4, číslo 0,214 sa postupne násobí 2. Ak výsledkom násobenia je nenulové číslo s celočíselnou časťou, potom sa celá časť zapíše oddelene (naľavo od čísla) a číslo sa píše s nulovou celočíselnou časťou. Ak sa pri násobení získa číslo s nulovou celočíselnou časťou, naľavo od neho sa zapíše nula. Proces násobenia pokračuje, kým sa v zlomkovej časti nezíska čistá nula alebo kým sa nezíska požadovaný počet číslic. Zapísaním tučných čísel (obr. 4) zhora nadol dostaneme požadované číslo v dvojkovej číselnej sústave: 0. 0011011 .
Preto môžeme napísať:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Príklad 8 ... Preveďme číslo 0,125 z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej SS.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Ak chcete previesť číslo 0,125 z desiatkovej SS na binárne, toto číslo sa postupne vynásobí 2. V tretej fáze sa ukázalo 0. Preto sa získal nasledujúci výsledok:
0.125 10 =0.001 2 .
Príklad 9 ... Preveďme číslo 0,214 z desiatkovej na šestnástkovú SS.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Podľa príkladov 4 a 5 dostaneme čísla 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale v šestnástkovej sústave SS čísla 12 a 11 zodpovedajú číslam C a B. Preto máme:
0,214 10 = 0,36 C8B4 16.
Príklad 10 ... Prevod desatinného čísla na desatinné číslo SS 0,512.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Mám:
0.512 10 =0.406111 8 .
Príklad 11 ... Prevod čísla 159,125 z desiatkového na binárne SS. Aby sme to dosiahli, preložíme oddelene celú časť čísla (príklad 4) a zlomkovú časť čísla (príklad 8). Ďalej, spojením týchto výsledkov dostaneme:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Príklad 12 ... Prevod čísla 19673.214 z desiatkovej na hexadecimálnu SS. Aby sme to dosiahli, preložíme oddelene celú časť čísla (príklad 6) a zlomkovú časť čísla (príklad 9). Ďalej, spojením týchto výsledkov dostaneme.
Kalkulačka vám umožňuje previesť celé a zlomkové čísla z jednej číselnej sústavy do druhej. Základ číselného systému nemôže byť menší ako 2 a väčší ako 36 (predsa len 10 číslic a 26 latinských písmen). Čísla môžu mať dĺžku až 30 znakov. Na zadávanie zlomkových čísel použite symbol. alebo, . Ak chcete previesť číslo z jednej sústavy do druhej, zadajte do prvého poľa pôvodné číslo, do druhého základ pôvodnej číselnej sústavy a do tretieho poľa základ číselnej sústavy, do ktorej chcete číslo preložiť, a potom kliknite na tlačidlo „Získať záznam“.
Pôvodné číslo zaznamenané v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 35 -tý číselný systém.
Chcem získať záznam o čísle 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -tý číselný systém.
Získajte záznam
Hotové preklady: 1363703
Číselné sústavy
Číselné sústavy sú rozdelené do dvoch typov: pozičné a nie pozičné... Používame arabský systém, je pozičný a existuje aj rímsky - len nie je pozičný. V pozičných systémoch poloha číslice v čísle jednoznačne určuje hodnotu tohto čísla. To je ľahké pochopiť, ak vezmeme do úvahy príklad čísla.
Príklad 1... Zoberme si číslo 5921 v desiatkovom zápise. Očíslujme číslo sprava doľava od nuly:
Číslo 5921 možno zapísať v nasledujúcom tvare: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Číslo 10 je charakteristika, ktorá určuje číselný systém. Hodnoty polohy daného čísla sa berú ako stupne.
Príklad 2... Zoberme si skutočné desatinné číslo 1234,567. Očíslujme to od nulovej pozície čísla od desatinnej čiarky doľava a doprava:
Číslo 1234.567 je možné zapísať v nasledujúcom tvare: 1234.567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 0 4 + 1 · 1 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.
Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého
Väčšina jednoduchým spôsobom prenos čísla z jednej číselnej sústavy do druhej znamená preniesť číslo najprv do desiatkovej číselnej sústavy a potom získaný výsledok do požadovanej číselnej sústavy.
Prevod čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy do desiatkovej číselnej sústavy
Ak chcete previesť číslo z ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú, stačí očíslovať jeho číslice, začínajúc od nuly (miesto naľavo od desatinnej čiarky) podobne ako v príkladoch 1 alebo 2. Nájdite súčet súčinov číslic čísla číslo podľa základu číselnej sústavy v mocnine pozície tejto číslice:
1.
Preveďte číslo 1001101.1101 2 na desiatkový zápis.
Riešenie: 10011.1101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
odpoveď: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Preveďte E8F.2D 16 na desiatkový zápis.
Riešenie: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 = 378125 17570
odpoveď: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10
Prevod čísel z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy
Ak chcete previesť čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy, celé číslo a zlomkové časti čísla sa musia preložiť oddelene.
Prevod celej časti čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy
Celá časť sa prevedie z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy postupným delením celej časti čísla základom číselnej sústavy, až kým nezískame celý zvyšok, ktorý je menší ako základ číselnej sústavy. Výsledkom prevodu bude zápis zo zostatku, počnúc posledným.
3.
Preveďte číslo 273 10 na osmičkovú číselnú sústavu.
Riešenie: 273/8 = 34 a zvyšok 1, 34/8 = 4 a zvyšok 2, 4 je menší ako 8, takže výpočty sú úplné. Záznam zo zvyškov bude vyzerať takto: 421
Vyšetrenie: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273, výsledok je rovnaký. To znamená, že preklad bol vykonaný správne.
odpoveď: 273 10 = 421 8
Uvažujme o preklade správnych desatinných zlomkov v rôznych číselných sústavách.
Prevod zlomkovej časti čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy
Pripomeňme, že sa volá správny desatinný zlomok reálne číslo s nulovou celočíselnou časťou... Ak chcete previesť takéto číslo na základný číselný systém N, musíte číslo postupne násobiť N, kým zlomková časť nebude nula alebo kým sa nezíska požadovaný počet číslic. Ak sa počas násobenia získa číslo s celočíselnou časťou, ktorá sa líši od nuly, potom sa celá časť ďalej neberie do úvahy, pretože sa postupne zadáva do výsledku.
4.
Previesť binárne číslo 0,125 10.
Riešenie: 0,125 2 = 0,25 (0 je celá časť, ktorá sa stane prvou číslicou výsledku), 0,25 2 = 0,5 (0 je druhá číslica výsledku), 0,5 2 = 1,0 (1 je tretia číslica výsledku a keďže sa zlomková časť rovná nule, preklad je dokončený).
odpoveď: 0.125 10 = 0.001 2
2.3. Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého
2.3.1. Prevod celých čísel z jednej číselnej sústavy do druhej
Je možné sformulovať algoritmus na preklad celých čísel zo systému s radixom p do systému so základňou q :
1. Základ novej číselnej sústavy je vyjadrený v číslach pôvodnej číselnej sústavy a všetky následné úkony sa vykonávajú v pôvodný systém zúčtovanie.
2. Postupne vykonajte delenie daného počtu výsledných celočíselných podielov na základe novej číselnej sústavy, až kým nedostaneme podiel, ktorý je menší ako deliteľ.
3. Výsledné zvyšky, ktoré sú číslicami čísla v nový systémčísla, zosúladiť s abecedou nového číselného systému.
4. Vymyslite číslo v novej číselnej sústave, zapíšte si ho, počnúc posledným zvyškom.
Príklad 2.12. Preveďte desiatkové číslo 173 10 na osmičkovú číselnú sústavu:
Dostaneme: 173 10 = 255 8
Príklad 2.13. Preveďte desiatkové číslo 173 10 na hexadecimálny zápis:
Dostaneme: 173 10 = AD 16.
Príklad 2.14. Preveďte desatinné číslo 11 10 na binárny zápis. Je vhodnejšie znázorniť postupnosť akcií zvažovaných vyššie (algoritmus prekladu) takto:
Dostaneme: 11 10 = 1011 2.
Príklad 2.15. Niekedy je vhodnejšie zapísať si prekladový algoritmus vo forme tabuľky. Prevod desatinných 363 10 na binárne.
|
Rozdeľovač |
|||||||||
Dostaneme: 363 10 = 101101011 2
2.3.2. Prevod zlomkových čísel z jedného číselného systému do druhého
Je možné sformulovať algoritmus na preklad správneho robi s radixom p do frakcie so zásadou q:
1. Základ novej číselnej sústavy je vyjadrený v číslach pôvodnej číselnej sústavy a všetky následné úkony sa vykonávajú v pôvodnej číselnej sústave.
2. Postupne násobte daný počet výsledných zlomkových častí súčinu na základe nového systému, kým sa zlomková časť súčinu nerovná nule alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť reprezentácie čísla.
3. Výsledné celé časti súčinu, ktorými sú číslice čísla v novom číselnom systéme, by sa mali zosúladiť s novým abecedným číselným systémom.
4. Vytvorte zlomkovú časť čísla v novej číselnej sústave, počnúc celou časťou prvého súčinu.
Príklad 2.17. Preveďte 0,65625 10 na hexadecimálny zápis.
Získame: 0,65625 10 = 0,52 8
Príklad 2.17. Preveďte 0,65625 10 na hexadecimálny zápis.
|
X 16 |
|
Dostaneme: 0,65625 10 = 0, A8 1
Príklad 2.18. Preveďte desatinné číslo 0,5625 10 na binárny zápis.
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
Dostaneme: 0,5625 10 = 0,1001 2
Príklad 2.19. Previesť desatinný zlomok na binárny zápis 0,7 10.
Je zrejmé, že tento proces môže pokračovať donekonečna a dáva stále viac znakov obrazu binárneho ekvivalentu čísla 0,7 10. V štyroch krokoch teda dostaneme číslo 0,1011 2 a v siedmich krokoch číslo 0,1011001 2, čo je presnejšia reprezentácia čísla 0,7 10 v binárnej číselnej sústave atď. Takýto nekonečný proces sa v určitom kroku preruší, keď sa usúdi, že sa dosiahla požadovaná presnosť reprezentácie čísel.
2.3.3. Preklad ľubovoľných čísel
Preklad ľubovoľných čísel, t.j. čísla obsahujúce celé a zlomkové časti sa vykonávajú v dvoch fázach: celá časť sa preloží oddelene a zlomková časť sa preloží oddelene. V konečnom zázname výsledného čísla je celá časť oddelená od zlomkovej čiarky (bodky).
Príklad 2.20... Previesť binárne číslo 17,25 10.
Získame: 17,25 10 = 1 001,01 2
Príklad 2.21. Preveďte 124,25 10 na osmičkovú sústavu.
Dostaneme: 124,25 10 = 174,2 8
2.3.4. Prevod čísel zo základu 2 na základ 2 n a späť
Preklad celých čísel. Ak je základom q-árnej číselnej sústavy mocnina 2, potom prevod čísel z q-árnej číselnej sústavy na 2-árnu a naopak môže byť vykonaný cez viac jednoduché pravidlá... Aby ste mohli zapísať celé binárne číslo v základe q = 2 n, potrebujete:
1. Rozdeľte binárne číslo sprava doľava do skupín po n číslic.
2. Ak posledná ľavá skupina obsahuje menej ako n číslic, potom musí byť doplnená naľavo nulami na požadovaný počet číslic.
Príklad 2.22. Preveďme číslo 101100001000110010 2 do osmičkovej číselnej sústavy.
Číslo rozdelíme sprava doľava na triády a pod každú z nich zapíšeme príslušnú osmičkovú číslicu:
Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 541062 8.
Príklad 2.23.Číslo 1000000000111110000111 2 sa prevedie do hexadecimálnej číselnej sústavy.
Číslo rozdelíme sprava doľava na tetrády a pod každú zapíšeme príslušné hexadecimálne číslo:
Dostaneme hexadecimálnu reprezentáciu pôvodného čísla: 200F87 16.
Preklad zlomkových čísel. Ak chcete napísať zlomkové binárne číslo v základe q = 2 n, potrebujete:
1. Rozdeľte binárne číslo zľava doprava do skupín po n číslic.
2. Ak posledná pravá skupina obsahuje menej ako n číslic, potom ju treba doplniť nulami sprava až po požadovaný počet číslic.
3. Každú skupinu považujte za n-bitové binárne číslo a zapíšte ho so zodpovedajúcou číslicou v základe q = 2 n.
Príklad 2.24.Číslo 0,10110001 2 prevedieme do osmičkovej číselnej sústavy.
Číslo rozdelíme zľava doprava na triády a pod každú z nich zapíšeme príslušnú osmičkovú číslicu:
Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 0,542 8.
Príklad 2.25.Číslo 0,100000000011 2 preložíme do hexadecimálnej číselnej sústavy. Číslo rozdelíme zľava doprava na tetrády a pod každú z nich zapíšeme príslušné hexadecimálne číslo:
Dostaneme hexadecimálnu reprezentáciu pôvodného čísla: 0,803 16
Preklad ľubovoľných čísel. Aby ste mohli zapísať ľubovoľné binárne číslo v základe q = 2 n, potrebujete:
1. Rozdeľte celú časť daného binárneho čísla sprava doľava a zlomkovú časť zľava doprava na skupiny po n číslic.
2. Ak je v poslednej ľavej a/alebo pravej skupine menej ako n číslic, musia byť doplnené nulami vľavo a/alebo vpravo až do požadovaného počtu číslic;
3. Každú skupinu považujte za n-bitové binárne číslo a zapíšte ho so zodpovedajúcou číslicou v základe q = 2 n
Príklad 2.26. Preveďme číslo 111100101,0111 2 do osmičkovej číselnej sústavy.
Celú a zlomkovú časť čísla rozdelíme na triády a pod každú z nich zapíšeme príslušnú osmičkovú číslicu:
Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 745,34 8.
Príklad 2.27.Číslo 11101001000,11010010 2 sa prevedie do hexadecimálnej číselnej sústavy.
Celú a zlomkovú časť čísla rozdelíme do zošitov a pod každý si zapíšeme príslušnú šestnástkovú číslicu:
Dostaneme hexadecimálnu reprezentáciu pôvodného čísla: 748, D2 16.
Prevod čísel z číselných sústav so základom q = 2n na binárne. Aby sa ľubovoľné číslo zapísané v základnej q = 2 n sústave previedlo do dvojkovej číselnej sústavy, musí byť každá číslica tohto čísla nahradená jej n-ciferným ekvivalentom v dvojkovej číselnej sústave.
Príklad 2.28.Preložme šestnástkové číslo 4АС35 16 do dvojkovej číselnej sústavy.
Podľa algoritmu:
Získame: 1001010110000110101 2.
Samoštúdium (odpovede)
2.38. Vyplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké celé číslo rôznych systémov zúčtovanie.
|
binárne |
Osmičkový |
Desatinné |
Hexadecimálne |
2.39. Doplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké zlomkové číslo v rôznych číselných sústavách.
|
binárne |
Osmičkový |
Desatinné |
Hexadecimálne |
2.40. Vyplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké ľubovoľné číslo (číslo môže obsahovať celé aj zlomkové časti) v rôznych číselných sústavách.
|
binárne |
Osmičkový |
Desatinné |
Hexadecimálne |
|
59, B |