Matice. Pôsobenie na matice. Vlastnosti operácií na maticiach. Druhy matíc.

Matice (a teda matematická časť - maticová algebra)sú dôležité v aplikovanej matematike, pretože umožňujú pomerne jednoduchou formou zapísať významnú časť matematických modelov objektov a procesov. Pojem „matrica“ sa datuje do roku 1850. Matice sa prvýkrát spomínali v starovekej Číne, neskôr medzi arabskými matematikmi.

Matrix A \u003d A mn poriadku sa volá m * n obdĺžniková tabuľka čísel obsahujúca m - riadky a n - stĺpce.

Maticové prvky ij, pre ktoré sa i \u003d j nazývajú uhlopriečky a tvar hlavná uhlopriečka.

Pre štvorcovú maticu (m \u003d n) je hlavná uhlopriečka tvorená prvkami a 11, a 22, ..., a nn.

Rovnosť matíc.

A \u003d Bak sú príkazy matíc A a B sú rovnaké a a ij \u003d b ij (i \u003d 1,2, ..., m; j \u003d 1,2, ..., n)

Pôsobenie na matice.

1. Sčítanie matíc - operácia po prvku

2. Maticové odčítanie - operácia po prvkoch

3. Produkt matice číslom - prvková operácia

4. Násobenie A * B matice podľa pravidla riadok na stĺpec (počet stĺpcov matice A sa musí rovnať počtu riadkov matice B)

A mk * B kn \u003d C mn s každým prvkom s ijmatice C mn sa rovná súčtu súčinov prvkov i-tého riadku matice A zodpovedajúcimi prvkami j-tého stĺpca matice B, t.j.

Ukážme si na príklade operáciu násobenia matíc

5. Umocnenie

m\u003e 1 je kladné celé číslo. A je štvorcová matica (m \u003d n), t.j. relevantné iba pre štvorcové matice

6. Transpozícia matice A. Transponovaná matica je označená A T alebo A "

Riadky a stĺpce sú zamenené

Príklad

Matičné prevádzkové vlastnosti

(A + B) + C \u003d A + (B + C)

λ (A + B) \u003d λA + λB

A (B + C) \u003d AB + AC

(A + B) C \u003d AC + BC

λ (AB) \u003d (λA) B \u003d A (λB)

A (BC) \u003d (AB) C

(λA) "\u003d λ (A)"

(A + B) "\u003d A" + B "

(AB) "\u003d B" A "

Druhy matíc

1. Obdĺžnikové: m a n - ľubovoľné kladné celé čísla

2. Námestie: m \u003d n

3. Maticový reťazec: m \u003d 1... Napríklad (1 3 5 7) - v mnohých praktických problémoch sa takáto matica nazýva vektor

4. Matricový stĺpec: n \u003d 1... napríklad

5. Diagonálna matica: m \u003d n a a ij \u003d 0, ak i ≠ j... napríklad

6. Matica jednotiek: m \u003d n a

7. Nulová matica: a ij \u003d 0, i \u003d 1,2, ..., m

j \u003d 1,2, ..., n

8. Trojuholníková matica: všetky prvky pod hlavnou uhlopriečkou sú 0.

9. Symetrická matica: m \u003d n a a ij \u003d a ji(to znamená, že na miestach symetrických vzhľadom na hlavnú uhlopriečku sú rovnaké prvky), a teda A "\u003d A

Napríklad,

10. Zkosená symetrická matica: m \u003d n a a ij \u003d -a ji (tj. opačné prvky sú umiestnené na miestach symetrických vzhľadom na hlavnú uhlopriečku). Preto sú na hlavnej uhlopriečke nuly (od pre i \u003d jmáme a ii \u003d -a ii)

Jasný, A "\u003d - A

11. Hermitovská matica: m \u003d n a a ii \u003d -ã ii (ã ji- komplex - konjugovať s a ji, t.j. ak A \u003d 3 + 2i, potom komplexný konjugát à \u003d 3-2i)

Toto je koncept, ktorý zovšeobecňuje všetky možné operácie vykonávané s maticami. Matematická matica je tabuľka prvkov. O takom stole, kde m linky a n stĺpce, hovoria, že táto matica má rozmer m na n.

Celkový pohľad na maticu:

Pre maticové riešenia je potrebné pochopiť, čo je to matica, a poznať jej hlavné parametre. Hlavné prvky matice:

• Hlavná uhlopriečka tvorená prvkami a 11, 22 ... .. mn.
• Bočná uhlopriečka tvorená prvkami 1n, 2n-1 ... ..a m1.

Hlavné typy matíc:

• Štvorec je matica, kde počet riadkov \u003d počet stĺpcov ( m \u003d n).
• Nula - kde všetky prvky matice \u003d 0.
• Transponovať maticu - maticu INktorý bol získaný z pôvodnej matice A nahradením riadkov stĺpcami.
• Single - všetky prvky hlavnej uhlopriečky \u003d 1, všetky ostatné \u003d 0.
• Inverzná matica je matica, ktorá po vynásobení pôvodnou maticou vedie k matici identity.

Matica môže byť symetrická okolo hlavnej a bočnej uhlopriečky. Teda ak a 12 \u003d a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-ln \u003d mn-1, potom je matica symetrická okolo hlavnej uhlopriečky. Symetrické môžu byť iba štvorcové matice.

Metódy riešenia matíc.

Takmer všetky metódy maticového riešenia je nájsť jeho determinant n-th order a väčšina z nich je dosť ťažkopádna. Existujú aj iné, racionálnejšie spôsoby, ako nájsť determinant 2. a 3. rádu.

Nájdenie determinantov 2. rádu.

Na výpočet determinantu matice A 2. rádu, je potrebné odpočítať súčin prvkov sekundárnej uhlopriečky od súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky:

Metódy hľadania determinantov tretieho rádu.

Ďalej sú uvedené pravidlá pre hľadanie determinantu 3. rádu.

Zjednodušené pravidlo trojuholníka, ako jedného z metódy riešenia matíc, je možné znázorniť nasledovne:

Inými slovami, súčin prvkov v prvom kvalifikátore, ktoré sú spojené priamkami, sa berie so znamienkom „+“; tiež pre druhý determinant - zodpovedajúce výrobky sa berú so znamienkom „-“, to znamená podľa nasledujúcej schémy:

Kedy riešenie matíc podľa Sarrusovho pravidla, napravo od determinantu sa pridajú prvé 2 stĺpce a produkty zodpovedajúcich prvkov na hlavnej uhlopriečke a na uhlopriečkach, ktoré sú s ňou rovnobežné, sa berú so znamienkom „+“; a výrobky zodpovedajúcich prvkov bočnej uhlopriečky a uhlopriečok, ktoré sú s ňou rovnobežné, so znamienkom „-“:

Determinantný rozklad po riadkoch alebo stĺpcoch pri riešení matíc.

Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov determinantného reťazca pomocou ich algebraických doplnkov. Zvyčajne vyberte riadok / stĺpec, v ktorom / oh, sú nuly. Riadok alebo stĺpec, pozdĺž ktorého sa rozklad uskutočňuje, bude označený šípkou.

Redukcia determinantu na trojuholníkový tvar pri riešení matíc.

Kedy riešenie matíc metódou redukcie determinantu na trojuholníkový tvar fungujú nasledovne: pomocou najjednoduchších transformácií na riadkoch alebo stĺpcoch sa determinant stane trojuholníkovým a potom sa jeho hodnota v súlade s vlastnosťami determinantu bude rovnať súčinu prvkov, ktoré sú na hlavnej uhlopriečke.

Laplaceova veta na riešenie matíc.

Pri riešení matíc Laplaceovou vetou je potrebné poznať priamo samotnú vetu. Laplaceova veta: Nech Δ je určujúci nth objednávka. Vyberáme ľubovoľné k riadky (alebo stĺpce), ak sú k dispozícii k≤ n - 1... V tomto prípade súčet produktov všetkých maloletých kvo vybranom poradí k riadky (stĺpce), na ich algebraickom doplnku sa bude rovnať determinantu.

Riešenie inverznej matice.

Postupnosť akcií pre riešenie inverznej matice:

1. Určte, či je daná matica štvorcová. Ak je odpoveď záporná, je zrejmé, že pre ňu nemôže byť inverzná matica.
2. Vypočítame algebraické doplnky.
3. Skladáme jednotnú (vzájomnú, pripojenú) maticu C..
4. Inverznú maticu skladáme z algebraických doplnkov: všetkých prvkov adjungovanej matice C. delené determinantom počiatočnej matice. Výslednou maticou bude požadovaná inverzná matica vzhľadom na danú maticu.
5. Skontrolujeme vykonanú prácu: vynásobíme počiatočnú maticu a výslednú maticu, výsledkom by mala byť matica identity.

Riešenie maticových systémov.

Pre riešenia maticových systémovnajčastejšie sa používa Gaussova metóda.

Gaussova metóda je štandardný spôsob riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc (SLAE) a spočíva v tom, že sa postupne vylučujú premenné, t. J. Pomocou elementárnych zmien sa sústava rovníc dostane do ekvivalentnej sústavy trojuholníkového tvaru a postupne od nej, počnúc druhý (podľa počtu), vyhľadajte každý prvok systému.

Gaussova metóda je najuniverzálnejší a najlepší nástroj na hľadanie matíc riešení. Pokiaľ má systém nekonečnú množinu riešení alebo je nekompatibilný, nemožno ho vyriešiť Cramerovým pravidlom a maticovou metódou.

Gaussova metóda tiež predpokladá priame (redukcia rozšírenej matice na stupňovitú formu, t. J. Získanie núl pod hlavnou uhlopriečkou) a reverzné (získanie núl nad hlavnou uhlopriečkou rozšírenej matice) ťahov. Pohyb vpred je metódou Gauss, opačným smerom je metóda Gauss-Jordan. Metóda Gauss-Jordan sa líši od metódy Gauss iba v postupnosti eliminácie premenných.

Definícia 1. Veľkostná maticam n nazývaná obdĺžniková tabuľka m riadkov a n stĺpcov, pozostávajúca z čísel alebo iných matematických výrazov (nazývaných prvky matice), i \u003d 1,2,3, ..., m, j \u003d 1,2,3, ..., n.

alebo

Definícia 2. Dve matice
a
jedna velkost sa vola rovnýak sa zhodujú prvok po prvku, t.j. =, i \u003d 1,2,3, ..., m, j \u003d 1,2,3, ..., n.

Pomocou matíc je ľahké zapísať si niektoré ekonomické závislosti, napríklad tabuľky rozdelenia zdrojov pre niektoré odvetvia hospodárstva.

Definícia 3. Ak sa počet riadkov matice zhoduje s počtom jej stĺpcov, t.j. m \u003d n, potom sa volá matica štvorcový poriadokn, inak obdĺžnikový.

Definícia 4. Prechod z matice A do matice A m, v ktorej riadky a stĺpce zmenili miesta pri zachovaní poradia, sa volá transpozíciamatice.

Typy matíc: štvorec (veľkosť 33) -
,

obdĺžnikový (veľkosť 25) -
,

uhlopriečka -
, slobodný -
, nula -
,

riadková matica -
, stĺpcová matica -.

Definícia 5. Prvky štvorcovej matice rádu n s rovnakými indexmi sa nazývajú prvky hlavnej uhlopriečky, t.j. toto sú prvky:
.

Definícia 6. Prvky štvorcovej matice rádu n sa nazývajú prvky bočnej uhlopriečky, ak je súčet ich indexov n + 1, t.j. toto sú prvky :.

1.2. Maticové operácie.

1 0 . Súčet dve matice
a
rovnakej veľkosti sa nazýva matica С \u003d (s ij), ktorej prvky sú určené rovnosťou s ij \u003d a ij + b ij, (i \u003d 1,2,3, ..., m, j \u003d 1,2,3, ..., n).

Vlastnosti operácie pridania matice.

Pre všetky matice A, B, C rovnakej veľkosti sú splnené rovnaké podmienky:

1) A + B \u003d B + A (komutovateľnosť),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (asociativita).

2 0 . Podľa produktu matice
podľa počtu  nazývala sa matica
rovnakej veľkosti ako matica A a b ij \u003d  (i \u003d 1,2,3, ..., m, j \u003d 1,2,3, ..., n).

Vlastnosti operácie vynásobenia matice číslom.

 (А) \u003d () А (asociativita násobenia);

 (A + B) \u003d A + B (distributivita násobenia vzhľadom na sčítanie matice);

( + ) А \u003d А + А (distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie čísel).

Definícia 7. Lineárna kombinácia matíc
a
rovnakej veľkosti sa nazýva výraz tvaru A + B, kde  a  sú ľubovoľné čísla.

3 0 . Produkt A  V matriciach A, respektíve B, veľkosti mn a nk sa nazýva matica C veľkosti mk, takže prvok s ij sa rovná súčtu súčinov prvkov i-tého riadku matice A a j-tého stĺpca matice B, s ij \u003d a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj.

Produkt AB existuje, iba ak sa počet stĺpcov matice A zhoduje s počtom riadkov matice B.

Vlastnosti operácie násobenia matice:

(АВ) С \u003d А (ВС) (asociativita);

(A + B) C \u003d AC + BC (distributivita vzhľadom na adíciu matice);

А (В + С) \u003d АВ + АС (distributivita vzhľadom na pridanie matice);

АВ  ВА (nie komutativita).

Definícia 8. Matice A a B, pre ktoré AB \u003d BA, sa nazývajú dochádzanie alebo permutácia.

Vynásobením štvorcovej matice ľubovoľného poradia zodpovedajúcou maticou identity sa matica nezmení.

Definícia 9. Elementárne transformácie matice sa nazývajú nasledujúce operácie:

Zamieňajte dva riadky (stĺpce).

Vynásobenie každého prvku riadku (stĺpca) nenulovým číslom.

Pridanie k prvkom jedného riadku (stĺpca) zodpovedajúcich prvkov iného riadku (stĺpca).

Definícia 10. Matica B získaná z matice A pomocou elementárnych transformácií sa volá ekvivalent (označené ВА).

Príklad 1.1. Nájdite lineárnu kombináciu matíc 2A - 3B, ak

,
.

,
,

.

Príklad 1.2. Nájdite produkt Matrix
, ak

.

Riešenie: pretože počet stĺpcov v prvej matici sa zhoduje s počtom riadkov v druhej matici, potom existuje maticový produkt. Vo výsledku dostaneme novú maticu
kde

Vo výsledku dostaneme
.

Prednáška 2. Determinanty. Výpočet determinantov druhého, tretieho rádu. Určujúce vlastnostinth objednávka.

\u003e\u003e Matice

4.1 Matice. Maticové operácie

Obdĺžniková matica mxn je zbierka čísel mxn usporiadaných do obdĺžnikovej tabuľky obsahujúcej m riadkov a n stĺpcov. Napíšeme to do formy

alebo skrátene A \u003d (a i j) (i \u003d; j \u003d), čísla a i j, sa nazývajú jeho prvky; prvý index označuje číslo riadku, druhý označuje číslo stĺpca. A \u003d (a i j) a B \u003d (b i j) rovnakej veľkosti sa nazývajú rovnaké, ak sú ich prvky na rovnakých miestach rovnaké v pároch, to znamená A \u003d B, ak a i j \u003d b i j.

Matica pozostávajúca z jedného riadku alebo jedného stĺpca sa nazýva riadok alebo stĺpcový vektor. Vektory stĺpcov a vektory riadkov sa označujú jednoducho ako vektory.

Matica pozostávajúca z jedného čísla je identifikovaná s týmto číslom. Veľkosť A mxn, ktorej všetky prvky sa rovnajú nule, sa nazývajú nula a označujú sa 0. Prvky s rovnakými indexmi sa nazývajú prvky hlavnej uhlopriečky. Ak sa počet riadkov rovná počtu stĺpcov, teda m \u003d n, potom sa matica nazýva štvorec rádu n. Štvorcové matice, v ktorých sú iba prvky hlavnej uhlopriečky nenulové, sa nazývajú uhlopriečka a sú napísané takto:

Ak sú všetky prvky a i i uhlopriečky rovné 1, potom sa nazýva jednotka a označuje sa písmenom E:

.

Štvorcová matica sa nazýva trojuholníková, ak sú všetky prvky nad (alebo pod) hlavnou uhlopriečkou nulové. Transpozícia je transformácia, pri ktorej sa vymieňajú riadky a stĺpce pri zachovaní ich počtu. Transpozícia je označená písmenom T v hornej časti.

Ak v (4.1) usporiadame riadky so stĺpcami, potom dostaneme

,

ktoré sa budú transponovať vzhľadom na A. Najmä keď sa transponuje stĺpcový vektor, získa sa riadkový vektor a naopak.

Produktom A čísla b je matica, ktorej prvky sa získajú zo zodpovedajúcich prvkov A vynásobením číslom b: b A \u003d (b a i j).

Súčet A \u003d (a i j) a B \u003d (b i j) rovnakej veľkosti sa nazýva C \u003d (c i j) rovnakej veľkosti, ktorých prvky sú určené vzorcom c i j \u003d a i j + b i j.

Produkt AB je definovaný za predpokladu, že počet stĺpcov A sa rovná počtu riadkov B.

Produkt AB, kde A \u003d (a i j) a B \u003d (b j k), kde i \u003d, j \u003d, k \u003d, dané v určitom poradí AB, sa nazýva C \u003d (c i k), ktorého prvky sa určujú podľa tohto pravidla:

c i k \u003d a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k + ... + a i m b m k \u003d a i s b s k. (4,2)

Inými slovami, prvok súčinu AB je definovaný takto: prvok i-tého riadku a k-tého stĺpca C sa rovná súčtu súčinov prvkov i-tého riadku A príslušnými prvkami k-tého stĺpca B.

Príklad 2.1. Nájdite produkt AB a.

Rozhodnutie. Máme: A veľkosť 2x3, B veľkosť 3x3, potom existuje súčin AB \u003d C a prvky C sú rovnaké

С 11 \u003d 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 \u003d 8, с 21 \u003d 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 \u003d 5, с 12 \u003d 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 \u003d 7 ,

s 22 \u003d 3 × 2 + 1 × 0 + 0 × 5 \u003d 6, s 13 \u003d 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 \u003d 9, s 23 \u003d 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 \u003d 10 ...

a BA neexistuje.

Príklad 2.2. V tabuľke je uvedený počet jednotiek výrobkov expedovaných denne do mliekarní 1 a 2 do obchodov M 1, M 2 a M 3 a dodávka výrobnej jednotky z každej mliekárne do skladu M 1 stojí 50 den. jednotky, v obchode M 2 - 70 a v M 3 - 130 den. Jednotky Vypočítajte denné náklady na prepravu každého závodu.

Mliečne výrobky

Rozhodnutie. Označíme A maticu, ktorá nám bola daná v podmienke, a
В - matica charakterizujúca náklady na dodanie výrobnej jednotky do obchodov, t.j.

,

Potom bude matica prepravných nákladov vyzerať takto:

.

Prvý závod teda každý deň utratí za dopravu 4 750 peňazí. jednotky, druhá - 3680 peňažných jednotiek.

Príklad 2.3. Šijacia spoločnosť vyrába zimné kabáty, sezónne plášte a pršiplášte. Plánovaný výstup na desaťročie je charakterizovaný vektorom X \u003d (10, 15, 23). Používajú sa štyri druhy látok: T 1, T 2, T 3, T 4. V tabuľke sú uvedené miery spotreby látky (v metroch) pre každý výrobok. Vektor С \u003d (40, 35, 24, 16) určuje náklady na meter každého druhu tkaniny a vektor P \u003d (5, 3, 2, 2) - náklady na prepravu metra látky každého typu.

	Spotreba látky
Zimný kabát
Polsezónny kabát

1. Koľko metrov každého druhu tkaniny bude potrebných na dokončenie plánu?

2. Nájdite náklady na látku použitú na šitie každého druhu výrobku.

3. Určite náklady na všetku látku potrebnú na dokončenie plánu.

Rozhodnutie. Označíme A maticu, ktorá nám bola daná v podmienke, to znamená

potom, aby ste našli počet metrov tkaniny potrebný na dokončenie plánu, musíte vynásobiť vektor X maticou A:

Cena látky vynaloženej na šitie každého typu výrobku sa zistí vynásobením matice A a vektora C T:

.

Cena celej textílie potrebnej na dokončenie plánu bude určená vzorcom:

Nakoniec, s prihliadnutím na náklady na prepravu, sa celá suma bude rovnať nákladom na tkaninu, tj. 9472 den. jednotky plus hodnota

X А P T \u003d
.

Takže X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (peňažné jednotky).

Matičné akcie

1. Sčítanie a odčítanie matíc:

Sčítanie a odčítanie matíc - jedna z najjednoduchších akcií proti nim, pretože je potrebné sčítať alebo odčítať zodpovedajúce prvky dvoch matíc. Hlavná vec, ktorú treba pamätať, je, že je možné sčítať a odčítať iba matice. rovnaká veľkosť, t.j. tie, ktoré majú rovnaký počet riadkov a rovnaký počet stĺpcov.

Napríklad nech sú dané dve matice rovnakej veľkosti 2x3, t.j. s dvoma riadkami a tromi stĺpcami:

Súčet dvoch matíc:

Rozdiel dvoch matíc:

2. Vynásobenie matice číslom:

Násobenie matice číslom -proces vynásobenia čísla každým prvkom matice.

Napríklad nech je zadaná matica A:

Vynásobme číslo 3 maticou A:

3. Násobenie dvoch matíc:

Násobenie dvoch matíc je možné len za podmienky, že počet stĺpcov prvej matice sa musí rovnať počtu riadkov druhej. Nová matica, ktorá bude výsledkom násobenia matice, bude pozostávať z počtu riadkov rovnajúcich sa počtu stĺpcov v prvej matici a počtu stĺpcov rovných počtu riadkov v druhej matici.

Predpokladajme, že existujú dve matice s rozmermi 3x4 a 4x2, t.j. prvá matica má 3 riadky a 4 stĺpce a druhá matica má 4 riadky a 2 stĺpce. Pretože počet stĺpcov prvej matice (4) sa rovná počtu riadkov druhej matice (4), potom je možné matice znásobiť, nová matica bude mať veľkosť: 3x2, t.j. 3 riadky a 2 stĺpce.

Toto všetko si môžete predstaviť vo forme diagramu:

Keď sa rozhodnete pre veľkosť novej matice, ktorá sa získa vynásobením dvoch matíc, môžete začať plniť túto maticu prvkami. Ak potrebujete vyplniť prvý riadok prvého stĺpca tejto matice, musíte každý prvok prvého riadku prvej matice vynásobiť každým prvkom prvého stĺpca druhej matice, ak vyplníme druhý riadok prvého stĺpca, zoberieme každý prvok druhého riadku prvej matice a vynásobíme prvým stĺpcom druhého matice a pod.

Pozrime sa, ako to vyzerá na diagrame:

Pozrime sa, ako to vyzerá na príklade:

Uvádzajú sa dve matice:

Poďme nájsť produkt týchto matíc:

4. Delenie matíc:

Delenie matíc - pôsobenie na matice, ktoré v tomto koncepte nenájdete v učebniciach. Ak je však potrebné rozdeliť maticu A na maticu B, potom sa v tomto prípade použije jedna z vlastností stupňov:

Podľa tejto vlastnosti rozdelíme maticu A na maticu B:

Vo výsledku sa problém delenia matíc zníži na násobenie inverzná matica matica B do matice A.

inverzná matica

Nech existuje štvorcová matica n-tého rádu

Matica A -1 sa volá inverzná matica vzhľadom na maticu A, ak A * A -1 \u003d E, kde E je matica identity n-tého rádu.

Maticová jednotka - taká štvorcová matica, v ktorej sú všetky prvky na hlavnej uhlopriečke prechádzajúce z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu jedny a zvyšok sú nuly, napríklad:

inverzná matica môže existovať iba pre štvorcové matice tie. pre tie matice s rovnakým počtom riadkov a stĺpcov.

Veta o podmienke existencie inverznej matice

Na to, aby matica mala inverznú maticu, je nevyhnutné a dostatočné, aby nedegenerovala.

Matica А \u003d (А1, А2, ... Аn) sa volá nedegenerovanýak sú vektory stĺpcov lineárne nezávislé. Počet lineárne nezávislých stĺpcových vektorov matice sa nazýva hodnosť matice. Preto môžeme povedať, že pre existenciu inverznej matice je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť matice rovnala jej dimenzii, t.j. r \u003d n.

Algoritmus na nájdenie inverznej matice

Maticu A si zapíšte do tabuľky na riešenie sústav rovníc Gaussovou metódou a napravo (namiesto pravej strany rovníc) priraďte maticu E.

Pomocou Jordanovej transformácie zredukujte maticu A na maticu pozostávajúcu z jednotkových stĺpcov; v tomto prípade je potrebné súčasne transformovať maticu E.

Ak je to potrebné, usporiadajte riadky (rovnice) poslednej tabuľky tak, aby sme pod maticou A pôvodnej tabuľky dostali jednotkovú maticu E.

Napíš inverznú hodnotu matice A -1, ktorá je v poslednej tabuľke pod maticu E pôvodnej tabuľky.

Príklad 1

Pre maticu A nájdite inverznú maticu A -1

Riešenie: Zapíšeme si maticu A a vpravo priradíme maticu identity E. Pomocou Jordanových transformácií zmenšíme maticu A na maticu identity E. Výpočty sú uvedené v tabuľke 31.1.

Skontrolujme správnosť výpočtov vynásobením pôvodnej matice A a inverznej matice A -1.

Výsledkom násobenia matice je jednotková matica. Preto sú výpočty správne.

Odpoveď:

Maticové determinanty (determinanty) Maticové determinanty (determinanty)

Maticové determinanty, metóda č. 1:

Determinant štvorcovej matice (det A) je číslo, ktoré sa dá vypočítať podľa prvkov matice podľa vzorca:

Kde М 1k - determinant matice (determinant) získaný z originálu maticevymazaním prvého riadku a k - tého stĺpca. Vezmite prosím na vedomie, že determinanty mať iba štvorec matice, t.j. matice s počtom riadkov rovným počtu stĺpcov. Prvý vzorec sa počíta determinant matice na prvom riadku je platný aj vzorec výpočtu determinant matice v prvom stĺpci:

Všeobecne povedané, determinant matice možno vypočítať na ľubovoľnom riadku alebo stĺpci matice, t.j. vzorec je platný:

Je zrejmé, že iné matice môže mať to isté determinanty. Determinant matice identity rovná sa 1. Pre zadané matice A číslo М 1k sa nazýva dodatočná menšia prvku matice 1k. Môžeme teda dospieť k záveru, že každý prvok matice má svoju vlastnú vedľajšiu. Ďalšie neplnoleté osoby existujú iba v štvorci matice.

Ďalšia menšia hodnota ľubovoľného štvorcového prvku matice aj je determinant maticezískané z originálu matice odstránením i-tého riadku a j-tého stĺpca.

Maticové determinanty, metóda číslo 2:

Determinant matice prvá objednávka, príp určujúci prvého rádu sa nazýva prvok a 11:

Determinant matice druhého rádu, príp určujúci druhého rádu, sa nazýva číslo, ktoré sa vypočíta podľa vzorca:

Determinant matice tretia objednávka, príp určujúci tretieho rádu sa volá číslo, ktoré sa vypočíta podľa vzorca:

Toto číslo predstavuje algebraický súčet šiestich výrazov. Každý výraz obsahuje presne jeden prvok z každého riadku a každého stĺpca matice... Každý výraz sa skladá z produktu troch faktorov.

Znaky, s ktorými členmi determinant matice sú zahrnuté vo vzorci nájdenie determinantu matice tretí poriadok je možné určiť pomocou vyššie uvedenej schémy, ktorá sa nazýva pravidlo trojuholníkov alebo Sarrusovo pravidlo. Prvé tri výrazy sa berú so znamienkom plus a určujú sa z ľavého obrázka. Nasledujúce tri výrazy sa berú so znamienkom mínus a určujú sa z pravého obrázka.

Komentár:

Kalkulácia determinanty matíc štvrtý a vyšší rád vedie k ďalším výpočtom, pretože:

pre prvého rádu nájdeme jeden člen, ktorý sa skladá z jedného faktora;

pre nájdenie determinantu matice druhého rádu, musíte vypočítať algebraický súčet dvoch členov, kde každý člen pozostáva z produktu dvoch faktorov;

pre nájdenie determinantu matice z tretieho rádu musíte vypočítať algebraický súčet šiestich výrazov, kde každý výraz pozostáva z produktu troch faktorov;

pre nájdenie determinantu matice štvrtého rádu, musíte vypočítať algebraický súčet dvadsiatich štyroch členov, kde každý člen pozostáva z produktu štyroch faktorov atď.

Určte počet hľadaných výrazov determinant matice, v algebraickom súčte môžete vypočítať faktoriál: 1! \u003d 1 2! \u003d 1 × 2 \u003d 2 3! \u003d 1 × 2 × 3 \u003d 6 4! \u003d 1 × 2 × 3 × 4 \u003d 24 5! \u003d 1 × 2 × 3 × 4 × 5 \u003d 120 ...