Online metóda interpolácie. Stanovenie strednej hodnoty lineárnou interpoláciou

Mnohí z nás sa v rôznych vedách stretli s nepochopiteľnými pojmami. Existuje ale len veľmi málo ľudí, ktorí sa nezľaknú nezrozumiteľných slov, ale naopak, sú povzbudzovaní a nútení hlbšie sa venovať skúmanému predmetu. Dnes budeme hovoriť o niečom ako o interpolácii. Toto je metóda vykresľovania grafov zo známych bodov, ktorá umožňuje predpovedať jej správanie na konkrétnych častiach krivky s minimálnym množstvom informácií o funkcii.

Predtým, ako prejdeme k podstate samotnej definície a povieme si o nej podrobnejšie, ponorme sa trocha hlbšie do histórie.

História

Interpolácia je známa už od staroveku. Tento fenomén však vďačí za svoj rozvoj niekoľkým z najvýznamnejších matematikov minulosti: Newtonovi, Leibnizovi a Gregorymu. Boli to oni, kto vyvinul tento koncept pomocou pokročilejších matematických metód, ktoré boli v tej dobe k dispozícii. Predtým bola interpolácia samozrejme použitá a použitá vo výpočtoch, ale urobili to úplne nepresnými spôsobmi, ktoré vyžadovali Vysoké čísloúdaje na zostavenie modelu, viac či menej blízke realite.

Dnes si dokonca môžeme vybrať, ktorá z metód interpolácie je vhodnejšia. Všetko bolo preložené do počítačového jazyka, ktorý dokáže s veľkou presnosťou predpovedať správanie funkcie v určitej oblasti, obmedzenej známymi bodmi.

Interpolácia je dosť úzky pojem, takže jeho história nie je taká bohatá na fakty. V nasledujúcej časti zistíme, čo to vlastne interpolácia je a ako sa líši od jej opaku, extrapolácie.

Čo je interpolácia?

Ako sme už povedali, toto je všeobecný názov pre metódy, ktoré vám umožňujú vykresliť graf podľa bodov. V škole sa to deje hlavne zostavením tabuľky, identifikáciou bodov v grafe a hrubým nakreslením čiar, ktoré ich spájajú. Posledná akcia sa robí na základe úvah o podobnosti skúmanej funkcie s inými, ktorých typ grafov poznáme.

Existujú však aj ďalšie, komplexnejšie a presné spôsoby dokončite úlohu vykreslenia grafu podľa bodov. Interpolácia je teda vlastne „predikciou“ správania sa funkcie v konkrétnej oblasti, obmedzenou známymi bodmi.

S rovnakou oblasťou je spojený podobný koncept - extrapolácia. Je to tiež predpoveď grafu funkcie, ale mimo známych bodov grafu. Pri tejto metóde sa predpovedá na základe správania funkcie pre známy interval a potom sa táto funkcia použije pre neznámy interval. Táto metóda je veľmi výhodná pre praktické uplatnenie a aktívne sa používa napríklad v ekonomike na predpovedanie vzostupov a pádov na trhu a na predpovedanie demografickej situácie v krajine.

Ale vzdialili sme sa od hlavnej témy. V ďalšej časti zistíme, čo je to interpolácia a aké vzorce je možné použiť na vykonanie tejto operácie.

Interpolačné typy

Najviac jednoduchá forma je interpolácia najbližšieho suseda. Touto metódou získame veľmi hrubý graf obdĺžnikov. Ak ste aspoň raz videli vysvetlenie geometrického významu integrálu na grafe, potom pochopíte, o akom grafickom tvare hovoríme.

Okrem toho existujú ďalšie metódy interpolácie. Najslávnejšie a najpopulárnejšie sa týkajú polynómov. Sú presnejšie a umožňujú predpovedať správanie funkcie s pomerne skromným súborom hodnôt. Prvá metóda interpolácie, na ktorú sa pozrieme, bude lineárna interpolácia pomocou polynómov. Toto je najľahší spôsob z tejto kategórie a každý z vás to v škole určite použil. Jeho podstata spočíva v konštrukcii čiar medzi známymi bodmi. Ako viete, jedna priama čiara prechádza dvoma bodmi roviny, ktorých rovnicu nájdete na základe súradníc týchto bodov. Po zostavení týchto čiar dostaneme zlomený graf, ktorý prinajmenšom odráža približné hodnoty funkcií a vo všeobecnosti sa zhoduje s realitou. Takto sa vykonáva lineárna interpolácia.

Pokročilé typy interpolácie

Existuje viac zaujímavostí, ale viac ťažký spôsob interpolácia. Vynašiel ho francúzsky matematik Joseph Louis Lagrange. Preto je po ňom pomenovaný výpočet interpolácie touto metódou: interpolácia Lagrangeovou metódou. Trik tu je tento: ak metóda popísaná v predchádzajúcom odseku používa na výpočet iba lineárnu funkciu, potom Lagrangeova expanzia predpokladá aj použitie polynómov vyšších stupňov. Nie je však také ľahké nájsť samotné vzorce interpolácie rôzne funkcie... A čím viac bodov je známych, tým presnejší je interpolačný vzorec. Existuje však mnoho ďalších metód.

Existuje aj dokonalejšia a realistickejšia metóda výpočtu. Interpolačný vzorec, ktorý je v ňom použitý, je súborom polynómov, ktorých aplikácia závisí od časti funkcie. Táto metóda sa nazýva funkcia spline. Okrem toho existujú aj spôsoby, ako vykonať takú vec, ako je interpolácia funkcií dvoch premenných. Existujú iba dve metódy. Medzi nimi je bilineárna alebo dvojitá interpolácia. Táto metóda vám umožňuje ľahko vykresliť graf z bodov v trojrozmernom priestore. Nebudeme sa dotýkať iných metód. Interpolácia je vo všeobecnosti univerzálnym názvom pre všetky tieto metódy vykresľovania grafov, ale množstvo spôsobov, ktorými je možné túto akciu vykonať, ich núti rozdeliť ich do skupín v závislosti od typu funkcie, ktorá je predmetom tejto akcie. To znamená, že interpolácia, ktorej príklad sme uvažovali vyššie, sa týka priamych metód. Existuje aj inverzná interpolácia, ktorá sa líši v tom, že vám umožňuje vypočítať nie priamu, ale inverznú funkciu (to znamená x z y). Posledné uvedené možnosti nebudeme zvažovať, pretože sú dosť náročné a vyžadujú si dobrú matematickú základňu.

Prejdeme k jednému z nich kritické úseky... Z toho sa dozvedáme, ako a kde sa súbor metód, o ktorých diskutujeme, uplatňuje v živote.

Aplikácia

Ako viete, matematika je kráľovnou vied. Preto aj keď spočiatku v určitých operáciách nevidíte zmysel, neznamená to, že sú zbytočné. Zdá sa napríklad, že interpolácia je zbytočná vec, pomocou ktorej je možné zostavovať iba grafy, ktoré teraz potrebuje málokto. Avšak pre akékoľvek výpočty v technológii, fyzike a mnohých ďalších vedách (napríklad biológii) je mimoriadne dôležité predložiť pomerne úplný obraz o tomto jave a mať určitý súbor hodnôt. Samotné hodnoty roztrúsené po grafe neposkytujú vždy jasnú predstavu o správaní funkcie v konkrétnej oblasti, hodnotách jej derivácií a priesečníkoch s osami. A to je veľmi dôležité pre mnohé oblasti nášho života.

A ako je to v živote užitočné?

Na túto otázku môže byť veľmi ťažké odpovedať. Ale odpoveď je jednoduchá: v žiadnom prípade. Práve tieto znalosti vám nebudú nijako užitočné. Ak však porozumiete tomuto materiálu a metódam, ktorými sa tieto akcie vykonávajú, precvičíte si svoju logiku, ktorá bude v živote veľmi užitočná. Hlavnou vecou nie sú samotné znalosti, ale zručnosti, ktoré človek získa v procese štúdia. Napokon, nie nadarmo sa hovorí: „Ži a uč sa“.

Súvisiace koncepty

Sami sa môžete presvedčiť, ako dôležitá bola táto oblasť matematiky (a stále nestráca na dôležitosti), keď sa pozriete na množstvo ďalších konceptov, ktoré s tým súvisia. Už sme hovorili o extrapolácii, ale existuje aj aproximácia. Toto slovo ste už možno počuli. V každom prípade sme v tomto článku diskutovali aj o tom, čo to znamená. Aproximácia, podobne ako interpolácia, sú pojmy súvisiace s vykresľovacími funkciami. Rozdiel medzi prvým a druhým je však v tom, že ide o približné vykresľovanie na základe podobných známych grafov. Tieto dva koncepty sú si navzájom veľmi podobné a o to zaujímavejšie je ich štúdium.

Záver

Matematika nie je taká ťažká veda, ako sa na prvý pohľad zdá. Skôr je to zaujímavé. A v tomto článku sme sa vám to pokúsili dokázať. Pozreli sme sa na koncepty súvisiace s vykresľovaním, dozvedeli sme sa, čo je dvojitá interpolácia, a diskutovali sme s príkladmi, kde sa používa.

Tento termín má ďalšie významy, pozri Interpolácia. O funkcii pozri: Interpolyant.

Interpolácia, interpolácia (od lat. inter - polis - « vyhladené, zrekonštruované, obnovené; transformovaný») - vo výpočtovej matematike je metóda hľadania medziľahlých hodnôt veličiny z dostupného diskrétneho súboru známych hodnôt. Pojem „interpolácia“ prvýkrát použil John Wallis vo svojom pojednaní „Aritmetika nekonečna“ (1656).

Vo funkčnej analýze, interpolácia lineárne operátory je časť, ktorá považuje Banachove priestory za prvky určitej kategórie.

Mnoho z tých, ktorí čelia vedeckým a technickým výpočtom, často musia pracovať so súborom hodnôt získaných empiricky alebo náhodne. Na základe týchto množín je spravidla potrebné vytvoriť funkciu, s ktorou by bolo možné pracovať vysoká presnosť získať ďalšie prijaté hodnoty. Tento problém sa nazýva aproximácia. Interpolácia je druh aproximácie, pri ktorej krivka vytvorenej funkcie prechádza presne cez dostupné dátové body.

Existuje tiež problém blízky interpolácii, ktorý spočíva v aproximácii niektorých komplexná funkcia iná, jednoduchšia funkcia. Ak je niektorá funkcia pre výpočty výkonu príliš komplikovaná, môžete sa pokúsiť vypočítať jej hodnotu v niekoľkých bodoch a z nich zostaviť, tj. Interpolovať, ďalšie jednoduchá funkcia... Použitie zjednodušenej funkcie samozrejme neprináša rovnaké presné výsledky ako pôvodná funkcia. Ale v niektorých triedach problémov môže dosiahnutý zisk v jednoduchosti a rýchlosti výpočtov prevážiť nad výslednou chybou vo výsledkoch.

Za zmienku stojí aj úplne iný druh matematickej interpolácie známej ako interpolácia operátora. Klasické práce o interpolácii operátorov zahŕňajú Riesz-Thorinovu vetu a Marcinkiewiczovu vetu, ktoré sú základom pre mnoho ďalších článkov.

Definície

Uvažujme systém nesúrodých bodov z nejakého regiónu. D) ... Nech sú hodnoty funkcie známe iba v týchto bodoch:

Y i = f (x i), i = 1, ..., N. (\ Displaystyle y_ (i) = f (x_ (i)), \ quad i = 1, \ ldots, N.)

Interpolačným problémom je nájsť funkciu z danej triedy funkcií tak, aby

F (x i) = y i, i = 1, ..., N. (\ Displaystyle F (x_ (i)) = y_ (i), \ quad i = 1, \ ldots, N.)

Body sa nazývajú interpolačné uzly, a ich súčet je interpolačná mriežka.
Dvojice sa nazývajú dátové body alebo základné body.
Rozdiel medzi „susednými“ hodnotami - Δ X i = x i - x i - 1 (\ Displaystyle \ Delta x_ (i) = x_ (i) -x_ (i-1)) krok interpolačnej mriežky... Môže byť variabilný aj konštantný.
Funkcia F (x) (\ Displaystyle F (x)) - interpolačná funkcia alebo interpolant.

Príklad

1. Predpokladajme, že máme tabuľkovú funkciu, ako je popísaná nižšie, ktorá pre niekoľko hodnôt určuje zodpovedajúce hodnoty: (x)

X (\ Displaystyle x) f (x) (\ Displaystyle f (x))


0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolácia nám pomáha zistiť, akú hodnotu môže mať taká funkcia v inom bode, ako sú určené body (napríklad kedy X = 2,5).

Teraz je ich veľa rôzne cesty interpolácia. Výber najvhodnejšieho algoritmu závisí od odpovedí na otázky: ako presná je zvolená metóda, aké sú náklady na jej použitie, ako hladká je funkcia interpolácie, koľko dátových bodov vyžaduje atď.

2. Nájdite strednú hodnotu (podľa lineárna interpolácia).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 - 6000) 8000 - 6000 ∗ (19.2 - 15.5) 1 = 16.1993 (\ Displaystyle? = 15.5 + (\ frac ((6378-6000)) (8000-6000)) * (\ frac ((19.2- 15.5)) (1)) = 16.1993)

V programovacích jazykoch

Príklad lineárnej interpolácie pre y = 3 x + x 2 (\ Displaystyle y = 3x + x ^ (2)). Užívateľ môže zadať číslo od 1 do 10.

Fortran

program interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 dimenzia x (10) dimenzia y (10) call prisv (x, i) call func (x, y, i) write ( *, *) "zadajte číslo: "čítať (*, *) xv if ((xv> = 1). a. (xv xv)) potom yv2 = ((xv - x (i)) * (y (i + 1) - y (i)) / (x (i + 1) - x (i))) + y (i) end if end do end podprogram

C ++

int main () (systém ("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system ("echo Interpolation X1 - X2"); system ("echo Enter číslo: "); cin >> ob; system (" echo Napríklad 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29 "); cout> x1; cout> x2; cout> y1; cout> y2; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Interpolačné metódy

Interpolácia najbližšieho suseda

Najjednoduchšou metódou interpolácie je interpolácia najbližšieho suseda.

Interpolácia polynómami

V praxi sa najčastejšie používa interpolácia polynómami. Dôvodom je predovšetkým skutočnosť, že polynómy sa dajú ľahko vypočítať, je ľahké analyticky nájsť ich deriváty a množina polynómov je v priestore hustá. spojité funkcie(Weierstrassova veta).

Lineárna interpolácia
Newtonov interpolačný vzorec
Metóda konečných rozdielov
IMN-1 a IMN-2
Lagrangeov polynóm (interpolačný polynóm)
Aitkenova schéma
Funkcia spline
Kubický spline

Reverzná interpolácia (výpočet x vzhľadom na y)

Lagrangeov polynóm
Reverzná interpolácia pomocou Newtonovho vzorca
Inverzná Gaussova interpolácia

Interpolácia funkcie niekoľkých premenných

Bilineárna interpolácia
Bikubická interpolácia

Iné metódy interpolácie

Racionálna interpolácia
Trigonometrická interpolácia

Súvisiace koncepty

Extrapolácia - metódy hľadania bodov mimo určený interval (predĺženie krivky)
Aproximácia - metódy konštrukcie približných kriviek

Reverzná interpolácia

na triede funkcií z priestoru C2, ktorých grafy prechádzajú bodmi poľa (xi, yi), i = 0, 1 ,. ... ... , m.

Riešenie. Medzi všetkými funkciami, ktoré prechádzajú podpernými bodmi (xi, f (xi)) a patria do spomínaného priestoru, je to kubický spline S (x), spĺňajúci okrajové podmienky S00 (a) = S00 (b) = 0, poskytuje extrémny (minimálny) funkčný I (f).

V praxi často vzniká problém nájsť hodnotu argumentu pre danú hodnotu funkcie. Tento problém je vyriešený metódami inverznej interpolácie. Ak je daná funkcia monotónna, inverznú interpoláciu je možné najľahšie dosiahnuť nahradením funkcie argumentom a naopak a potom interpoláciou. Ak daná funkcia nie je monotónna, potom túto techniku nemožno použiť. Potom bez zmeny rolí funkcie a argumentu zapíšeme tento alebo ten interpolačný vzorec; pomocou známych hodnôt argumentu a vzhľadom na známu funkciu vyriešime výslednú rovnicu pre argument.

Odhad zvyšku pri použití prvej techniky bude rovnaký ako pri priamej interpolácii, iba derivácie priamej funkcie musia byť nahradené deriváciami inverznej funkcie. Odhadnime chybu druhej metódy. Ak dostaneme funkciu f (x) a Ln (x) je Lagrangeov interpolačný polynóm skonštruovaný pre túto funkciu v uzloch x0, x1, x2 ,. ... ... , xn

f (x) - Ln (x) = (n + 1)! (x - x0). ... ... (x - xn).

Predpokladajme, že musíme nájsť hodnotu x which, pre ktorú f (¯ x) = y ((y is je daná). Vyriešime rovnicu Ln (x) = y¯. Získame určitú hodnotu x. Nahradením predchádzajúcej rovnice dostaneme:

Mn + 1


f (x¯) - Ln (x¯) = f (x¯) - y¯ = f (x¯) - f (¯x) =
f (x¯) - Ln (x¯) = f (x¯) - y¯ = f (x¯) - f (¯x) =
Použitím Langrangeovho vzorca dostaneme
(x¯ - x¯) f0 (η) =


kde η je medzi x a x¯. Ak je interval, ktorý obsahuje x and a x and a min

od posledný výraz nasleduje:

| x¯ - x¯ | 6m1 (n + 1)! | $ n (x¯) | ...

V tomto prípade sa samozrejme predpokladá, že sme vyriešili rovnicu Ln (x) = y ^ presne.

Na zostavovanie tabuliek sa používa interpolácia

Interpolačná teória má aplikácie pri kompilácii funkčných tabuliek. Po získaní takéhoto problému musí matematik pred začatím výpočtov vyriešiť niekoľko otázok. Je potrebné zvoliť vzorec, podľa ktorého sa budú výpočty vykonávať. Tento vzorec sa môže líšiť od webu k webu. Vzorce na výpočet hodnôt funkcie sú zvyčajne ťažkopádne, a preto sa používajú na získanie niektorých referenčných hodnôt a potom subtabuláciou kondenzujú tabuľku. Vzorec, ktorý udáva referenčné hodnoty pre funkciu, by mal poskytnúť požadovanú presnosť tabuliek s prihliadnutím na nasledujúcu subtabuláciu. Ak potrebujete vytvárať tabuľky s konštantným krokom, musíte najskôr určiť jeho krok.

Späť Prvý Predchádzajúci Predchádzajúci Ďalší Skok Predmet Register

Tabuľky funkcií sú najčastejšie navrhnuté tak, aby bola možná lineárna interpolácia (tj. Interpolácia pomocou prvých dvoch výrazov Taylorovho vzorca). V tomto prípade bude mať zvyšok formulár

R1 (x) = f00 (ξ) h2t (t - 1).

Tu ξ patrí do intervalu medzi dvoma susednými tabuľkovými hodnotami argumentu, v ktorom sa nachádza x, a t leží medzi 0 a 1. Súčin t (t - 1) má najväčší modul

hodnota pri t = 12. Táto hodnota je 14. Takže,

Malo by sa pamätať na to, že vedľa tejto chyby - chyby metódy - v praktickom výpočte medziľahlých hodnôt bude stále existovať smrteľná chyba a chyba zaokrúhľovania. Ako sme už videli, smrteľná chyba v lineárnej interpolácii sa bude rovnať chybe v tabuľkových hodnotách funkcie. Chyba zaokrúhľovania bude závisieť od výpočtových prostriedkov a výpočtového programu.

Späť Prvý Predchádzajúci Predchádzajúci Ďalší Skok Predmet Register

Predmetný register

oddelené rozdiely druhého rádu, 8 prvého rádu, 8

spline, 15

interpolačné uzly, 4

Späť Prvý Predchádzajúci Predchádzajúci Ďalší Skok Predmet Register

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Ako interpolovať

Vzorec na interpoláciu tabuľkových údajov

Používa sa v 2. kroku, keď je množstvo HXR (Q, t) zo stavu medzi tým 100 t a 300 t.

(Výnimka: ak sa Q podľa podmienky rovná 100 alebo 300, potom nie je potrebná interpolácia).

r o- Vaše počiatočné množstvo NHR zo stavu v tonách

(zodpovedá písmenu Q)

r 1 – menej

(z tabuľky 11-16, zvyčajne rovná 100).

r 2 – viac najbližšie k vašej hodnote množstva NHR v tonách

(z tabuľky 11-16, zvyčajne 300).

X 1 r 1 (X 1 umiestnený oproti r 1 ), km.

X 2 - tabuľková hodnota hĺbky šírenia oblaku kontaminovaného vzduchu (T t), resp r 2 (X 2 umiestnený oproti r 2 ), km.

X 0 - požadovaná hodnota G T vhodné r o(podľa vzorca).

Príklad.

NHR - chlór; Q = 120 t;

Typ SVSP (stupeň vertikálneho odporu vzduchu) - inverzia.

Nájsť G T- tabuľková hodnota hĺbky šírenia oblaku kontaminovaného vzduchu.

Prezrieme si tabuľky 11-16 a nájdeme údaje zodpovedajúce vášmu stavu (chlór, inverzia).

Tabuľka 11 je vhodná.

Výber hodnôt r 1 , r 2, X 1 , X 2 . Dôležité - vezmeme rýchlosť vetra 1 m / s., Zmeráme teplotu - 20 ° C.

Nahraďte vybrané hodnoty do vzorca a nájdite X 0 .

Dôležité - výpočet je správny, ak X 0 bude záležať niekde medzi X 1 , X 2 .

1.4. Lagrangeov interpolačný vzorec

Lagrangeov navrhovaný algoritmus na konštrukciu interpolácie

funkcie podľa tabuliek (1) umožňujú konštrukciu interpolačného polynómu Ln (x) vo forme

Je zrejmé, že splnenie podmienok (11) pre (10) určuje splnenie podmienok (2) vyhlásenia o probléme interpolácie.

Polynómy li (x) sú zapísané nasledovne

Všimnite si toho, že ani jeden faktor v menovateli vzorca (14) sa nerovná nule. Po vypočítaní hodnôt konštánt ci ich môžete použiť na výpočet hodnôt interpolovanej funkcie v daných bodoch.

Vzorec pre Lagrangeov interpolačný polynóm (11), berúc do úvahy vzorce (13) a (14), je možné napísať vo forme

qi (x - x0) (x - x1) K (x - xi −1) (x - xi +1) K (x - xn)

1.4.1 Organizácia ručných výpočtov podľa Lagrangeovho vzorca

Priama aplikácia Lagrangeovho vzorca vedie k veľkému počtu výpočtov rovnakého typu. V prípade tabuliek malých rozmerov je možné tieto výpočty vykonať manuálne aj v prostredí programu.

V prvej fáze zvážime algoritmus výpočtov vykonaných ručne. V budúcnosti by sa rovnaké výpočty mali opakovať aj v životnom prostredí

Microsoft Excel alebo OpenOffice.org Calc.

Na obr. 6 ukazuje príklad počiatočnej tabuľky interpolovanej funkcie definovanej štyrmi uzlami.

Obr. Tabuľka obsahujúca počiatočné údaje pre štyri uzly interpolovanej funkcie

Do tretieho stĺpca tabuľky zapíšeme hodnoty koeficientov qi vypočítané podľa vzorcov (14). Nasleduje záznam týchto vzorcov pre n = 3.

q0 = Y0 / (x0-x1) / (x0-x2) / (x0-x3) q1 = Y1 / (x1-x0) / (x1-x2) / (x1-x3) (16) q2 = Y2 / ( x2-x0) / (x2-x1) / (x2-x3) q3 = Y3 / (x3-x0) / (x3-x1) / (x3-x2)

Ďalším krokom pri implementácii manuálnych výpočtov je výpočet hodnôt li (x) (j = 0,1,2,3), vykonaný podľa vzorcov (13).

Napíšte tieto vzorce pre variant tabuľky so štyrmi uzlami, ktoré zvažujeme:

l0 (x) = q0 (x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1 (x) = q1 (x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2 (x) = q2 (x-x0) (x-x1) (x-x3), (17) l3 (x) = q3 (x-x0) (x-x1) (x-x2) ...

Vypočítajme hodnoty polynómov li (xj) (j = 0,1,2,3) a zapíšeme ich do buniek tabuľky. Hodnoty funkcie Ycalc (x) podľa vzorca (11) sa získajú súčtom hodnôt li (xj) do riadkov.

Formát tabuľky, ktorý obsahuje stĺpce vypočítaných hodnôt li (xj) a stĺpec hodnôt Y vypočítaných (x), je znázornený na obr.

Ryža. 8. Tabuľka s výsledkami ručných výpočtov vykonaných podľa vzorcov (16), (17) a (11) pre všetky hodnoty argumentu xi

Po dokončení vytvorenia tabuľky uvedenej na obr. 8 pomocou vzorcov (17) a (11) môžete vypočítať hodnotu interpolovanej funkcie pre akúkoľvek hodnotu argumentu X. Napríklad pre X = 1 vypočítame hodnoty li (1) (i = 0,1,2,3):

10 (1) = 0,7763; 11 (1) = 3,5889; l2 (1) = - 1,5155; l3 (1) = 0,2966.

Zhrnutím hodnôt li (1) získame hodnotu Yinterp (1) = 3,1463.

1.4.2. Implementácia interpolačného algoritmu pomocou Lagrangeových vzorcov v prostredí programu Microsoft Excel

Implementácia interpolačného algoritmu začína, ako pri manuálnych výpočtoch, napísaním vzorcov na výpočet koeficientov qi. 9 ukazuje stĺpce tabuľky s danými hodnotami argumentu, interpolovanej funkcie a koeficientov qi. Vpravo od tejto tabuľky sú vzorce zapísané v bunkách stĺpca C na výpočet hodnôt koeficientov qi.

вС2: "= B2 / ((A2-A3) * (A2-A4) * (A2-A5))" Æ q0

вС3: "= B3 / ((A3-A4) * (A3-A5) * (A3-A2))" Æ q1

вС4: "= B4 / ((A4-A5) * (A4-A2) * (A4-A3))" Æ q2

вС5: "= B5 / ((A5-A2) * (A5-A3) * (A5-A4))" Æ q3

Ryža. 9 Tabuľka koeficientov qi a výpočtové vzorce

Po zadaní vzorca q0 do bunky C2 sa rozšíri cez bunky od C3 do C5. Potom sa vzorce v týchto bunkách upravia podľa (16) do formy uvedenej na obr. deväť.

Ycalc (xi),

Vykonaním vzorcov (17) napíšeme vzorce na výpočet hodnôt li (x) (i = 0,1,2,3) do buniek stĺpcov D, E, F a G. V bunke D2 na výpočet hodnota l0 (x0) napíšeme vzorec:

= $ C $ 2 * ($ A2- $ A $ 3) * ($ A2- $ A $ 4) * ($ A2- $ A $ 5),

dostaneme hodnoty l0 (xi) (i = 0,1,2,3).

Referenčný formát $ A2 vám umožňuje roztiahnuť vzorec cez stĺpce E, F, G a vytvoriť výpočtové vzorce na výpočet li (x0) (i = 1,2,3). Keď potiahnete vzorec nadol za riadkom, index stĺpcov argumentov sa nezmení. Na výpočet li (x0) (i = 1,2,3) po natiahnutí vzorca 10 (x0) je potrebné ich opraviť pomocou vzorcov (17).

V stĺpci H umiestnime Vzorce Excel na sčítanie li (x) podľa vzorca

(11) algoritmus.

Na obr. 10 ukazuje tabuľku implementovanú v prostredí Programy spoločnosti Microsoft Excel. Získaná diagonálna matica li (xj) (i = 0,1,2,3), (j = 0,1,2,3), ktorá opakuje výsledky uvedené na obr. 8 a stĺpec hodnôt, ktoré sa zhodujú s hodnotami interpolovanej funkcie v uzloch pôvodnej tabuľky.

Ryža. 10. Tabuľka hodnôt li (xj) (j = 0,1,2,3) a Ycalc (xj)

Na výpočet hodnôt v niektorých medziľahlých bodoch to stačí

Do buniek stĺpca A počnúc bunkou A6 zadajte hodnoty argumentu X, pre ktoré chcete určiť hodnoty interpolovanej funkcie. Zlatý klinec

v poslednom (5.) riadku tabuľky buniek od l0 (xn) do Ycalc (xn) a roztiahnite vzorce napísané vo vybraných bunkách do riadka obsahujúceho posledný

daná hodnota argumentu x.

Na obr. 11 zobrazuje tabuľku, v ktorej sa hodnoty funkcie počítajú v troch bodoch: x = 1, x = 2 a x = 3. Do tabuľky bol pridaný ďalší stĺpec s číslami riadkov tabuľky zdrojových údajov.

Ryža. 11. Výpočet hodnôt interpolovaných funkcií podľa Lagrangeových vzorcov

Pre väčšiu prehľadnosť zobrazenia výsledkov interpolácie zostrojíme tabuľku, ktorá obsahuje stĺpček vzostupných hodnôt argumentu X, stĺpec počiatočných hodnôt funkcie Y (X) a stĺpec

Povedzte mi, ako použiť interpolačný vzorec a ktorý z nich pri riešení problémov v termodynamike (tepelné inžinierstvo)

Ivan Šestakovič

Najjednoduchšia, ale často nie dostatočne presná interpolácia je lineárna. Keď už máte dva známe body (X1 Y1) a (X2 Y2) a potrebujete nájsť hodnoty Y dňa nejakého X, ktoré je medzi X1 a X2. Potom je vzorec jednoduchý.
Y = (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Mimochodom, tento vzorec funguje aj pre hodnoty X mimo hraníc intervalu X1..X2, ale toto sa už nazýva extrapolácia a v značnej vzdialenosti od tohto intervalu spôsobuje veľmi veľkú chybu.
Existuje mnoho ďalších matiek. metódy interpolácie - odporúčam vám prečítať si učebnicu alebo sa prehrabávať v internete.
Vylúčená nie je ani metóda grafickej interpolácie - ručne nakreslite graf cez známe body a pre požadovaný X nájdite z grafu Y .;)

román

Máte dva významy. A približne závislosť (lineárna, kvadratická, ..)
Graf tejto funkcie prechádza vašimi dvoma bodmi. Potrebujete zmysel niekde medzi tým. No ty sa vyjadruj!
Napríklad. V tabuľke je pri teplote 22 stupňov tlak nasýtených pár 120 000 Pa a pri 26 124 000 Pa. Potom pri teplote 23 stupňov 121000 Pa.

Interpolácia (súradnice)

Na mape (obrázok) je mriežka súradníc.
Existuje niekoľko známych otočných bodov (n> 3), z ktorých každý má dva hodnoty x, y- súradnice v pixeloch a súradnice v metroch.
Je potrebné nájsť medzihodnoty súradníc v metroch, poznať súradnice v pixeloch.
Lineárna interpolácia nie je vhodná - príliš veľa chýb mimo čiaru.
Takto: (Xc - súradnice v metroch v oh, Xp - súradnice v pixeloch v oh, Xc3 - požadovaná hodnota v oh)
Xc3 = (Xc1-Xc2) / (Xp1-Xp2) * (Xp3-Xp2) + Xc2
Yc3 = (Yc1-Yc2) / (Yp1-Yp2) * (Yp3-Yp2) + Yc2

Ako nájsť rovnaký vzorec na nájdenie Xc a Yc, berúc do úvahy nie dva (ako tu), ale N známych kontrolných bodov?

Joka fern lowd

Súdiac podľa zapísaných vzorcov, zhodujú sa osi súradnicových systémov v pixeloch a metroch?
To znamená, že nezávisle interpoluje Xp -> Xc a nezávisle Yp -> Yc. Ak nie, potom musíte použiť dvojrozmernú interpoláciu Xp, Yp-> Xc a Xp, Yp-> Yc, ktorá úlohu trochu komplikuje.
Ďalej sa predpokladá, že súradnice Xp a Xc nejakým spôsobom súvisia.
Ak je známa povaha závislosti (alebo sa napríklad predpokladá, že Xc = a * Xp ^ 2 + b * Xp + c), potom parametre tejto závislosti (pre danú závislosť a, b, c) je možné získať pomocou regresná analýza(Metóda najmenších štvorcov). Ak v tejto metóde nastavíte určitú závislosť Xc (Xp), môžete získať vzorec pre parametre závislosti na referenčných údajoch. Táto metóda umožňuje predovšetkým nájsť lineárnu závislosť, najlepšia cesta uspokojujúce táto sadaúdaje.
Nevýhoda: Pri tejto metóde sa môžu súradnice Xc získané z údajov Xp GCP líšiť od uvedených. Napríklad aproximačná čiara nakreslená pozdĺž experimentálnych bodov neprechádza presne cez tieto body samotné.
Ak sa vyžaduje presná zhoda a povaha závislosti nie je známa, mali by sa použiť interpolačné metódy. Matematicky najjednoduchší je Lagrangeov interpolačný polynóm, ktorý prechádza presne cez kontrolné body. Avšak kvôli vysoký stupeň tento polynóm pre veľký počet riadiacich bodov a Zlá kvalita interpoláciu, je lepšie ju nepoužívať. Výhodou je relatívne jednoduchý vzorec.
Je lepšie použiť interpoláciu spline. Podstata tejto metódy spočíva v tom, že v každom úseku medzi dvoma susednými bodmi je skúmaná závislosť interpolovaná polynómom a v miestach spojenia dvoch intervalov sú zapísané podmienky hladkosti. Výhodou tejto metódy je kvalita interpolácie. Nevýhody - výber je takmer nemožné všeobecný vzorec„Je potrebné algoritmicky nájsť koeficienty polynómu v každej sekcii. Ďalšou nevýhodou je obtiažnosť zovšeobecnenia na 2D interpoláciu.

Existuje situácia, keď potrebujete nájsť medziprodukty v rade známych hodnôt. V matematike sa to nazýva interpolácia. IN Excel daný metódu je možné použiť tak pre tabuľkové údaje, ako aj pre vykresľovanie grafov. Pozrime sa na každú z týchto metód.

Hlavnou podmienkou, za ktorej môžete použiť interpoláciu, je, že požadovaná hodnota musí byť v dátovom poli a nesmie presahovať jeho limit. Ak napríklad máme množinu argumentov 15, 21 a 29, potom pri hľadaní funkcie pre argument 25 môžeme použiť interpoláciu. A nájsť zodpovedajúcu hodnotu pre argument 30 - už nie. Toto je hlavný rozdiel medzi týmto postupom a extrapoláciou.

Metóda 1: interpolácia pre tabuľkové údaje

Najprv zvážte použitie interpolácie na údaje, ktoré sa nachádzajú v tabuľke. Vezmime si napríklad pole argumentov a zodpovedajúce funkčné hodnoty, ktorých pomer je možné popísať lineárna rovnica... Tieto údaje sú uvedené v tabuľke nižšie. Pre argument musíme nájsť zodpovedajúcu funkciu 28 ... Najľahšie to urobíte pomocou operátora PROGNÓZA.

Metóda 2: Interpolácia grafu pomocou jeho nastavení

Interpolačný postup je možné použiť aj pri vykresľovaní grafov funkcií. Je relevantné, ak tabuľka, na základe ktorej je graf zostavený, neindikuje zodpovedajúcu hodnotu funkcie jednému z argumentov, ako na obrázku nižšie.

Ako vidíte, graf bol opravený a medzera bola odstránená interpoláciou.

Metóda 3: Interpolácia grafu pomocou funkcie

Graf môžete tiež interpolovať pomocou špeciálna funkcia ND. Vracia nedefinované hodnoty do zadanej bunky.

Bez spustenia to môže byť ešte jednoduchšie Sprievodca funkciami, ale jednoducho z klávesnice na vloženie hodnoty do prázdnej bunky „# N / A“ bez úvodzoviek. Ale to už závisí od toho, s ktorým používateľom je to pohodlnejšie.

Ako vidíte, v programe Excel môžete pomocou funkcie interpolovať ako tabuľkové údaje PROGNÓZA a grafikou. V druhom prípade to možno vykonať pomocou nastavení plánu alebo pomocou funkcie ND, spôsobuje chybu „# N / A“... Voľba použitej metódy závisí od formulácie problému a od osobných preferencií používateľa.

Interpolácia je druh aproximácie, pri ktorej krivka vytvorenej funkcie prechádza presne cez dostupné dátové body.

Existuje tiež problém blízky interpolácii, ktorý spočíva v aproximácii nejakej komplexnej funkcie s inou, jednoduchšou funkciou. Ak je niektorá funkcia pre výpočty výkonu príliš zložitá, môžete sa pokúsiť vypočítať jej hodnotu v niekoľkých bodoch a z nich zostaviť, to znamená interpolovať, jednoduchšiu funkciu. Použitie zjednodušenej funkcie samozrejme neprináša rovnaké presné výsledky ako pôvodná funkcia. Ale v niektorých triedach problémov môže dosiahnutý zisk v jednoduchosti a rýchlosti výpočtov prevážiť nad výslednou chybou vo výsledkoch.

Za zmienku stojí aj úplne iný druh matematickej interpolácie známej ako interpolácia operátora. Medzi klasické práce o interpolácii operátorov patrí Riesz-Thorinova veta a Marcinkiewiczova veta, ktoré sú základom pre mnoho ďalších dokumentov.

Definície

Uvažujme systém nesúladných bodov () z určitej oblasti. Nech sú hodnoty funkcie známe iba v týchto bodoch:

Interpolačným problémom je nájsť funkciu z danej triedy funkcií takú, že

Príklad

1. Predpokladajme, že máme tabuľkovú funkciu, ako je tá, ktorá je popísaná nižšie, ktorá určuje zodpovedajúce hodnoty pre niekoľko hodnôt:


0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolácia nám pomáha zistiť, akú hodnotu môže mať taká funkcia v bode odlišnom od uvedených (napríklad keď X = 2,5).

V súčasnosti existuje mnoho rôznych spôsobov interpolácie. Výber najvhodnejšieho algoritmu závisí od odpovedí na otázky: ako presná je zvolená metóda, aké sú náklady na jej použitie, ako hladká je funkcia interpolácie, koľko dátových bodov vyžaduje atď.

2. Nájdite strednú hodnotu (lineárnou interpoláciou).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2