ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Конденсатор , в простейшем случае состоит из двух металлических проводников (обкладок), которые разделяет слой диэлектрика. Каждая из обкладок конденсатора имеет свой вывод и может быть подключена к электрической цепи.

Конденсатор характеризуют при помощи ряда параметров (емкость, рабочее напряжение и т. д), одной из таких характеристик является сопротивление. Конденсатор практически не пропускает постоянный электрический ток. То есть сопротивление конденсатора является бесконечно большим для постоянного тока, но это идеальный случай. Через реальный диэлектрик очень малый ток протекать может. Этот ток называют током утечки. Ток утечки является показателем качества диэлектрика, который применяется при изготовлении конденсатора. У современных конденсаторов ток утечки составляет некоторые доли микроампера. Сопротивление конденсатора в таком случае можно вычислить, используя закон Ома для участка цепи, зная величину напряжения, до которой заряжен конденсатор и ток утечки. Но обычно при решении учебных задач сопротивление конденсатора постоянному току считают бесконечно большим.

Сопротивление конденсатора переменному напряжению

При включении конденсатора в цепь с переменным током, ток свободно проходит через конденсатор. Это объясняется очень просто: происходит процесс постоянной зарядки и разрядки конденсатора. При этом говорят, что в цепи присутствует емкостное сопротивление конденсатора, помимо активного сопротивления.

И так, конденсатор, который включен в цепь переменного тока, ведет себя как сопротивление, то есть оказывает влияние на силу тока, текущую в цепи. Величину емкостного сопротивления обозначим как , его величина связана с частотой тока и определена формулой:

где - частота переменного тока; - угловая частота тока; C - емкость конденсатора.

Если конденсатор включен в цепь переменного тока, то в нем не затрачивается мощность, потому что фаза тока сдвинута по отношению к напряжению на . Если рассмотреть один период колебания тока в цепи (T), то происходит следующее: при заряде конденсатора (это составляет ) энергия в поле конденсатора запасается; на следующем отрезке времени () конденсатор разряжается и отдает энергию в цепь. Поэтому ёмкостное сопротивление называют реактивным (безваттным).

Следует заметить, что в каждом реальном конденсаторе реальная мощность (мощность потерь) все же тратится, при течении через него переменного тока. Это вызвано тем, что происходят изменения в состоянии диэлектрика конденсатора. Помимо этого существует некоторая утечка в изоляции обкладок конденсатора, поэтому появляется небольшое активное сопротивление, которое как бы включено параллельно конденсатору.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Колебательный контур имеет сопротивление (R), катушку индуктивности (L) и конденсатор емкости C (рис.1). К нему подключено внешнее напряжение, амплитуда которого равна , а частота составляет . Какова амплитуда силы тока в цепи?
Решение	Сопротивление контура рис.1 складывается из активного сопротивления R, емкостного сопротивления конденсатора и сопротивления катушки индуктивности . Полное сопротивление цепи (Z), которая содержит названные выше элементы, находят как: Закон Ома для нашего участка цепи можно записать как: Выразим искомую амплитуду силы тока из (1.2), подставим вместо Z правую часть формулы (1.1), имеем:
Ответ

Опыт показывает, что если последовательно с лампочкой соединить конденсатор и подключить их к генератору постоянного напряжения, то лампочка не горит. Это понятно, так как обкладки конденсатора разделены диэлектриком, и цепь оказывается разомкнутой. При подключении конденсатора к источнику постоянного тока возникает кратковременный импульс тока, который зарядит конденсатор до напряжения источника, а затем ток прекратится. Но если эту цепь подключить к источнику переменного напряжения, то лампочка горит. Переменный ток представляет собой вынужденные электромагнитные колебания, происходящие под действием переменного электромагнитного поля генератора. При включении конденсатора в цепь переменного тока процесс его зарядки длится четверть периода. После достижения амплитудного значения напряжение между обкладками конденсатора уменьшается, и конденсатор в течение четверти периода разряжается. В следующую четверть периода конденсатор снова заряжается, но знак заряда на его обкладках изменяется на противоположный и т.д. Через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора, как и в цепи постоянного тока, электрические заряды не проходят. Но по проводам, соединяющим обкладки конденсатора с источником напряжения, течет переменный ток разрядки и зарядки конденсатора. Поэтому лампочка, включенная последовательно с конденсатором, будет гореть непрерывно. Если теперь конденсатор отсоединить, то лампочка горит ярче. Следовательно, конденсатор оказывает переменному току сопротивление, которое называется емкостным сопротивлением .

Рассмотрим цепь (рис. 1), состоящую из конденсатора и подводящих проводов, сопротивление которых пренебрежительно мало, и генератора переменного напряжения.

Пусть напряжение на конденсаторе изменяется по закону \(~U = U_0\sin wt.\) Как известно, заряд на обкладках конденсатора можно определить по формуле \(~q = CU = CU_0\sin wt.\) Сила тока \(~I = q".\) Следовательно,

\(~I = -wCU_0\cos wt = wCU_0\sin(wt+\frac {\pi}2).\)

Отсюда \(~I=I_0\sin (wt +\frac {\pi}2),\)

где \(~I_0=wCU_o\) - амплитудное значение силы тока:

\(~I_0=\frac {U_0}{\frac 1{wC}}; I_0 =\frac {U_0}{X_C},\)

где \(~X_C = \frac 1{wC}.\)

Выразив амплитудные значения через действующие \(~I_0 = \sqrt2 I \) и \(~U_0 = \sqrt2 U,\) получим \(~I= \frac U{X_C}, \) т.е. действующее значение силы тока связано с деиству-Хс ющим значением напряжения на конденсаторе точно так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение на участке цепи постоянного тока. Это позволяет рассматривать величину Х с как сопротивление конденсатора переменному току:

\(~X_C = \frac 1{wC}\) - емкостное сопротивление.

В СИ единицей емкостного сопротивления является ом (Ом).

Как видно из полученной выше формулы, если в цепи включено только емкостное сопротивление, колебания силы тока в этой цепи опережают по фазе колебания напряжения на конденсаторе на \(~\frac {\pi}2,\) что изображено на графике и на векторной диаграмме (рис. 2).

Мгновенная мощность

\(~P=IU = I_0\sin (wt +\frac {\pi}2)U_0\sin wt = I_0U_0\sin wt \cos wt =\frac {I_0U_0}2 \sin 2wt,\)

т.е. мощность периодически изменяется с двойной частотой, а среднее значение мощности - за период \(\mathcal h P \mathcal i =0,\) так как \(~\mathcal h \sin 2wt \mathcal i = 0.\) Первую и третью четверти периода, когда конденсатор заряжается, он получает энергию от генератора, а вторую и четвертую четверти периода, когда конденсатор разряжается, он отдает энергию генератору.

Таким образом, так же, как активное сопротивление, емкостное сопротивление ограничивает силу тока в цепи, но в отличие от активного сопротивления на емкостном сопротивлении электрическая энергия не превращается необратимо в другие виды энергии.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - C. 402-404.

Определение 1

Пусть источник переменного тока включен в цепь, в которой индуктивностью и емкостью можно пренебречь. Переменный ток изменяется в соответствии с законом:

Рисунок 1.

Тогда, если применить к участку цепи ($а R в$) (рис.1) закон Ома получим:

где $U$ -- напряжение на концах участка. Разность фаз между током и напряжением равна нулю. Амплитудное значение напряжения ($U_m$) равно:

где коэффициент $R$ -- называется активным сопротивлением . Наличие активного сопротивления в цепи всегда приводит к выделению тепла.

Ёмкостное сопротивление

Допустим, что в участок цепи включен конденсатор емкости $С$, а $R=0$ и $L=0$. Будем считать силу тока ($I$) положительной, если она имеет направление, которое указано на рис. 2. Пусть заряд на конденсаторе равен $q$.

Рисунок 2.

Мы можем использовать следующие соотношения:

Если $I(t)$ определена уравнением (1), то заряд выражен как:

где $q_0$ произвольный постоянный заряд конденсатора, который не связан с колебаниями тока, поэтому можем допустить, что $q_0=0.$ Получим напряжение равно:

Формула (6) показывает, что на конденсаторе колебания напряжения отстают от колебаний силы тока по фазе на $\frac{\pi }{2}.$ Амплитуда напряжения на емкости равна:

Величину $X_C=\frac{1}{\omega C}$ называют реактивным емкостным сопротивлением (емкостным сопротивлением, кажущимся сопротивлением емкости). Если ток постоянный, то $X_C=\infty $. Это значит, что постоянный ток не течет через конденсатор. Из определения емкостного сопротивления видно, что при больших частотах колебаний, малые емкости являются небольшими сопротивлениями переменного тока.

Индуктивное сопротивление

Пусть участок цепи имеет только индуктивность (рис.3). Будем считать $I>0$, если ток направлен от $а$ к $в$.

Рисунок 3.

Если в катушке течет ток, то в индуктивности появляется ЭДС самоиндукции, следовательно, закон Ома примет вид:

По условию $R=0. \mathcal E$ самоиндукции можно выразить как:

Из выражений (8), (9) следует, что:

Амплитуда напряжения в данном случае равна:

где $X_L-\ $индуктивное сопротивление (кажущееся сопротивление индуктивности).

Закон Ома для цепей переменного тока

Определение 2

Выражение вида:

называют полным электросопротивлением , или импедансом , иногда называют законом Ома для переменного тока . Однако необходимо помнить, что формула (12) относится к амплитудам тока и напряжения, а не мгновенным их значениям.

Пример 1

Задание: Чему равно действующее значение силы тока в цепи. Цепь переменного тока состоит из последовательно соединенных: конденсатора емкостью $C$, катушки индуктивности $L$, активного сопротивления $R$. На зажимы цепи подается напряжение действующее напряжение $U$ частота которого $\nu$.

Решение:

Так как все элементы цепи соединены последовательно, то сила тока во всех элементах одинакова.

Амплитудное значение силы тока выражается «законом Ома для переменного тока» :

оно связано с действующим значением силы тока как:

В условиях задачи мы имеем действующее значение напряжения $U$, нам в формуле (1.1) требуется амплитуда напряжения, используя формулу:

Подставим в формулу (1.2) формулы (1.1) и (1.3), получим:

где $\omega =2\pi \nu .$

Ответ: $I=\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi \nu L-\frac{1}{2\pi \nu C}\right)}^2}}.$

Пример 2

Задание: Используя условия задачи в первом примере, найдите действующие значения напряжений на катушке индуктивности ($U_L$), сопротивлении ($U_R$), конденсаторе ($U_C$).

Решение:

Напряжение на активном сопротивлении ($U_R$) равно:

Напряжение на конденсаторе ($U_C$) определяется как:

Ответ: $U_L=2\pi \nu L\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi \nu L-\frac{1}{2\pi \nu C}\right)}^2}},\ U_R=\frac{UR}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi \nu L-\frac{1}{2\pi \nu C}\right)}^2}},U_C=\frac{1}{C2\pi \nu }\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi \nu L-\frac{1}{2\pi \nu C}\right)}^2}}.$

Под емкостным сопротивлением понимается особый характер противодействия переменному току, наблюдаемый в цепях с электрической ёмкостью. При этом емкостное сопротивление конденсатора зависит не только от включённых в цепь элементов, но и от параметров протекающего в ней тока (смотрите рисунок ниже).

Png?x15027" alt="Зависимость ёмкостного сопротивления от частоты" width="600" height="592">

Зависимость ёмкостного сопротивления от частоты

Отметим также, что конденсатор относится к категории реактивных элементов, потери энергии на которых в цепи переменного тока не происходит.

Формула емкостного сопротивления

Для того чтобы определиться с ёмкостным сопротивлением в той или иной схеме, потребуется выявить следующие параметры:

• Частота протекающего в цепочке переменного тока;
• Номинальное значение ёмкости конденсатора;
• Наличие в цепи других радиотехнических элементов.

После того, как учтены все перечисленные выше факторы, можно будет определить ёмкостное сопротивление конденсатора по следующей формуле:

Эта формула указывает на обратно пропорциональную зависимость сопротивления от величины ёмкости и частоты питающего напряжения.

Благодаря такому характеру его изменения, конденсаторы могут работать в следующих частотно-зависимых схемах:

• Интегральные и дифференциальные устройства;
• Резонансные цепочки различного класса;
• Специальные фильтрующие элементы.

Добавим к этому возможность использования конденсаторов в качестве демпферных элементов в цепи переменного тока, нагруженной на мощные (силовые) агрегаты.

Векторное представление ёмкости

Для получения более чёткого представления о том, что такое ёмкостное сопротивление, можно воспользоваться векторным представлением протекающих в конденсаторе процессов.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/05/2-vektornoe-predstavlenie-768x576..jpg 800w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Векторное представление

После изучения диаграммы можно заметить, что ток в цепи конденсатора меняет фазу с опережением напряжения на 90 градусов. Из характера взаимодействия основных электрических величин делается вывод о том, что конденсатор оказывает сопротивление изменению напряжения на нём.

Чем больше ёмкость, тем медленнее происходит её перезарядка до полного напряжения (и тем меньше ёмкостное сопротивление данного элемента). Этот вывод полностью совпадает с приведённой ранее формулой.

Дополнительная информация. При исследовании включенных в цепи переменного тока индуктивностей обнаруживается обратная закономерность, когда ток, наоборот, отстаёт по фазе от изменений напряжения.

Отметим, что в обоих случаях наблюдаемые различия в фазных параметрах указывают на реактивный характер сопротивления этих элементов.

Ёмкостное сопротивление

Единицы измерения

Конденсатор, как обладатель электрической ёмкости, напоминает по своим показателям автомобильный аккумулятор. Но, в отличие от АКБ, ёмкостной заряд на нём держится совсем недолго, что объясняется наличием утечек в диэлектрике и частичной разрядкой через окружающую среду.

При этом ёмкость (как и у аккумулятора) определяет накопительные свойства конденсатора или его способность удерживать энергию между обкладками.

Обратите внимание! В системе СИ этот показатель измеряется в Фарадах, которые представляют собой очень крупную единицу измерения.

На практике чаще всего пользуются более мелкими единицами измерения емкости, а именно :

• Пикофарады, соответствующие 10-12 Фарады (Ф);
• Нанофарады, равные 10-9Ф;
• Микрофарады (мкФ), составляющие 10-6 от Фарады.

Все эти единицы для кратности обозначаются как «пФ», «нФ» и «мФ» соответственно.

Пример расчета емкостного сопротивления

Иногда конденсаторы устанавливаются в цепочках гашения напряжения с целью получения меньших его значений (вместо понижающих трансформаторов).

Но если аккуратно обращаться с таким преобразователем, вполне можно будет собрать его своими руками. При расчёте требуемой ёмкости обычно исходят из следующих соображений:

• Включаемый последовательно с нагрузкой конденсатор характеризуется импедансом, аналогом сопротивления для ёмкости;
• Этот показатель соответствует отдельному плечу в делителе напряжения, вторым элементом которого является сопротивление нагрузки;
• Соотношение сопротивлений обоих плеч выбирается с таким расчётом, чтобы на нагрузке осталось требуемое напряжение (12 Вольт, например), а весь остаток от 220 Вольт рассеивался бы на самом конденсаторе.

Дополнительная информация. Для улучшения переходных характеристик делительной цепочки иногда параллельно конденсатору включается ещё один из резисторов, называемый разрядным.

Png?x15027" alt="Схема для расчёта ёмкостного сопротивления" width="596" height="208">

Схема для расчёта ёмкостного сопротивления

В нашем случае выбираются следующие данные:

• Uвх=220 Вольт;
• Uвых=12 Вольт;
• Iнагр=0,1Ампер (ток в нагрузке выбирается согласно её паспорта).

Исходя из них, можно определить значение сопротивления нагрузки:

Rн=220/0,1=2200 Ом или 2,2 Ком.

Для вычисления величины ёмкости, на которой должны «упасть» оставшиеся 208 Вольт, используются следующие показатели:

• Uс=208 Вольт;
• Iс=0,1Ампер;
• Fсети=50 Гц.

После этого можно вычислить омическое сопротивление конденсатора, достаточное для того, чтобы на нём было 208 Вольт:

Xc=Uс/Iс=208/0,1=2080.

Ёмкость конденсатора получается из рассмотренной ранее зависимости:

Исходя из этого, получим:

С = 1/Хс2 π Fсети = 1/2080х6, 28х50 = 0,0000015311 Фарады или 1,5 мкФ.

Сопротивление Rраз выбирается равным примерно 10 Ком или более.

Свойства емкостей

При параллельном включении нескольких конденсаторов их ёмкости складываются между собой. При этом общее ёмкостное сопротивление (согласно рассмотренным выше формулам) уменьшается. Если же все конденсаторные элементы соединены в последовательную цепочку, их суммарная ёмкость вычисляется как обратные значения каждой из составляющей.

Ёмкостное сопротивление последовательно включенных элементов в этом случае, наоборот, увеличивается. В заключение отметим, что такой характер изменения ёмкости и импеданса объясняется свойствами конденсатора, способного накапливать заряд на своих обкладках.

Видео

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую резистор с активным сопротивлением R и конденсатор емкости C , подключенную к источнику переменной ЭДС (рис. 653).

рис. 653
 Конденсатор, подключенный к источнику постоянной ЭДС, полностью препятствует прохождения тока − за некоторый промежуток времени конденсатор заряжается, напряжение между его обкладками становится равным ЭДС источника, после чего ток в цепи прекращается. Если же конденсатор включен в цепь переменного тока, то ток в цепи не прекращается − фактически конденсатор периодически перезаряжается, заряды на его обкладках периодически изменяются как по величине, так и по знаку. Конечно, никакие заряды не протекают между обкладками, электрического тока в строгом определении между ними нет. Но, часто не вдаваясь в детали и не слишком корректно, говорят о токе через конденсатор, подразумевая под этим ток в цепи, к которой подключен конденсатор. Такой же терминологией будем пользоваться и мы.
 По-прежнему, для мгновенных значений справедлив закон Ома для полной цепи: ЭДС источника равна сумме напряжений на всех участках цепи. Применение этого закона к рассматриваемой цепи приводит к уравнению

здесь U R = IR − напряжение на резисторе, U C = q/C − напряжение на конденсаторе, q − электрический заряд на его обкладках. Уравнение (1) содержит три изменяющихся во времени величины (известную ЭДС, и пока неизвестные силу тока и заряд конденсатора), учитывая, что сила тока равна производной по времени от заряда конденсатора I = q / , это уравнение может быть точно решено. Так как ЭДС источника изменяется по гармоническому закону, то и напряжение на конденсаторе и сила тока в цепи также будут изменяться по гармоническим законам с той же частотой − это утверждение непосредственно следует и уравнения (1).
 Сначала установим связь между силой тока в цепи напряжением на конденсаторе. Зависимость напряжения от времени представим в виде

 Подчеркнем, что в данном случае напряжение на конденсаторе отличается от ЭДС источника, как будет видно из дальнейшего изложения, между этими функциями существует также и разность фаз. Поэтому при записи выражения (2), мы выбираем произвольную начальную фазу нулевой, при таком определении фазы ЭДС, напряжения на резисторе и силы тока отсчитываются относительно фазы колебаний напряжения на резисторе.
 Используя связь между напряжением и зарядом конденсатора, запишем выражение для зависимости последнего от времени

которое позволяет найти временную зависимость силы тока 1

на последнем шаге использована тригонометрическая формула приведения, для того, чтобы в явном виде выделить сдвиг фаз между током и напряжением.
 Итак, мы получили, что амплитудное значение силы тока через конденсатор связано с напряжением на нем соотношением

а также между колебаниями силы тока и напряжения существует разность фаз, равна Δφ = π/2 . Эти результаты суммированы на рис. 654, где также представлена векторная диаграмма колебаний силы тока и напряжения.

рис. 654
 Для того, чтобы сохранить форму закона Ома для участка цепи, вводят понятие емкостного сопротивления , которое определяется по формуле

 В этом случае соотношение (5) становится традиционным для закона Ома

 При изучении закона Ома для цепей постоянного тока, мы указывали, что электрическое поле заставляет упорядоченно двигаться заряженные частицы внутри проводника, то есть создает электрический ток. Иными словами, «напряжение является причиной возникновения тока». В данном случае ситуация обратная − благодаря электрическому току на обкладках возникают электрические заряды, создающие электрическое поле, поэтому можно сказать, что в данном случае «сила тока является причиной возникновения напряжения». Хотя, к данным рассуждениям следует относиться несколько скептически, так движение зарядов (электрический ток) и электрическое поле «подстраиваются» друг к другу, пока между ними не устанавливается определенное соотношение, соответствующее установившемуся режиму. Так при постоянном токе условием стационарности является условие постоянства тока. В цепи переменного тока в установившемся режиме согласуются не только амплитудные значения токов и напряжений, но разность фаз между ними. Иными словами, обсуждаемый здесь причинно-следственный вопрос подобен вопросу о том, «что появилось раньше, курица или яйцо?»
 Так как между током и напряжением существует сдвиг фаз равный Δφ = π/2 , то средняя мощность тока через конденсатор равна нулю. Действительно,

 Иными словами, потерь энергии при протекании тока через конденсатор в среднем не происходит. Конечно, конденсатор влияет на протекание тока в цепи. В ходе зарядки конденсатора энергия электрического тока превращается в энергию электростатического поля между обкладками конденсатора, а при разрядке конденсатор отдает в цепь накопленную энергию, при этом, средняя энергия, потребляемая конденсатором, остается равной нулю. Поэтому емкостное сопротивление называют реактивным.
 Графики зависимости силы тока, напряжения и мгновенной мощности тока в рассматриваемой цепи показаны на рис. 655.


рис. 655
 Заливкой выделены промежутки времени, в течении которых конденсатор накапливает энергия − в этих промежутках сила тока и напряжение имеют один знак.
 Уменьшение емкостного сопротивления при возрастании частоты очевидна − чем выше частота тока, тем меньший заряд на конденсаторе успевает накопиться на обкладках конденсатора за половину периода (пока ток идет в одном направлении), тем меньше напряжение на нем, тем меньше он препятствует прохождению тока в цепи. Аналогичные рассуждения справедливы и для объяснения зависимости этого сопротивления от емкости конденсатора.
 Вернемся к рассмотрению цепи, показанной на рис. 653, которая описывается уравнением (1). Пренебрегая внутренним сопротивлением источника, запишем явное выражение для напряжения, создаваемого источником

Здесь U o − амплитудное значение напряжения, равное амплитудному значению ЭДС источника. Кроме того, теперь мы считаем начальную фазу ЭДС источника равной нулю (ранее за нуль мы принимали фазу колебаний напряжения на резисторе).
 Используя это уравнение и связь между силой тока и зарядом конденсатора, найдем явное выражение для зависимости силы тока в цепи от времени. Представим эту зависимость в виде

где I o и φ − подлежащие определению амплитудное значение силы тока и разности фаз между колебаниями тока и напряжения источника. Легко заметить, что в этом случае заряд конденсатора изменяется по закону

 Для проверки этого соотношения достаточно вычислить производную от приведенной функции и убедится, что она совпадает с функцией (9).
 Подставим эти выражения в уравнение (8)

и преобразуем тригонометрическую сумму


где через φ 1 обозначена величина, удовлетворяющая условию

 Теперь видно, что для того, чтобы функция (9) являлась решение уравнения (8), необходимо, чтобы ее параметры принимали значения:
 Амплитуда

искомая разность фаз связана с появившимся параметром φ 1 соотношением φ + φ 1 = 0 , то есть

 Таким образом, найдена явная зависимость силы тока от времени.
 В принципе таким методом, можно рассчитать любую цепь переменного тока. Но такой подход требует громоздких тригонометрических и алгебраических преобразований. К тем же результатам можно прийти гораздо проще, используя формализм векторных диаграмм. Покажем, как метод векторных диаграмм применяется к рассматриваемой цепи. Самое важное при использовании этого метода − построение векторной диаграммы, изображающей колебания токов и напряжений на различных участках цепи.
 Так как конденсатор и резистор соединены последовательно, то силы токов через них одинаковы в любой момент времени. Изобразим силу тока в виде произвольно направленного вектора (например, горизонтально 2 , как на рис. 656).

рис. 656
 Далее изобразим векторы колебаний напряжения на резисторе U R , который параллелен вектору колебаний тока (так как сдвиг фаз между этими колебаниями равен нулю) и напряжения на конденсаторе U C , который перпендикулярен вектору колебаний тока (так как сдвиг фаз меду ними равен π/2 − см. рис. 657).

рис. 657
 Сумма этих напряжений равна напряжению источника, поэтому вектор суммы векторов, изображающих колебания U R и U C , изображает колебания напряжения источника U(t) .
 Если же Вы настаиваете, что фаза суммарного напряжения равна нулю (то есть вектор, изображающий U должен быть расположен горизонтально), то поверните построенную диаграмму (рис. 657). Таким догматизмом далее мы заниматься не будем!
 Из построенной диаграммы следует, что амплитудные значения рассматриваемых напряжений связаны соотношением (следующим из теоремы Пифагора)

 Выражая амплитуды напряжений через амплитуду силы тока с помощью известных соотношений

и

получаем элементарное уравнение для определения амплитуды силы тока

из которого находим амплитуду силы тока в цепи

что, естественно, совпадает с выражением (11), полученным ранее громоздким алгебраическим методом. Векторная диаграмма также позволяет легко определить сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения источника

что также совпадает с полученным ранее.
 Как видно, метод векторных диаграмм позволяет полностью рассчитать характеристики цепей переменного тока, гораздо проще, чем рассмотренным выше методом аналитического решения соответствующего уравнения.
 Следует подчеркнуть, что физическая сущность обоих методов одна и та же, она выражается уравнением (10), различие только в математическом языке, на котором решается это уравнение.
 Рассчитаем, среднюю мощность, развиваемую источником. Мгновенное значение этой мощности равно произведению ЭДС на силу тока P = EI . Подставляя явные значения для этих величин и проводя усреднение, получим


 Обратите внимание, что полученное выражение для средней мощности является общим для переменного тока: средняя мощность переменного тока равна половине произведения амплитуд силы тока, напряжения и косинуса разности фаз между ними. Если использовать не амплитудные, а действующие значения силы тока и напряжения, то формула (16) приобретает вид

средняя мощность переменного электрического тока равна произведению действующих значений силы тока, напряжения и косинуса разности фаз между ними . Часто косинус сдвига фаз между силой тока и напряжением называют коэффициентом мощности .
 В тех случаях, когда по электрической линии требуется передать максимальную мощность, необходимо стремиться, чтобы сдвиг фаз между током и напряжением был минимальным (оптимально − нулевым), так как в этом случае передаваемая мощность будет максимальна.
 Применим полученную формулу для расчета мощности тока в рассматриваемой цепи, для чего выразим косинус сдвига фаз из выражения (12) и подставим в формулу (17), в результате чего получим


 При выводе этого соотношения использована формула (14) для амплитуды силы тока в цепи.  Полученный результат очевиден − средняя мощность, развиваемая источником, равна средней мощности теплоты, выделяющейся на резисторе. Этот вывод еще раз подтверждает, что на конденсаторе не происходит потерь энергии электрического тока.
 Расчет мощности тока также можно проводить с помощью построенной векторной диаграммы, из которой следует, что произведение амплитуды напряжения источника на косинус сдвига фаз равно амплитуде напряжения на резисторе

откуда сразу следует формула (18).
 Так как амплитудные и действующие значения сил токов и напряжений пропорциональны друг другу, то длины векторов векторных диаграмм можно считать пропорциональными действующим (а не амплитудным) значениям. При таком определении среднее произведение двух гармонических функций равно скалярному произведению векторов, изображающих эти функции.

1 Здесь мы используем математическую операцию вычисления производной функции. Если же вас она еще пугает − воспользуйтесь аналогией с механическими гармоническими колебаниями: аналогом заряда является координата, тогда аналогом силы тока служит мгновенная скорость.
2 Мы постоянно подчеркиваем, что начальная фаза отдельного колебания, ни в каких процессах не существенна, она может быть изменена простым переносом начала отсчета времени. Физический смысл имеют разности фаз между различными величинами, изменяющимися по гармоническим законам. Здесь мы как бы, очередной раз изменяем «точку отчета» фазы − при горизонтальном расположении вектора колебаний тока мы неявно принимаем начальную фазу колебаний силы тока равной нулю.